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第2章电磁场的基本规律第3讲

稳恒磁场静电场

散度

d )(=?∫

S r B G G G 0

)(=??r B G K 磁通连续性原理：恒定磁场是无源场，磁感应线是无头无尾的闭合曲线。

1()d ()d S

E r S r V

ρε?=

∫

K K K

v 0

()

()r E r ρε??=

K K K 高斯定理：静电场是有源场，电力线起始于正电荷，终止于负电荷。

旋

度)

()(0r J r B G G G

K μ=×?I

S r J l r B S

C 00d )(d )(μμ=?=?∫∫G

G G G G G 安培环路定理：恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是磁场的旋涡源。

()0

E r ?×=K K

()d 0

E r l ?=∫

K K K v 环路定理：静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径无关。

电介质

磁介质

电位移矢量：

E D K K K +=0ε0r D E E

εεε==K K K

()d 0

D dS dV

E r l ρ?=?=∫∫

∫

K K K K K v v 基本方程：

()()

()0D r r E r ρ???=???×=??K K K K K 磁化强度：本构关系：本构关系：

B H M

μ=?G

G G 基本方程：

?????=??=×?0

)()

()(r B r J r H G G G G G G ??

???=??=?∫∫∫0d )(d )(d )(S S C

S r B S

r J l r H G G

G G G

G G G G 0r B H H μμμ==G G G

第二章电磁场的基本规律

第三讲

赛北412-1

郎婷婷

langtingting@https://www.wendangku.net/doc/3e18616438.html,

主要内容2.1 静电场

2.2 恒定电场

2.3 稳恒磁场

2.4 时变电磁场

2.5 电磁场的能量和能流

2.4 时变电磁场

本节内容

2.4.1 电磁感应定律

2.4.2 位移电流

2.4.3 麦克斯韦方程组

2.4.4 电磁场的边值关系

?电磁感应定律：揭示时变磁场产生电场。

?位移电流：揭示时变电场产生磁场。

?重要结论：在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一的电磁场。

2.4.1 电磁感应定律

1831年法拉第发现，当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中就会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的变化有密切关系，由此总结出了著名的法拉第电磁感应定律。负号表示感应电流产生的磁场总是阻止磁通量的变化。

in d d t

Ψε=?

1.法拉第电磁感应定律的表述

ε当通过导体回路所围面积的磁通量Ψ发生变化时，回路中产生的感应电动势的大小等于磁通量的时间变化率的负值，方向是要阻止回路中磁通量的改变，即

in ε

引入场的概念，是法拉第的最富有独创性的思想，是艾萨克·牛顿以来最重要的发现。

迈克尔·法拉第(Michael Faraday ，1791-1867)，英国著名物理学家、化学家。在化学、电化学、电磁学等领域都做出过杰出贡献。他家境贫寒，未受过系统的正规教育，但却在众多领域中作出惊人成就，堪称刻苦勤奋、探索真理、不计个人名利的典范。

∫?=S

B G G d Ψ设任意导体回路

C 围成的曲面为S ，

其单位法向矢量为，则穿过回路的磁通

为

n e G

d d d S

B S

ε=?

?∫

G G n

e G B

d l

导体回路中有感应电流，表明回路中存在感应电场，回路中的感应电动势可表示为

in E G

因而有

∫∫??=?S

C S B t l E G G G G d d d d in ∫

?=C

E G G d in in ε法拉第电磁感应定律对磁场中的任意回路都成立。

?感应电场是由变化的磁场所激发的电场。?

感应电场是有旋场。

感应电场不仅存在于导体回路中，也存在于导体回路之外的空间。

对空间中的任意回路（不一定是导体回路）C ，都有

对感应电场的讨论：∫∫??=?S C S

B t l E G G G G d d d

d in ∫∫??=?S

C S B t l E G G G G d d d d 0d c =?∫

l E G

G 若空间同时存在由电荷产生的电场,则总电场应为与

之和，即。由于，故有

E G

in E G in c E E E =+G G G c E G c E G 推广的法拉第

电磁感应定律

将上式写为微分形式

c s s

d B E dl B dS dS dt t ??=??=???∫∫∫K

K K

K K K v 设回路静止，磁通的变化由磁场随时间变化引起由斯托克斯定理()c

E dl E dS

?=?×?∫∫K K

K K v 故

0s B E dS t ?

???×+?=????

?∫K

K K 上式对任意回路所围面积都成立，故被积函数为零

B E t

??×=?

