参数估计习题
第3章参数估计习题
一． 选择题
1. 当样本量一定时，置信区间的长度( ).
A. 随着显著水平α的提高而变短.
B. 随着置信水平1-α的降低而变长
C. 与置信水平α?1无关
D. 随着置信水平1-α的降低而变短
2. 置信水平α?1表达了置信区间的( ).
A. 准确性.
B. 精确性.
C. 显著性.
D. 可靠性.
3. 设12
??(,)θθ是参数θ的置信水平为1α?的区间估计，则以下结论正确的是( ). A. 参数θ落在区间(,12
)??之内的概率为1α?. θθB. 参数θ落在区间12
??(,)θθ之外的概率为α. C. 区间12
??(,)θθ包含参数θ的概率为1α?. D. 对不同的样本观测值，区间12
??(,)θθ的长度相同. 4. 通过矩估计法求出的参数估计量( ).
A. 是唯一的.
B. 是无偏估计量.
C. 不一定唯一.
D. 不唯一，但是无偏估计.
5. 下列命题错误的是( ).
A. 最大似然估计可能不唯一.
B. 最大似然估计不一定是无偏估计.
C. 最大似然估计一定存在.
D. 似然函数是样本的函数.
n x x x ,,,21 6. 设总体服从],0[θ上的均匀分布，为样本，记n X X X ,,,21 X 为样本均值，则下列统计量不是θ的矩估计量的是( ).
A. X 2
1?1=θ. B. ∑=?=n i i X X n 122)(12?θ. C. ∑==n i i X n 1
233?θ. D. X 2?4=θ. 7. 设总体的密度函数为，参???<<=?其它
o x x x P 10),(1θθθ0>θ,为样本，记n X X X ,,,21 ∑===n i k i k k X n A 1
3.2,1,1，则以下结论中错误的是( ). A. 是1A θ的矩估计量. B.
111A A ?是θ的矩估计量. C. 2212A A ?是θ的矩估计量. D. 3
313A A ?是θ的矩估计量. 8. 样本12(,,,)n X X X 取自总体X ，()E X μ=，2()D X σ=，则以下结论不成立的是( ).
A.i X ()均是μ的无偏估计.
B.1
1n
i i X X n ==∑是μ的无偏估计. C.121()是μ的无偏估计. D. 1
11n
i i X n =?∑是μ的无偏估计. 2X X +9. 样本来自总体，则总体方差的无偏估计为( ).
n X X X ,,,21 ),(2σμN 2σA. ∑=??=n i i X X n S 1221
(11. B. ∑=??=n i i X X n S 1222)(21. C. ∑=?=n i i X X n S 1223
)(1. D. ∑=?+=n i i X X n S 1224(11.
10. 容量为
的样本1X 来自总体~(1,)X B p ，其中参数01p <<，则下述结论正
确的是( ). A. 1X 是p 的无偏统计量. B. 1X 是p 的有偏统计量.
C. 21X 是2p 的无偏统计量.
D. 21X 是2
p 的有偏统计量. 11. 设1,2X X 是来自正态总体(,1)N μ的样本，则对统计量1121?332X X μ
=+，21213?44X X μ=+31211?22
X X μ=+，，以下结论中错误的是( ). A. 1?μ
，2?μ，3?μ都是μ的无偏估计量. B. 1?μ，2?μ，3?μ都是μ的一致估计量. C. 3?μ比1?μ，2?μ更有效. D. 121??()2
μμ+3?比μ更有效. 12. 现有一容量为的样本来自总体25n =X ，若2X =,()4D X =,已知标准正态分布的分布函数()x Φ的函数值：，(1.645)0.95Φ=(1.96)0.975Φ=，(1.282)0.90Φ=.则在显著水平0.05α=，()E X 的置信区间为( ).
A. .
B. .
(1.216,2.784)(1.342, 2.658)C. . D.(1.4872, 2.5128)2 1.962 1.96(2,22525
××?+ . 13. 设()是正态总体
n X X X ,,,21 2(,)X N μσ～的样本，统计量X Z =，又知(0,1)N 20.64,16n σ==，及样本均值X ，利用Z 对μ作区间估计，若已指定置信水平1α?,并查得为,则/2 1.96z α=μ的置信区间为( ). A.(,0.396)X X + . B.(0.196,0.196)X X ?+ .
C.(0.392,0.392)X X ?+ .
D.(0.784,0.784)X X ?+ .
二．填空题
14. 设θ和是总体n X X X ,,,21 的未知参数及样本，1θ和2θ是由样本确定的两个统计量，满足12()1<<=?P θθθα，则称随机区间12(,)θθ为θ的置信区间，其置信度为 ，置信水平为 . 15. 通常用的三条评选估计量的标准是__ _______.
16. 设某种元件的寿命2(,)X N μσ～,其中参数2,μσ未知,为估计平均寿命μ及方差2σ,随机抽取7只元件得寿命为(单位:小时):1575,1503,1346,1630,1575,1453,1950.则μ的矩估计为 ，2σ的矩估计为 .
