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重庆一中2021届高三第一学期第三次月考数学试题【含答案】

重庆一中2021届高三第一学期第三次月考数学试题

本卷满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．

2．作答时，务必将答案书写在答题卡规定的位置上．写在本试卷上及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回．

一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项．

1．已知复数21i

z i

-，则复数z 的虚部是（） A ．1- B ．1 C ．i D ．i -

2．已知集合{}

2|2,A x x x Z =<∈，则A 的真子集共有（）个 A ．3 B ．4 C ．6 D ．7

3．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为（） A ．10π B ．12π C ．14π D ．16π

4．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（）倍．（当x 较小时，

2101 2.3 2.7x x x ≈++）

A ．1.22

B ．1.23

C ．1.26

D ．1.27 5．向量,a b 满足||1a =，a 与b 的夹角为

，则||a b -的取值范围为（） A ．[1,)+∞ B ．[0,)+∞ C ．1,2

??+∞????

D ．3?

+∞???

6．已知三棱锥P ABC -，过点P 作PO ⊥平面ABC ，O 为ABC 中的一点，且

,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，则点O 为ABC 的（）

A ．垂心

B ．内心

C ．重心

D ．外心

7．设sin

a π

=，2

log

3b =23

14c ??

= ???

，则（）

A ．a c b <<

B ．b a c <<

C ．c a b <<

D ．c b a << 8．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个确定的球面上，且6BA BC ==2

ABC π

∠=

，若三棱

锥P ABC -体积的最大值为3，则其外接球的半径为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误．．的是（） A ．若,,//m n m n αβ??，则//αβ B ．若,m n m α?⊥，则n α⊥ C ．若,m n αα⊥?，则m n ⊥ D ．若//,,m n αβαβ??，则//m n 10．下列函数中，在(0,1)内是减函数的是（）

A ．||

12x y ??

= ??? B ．212

log y x = C ．121y x =+ D ．2log sin y x =

11．下列关于函数1

()2sin 26f x x π??=+

???的图像或性质的说法中，正确的为（）

A ．函数()f x 的图像关于直线83

x π

对称 B ．将函数()f x 的图像向右平移

3π个单位所得图像的函数为1

2sin 2

3y x π??=+ ???

C ．函数()f x 在区间5,33

ππ

???

上单调递增 D ．若()f x a =，则1

cos 2

32a x π??-=

???

12．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()

()f x f x x

<'，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（）

A ．()()()1212f x x f x f x +<+

B ．()()()()

2112121

x x

f x f x f x f x x x +<+ C ．()

1122(1)x x f f < D ．()()()1212f x x f x f x <

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡相应的位置上．

13．已知球O 的体积为

323

，则球O 的表面积为___________． 14．已知向量,a b 不共线，若a b λ+与2a b +平行，则λ的值为___________．

15．一般把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第21行从左至右的第4个数字应是____________．

16．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且101a <<，20201a =，则q 的取值范围为_________；能使不等式

12121110m m a a a a a a ??

????-+-+

+-≤ ? ? ????

?成立的最大正整数m =_________．（注：前一空2分，后一空

3分）

四、解答题：本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡相应题目指定方框内，并写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．

17．（本小题满分10分）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，M 是线段AB 的中点，

1160,22,2,6DAB AB CD DD C M ∠=?====．

（1）求证：1//C M 平面11A ADD ；

（2）求异面直线

CM 与1DD 所成角的余弦值． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：13a =，且对任意的n N *∈，都有1，1,n n a a +成等差数列．（1）证明数列{}1n a -等比数列；

（2）已知数列{}n b 前n 和为n S ，条件①：()1(21)n n b a n =-+，条件②：1

n n n b a +

=-，请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件．．．．．．．．．．．．．来求数列{}n b 前n 和n S ．注：若两个条件都计算了．．．．．．．．．，只按照第一个条件来评分．．．．．．．．．．．

！ 9．（本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，短轴的两个端点分别为12,B B ．且

122B B =．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且11F P FQ ⊥，求直线l 的方程． 20．（本小题满分12分）已知()cos sin 3cos 222x x x f x ??