K 上式是法拉弟电磁感应定律的微分形式。

2.4.2 位移电流

在时变情况下，安培环路定理是否要发生变化？有什么变化？即

问题：随时间变化的磁场要产生电场，那么随时间变化的电场

是否会产生磁场？

静态情况下的电场基本方程在非静态时发生了变化，即0

=×?E G

)

B E ???=×?G

G 这不仅是方程形式的变化，而是一个本质的变化，其中包含了重要的物理事实，即时变磁场可以激发电场。

J H G G =×?（恒定磁场）

=×?H G )

（时变场）

而由J H G G =×?时变情况下，电荷分布随时间变化，由电流连续性方程有

)

(D t

J G G ????

?=??发生矛盾在时变的情况下不适用

解决办法：对安培环路定理进行修正

由ρ

=??D G

)(=×???=??H J G G

)(=??+??t

D J G G 0

≠???=??t

J ρG 将修正为：J H G

G =×?t

D J H ??+

=×?G

G G 矛盾解决

(

时变电场会激发磁场

位移电流密度

d t

D J ?=

?G G 电位移矢量随时间的变化率，能像电流一样产生磁场，故称“位移电流”。位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不同，它不产生热效应。

位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。

J G

全电流定律

D J H ??+

=×?G

G G ——

微分形式

t D

J l H C s G G

G G G d )(d ???+=?∫∫——

积分形式

全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。

例海水的电导率为4 S/m ，相对介电常数为81 ，求频率为1 M Hz 时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。

解：设电场随时间作正弦变化，表示为

则位移电流密度为其振幅值为

传导电流的振幅值为故

m m cos cos(2110) V /m

x x E e E t e E t ωπ==××G G G d 0r m 0r m [cos()]

sin()

x x D J e E t t t

e E t εεωωεεω??==??=?G

G G

dm 0r m J E ωεε=cm m m

4J E E σ==6123

dm 0cm 2108.851081 1.125104

r J J ωεεπσ??××××===×

例2-4 铜的电导率、相对介电常数。

设铜中的传导电流密度为。试证明：在无线

电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。7

5.810S/m σ=×r 1ε=2m cos()A/m x J e J t ω=G G

dm r 0m J E ωεε=而传导电流密度的振幅值为

m m

J E σ=通常所说的无线电频率是指f = 300 MHz 以下的频率范围，即使扩展到极高频段（f = 30～300 GHz ），从上面的关系式看出比值J dm /J m 也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。

解：铜中存在时变电磁场时，位移电流密度为位移电流密度的振幅值为12

dm r 0m m 7m m m

218.854109.58105.810J E f E f J E E ωεεπσ??×××===××d r 0r 0m r 0m [cos()]sin()

x x D E J e E t e E t t t t

εεεεωωεεω???====????G G G G G

2.4.3 麦克斯韦方程组

积分形式

d d

d()d d

S V

C S

D SρdV Q

B S

E l S

D D

H l J S I S

t t

??==

??=

?=??

?=+?=+????

∫∫

∫

∫∫

∫∫∫

G G

G G G

G G

1.穿过任意闭合曲面的电位移的通量等于该闭合曲面所包围的自由电荷

的代数和。

2.穿过任意闭合曲面的磁感应强度的通量恒等于0。

3.电场强度沿任意闭合曲线的环量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任

一曲面的磁通量变化率的负值。

4.磁场强度沿任意闭合曲线的环量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任

意曲面的传导电流和位移电流之和。

微分形式

d d =??+??=?∫∫

J V S J V S

G G G ρρ???????????=??

=?????

=×???+

=×?ρ

D B t

B E t D J H G

G G

G G 0麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场麦克斯韦第三方程表明磁场是无源场，磁感线总是闭合曲线麦克斯韦第四方程，表明电荷产生电场

静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。z 电流连续性方程可由麦氏方程导出。

=??

媒质的本构关系

E D G G ε=H B G G

μ=E J G G σ=?????????

=??=?????=×???+=×?ρεμμεσ)(0

)()()(E H H t

E E t E H G G G G G G G 代入麦克斯韦方程组中，有

/E H E t H E t H E σε

ρε

???×=+???????×=???????=?

