数学物理方程公式总结-14页文档资料
无限长弦的一般强迫振动定解问题
200(,)(,0)()
()
tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ?ψ==?=+∈>?
=??
=? 解()()().()
.0()1
11(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττ??ψξξατατ++----??=++-+
+???????
???? 三维空间的自由振动的波动方程定解问题
()22
22222220001,,,,0(,,)
(,,)t t u u
u a x y z t t x y z u x y z u x y z t ??==???????=++-∞<<+∞>? ?????????
=????=???
在球坐标变换
sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θ?θ??πθπθ=??
=≤<+∞≤≤≤≤??=?
L 21()1
()
(,)44M M
at r S S M M u M t dS dS a t r a r
?ψππ??''?=+???????????
乙 (r=at)
221()1()
(,)44M M
at at
S S M M u M t dS dS a t t a t
?ψππ??''?=+???????
????
乙无界三维空间自由振动的泊松公式
()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θ?θ??πθπθ'=+??
'=+≤≤≤≤??'=+?
L 2()sin dS at d d θθ?=
二维空间的自由振动的波动方程定解问题
()22
2222200,,,0(,)(,)t t u u
u a x y t t x y u u x y x y t ?ψ==??????=+-∞<<+∞>? ????????
??
==???
22000011(,,)22at at u x y t a t a ππθθππ?????=
+?????????
???? 傅立叶变换
1
()()2i x f x f e d λλλπ
+∞
-∞
=?
%
基本性质
[]1212[][]F f f F f F f αβαβ+=+
1212[][][]F f f F f F f *=
12121
[][][]2F f f F f F f π
=
* [][]F f i F f λ'= ()[]()[]k k F f i F f λ=
[][]d F f F ixf d λ=- 1[()]d ixf F f d λλ--= 00[()][()]i x F f x x e F f x λ--=
00[()]()i x F e f x f λλλ=-%
..1
[()][()]x F f d F f x i ξξλ
-∞
=
?
.0
.[)]1i x
i x
x F x x e
dx e
λλδδ∞
--=-∞
===?（（） ()()..[]i x i F x x e dx e λλξδ
ξδξ∞
---∞-=-=?
1[()]()F f ax f a a
λ
=
% 若[()]()F f x g λ=则 [()]2()F g x f πλ=-
[]12()F πδλ= 2
2
2
42ax a
F e e λπ-
-??
??= ?????
1cos ()
2
1sin ()
2ia ia
ia ia a e e a e e i --=
+=- cos sin cos sin ia ia e a i a e a i a -=+=-
2
x e
dx +∞
--∞
=?
拉普拉斯变换
()()sx f s f x e dx +∞
-=?%
[]Re Re ax c
L ce p a p a
=
>-
21[]L x s
=
()()i x f f x e dx λλ+∞
--∞
=?%
2
1
[]()
x L e x s ββ-?=
+ []22
sin k
L kt s k =
+
[]2
2
cos s
L kt s k ==+ []22[]2ax ax e e a
L shax L s a --==- Re Re s a >
[]22
[]2ax ax e e s
L chax L s a
-+==+ Re Re s a > 基本性质
[]1212[][]L f f L f L f αβαβ+=+ 1111212[][]L f f L f L f αβαβ---??+=+??
%%%% [()][()],0s L f x e L f x τττ--=≥
0[()](),Re()ax L e f x f s a s a σ=-->%
1[()](),(0)s
L f cx f c c c
=
>% ()12(1)[][](0)(0)(0)n n n n n L f s L f s f s f f ---'=----L
..01
[()][()]x
L f d L f x s
ττ=? [][()]n
n n d L f L x f ds
=- ..()[]p
f x f
s ds L x
∞
=?
%（） 1212[][][]L f f L f F f *=
[()]()1sx L x x e dx δδ+∞
-==?
三个格林公式 高斯公式：
设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，函数P,Q,R 在V 上具有一阶连续偏导数，则：
V S
P Q R dV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ??
???++=++ ???????????ò 或
()()()cos ,cos ,cos ,V S
P Q R dV P n x Q n y R n z dS x y z ?????++=++?? ?????????????ò
第一格林公式
设u(x,y,z),V(x,y,z)在S ?S V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：
S
V
V
u v dS u vdV u vdV ??=???+?????????r r r r ò
第二格林公式
设u(x,y,z),V(x,y,z)在S ?S V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：
()()S
V
u v v u dS u v v u dV ?-??=?-??????r r r ò
第三格林公式
设M 0，M 是V 中的点，v(M)=1/r MM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：
0000111
1
1()44MM MM MM S V u u M u dS u dV r n
n r r π
π??????
??=
--??? ? ? ? ?
????????
??
?????ò 定理1：泊松方程洛平问题
(,,),(,,)(,,),((,,),(xx yy zz S
S
S u u u u f x y z x y z V u
u x y z x y z n ?ψ?=++=∈??
??==???
连续）连续） 的解为： 011111()()()()44S V u M M M dS f M dV r n r r ψ?π
π???????
=
-- ? ???????
????????ò 推论1：拉氏方程洛平问题
0,(,,)(,,),((,,),(xx yy zz S
S S u u u u x y z V u
u x y z x y z n ?ψ?=++=∈??
??==???
连续）连续）
的解为： 01
11()()()4S u M M M dS r n r ψ?π
?????=- ???????
???ò 调和函数
1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1) 在V S U 具有二阶连续偏导数；(2) 0u ?= 称u 为V 上的调和函数。
2、调和函数的性质。
性质1 设 u(x,y,z) 是区域 V 上的调和函数，则有 0S
u
dS n
?=???
ò
推论2：拉氏牛曼问题（牛曼问题解不稳定没有得到公式解）
0xx yy zz S u u u u u n
?
?=++=??
??=???有解的充分必要条件是：0S dS ?=??ò 性质2 设u(x,y,z) 是区域V 上的调和函数，则有 :
0111()4S u u M u dS r n n r π
????
??=
- ????????
???ò 性质3 : 设u(x,y,z)是区域V 上的调和函数，则在球心的值等于它在球面上的算术平均值，即:
02
1
()()4R
S u M u M dS R π=
??ò 其中S R
是以M 0
为球心,R 为半径的球面
三维空间中狄氏问题格林函数 泊松方程狄氏问题为：
(,,),(,,)(,,),(xx yy zz S
S
u u u u f x y z x y z V u x y z ??=++=∈???