17. 样本方差2
211(1n
i i S X n ==??∑)X 是总体2(,)X N μσ～中2σ的 偏估计，2*
11()n i i S X n ==?∑2X 是2σ的__ ___偏估计. 18. 设总体(,1)X N μ～，μ是未知参数，1,2X X 是样本，则1121?33
2X X μ
=+及2111?222X X μ=+都是μ的无偏估计，但 有效. 19. 1X 是总体中抽得的容量n=1的样本，当X 服从[0,]θ上均匀分布时，1X 是未知参数θ的 估计，当2(,)X N θσ～时，1X 是未知参数θ的 估计.
20. 设是取自正态总体12(,X )X (,1)～X N μ的一个样本，则易证1?X =+X 2μ
αβ,(其中1αβ+=)是μ的无偏估计量，且当α= 时?μ是μ的最小方差估计量，最小方差为 .
21. 设总体~(1,)X B p ，其中未知参数01p <<,12(,,,)n X X X 是X 的样本，则的矩估计为 p ，样本似然函数为 .
22. 设12,,,n X X X 是来自总体2(,
)X N μσ～的样本，则有关于μ及2σ的似然函数2(,)L μσ= .
23. 设（12(,,,)n X X X ）是抽自总体2
(,)X N μσ～的随机样本，,a b 为常数，且0a b <<，则随机区间22
11()()(,n
n i i i i X X b a )μμ==??∑∑的长度的数学期望为 . 24. 从某超市的货架上随机的抽得9包0.5kg 装的食糖，计算得食糖的平均重量为0.5089x =kg。从长期的实践中知道，该品牌的食糖重量服从正态分布2(,)N μσ，已知，则2σ0.01=2μ的95%的置信区间为 .(已知 )
0.025 1.96Z =25. 设A 和B 两批导线是用不同的工艺生产的，今随机地从每批导线中抽取5根测量电
阻，算得，若A 批导线的电阻服从正态分布2721.0710, 5.310A B S S ?=×=×7?211(,)N μσ，
A 批导线的电阻服从正态分布2
22(,)N μσ，则2122σσ的置信度为0.9的置信区间为 .(已知0.050.95(4,4) 6.39,(4,4)0.1565==F F )
三． 应用计算题
26. 设12,,,n X X X 是来自二项分布总体的一个样本，),(p m B 12,,,n x x x 为其样本
观测值，其中是正整数且已知，m p (10<
求未知参数p 的矩估计；（2）求未知参数的最大似然估计.
p 27.设总体X 的概率密度函数为(1),0(,)0,1x x p x θθθ?+<<=??
其他,其中θ未知， 12,,,n X X X 是来自该总体的一个样本，12,,,n x x x 为其样本观测值.（1）求未知参
数θ的矩估计值；
（2）求未知参数θ的最大似然估计值. 28.设总体X 的概率密度函数为1,2(;)0,x p x θθθθ?≤≤?=???其他
，其中0θ>，且θ未知，
求未知参数θ的最大似然估计值.
29.设12,,3X X X 是来自总体X 的样本，2
μσ和分别是总体均值和总体方差,证明下
列三个统计量
112321233123221111111???,,555623333
X X X X X X X X X μμμ=++=++=++,
都是总体均值μ的无偏估计量；并指出它们中哪个估计量最有效. 30. 假设你为某种子公司开发一种快速生长的洋葱新品种.现拟确定该品种洋葱从播种到成熟（可从外观上判断球茎发育，顶端弯曲等）所需的平均时间μ（天数）.假定从初步的研究知道，平均时间服从σ=8.3天的正态分布，抽取了67个成熟期的洋葱作为样本，且样本均值x =71.2天，试求μ置信度为95%的置信区间.
31.一个容量为的随机样本取自总体16n =X ～),(2σμN ，其中2,μσ均未知，如果样本有均值x =27.9，标准差=3.23，试求s μ的置信度为99%的置信区间.
32.如果你在食品公司就职，要求估计一标准袋薯片的平均总脂肪量（单位：克）.现分析了11袋，并得下列结果：218.2,0.562x g s g ==.如果假定总脂肪量服从正态分布，试给出总体μ和2σ和σ的90%置信区间.
33.测得16头某品种牛的体高，得到11133, 4.07x cm s cm ==；而另外一品种20头牛的体高样本平均值2131,x cm =样本标准差2 2.92s cm =，假设两个品种牛的体高都服从正态分布，试求该两品种牛体高差的95%的置信区间.
34.为检测某种激素对失眠的影响，诊所的医生给两组睡眠不规律的病人在临睡前服用不同剂量的激素，然后测量他们从服药到入睡（电脑电波确定）的时间.第一组服用的是的剂量，第二组服用的是15的剂量,样本是独立的.结果为5mg mg 221110,14.8min, 4.36min n x s ===；第二组213,10.2min n y ==，.
假定两个条件下的总体是正态分布，试求两总体方差比222, 4.66mi s =n 2212σ的90%置信区间.