??=??G

G G G G G

G 限定形式的麦克斯韦方程

（均匀媒质）各向同性线性媒质的本构关系为

时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激发源，相互激发。

时变电磁场的电场和磁场不

再相互独立，而是相互关

联，构成一个整体——电

磁场。电场和磁场分别是电

磁场的两个分量。

在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。

《电磁场与电磁波》(第四版)习题集：第2章电磁场的基本规律

第2章电磁场的基本规律电磁学的三大实验定律（库仑定律、安培定律和法拉第电磁感应定律）的提出，标志着人类对宏观电磁现象的认识从定性阶段到定量阶段的飞跃。以三大定律为基础，麦克斯韦提出两个基本假设（关于有旋电场的假设和关于位移电流的假设），进而归纳总结出描述宏观电磁现象的总规律——麦克斯韦方程组。本章先介绍电磁场的源量（电荷和电流），再从基本实验定律引入电磁场的场量，并讨论其散度和旋度，最后讨论媒质的电磁特性和麦克斯韦方程组。 2.1电荷守恒定律电荷周围要产生电场，电流周围要产生磁场，电荷和电流是产生电磁场的源量。 2.1.1 电荷及电荷密度自然界中存在两种电荷：正电荷和负电荷。带电体所带电量的多少称为电荷量。迄今为止能检测到的最小电荷量是质子和电子的电荷量，称为基本电荷的电量，其值为 191.60210e -=?C （库仑）。质子带正电，其电荷量为e ；电子带负电，其电荷量为-e 。任何带电体的电荷量都只能是一个基本电荷量的整数倍。也就是说，带电体上的电荷是以离散的方式分布的。在研究宏观电磁现象时，人们所观察到的是带电体上大量微观带电粒子的总体效应，而带电粒子的尺寸远小于带电体的尺寸。因此，可以认为电荷是以一定形式连续分布在带电体上，并用电荷密度来描述这种分布。 1. 电荷体密度电荷连续分布于体积V ’内，用电荷体密度()ρ'r 描述其分布。设体积元'V ?内的电荷量为q ?，则该体积内任一源点处的电荷体密度为 '0d ()lim 'd ' V q q V V ρ?→?'== ?r (2.1.1) 式中的r ’是源点的位置矢量，电荷体密度的电位为3C/m 。利用电荷体密度()'ρr 可求出体积内V ’的总电荷量 ()d 'V q V ρ'=?r (2.1.2) 2.电荷面密度电荷连续分布于厚度可以忽略的曲面'S 上，用电荷面密度(')S ρr 描述其分布。设面积元'S ?上的电荷量为q ?，则该曲面上任一源点处的电荷面密度为 '0d ()lim 'd ' S S q q S S ρ?→?'==?r (2.1.3) 电荷面密度的电位为2C/m 。面积'S 上总电荷量为 ()d 'S S q S ρ'=?r (2.1.4) 3.电荷线密度

变化电磁场的基本规律

第十章变化电磁场的基本规律一、基本要求 1. 掌握法拉第电磁感应定律。理解动生电动势及感生电动势的本质。 2. 了解自感系数和互感系数。 3. 了解磁能密度的概念。 4. 了解涡旋电场、位移电流的概念以及麦克斯韦方程组（积分形式）的物理意义，了解电磁场的物质性。二、基本概念和规律 1．基本概念包括：法拉第电磁感应定律，动生电动势，感生电动势与涡旋电场，自感，互感，磁场能量。 2．法拉第电磁感应定律 i dt d m Φ-= 该定律是电磁感应的基本规律，无论是闭合回路还是通过作辅助线形成闭合回路，只要能够求出该回路所围的面积的磁通量，就可以应用定律得到该回路中的感应电动势。自感、互感电动势也是该定律的直接结果。 3．动生电动势 i ?+-??=)() ()(b a l d B v 在磁场中运动的导线，切割磁力线，由于洛沦兹力的作用使得导线的两端出现电动势。对于均匀磁场中匀速运动的直导线的动生电动势，可以直接应用公式 θα cos sin blv =得到。其它情况要选择dl 段，先求出d dl blv θαcos sin =，然后积分得到。感应电动势的方向可以用右手叉乘所满足的规律（右手螺旋法则）得到。 4．感生电动势和涡旋电场 ??????-=?)()(L S d t l d S B E 旋变化的磁场产生电场是麦克斯韦的第一条假设，由此可以知道涡旋电场产生的机理与静电场产生的机理是完全不同的。它的性质与静电场的性质也是截然不同的。如果已知涡旋电场分布，可以通过积分求出一段导线两端的感应电动势,对于特殊的涡旋电场分布，可以通过作辅助线的方法，利用法拉第电磁感应定律求出一段导线两端的感应电动势。