=??连续） 0000(,)()(,)(,)S V
G M M u u M G M M u dS G M M fdV n n ???
?=--???????????ò其中：001(,)(,,)4MM G M M v x y z r π=- 如果G(M,M 0)满足：0(,)0S G M M = 则可得泊松方程狄氏解定理 定理：泊松方程狄氏解为：
000(,)()()(,)()S V
G M M u M M dS G M M f M dV n ???
?=--??????????ò 其中G(M,M 0)满足：
0000(,)()
,(,)0S S G M M M M M M V G M M δ?=--??∈?=??L
00
MM 1G(M,M )=4r π 推论：拉氏方程狄氏解为：
00(,)()()S G M M u M M dS n ????=-????
???ò 平面中的三个格林公式 首先证明一个定理：
设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，且f(x,y)在D 上有二阶连续偏导数，n 为曲线的外法线方向，则：
2222D L
f f f
dxdy ds x y n ?????+= ?????
????? (1) 第一格林公式
设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，且u(x,y),v(x,y)在D 上有二阶连续偏导数，n 为曲线的外法线方向，则：
()D
L
v
u v u v dxdy u
ds n
???+?=????r r
g ? (2) 第二格林公式
()()l
D
u v v u dS u v v u dxdy ?-?=?-????r r r g ?
(3) 第三格林公式
设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，且u(x,y)在D 上有二阶连续偏导数，n 为曲线的外法线方向，令： 0
11
(,)ln
2MM v x y r π=
0001111
1
1
()ln
ln ln 222MM MM L
D
u u M u dS ud r n n r r σπππ??????=?--??? ? ?????????
?
??i 定理：平面泊松方程洛平问题
(,),(,)(,),(,)L L u f x y x y D
u u x y x y n ?ψ?=∈??
??
==???
的解为： 0001111
1
1
()ln ln ln
(,)222MM MM L
D
u M dS f x y d r n r r
ψ
?σπππ?????=--?? ? ????????
?
??i 推论：平面拉氏方程洛平问题
0,(,)(,),(,)L
L u x y D u u x y x y n ?ψ?=∈??
??
==???
的解为： 0001111
()ln ln 22MM MM L
u M dS r n r ψ
?ππ??
???=-?? ? ????????
?
i 定理：平面泊松方程狄氏问题的解为：
0()(,)L
D
G
u M dS Gf x y d n ?
σ?=--????i 推论：平面拉氏方程狄氏解为：
0()L
G u M dS n ?
?=-??i
平面狄氏格林函数
0000(,)()
,(,)0S L G M M M M M M D G M M δ?=--??∈?
=??
L 00MM 1G(M,M )=lnr 2π 特殊区域上狄氏问题格林函数 1．球形域内狄氏问题格林函数
00222200(,)()
(,)(,)0
S G M M M M x y z R M V G M M δ?=--??++≤∈?
=??L 格林函数为：
00011111(,)44R G M M r r r r r ππ=---r r r r r 其中： 20
100
r R r r r =r
r g r r
球域内狄式问题的解
()00022
00322200(,)()()(,)()1()(,)()42cos S V
S V G M M u M M dS G M M f M dV n R r M dS G M M f M dV R
R r Rr ??πγ??
?=--???????-??
=+????+-??
??????????g òò 其中：
()
22
032
22
00142cos S
S
R r G
G n
r
R
R r Rr πγ-??==-
??+-g
球域上狄氏问题的解的球坐标表达式
sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θ?θ??πθπθ=??
=≤<+∞≤≤≤≤??=?
L 所以：()()
()22
22
20033
222
222
00001(),,sin 442cos 2cos S R r R r R M dS R d d R R r Rr R
r Rr ππ
??θ?θθ?ππγγ??--??
=????+-+-??
????
g ò
2．上半空间狄氏问题的Green 函数
()0000,,,(0)
z G x x y y z z z G δ=?=---->???
=??
012(,)G M M u u =+????
01000
3
3311
44MM MM z z z z z G G n z r r ππ??-+??=-=-=-????????
所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为：
()()()000..0
03
..2222
000(,)()(,),1(,,)(,)2S V V
G M M u M dS G M M fdV n x y z dxdy f x y z G M M dxdydz
x x y y z ??π
+∞+∞
-∞
-∞
???=--?????=-??-+-+??
???????
???ò
上半空间拉氏方程狄氏问题的解为：
()()()().
.0
0003
..2222
000,1,,2x y z u x y z dxdy x x y y z ?π
+∞+∞
-∞
-∞
=
??-+-+??
??
3．上半平面狄氏问题的Green 函数
01
01111
(,)22MM MM G M M Ln Ln
r r ππ=- G G
n y
??=-?? 0
22
0011
[2()L y y G n
y x x y ππ=??=-
-=-
??-+
上半平面上泊松方程狄氏解
022
00
1
()(,)()
(,)()L
D
D
y G u M dS Gf x y d x dx Gf x y d n x x y ?
σ?σπ+∞
-∞
?=--=-?-+????
??i 上半平面上拉氏方程狄氏解
022
00
1
()()
()y u M x dx x x y ?π
+∞
-∞
=
-+?
4．圆域上泊松与拉氏方程狄氏解的GREEN 函数
0222
0(,),()0
L G M M M M D x y R G δ?=-??∈+≤?
=?? 101000111111(,)ln ln ln ln 2222MM M M MM M M r R G M M r r r r ππππ=-=- 圆域上泊松与拉氏方程狄氏解
02
2
22
00()()
(,)1
()
(,)22cos L
D
L
D G
u M dS Gf x y d n R r dS Gf x y d R R Rr r ?θσ?θσ
πγ?=--?-=--+??????i i
5．第一象限上狄氏问题的Green 函数
0123
02222
00002222
000011111111(,)ln ln ln ln 2222()()()()1ln 4()()()()MM MM MM MM G M M r r r r x x y y x x y y x x y y x x y y πππππ=
--+????++--++????=????-+-+++????