=+ ???

，记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．

（1）求()f B 的取值范围；

（2）当43

4,a b ==

，且()f B 取（1）中的最大值时，求ABC 的面积． 21．（本小题满分12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，12,120AB AC AA BAC ==∠=?，D ，1D 分别是线段11,BC B C 的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交AB ，AC 于点M ，N ．

（1）证明：平面1A MN ⊥平面11ADD A ；

（2）求二面角1A A M N --的余弦值． 22．（本小题满分12分）已知2

1()(1)2

f x e ax b x =-

--．其中常数 2.71828e ≈??????．（1）当2,4a b ==时，求()f x 在[1,2]上的最大值；（2）若对任意0,()a f x >均有两个极值点()1212,x x x x <，（ⅰ）求实数b 的取值范围；

（ⅱ）当a e =时，证明：()()12f x f x e +>．

参考答案

一、单项选择题：1-8：BDBCDACA

二、多项选择题：9．ABD 10．ABC 11．AD 12．ABC 三、填空题

13．16π 14．

15．228 16．1q > 4039 四、解答题

17．解：（1）证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，且2AB CD =，所以//AB DC ．又由M 是AB 的中点，

因此//CD MA 且CD MA =．连接1AD ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为1111//,CD C D CD C D =，可得1111//,C D MA C D MA =，所以四边形11AMC D 为平行四边形．因此11//C M D A ，又1C M ?平面11A ADD ，

1D A ?平面11A ADD ，所以1//C M 平面11A ADD ． 5

分

（2）因为//CM DA ，所以异面直线CM 与1DD 成的角，即为 DA 与1DD 相交所成的直角或锐角，在1ADD 中

，

C M =，故

116,1,2

AD AD DD ===，由余弦定理可得：

222

11 1

cos

AD DD AD

ADD

AD DD

∠==-

，故异面直线CM和1

DD余弦值为

．10分

18．解：（1）由条件可知

n n

a a

+=，2分

即

n n

a a

=-，∴()

121

n n

a a

-=-，且

a-=4分

∴{}1

a-是以

a-=为首项，2

q=为公比的等比数列，

∴12n

a-=，∴()

a n N*

=+∈6分

（2）条件①：()1(21)(21)2n

n n

b a n n

=-+=+，

123

325272(21)2n

S n

=?+?+?+++?8分

2341

2325272(21)2n

S n+

=?+?+?+++?10分

利用错位相减法可求得()

2(21)2

s n n N

=-+∈12分

条件②：

(1)

b n

+??

==+? ?

-??

1111

234(1)

2222

n n

S n

=?+?+?+++?8分

2341

11111

234(1)

22222

n n

S n

=?+?+?+++?10分

利用错位相减法可求得()

3(3)

s n n N*

=-+∈

12分

注：若两个条件都计算了，只按照第一个条件来评分！

19．解（1）易知椭圆C的方程为

+=4分

（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为1

x=，不符合题意；

当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，

2(1)12

y k x x

y =-???+=??得()()2222214210k x k x k +-+-=，()2810k ?=+>， 6分设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22

121222214,2121

k k x x x x k k -+=?=

++， ()()1111221,,1,F P x y FQ x y =+=+，∵11

0F P FQ ?=， 8分即()()()()

()2221212121211110x x y y k x x k x x k i +++=+--+++=，得2

,77

k k =

=±． 10分故直线l 的方程为710x +-=，或710x --=． 12分 20．解：（1）2()cos

sin 3sin cos 3222222

x x x x x x f x ??=+=+ ?

?? 13(cos 1)3sin sin 2232x x x π+?

?=+=++

???

4分因为B 为三角形的内角，所以(0,)B π∈

所以4,333

B π

ππ

∈ ?

??，所以3()0,1f B ?∈+ ?