第二章电磁场基本规律

第二章电磁场基本规律一选择题： 1．两点电荷所带电量大小不等，则电量大者所受作用力（） A ．更大 B ．更小 C ．与电量小者相等 D ．大小不定 5．相同场源条件下，均匀电介质中的电场强度值为真空中电场强度值的（） A ．ε倍 B ．εr 倍 C ．倍ε 1 D ．倍r 1ε 9．磁感应强度B 的单位为（） A ．特斯拉 B ．韦伯 C ．库仑 D ．安培 10．如果在磁媒介中，M 和H 的关系处处相同，则称这种磁媒质为（） A ．线性媒质 B ．均匀媒质 C ．各向同性媒质 D ．各向异性媒质 11．关于洛仑兹力的正确说法是（） A ．对运动电荷做功 B ．改变运动电荷的速度方向 C ．改变运动电荷的速度大小 D ．与运动电荷的运动方向平行 1．在静电场中，已知D 矢量，求电荷密度的公式是（） A ．ρ=?×D B ．ρ=?·D C ．ρ=?D D ．ρ=?2D 6．根据欧姆定律的微分形式，线性导体媒质中体电流密度正比于（） A ．电压 B ．电流 C ．磁场强度 D ．电场强度 9．在没有外磁场作用时，磁媒质中磁偶极矩的方向是（） A ．同一的 B ．随机的 C ．两两平行的 D ．相互垂直的 11．在电场和磁场同时存在的空间内，运动电荷受到的总电磁力为（） A ．F=q E -q v ×B B ．F=q E +q v ×B C ．F=q v ×B-q E D ．F=q v ·B+q E 1.静电场中试验电荷受到的作用力与试验电荷电量成( )关系。 A.正比 B.反比 C.平方 D.平方根 2.导体在静电平衡下，其内部电场强度( )

A.为常数 B.为零 C.不为零 D.不确定 3.真空中磁导率的数值为( ) A.4π×10-5H/m B.4π×10-6H/m C.4π×10-7H/m D.4π×10-8H/m 6.真空中介电常数的数值为( ) A.8.85×10-9F/m B.8.85×10-10F/m C.8.85×10-11F/m D.8.85×10-12F/m 7.极化强度与电场强度成正比的电介质称为( )介质。 A.均匀 B.各向同性 C.线性 D.可极化 8.均匀导电媒质的电导率不随( )变化。 A.电流密度 B.空间位置 C.时间 D.温度 9.交变电磁场中，回路感应电动势与材料的电导率( ) A.成正比 B.成反比 C.成平方关系 D.无关 12.磁感应强度与磁场强度的一般关系为( ) A.H=μB B.H=μ0B C.B=μH D.B=μ0H 14.磁场B 中运动的电荷会受到洛仑磁力F 的作用，F 与B( ) A.同向平行 B.反向平行 C.相互垂直 D.无确定关系 1．全电流定律的微分方程为（） A ．▽×H =J C B ．▽×H =J C =(或J V )+t D ?? C ．▽×H = t D ?? D ．▽×H =0 2．所谓点电荷是指可以忽略掉电荷本身的（） A ．质量 B ．重量 C ．体积 D ．面积 3．静电场中两点电荷之间的作用力与它们之间的距离（） A ．成正比 B ．平方成正比 C ．平方成反比 D ．成反比 11．一个电量为1.6×10-19C 的粒子，以83.5km/s 的初速度进入B=5mT 的磁场中，假设速度v 和B 是垂直的，则作用在此粒子上的力为（） A ．6.68×10-20N B ．6.68×10-17N

第二章宏观电磁场的基本规律

第二章宏观电磁场的基本规律内容提要： 1. 真空中的静电场库仑定律：实验得出，点电荷1q 对点电荷2q 施加的力是 123 12 021124R R q q F πε= 式中12R 是两个点电荷之间的距离，12R 是从1q 指向2q 的矢量。将1q 视为试探电荷，其上所受的力为12F ，则定义电场强度为 1 12 q F E = 根据叠加原理：点电荷系及连续分布电荷的电场分别为： ∑==N i i i i R R q E 13 04πε '41 30dq R R E ?= πε 其中'dq 为连续分布电荷的电荷元。对体、面、线电荷分别为： ??? ??=''' 'dl ds dv dq l s ρρρ 静电场的基本方程：微分方程：0=??E ερ =??E 积分方程：0=??l E εq E s =?? 因此φ-?=E

其中? ?= Q P P E 0 41πεφ 2. 真空中的恒定电流的磁场安培定律：闭合电流回路1的磁场作用在闭合回路2上的磁力是 ????=12312 121221012) (4l l R R dl dl I I F πμ 其中12R 是从线元1dl 指向2dl 的单位矢量。则电流1I 产生的磁感应强度是 ??= 30 4R R dl I B π μ 上式是毕奥–萨伐尔定律。对于连续的电流分布 ??=v R R dv B 3 0'4 τπμ 洛仑兹力：在磁场B 中，一个速度为V 的电荷q 受到的磁力是 B V q ? 如果还同时存在电场E ，则总的力是 )(B V E q ?+ 恒定磁场的基本方程：微分方程：0=??B J B 0μ=?? 积分方程：?=?s B 0 ?? ?==?s l J I B 00μμ 因此 A B ??= 其中 ?= l r dl I A π μ40 是矢势。这个线积分是对通有电流I 的回路所作的