三种典型方程的基本解问题
1． 泊松方程的基本解
方程(,,)u x y z δ?=-的解称为泊松方程(,,)u f x y z ?=-的基本解。 三维空间泊松方程的基本解1,04U r r
π=
≠
平面泊松方程基本解为：11
ln ,02U r r
π=
≠ 特解应该为基本解与函数f 的卷积 2．热传导方程柯西问题基本解
定解问题：20,(,0)()t xx t u a u x R t u x δ==∈>???=??的解，称为2
,(,0)
()t xx t u a u x R t u x ?==∈>???=??定解问题的基本解。
2
2x -
定解为基本解与初始函数()x ?的卷积 3．热传导方程混合问题基本解
定解问题2
00()()(0,)(,)0(,0)0xx u a u x x t t t u t u l t u x δδ??=+--???==??=?
?
的解称为20(,),(0,0)(0,)0,(,)00
t xx t u a u f x t x l t u t u l t u =?=+<<>?
==??=?定解问题的基
本解
22202
()
0001
2(,;,)sin
sin n a t t L n n x n x
U x t x t e
l l l
πππ∞-
-==∑ 定解与基本解的关系为00000000(,)(,;,)(,)t
L
u x t U x t x t f x t dx dt =?? 4．波动方程柯西问题基本解
定解问题22
002()(),(,0)
(,0)0,(,0)0
xx t u a u x x t t x t t u x u x δδ??=+---∞<<+∞>????==?的解
称为22
2(,),(,,,0)(,0)0,(,0)0
xx t u a u f x t x y z t t u x u x ??=+-∞<<+∞>????==?
定解问题的基本解
基本解为：0000
121(,;,)sin ()sin sin n n a n a n x
U x t x t t t x a n l l l
ππππ+∞==-∑ 定解与基本解的关系为：00000000(,)(,;,)(,)t L
u x t U x t x t f x t dx dt =?? 贝塞尔函数
222
()()()()0
()0,(0)P P n P P R P ρρρρλρρ'''?++-=??
=<+∞
?? 》 222()()()()0r F r rF r r n F r '''++-=
&()r F r P == 》 2
222
2()0d y dy x x x n y dx dx ++-= 2120
()(1),(0)2!(1)n m
m
n m m x y x n m n m +∞
+==-≥Γ++∑
220
()(1)2!(1)n m
m
n n m m x J x m n m +∞
+==-Γ++∑ 正、负n 阶第一类贝塞尔函数
()10
(r)=0r x x e dx r ∞
--Γ>?
2
01()2y e dy ∞-Γ==?
()()1n n n Γ+=Γ
()1!
n n Γ+=()cos ()
()sin n n
J x J x Y x Lim
ααααπαπ
-→-= 第二类Bessel 函数
Bessel 函数的母函数
1()2(,)()x z n z
n
n G x z e
J
x z ∞
-=-∞
==
∑
当x 为实数时可得
cos 01
()2()cos ix n n n e
J x i J x n θ
θ∞
==+∑
021
cos(cos )()2(1)()cos 2m m m x J x J x m θθ∞
==+-∑
Bessel 函数的积分表达式 1
()21.1()2x n n C e
J x d i ζζ
ζπζ
-+=
? 当n 为整数时： ..1
()cos(sin ),(0,1,2,)2n J x x n d n π
πθθθπ
-
=
-=±±?L
贝塞尔函数的递推公式
11()()n
n n n x J x x J x -'??=??、 12()()n n n n x J x x J x --+'??=-??
、 112
3()()()n n n J x J x nJ x x
-++=
、 114()()2()n n n J x J x J x -+'-=、 10
()()J x J x -'= n 阶整数阶贝塞尔函数有：()(1)()cos ()n n n n J x J x n J x π-=-=
12
()J x x =
12
()J x x
-=贝塞尔函数的正交性
贝塞尔函数系 ()
1n m
n J r R
μ+∞
????????
???????
()
()22()22()
110,()
11()(),()22
n n R
m k n n n n n m n m m k rJ r J r dr R R
R J R J m k μμμμ-+≠??????
?=? ? ?==???????
定义：定积分：2
()
n R
m n rJ r dr R μ?? ????称为贝塞尔函数()n m n J r R μ??
???
的模。 2、贝塞尔级数展开定理
定理：设(),()f r f r '在区间[0,R]上至多有有限个跳跃间断点，则f(x)在(0,R)连续点
处的贝塞尔级数收敛与该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的平均值
()1()n m
m n m f r A J r R
μ+∞
=??=
???∑ 其中 ()()
2
02()11
()2
n R m m n n n m A rf r J r dr R R J μμ+??
= ???
? 勒让德方程
考虑球域内拉氏方程定解问题()22222210,1(,,)xx yy zz x y z u u u x y z u f x y z ++=?++=++
?=??
在球坐标系下2222222
1
111sin 0sin sin (,),(01,0,02)r u u u
r r r r r r u f r θθθθθ?θ?θπ?π=??????????++=? ? ????????????=≤<≤≤≤≤?
勒让德方程 2222cot (1)0sin d d m n n d d θθθθ??
ΘΘ+++-Θ=???
?
令cos x θ=，()y θΘ= 取m=0时得 22
2(1)2(1)0d y dy
x x n n y dx dx
--++=
勒让德多项式
当n 为正偶数时2
210(22)!(1)2!()!(2)!n
m
n m
n
m n m y x m n m n m -=-=---∑ 当n 为正奇数时12
220
(22)!
(1)2!()!(2)!
n m
n m n
m n m y x m n m n m --=-=---∑ n 次第一类勒让德多项式 20
(22)!()(1)2!()!(2)!
2M
m
n m
n n m n m n P x x
M m n m n m -=-??=-=??
--??
∑0()1P x = 1()P x x =
221
()(31)2P x x =
- 331
()(53)2P x x x =-
4241
()(35303)8P x x x =-+
5351
()(637015)8
P x x x x =-+
(1)1n P =
(1)(1)n
n P -=-勒让德多项式的罗得利克公式 21()(1)2!n n
n n n
d P x x n dx =-
勒让德多项式的积分表达式 21
!(1)()22()n
n n n C n P z d i z ξξπξ+-=
-? 勒让德多项式的母函数
(,)(),1,1n n n G x z P x z z x +∞
==
=<≤∑
勒让德多项式的递推公式(重点) （n=1,2,3….. ）
111,(21)()()(1)()n n n n xP x nP x n P x -++-=+ 12,()()()n n n P x xP x nP x -''=- 113,()()()n n n P x xP x nP x --''=+
(1)1n P = (1)(1)n
n P -=-
n ()()(1)()n ()n n
n n n P x P x P x P x ?-=-?