? 5分（2）3()1326

f B B B πππ

?+=?= 7分由正弦定理得：4343

3sin 1sin sin sin 22

a b A A B A =?=?=

9分若3

A π

，则2

C π

，183sin 2ABC

ab C =

= 11分若23A π=

，则6

C π

=，143sin 2ABC

S ab C =

= 12分 21．（1）证明：因为AB AC =，D 是BC 的中点，所以，BC AD ⊥．因为//MN BC ，所以M ，N 分别为AB ，AC 的中点．

所以MN AD ⊥．

因为1AA ⊥平面ABC ，MN ?平面ABC ，所以1AA MN ⊥．又因为AD ，1AA 在平面11ADD A 内，且AD 与1AA 相交，所以MN ⊥平面11ADD A ，．又MN ?平面1A MN ，所以平面1A MN ⊥平面11ADD A ； 5分

（2）设11AA =．如图，过1A 作1A E 平行于11B C ，以1A 为坐标原点，分别以1111,,A E A D A A 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -（点O 与点1A 重合）．

则1(0,0,0),(0,0,1)A A ．

因为P 为AD 的中点，所以M ，N 分别为,AB AC 的中点，

故3131,1,,122M N ???? ????

?，

所以1131,,1,(0,0,1),(3,0,0)2A M A A NM ??

===

???

． 6分设平面1AA M 的法向量为()1111,,n x y z =，

则11

11,,n A M n A A ?⊥??⊥??即11110,0,

n A M n A A ??=???=??故有()()

11111131,,,10,22,,(0,0,1)0.x y z x y z ???

?=? ???

???=?

从而1111

0,22

0.x y z z ++=??=?取11x =，则13y =- 所以1(1,3,0)n =-是平面1AA M 的一个法向量． 8分设平面1A MN 的法向量为()2222,,n x y z =，

则212,,n A M n NM ?⊥??⊥??即2120,0,

n A M n NM ??=???=??故有()()22222231,,,10,2,,3,0,0)0.

x y z x y z ???=????

???=? 从而2

222

0,22

30.x y z x ++==取22y =，则21z =-，所以2(0,2,1)n =-是平面1A MN 的一个法向量． 10分设二面角1A A M N --的平面角为θ，又θ为锐角，则1212

|(1,3,0)(0,2,1)|15

cos 25

n n n n θ?-?-=

=? 故二面角1A A M N --15

12分 22．解：（1）2

()4(1)[1,2]x

f x e x x x =---∈，()24,()20x

f x e x f x e ''=='--->

∵()f x '在[1,2]上单增，且2

(2)80f e -'=<，∴()0,()f x f x <'在[1,2]上单减，

∴max ()(1)1f x f e ==-． 3分

（2）（ⅰ）(),()x

f x e ax b f x e a =-'-='-'，()f x '在(,ln )a -∞单减，(ln ,)a +∞单增， ∵()f x 有两个极值点12,x x ，∴(ln )ln 0f a a a a b =--<'，

ln b a a a >-对任意0a >都成立，设()ln g a a a a =-，

()ln ,()g a a g a '=-在(0,1)单增，(1,)+∞单减，∴(1)1b g >=，

又∵0,,()b

a b f e x f x a -?

?-=>→+∞→+∞ ???

''，∴1b >． 7分

（ⅱ）当a e =时，()x

f x e ex b '=--，可证()f x '在(,1)-∞单减，在(1,)+∞单增，

∵12,x x 是()0f x '=两根，且12x x <．∴121,1x x >> 设()()(2),(1)h x f x f x x -'-<'=则2()2220x

h x e e

e e e -=+->-='

∴()h x 在(,1)-∞单增，()(1)0,()(2)h x h f x f x ''<=<-

∵()()()112111,21,2x x f x f x f x <-=<''-'>，又∵()f x '在(1,)+∞上单增， ∴212x x <-，即1222x x x <-<，又∵()f x 在()12,x x 上单减，()()122f x f x >-

()()()()2222

122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e -+>-+=+-+-

令22()22x x

M x e e

ex ex e -=+-+-，(1)x >

22()22,()20x x x x M x e e ex e M x e e e --=--''+-'=+≥，

()M x '在(1,)+∞单增，(1)0M '=，∴()0M x '>，故()M x 在(1,)+∞单增

又∵x ()221,(1)x M x M e >>=，

∴()()12f x f x e +> 12分