第二章.电磁场的基本规律

第2章电磁场的基本规律
第2章电磁场的基本规律
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 习题电场守恒与电荷密度真空中静电场的基本规律真空中恒定磁场的基本规律媒质的电磁特性电磁感应定律和位移电流麦克斯韦方程组电磁场的边界条件

第2章电磁场的基本规律
2.1电荷守恒定律　
电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。源量为电荷q ( r′，t )和电流 I ( r′，t )，分别用来描述产生电磁效应的两类场源。电荷是产生电场的源，电流是产生磁场的源。
电荷
（运动）
电流磁场
电场

第2章电磁场的基本规律
点电荷：总电量为q的电荷集中在很小区域V时，当分析和计算电场的区域又距离电荷区很远，电荷可看作位于该区域中心、电量为 q 的点电荷。
z
'
r'
q
ρ (r ) = qδ (r ? r )
'
x
o
y
2.1.2 电流及电流密度电流：电荷的定向运动形成电流，用i 表示，其大小定义为：单位时间内通过某一横截面S的电荷量，即
i = lim (Δq Δt ) = dq dt
Δt → 0
单位: A （安培）电流方向: 正电荷的流动方向

第2章电磁场的基本规律
电流连续性方程：积分形式微分形式
dq d ∫S J ? dS = ? dt = ? dt ∫V ρ dV
流出闭曲面S的电流等于体积V内单位时间所减少的电荷量
?ρ ?? J = ? ?t 恒定电流的连续性方程：
?ρ =0 ?t
?? J = 0
∫
S
J ? dS = 0
恒定电流是无源场，电流线是连续的闭合曲线，既无起点也无终点

电磁场的基本规律-麦克斯韦方程组

电磁场的基本规律-麦克斯韦方程组 1．电磁学与电磁场理论电磁学：麦克斯韦方程组的积分形式。它概括了全部已有的宏观电磁现象的实验事实，给出了用积分量描述宏观电磁场的全部规律。电磁场理论：麦克斯韦方程组的微分形式。是在电磁学的基础上，进一步研究宏观电磁现象和电磁过程的基本规律及其计算方法的理论，是用数学方法描述空间任意一点、任意时刻电磁现象变化规律的理论。 2．在电气工程与电子工程中的地位电路理论和电磁场理论是电气工程与电子工程学科基础课程。电路理论：提供了计算由集总元件联接起来的网络和系统行为的方法和理论。电磁场理论：提供了解决所有电气工程与电子工程问题的根本计算方法和理论，如集总元件伏安关系的建立和难以用电路理论解决的电磁问题等。电气工程领域：能量的转换、传输、分配和利用，旋转电机、变压器、输电线路与电缆、电容器、电抗器、开关设备、互感器等。电子工程领域：信息的发送、传输、接收与转换，电波设备、天线、雷达、卫星、光纤、遥感、遥测、遥控等。其他工程领域：电磁兼容、生物电磁场、无损电磁探伤、磁悬浮、超导等。电磁场理论是理解、发展和实现一切与电磁现象与电磁效应相关技术必不可少的知识本源。 3．电磁场的基本规律-麦克斯韦方程组电磁感应定律： ?????-=?S l d t d S B l E 应用斯托克斯定理，得 ()??????-=???=?S S l d t d d S B S E l E 式中，两个面积分是对同一表面S 求积，并考虑到S 的随意性，有

t ??-=??B E 全电流定律： ?????+???+?=?S S S l d d t d d S v S D S J l H c ρ 一般而言，传导电流和云流电流不能共存同一空间，如仅考虑传导电流，上式为 ??????+?=?S S l d t d d S D S J l H c 应用斯托克斯定理，得 J H =?? 其中， t D v ??+???=+???=D v E J J J J ργc 由矢量恒等式()0≡????A ，得电流连续性方程的微分形式为 ? ? J = 0 由散度定理，其积分形式为 0S J =??S d 磁通连续性定理： 0d S =??S B 由散度定理，得 0dV d V S ??=??=?B S B 并考虑到V 的随意性，有 ? ? B = 0 高斯定理： ??=?V S dV d ρS D 由散度定理，得 ? ? D = ρ 麦克斯韦方程组的微分形式：