?为奇数
奇函数为偶数
偶函数
勒让德多项式正交性定理
()1
10,,,0,1,2...()()2,(,0,1,2....)21
m n
m n m n P x P x dx m n n n -≠=??
=?==?
+?? 勒让德多项式展开定理：若 ()[1,1]f x C '∈-且：f ‘’(x)在[-1,1]上分段连续，则在[-1,1]上可以展开为绝对且一致收敛的级数：
()()n n n f x C P x +∞
==∑ 其中 1
121()()2n n n C f x P x dx -+=? 牛顿二项式展开式
2(1)
(1)(1)
(1)12!
!
n n x x x x n ααααααα---++=++
++
+L L L
泰勒级数
211
1(,)2!!
x n e x x x x n =++
+++∈-∞+∞L L
213511sin (1)(,)3!5!(21)!
n n
x x x x x x n +∴=-+-+-+∈-∞+∞+L L
22411cos 1(1)2!4!(2)!
n n x x x x n ∴=-+-+-+L L 231
1(1)(1,1)1n n x x x x x =-+-++-+-+L L
231
11x x x x
=++++-L
231113(23)!!1(1)[1,1]224246(2)!!
n n n x x x x n ?-=+
-+++-+-???L L
23113135(21)!!1(1)[1,1]
224246(2)!!n n
n x x x x n ???-=-+-++-+-???L L
246
131351224246x x x ???=++++???L 23111ln(1)(1)
23n
n x x x x x n -+=-+-+-+L L 21
352011arctan (1)13521
n x
n dx x x x x x x n +==-+-+-+++?L L 111
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希望以上资料对你有所帮助，附励志名3条：
1、积金遗于子孙，子孙未必能守；积书于子孙，子孙未必能读。不如积阴德于冥冥之中，此乃万世传家之宝训也。
2、积德为产业，强胜于美宅良田。
3、能付出爱心就是福，能消除烦恼就是慧。
数学物理方程小结85856
数学物理方程小结 第七章 数学物理定解问题 数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。 §7.1数学物理方程的导出 一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在数学上为忽略高级小量.）第三 然后再把物理量u 随时间，空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。 （一） 三类典型的数学物理方程 （1）波动方程： 0 :),(:),(:22222222==??-??=?-??→f 当无外力时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于各类波动问题。（特别是微小振动情况.） （2）输运方程： 0 :).(:),(:2222==??-??=?-??→f 无外源时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于热传导问题、扩散问题。
（3）Laplace 方程： . 0(:0 :).程时泊松方程退化拉氏方f f u 泊松方程u 拉氏方程t r ==?=?→ 稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u 在电荷密度为零处也满足Laplace 方程 。 §7.2定解条件 定解条件包含初始条件与边界条件。 （1） 初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数 的次数。例如波动方程应有二个初始条件, 一般 选初始位移u （x,o ）和初始速度u t （x,0）。而输 运方程只有一个初始条件选为初始分布u （x,o ）, 而Laplace 方程没有初始条件。 （2） 三类边界条件 第一类边界条件： u( r ,t)|Σ = f （1） 第二类边界条件： u n |Σ = f （2） 第三类边界条件： ( u+Hu n )|Σ= f （3） 其中H 为常数. 7.3 二阶线性偏微分方程分类 判别式 , ,0,,0,,0221121222112122211212抛物型a a a 椭圆型a a a 双曲型a a a =-=?<-=?>-=? 波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的.
高中数学圆的方程典型例题总结归纳(极力推荐)
高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2 = ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(2 2 ． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例5 已知圆42 2 =+y x O ：，求过点()42， P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42， P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d = ∴ 21422 =++-k k 解得4 3 = k
初中物理公式大全
想要学好初中物理，熟记物理公式是前提。下面是初中物理公式大全，包括初中物理力学公式、热学公式、电学公式以及一些常用的物理量： 力学部分 一、速度公式 火车过桥（洞）时通过的路程s＝L桥＋L车 声音在空气中的传播速度为340m/s 光在空气中的传播速度为3×108m/s 二、密度公式 (ρ水＝1.0×103 kg/ m3) 冰与水之间状态发生变化时m水＝m冰ρ水＞ρ冰v水＜v冰 同一个容器装满不同的液体时，不同液体的体积相等，密度大的质量大 空心球空心部分体积V空＝V总－V实 三、重力公式 G＝mg (通常g取10N/kg，题目未交待时g取9.8N/kg) 同一物体G月＝1/6G地m月＝m地 四、杠杆平衡条件公式 F1l1＝F2l2 F1 /F2＝l2/l1
五、动滑轮公式 不计绳重和摩擦时F＝1/2(G动＋G物)s＝2h 六、滑轮组公式 不计绳重和摩擦时F＝1/n(G动＋G物)s＝nh 七、压强公式（普适） P＝F/S固体平放时F＝G＝mg S的国际主单位是m2 1m2 ＝102dm2 ＝106mm2 八、液体压强公式P＝ρgh 液体压力公式F＝PS＝ρghS 规则物体（正方体、长方体、圆柱体）公式通用 九、浮力公式 （1）F浮＝F’－F (压力差法) （2）F浮＝G－F (视重法) （3）F浮＝G (漂浮、悬浮法) （4）阿基米德原理：F浮=G排＝ρ液gV排（排水法）十、功的公式
W＝FS把物体举高时W＝GhW＝Pt 十一、功率公式 P＝W/tP＝W/t=Fs/t=Fv（v＝P/F） 十二、有用功公式 举高W有＝Gh水平W有＝FsW有＝W总－W额 十三、总功公式 W总＝FS(S＝nh)W总＝W有/ηW总＝W有＋W额W总＝P总t 十四、机械效率公式 η＝W有/W总η＝P有/ P总 （在滑轮组中η＝G/Fn） （1）η＝G/ nF(竖直方向) （2）η＝G/(G＋G动) (竖直方向不计摩擦) （3）η＝f / nF (水平方向) 热学部分 十五、热学公式 C水＝4.2×103J/(Kg·℃) 1.吸热：Q吸＝Cm(t－t0)＝CmΔt
数学物理方法学习心得
竭诚为您提供优质文档/双击可除数学物理方法学习心得 篇一：数学物理方程的感想 数学物理方程的感想 通过对数学物理方程一学期的学习，我深深的感受到数学的伟大与博大精深。 当应用数学发展到一定高度时，就会变得越来越难懂，越来越抽象，没有多少实际的例子来说明；物理正好也要利用数学来进行解释和公式推导，所以就出现了数学物理方法。刚开始到结束这门课程都成了我的一大问题。很难理解它的真正意义（含义），做题不致从何入手，学起来越来越费劲。让我很是绞尽脑汁。 后来由于老师耐心的指导与帮助下我开始有了点理解。用数学物理方法来解释一些物理现象，列出微分方程，当然这些微分方程是以物理的理论列出来的，如果不借助于物理方法，数学也没有什么好办法来用于教学和实践，而物理的理论也借助于数学方法来列出方程，解出未知的参数。这就是数学物理方法的根本实质所在。真正要学好数学物理方程
不仅要数学好物理也不能够太差。 接下来我想先对数学物理方程做一个简单的介绍与解 释说明。数学物理方程——描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式 特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的 数学描述都是偏微分方程，例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程人们对偏微分方程的研究，从微分学产生后不久就开始了。例如，18世纪初期及对弦线的横向振动研究，其后，对热传导理论的研究，以及和对流体力学、对位函数的研究，都获得相应的数学物理方程信其有效的解法。到19世纪中叶，进一步从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分的一般理论，如方程的分类、特征理论等，这便是经典的偏微分方程理论的范畴。 然而到了20世纪随着科学技术的不断发展，在科学实践中提出了数学物理方程的新问题，电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。又因为数学的其他分支（如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等）也有了迅速发 展，为深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而，20世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的发展，这些发展呈如下特点和趋势：
高中数学圆的方程含圆系典型题型归纳总结
高中数学圆的方程典型题型归纳总结 类型一：巧用圆系求圆的过程 在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种： ⑴以为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线与圆的交点的圆系方程 ⑶过两圆和圆的交 点的圆系方程 此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。 当时，得到两圆公共弦所在直线方程 例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。 分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。 解：过直线与圆的交点的圆系方程为： ，即 ………………….① 依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得 又满足方程①，则故 例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解：圆和的公共弦方程为 ，即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ，即 依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则 代回圆系方程得所求圆方程
例3:求证：m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过一定点P ，并求P 点坐标。 分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。 解：由原方程得 m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，① 即???-==?? ?=-+=-+4y 9 x 0 5y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4） 注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。 例4已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）. （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1， 即l 恒过定点A （3，1）. ∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－ 2 1 ， ∴l 的方程为2x －y －5=0. 评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？ 思考讨论 类型二：直线与圆的位置关系 例5、若直线m x y +=与曲线2 4x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围. 解：∵曲线24x y -= 表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范 围是22<≤-m 或22=m . 变式练习：1.若直线y=x+k 与曲线x= 2 1y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________. 解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k=－2 例6 圆9)3()3(2 2=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(2 2 =-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?= d ． 如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意． 又123=-=-d r ． ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设 所求直线为043=++m y x ，则14 3112 2 =++= m d ， ∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即 06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：． 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O ： 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34 36 34332 2 1=+-?+?= d ，14 316 34332 2 2=+-?+?= d ． ∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解： ∵m ∈R ，∴ 得
数学物理方程有感
书本个人总结： 由于物理学，力学和工程技术等方面的许多问题都可以归结为偏微分方程的定解问题，而在数学物理方程这门课上，我们的主要任务便是求解这些定解问题，也就是说在已经列出的方程与定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解。 而我们的常用的解决偏微分方程的方法的统一思路是将一个偏微分方程的求解设法转化成一个常微分方程问题的求解。 而我们在学习过程中接触到的常用方法有：分离变量法，行波法，积分变换法和拉普拉斯方程的格林函数法 第二章： 本章主要介绍了分离变量法，介绍了有界弦的自由振动，有限长杆上的热传导，圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题等泛定方程和边界条件都是齐次的偏微分方程的求解，还介绍了非齐次方程的解法，非齐次边界条件的处理等等。 A ． 其中泛定方程和边界条件都是齐次的偏微分方程的求解步骤，取有界弦的自由振动的方程求解作为例子，定解问题为： 第一步：分离变量 目标：分离变量形式的非零解)()(),(t T x X t x u = 结果：函数)(x X 满足的常微分方程和边界条件以及)(t T 满足的常微分方程 条件：偏微分方程和边界条件都是齐次的 第二步：求解本征值问题 利用0)()(''=+x X x X λ和边界条件0)0(=X 和0)(=l X 求出本征值和本函数： 本征值： 本征函数： 第三步：求特解，并叠加出一般解 ? ??????====<<>??=??) ()0,(),()0,(,0),(),0(0 ,0 ,22222x x u x x u t L u t u L x t x u a t u t ψ?0 )(2 )(''=+t T a t T λ ,3,2,1 2)(==n l n n πλx l n πsin (x)X n =x l n at l n D at l n C t x u n n n πππsin )cos sin (),(1∑∞ =+=
初中物理所有公式总结
1. 电功(W)：电流所做的功叫电功， 2. 电功的单位：国际单位：焦耳。常用单位有：度(千瓦时)，1度=1千瓦时= 3.6×106焦耳。 3. 测量电功的工具：电能表(电度表) 4. 电功计算公式：W=UIt(式中单位W→焦(J);U→伏(V);I→安 (A);t→秒)。 5. 利用W=UIt计算电功时注意：①式中的W.U.I和t是在同一段电路;②计算时单位要统一;③已知任意的三个量都可以求出第四个量。 6. 计算电功还可用以下公式：W=I2Rt ;W=Pt;W=UQ(Q是电量); 7. 电功率(P)：电流在单位时间内做的功。单位有：瓦特(国际);常用单位有：千瓦 8. 计算电功率公式： (式中单位P→瓦(w);W→焦;t→秒;U→伏(V); I→安(A) 9. 利用计算时单位要统一，①如果W用焦、t用秒，则P的单位是瓦;②如果W用千瓦时、t用小时，则P的单位是千瓦。 10.计算电功率还可用右公式：P=I2R和P=U2/R 11.额定电压(U0)：用电器正常工作的电压。 12.额定功率(P0)：用电器在额定电压下的功率。 13.实际电压(U)：实际加在用电器两端的电压。 14.实际功率(P)：用电器在实际电压下的功率。 当U > U0时，则P > P0 ;灯很亮，易烧坏。当U < U0时，则P < P0 ;灯很暗，当U = U0时，则P = P0 ;正常发光。 (同一个电阻或灯炮，接在不同的电压下使用，则有 ;如：当实际电压是额定电压的一半时，则实际功率就是额定功率的1/4。例220V100W是表示额定电压是220伏，额定功率是100瓦的灯泡如果接在110伏的电路中，则实际功率是25瓦。) 15.焦耳定律：电流通过导体产生的热量跟电流的二次方成正比，跟导体的电阻成正比，跟通电时间成正比。 16.焦耳定律公式：Q=I2Rt ，(式中单位Q→焦; I→安(A);R→欧
数学物理方程小结
数学物理方程小结 第七章 数学物理定解问题 数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。 §7.1数学物理方程的导出 一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在数学上为忽略高级小量.）第三 然后再把物理量u 随时间，空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。 （一） 三类典型的数学物理方程 （1）波动方程： 0 :) ,(:) ,(:22 2222 22==??-??=?-??→f 当无外力时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于各类波动问题。（特别是微小振动情况.） （2）输运方程： 0 :).(:) ,(:2 2 2 2 ==??-??=?-??→f 无外源时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于热传导问题、扩散问题。
（3）Laplace 方程： . 0(:0 :) .程时泊松方程退化拉氏方f f u 泊松方程u 拉氏方程t r ==?=?→ 稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u 在电荷密度为零处也满足Laplace 方程 。 §7.2定解条件 定解条件包含初始条件与边界条件。 （1） 初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。 例如波动方程应有二个初始条件, 一般选初始位移u （x,o ）和初始速度u t （x,0）。而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u （x,o ）,而Laplace 方程没有初始条件。 （2） 三类边界条件 第一类边界条件： u( r ,t)|Σ = f （1） 第二类边界条件： u n |Σ = f （2） 第三类边界条件： ( u+Hu n )|Σ= f （3） 其中H 为常数. 7.3 二阶线性偏微分方程分类 判别式 , ,0,,0, ,022112 1222112 12 22112 12抛物型a a a 椭圆型a a a 双曲型a a a =-=?<-=?>-=? 波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的.
圆的方程知识点总结和典型例题
圆的方程知识点总结和经典例题 1．圆的定义及方程 注意点 (1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程． (2)对于方程x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2 ＋E 2 －4F ＞0这一条件． 2．点与圆的位置关系 点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2 ＋(y －b )2 ＝r 2 的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2 ＋(y 0－b )2 ＞r 2 . (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2 ＋(y 0－b )2 ＝r 2 . (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2 ＋(y 0－b )2 ＜r 2 . 3．直线与圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系的判断方法 设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2 ＋B 2 ≠0)， 圆：(x －a )2 ＋(y －b )2 ＝r 2(r >0)， d 为圆心(a ，b )到直线l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的 判别式为Δ.
相离 d >r Δ<0 2．代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． （2）过一点的圆的切线方程的求法 1．当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程． 2．若点在圆外时，过这点的切线有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在． （3）求弦长常用的三种方法 1．利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系r 2 ＝d 2 ＋? ?? ? ?l 22 解题． 2．利用交点坐标 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． 3．利用弦长公式 设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆的两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2 [ x 1＋x 2 2 －4x 1x 2]. 4. 圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法 设圆O 1：(x －a 1)2 ＋(y －b 1)2 ＝r 2 1(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2 ＋(y －b 2)2 ＝r 2 2(r 2>0)． 方法位置关系 几何法：圆心距d 与r 1，r 2 的关系 代数法：两圆方程联立组成方 程组的解的情况
数学物理方程总结
数学物理方程总结 Revised by Jack on December 14,2020
浙江理工大学数学系 第一章：偏微分方程的基本概念 偏微分方程的一般形式：221 1 (,,, ,,,)0n u u u F x u x x x ???=??? 其中12(,,...,)n x x x x =是自变量，12()(,,...,)n u x u x x x =是未知函数 偏微分方程的分类：线性PDE 和非线性PDE ，其中非线性PDE 又分为半线性PDE ，拟线性PDE 和完全非线性PDE 。 二阶线性PDE 的分类（两个自变量情形）： 2221112222220u u u u u a a a a b cu x x y y x y ?????+++++=?????? （一般形式 记为 PDE （1）） 目的：可以通过自变量的非奇异变换来化简方程的主部，从而据此分类 (,) (,)x y x y ξξηη=?? =? 非奇异 0x y x y ξξηη≠ 根据复合求导公式最终可得到： 22211122222 20u u u u u A A A A B Cu ξξηηξη ?????+++++=??????其中： 考虑22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=????如果能找到两个相互独立的解 那么就做变换(,) (,)x y x y ξφηψ=??=? 从而有11220A A == 在这里要用到下面两个引理： 引理1：假设(,)z x y φ=是方程22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=???? (1)的特解，则关系式(,)x y C φ=是常微分方程：22111222()2()0a dy a dxdy a dx -+= （2）的一般积分。 主
圆知识点总结及归纳
第一讲圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. （2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：
(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的圆； ②当D 2 ＋E 2 －4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解， 因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为 1 ，没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． 2>r 2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2 方法一： 方法二： （四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4内切 5内含 （五）圆的参数方程 （六）温馨提示 1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是： （1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0. 理工大学数学系 第一章：偏微分方程的基本概念 偏微分方程的一般形式：2211 (,,,,,,)0n u u u F x u x x x ???=???L L 其中12(,,...,)n x x x x =是自变量，12()(,,...,)n u x u x x x =是未知函数 偏微分方程的分类：线性PDE 和非线性PDE ，其中非线性PDE 又分为半线性PDE ，拟线 性PDE 和完全非线性PDE 。 二阶线性PDE 的分类（两个自变量情形）： 2221112222220u u u u u a a a a b cu x x y y x y ?????+++++=?????? （一般形式 记为 PDE （1）） 目的：可以通过自变量的非奇异变换来化简方程的主部，从而据此分类 (,) (,)x y x y ξξηη=?? =? 非奇异 0x y x y ξξηη≠ 根据复合求导公式最终可得到： 22211122222 20u u u u u A A A A B Cu ξξηηξη ?????+++++=??????其中： 22111112221211 122222221112 22()2()()()2()A a a a x x y y A a a a x x x y x y y y A a a a x x y y ξξξξξηξηηξξη ηηηη ?????=++???????????????=+++?????????? ?????=++?????? 考虑22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=????如果能找到两个相互独立的解 (,)z x y φ= (,)z x y ψ= 那么就做变换(,) (,)x y x y ξφηψ=?? =? 从而有11220A A == 在这里要用到下面两个引理： 引理1：假设(,)z x y φ=是方程22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=???? (1)的特解，则关主部 直线和圆的方程知识 点总结 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 3. ⑴两条直线平行： 1l 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=?l . ⑵两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=?⊥k k l l 4. 直线的交角： 5. 过两直线? ??=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内） 6. 点到直线的距离： ⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A C By Ax d +++= . 注： 1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=. 2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段1212 PP PP PP λλ=u u u r u u u r 所成的比为即,其中P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).则 λλλλ++=++=1,121 21y y y x x x 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。 3. 直线的倾斜角（0°≤α＜180°）、斜率:αtan =k 4. 过两点1212222111),(),,(x x y y k y x P y x P --=的直线的斜率公式：. 12()x x ≠ 初中物理公式汇总 速度公式： t s v = 公式变形：求路程——vt s = 求时间——t=s/v 重力与质量的关系： G = mg 密度公式： V m = ρ 浮力公式： F 浮= G 物 – F 示 F 浮= G 排=m 排g F 浮=ρ液gV 排 F 浮= G 物 压强公式：P=F/S （固体） 液体压强公式： p =ρgh 物理量 单位 p ——压强 Pa 或 N/m 2 ρ——液体密度 kg/m 3 h ——深度 m g=9.8N/kg ，粗略计算时取g=10N/kg 面积单位换算： 1 cm 2 =10--4m 2 1 mm 2 =10--6m 2 注意：S 是受力面积，指有受到压力作用的那部分面积 注意：深度是指液体内部某一点到自由液面的竖直距离； 单位换算：1kg=103 g 1g/cm 3=1×103kg/m 3 1m 3=106cm 3 1L=1dm 3=10-3m 3 物理量 单位 p ——压强 Pa 或 N/m 2 F ——压力 N S ——受力面积 m 2 物理量 单位 F 浮——浮力 N G 物——物体的重力 N 提示：[当物体处于漂浮或悬浮时] 物理量 单位 v ——速度 m/s km/h s ——路程 m km t ——时间 s h 单位换算： 1 m=10dm=102cm=103mm 1h=60min=3600 s ； 1min=60s 物理量 单位 G ——重力 N m ——质量 kg g ——重力与质量的比值 g=9.8N/kg ；粗略计算时取 物理量 单位 ρ——密度 kg/m 3 g/cm 3 m ——质量 kg g V ——体积 m 3 cm 3 物理量 单位 F 浮——浮力 N ρ ——密度 kg/m 3 V 排——物体排开的液体的体积 m 3 g=9.8N/kg ，粗略计算时取g=10N/kg G 排——物体排开的液体 受到的重力 N m 排——物体排开的液体 的质量 kg 数学物理方程学习总结 四年前匡老师作为我的高数老师走进我的大学生活，如今作为一名研究生，很荣幸又能跟着匡老师学习数学。我本科主修土木工程专业，现在学的是岩石力学专业，主要是跟着导师从事一些关于应力波的研究，所以数学物理方程这门课成了我的必修课。 数学物理方程研究的主要对象是从物理学中提出来的一些偏微分方程。这些方程中的自变量和函数有着鲜明的物理意义，有些问题的解可以通过实验给出，这给偏微分方程的研究指明了方向，同时由于物理学上的需求，就诞生了专门研究有物理意义的偏微分方程的解法。 本学期数学物理方程起初学习了拉普拉斯和傅立叶变换概念、性质以及卷积定理，了解其在微分方程求解中的应用，并着重介绍了Γ函数和β函数的性质以及其两者的关系。然后介绍了三大经典方程的建立和定解条件（泊松方程与拉普拉斯方程都是描述恒稳场状态，与初始状态无关，所以不提初始条件）的提出和表示。第四章和第五章分别详细的讲了分离变量法、行波法和积分变换法在求解经典方程中的应用，主要针对求解热传导方程和波动方程。三种方法有时候可以通用但有时候还是有区别，分离变量法主要用来求解有限区域内定解问题；行波法是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法；积分变换法主要是求解一个无界域上不受方程类型限制的方法。第六章主要讲述用格林函数法求解拉普拉斯方程，伊始提出两种拉普拉斯方程的边值问题（狄氏内问题、狄氏外问题、牛曼内问题、牛曼外问题），然后介绍几种格林函数的取得，最后简介求解狄氏问题。最后三章分别介绍几个特殊类型的常微分方程（贝塞尔方程和勒让德方程）的引入和他们性质和求解。数学物理方程概括起来就是使用四种方法求解三种经典方程，介绍求解过程中产生的两种特殊函数的一门学科。 作为数理方程的学习者，本人觉得它确实是一门比较难的课程，真正的难点却并不是只有数理方程课程本身，而是对以前高等数学学过的知识的理解与记忆的加深。所以，我觉得想学好这门课程，不仅要把时间放在对相关内容的巩固、复习上，还得多做课本上的例题、习题。 圆的方程题型总结 一、基础知识 1．圆的方程 圆的标准方程为___________________；圆心_________，半径________. 圆的一般方程为___________ _________ ____；圆心________ ，半径__________. 二元二次方程2 2 0Ax Cy Dx Ey F 表示圆的条件为： (1)_______ _______； (2) _______ __ . 2.直线和圆的位置关系： 直线0Ax By C ++=，圆2 2 2 ()()x a y b r -+-=，圆心到直线的距离为d. 则：（1）d=_________________； （2）当______________时，直线与圆相离； 当______________时，直线与圆相切； 当______________时，直线与圆相交； （3）弦长公式：____________________. 3. 两圆的位置关系 圆1C :2 2 21 1 1x a y b r ； 圆2C :2 2 22 2 2x a y b r 则有：两圆相离? _____________________； 两圆外切 ?______________________； 两圆相交?______________________； 两圆内切?_____________________； 两圆内含?_____________________. 二、题型总结： （一）圆的方程 1. ★2 2 310x y x y ++--=的圆心坐标 ，半径 . 2．★★点(1,2-a a )在圆x 2+y 2－2y －4=0的内部，则a 的取值范围是（ ） A ．－1所表示的曲线关于直线y x =对称，必有（ ） A ．E F = B ．D F = C ． D E = D ．,,D E F 两两不相等 4．★★★圆03222 2 2 =++-++a a ay ax y x 的圆心在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5. ★若直线34120x y 与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB 为直径的圆的方程是 （ ） A. 2 2430x y x y B. 22430x y x y C. 2 2 434 0x y x y D. 2 2 438 0x y x y 6. ★★过圆2 2 4x y +=外一点()4,2P 作圆的两条切线,切点为,A B ,则ABP ?的外接圆方程是（ ） A. 42x y --2 2 ()+()=4 B. 2x y -2 2 +()=4 C. 42x y ++2 2 ()+()=5 D. 21x y -+2 2 ()+()=5 7. ★过点1,1A ,1,1B 且圆心在直线20x y 上的圆的方程（ ） A. 2 2 3 14x y B.2 2 3 1 4x y C. 22 1 1 1x y D. 2 2 1 1 1x y 8．★★圆2 2 2690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是 （ ） A ．2 2 (7)(1)1x y +++= B ．2 2 (7)(2)1x y +++= C ． 2 2 (6)(2)1x y +++= D ．2 2 (6)(2)1x y ++-= 初中物理公式大全速度：V（m/S）v=S：路程/t：时间? 重力G（N）G=m g（m：质量；g：k g或者10N/k g）密度：ρ（k g/m3）ρ=m/v（m：质量；V：体积）合力：F合（N）方向相同：F合=F1+F2；方向相反：F合=F1—F2方向相反时,F1>F2? 浮力：F浮(N)F浮=G物—F拉（G视：物体在液体的重力）浮力：F浮(N)F浮=G物（此公式只适用物体漂浮或悬浮）浮力：F浮(N)F浮=G排=m排g=ρ液gV排（G排：排开液体的重力；m排：排开液体的质量；ρ液：液体的密度；V排：排开液体的体积(即浸入液体中的体积)）杠杆的平衡条件：F1L1=F2L2（F1：动力；L1：动力臂；F2：阻力；L2：阻力臂）定滑轮：F=G物S=h（F：绳子自由端受到的拉力；G物：物体的重力；S：绳子自由端移动的距离；h：物体升高的距离）动滑轮：F=（G物+G轮)/2S=2h（G物：物体的重力；G轮：动滑轮的重力）滑轮组：F=（G物+G轮）S=n h（n：通过动滑轮绳子的段数）机械功：W（J）W=F s（F：力；s：在力的方向上移动的距离）有用功：W有=G物h? 总功：W总W总=F s适用滑轮组竖直放置时? 机械效率:η=W有/W总×100%? 功率:P（w）P=w/t(W：功;t：时间) 压强p（P a）P=F/s(F：压力;S：受力面积）液体压强：p（Pa）P=ρgh（ρ：液体的密度；h：深度【从液面到所求点的竖直距离】）热量：Q（J）Q=c m△t（c：物质的比热容；m：质量；△t：温度的变化值）燃料燃烧放出的热量：Q（J）Q=m q（m：质量；q：热值）? 常用的物理公式与重要知识点? 串联电路电流I（A）I=I1=I2=……电流处处相等? 串联电路电压U（V）U=U1+U2+……串联电路起分压作用? 串联电路电阻R（Ω）R=R1+R2+……? 并联电路电流I（A）I=I1+I2+……干路电流等于各支路电流之和（分流）? 并联电路电压U（V）U=U1=U2=……? 并联电路电阻R（Ω）1/R=1/R1+1/R2+……? 欧姆定律：I=U/I? 电路中的电流与电压成正比,与电阻成反比? 电流定义式I=Q/t（Q：电荷量（库仑）；t：时间（S）） 第一讲 圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2 展开并整理得x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0， 取D ＝－2a ，E ＝－2b ，F ＝a 2＋b 2－r 2，得x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. （2）将圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0通过配方后得到的方程为： (x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心，1 2D 2＋E 2－4F 为半径的圆； ②当D 2 ＋E 2 －4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2 ，－ E 2 )；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为1 ，没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． （二）点与圆的位置关系 （1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2 无限长弦的一般强迫振动定解问题 200(,)(,0)() () tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ?ψ==?=+∈>? =?? =? 解()()().() .0()1 11(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττ??ψξξατατ++----??=++-+ +??????? ???? 三维空间的自由振动的波动方程定解问题 ()22 22222220001,,,,0(,,) (,,)t t u u u a x y z t t x y z u x y z u x y z t ??==???????=++-∞<<+∞>? ????????? =????=??? 在球坐标变换 sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θ?θ??πθπθ=?? =≤<+∞≤≤≤≤??=? L 21()1 () (,)44M M at r S S M M u M t dS dS a t r a r ?ψππ??''?=+??????????? 乙 (r=at) 221()1() (,)44M M at at S S M M u M t dS dS a t t a t ?ψππ??''?=+??????? ???? 乙无界三维空间自由振动的泊松公式 ()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θ?θ??πθπθ'=+?? '=+≤≤≤≤??'=+? L 2()sin dS at d d θθ?= 二维空间的自由振动的波动方程定解问题 ()22 2222200,,,0(,)(,)t t u u u a x y t t x y u u x y x y t ?ψ==??????=+-∞<<+∞>? ???????? ?? ==??? 22000011(,,)22at at u x y t a t a ππθθππ?????= +????????? ???? 傅立叶变换数学物理方程总结材料
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