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三角函数

常用的三角函数有6种(正弦，余弦，正切，余切，正割，余割).还有另外一些不常用的，有正矢、余矢、外正割、外余割、半正矢、半余矢等.比如：

外余割就是余割的倒数；正矢：versin α=1-cos α，vercosin α=1+cos α；余矢：coversin α=1-sin α，covercosin α=1+sin α等.

初中的三角函数都使用角度制.通用的是弧

度制.弧度制的单位是弧度rad.360°=2π

rad;60°=π/3 rad.

弧度制就是将角度用构成这个角度的单位

圆上的弧长来表示的方法.

正弦与余弦的图像呈现单纯的波形，正因为

正弦与余弦的这种波形的特质，它们也被用来研

究一些波的问题.

要改变y=asinbx 的振幅，就要改变系数a ，

改变波长，就要改变b ，a 越大，振幅越大；b 越大，波长越短.

任何波都能够用“单纯的波”叠加起来表示.为了解析复杂的波是如何用单纯波叠加起来的，目前人们都使用一种叫做“傅里叶变换”的方法.

那么接下来就要介绍三角函数的微分.

微分是由牛顿，与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨发明的.正弦函数的斜率变化使用余弦函数来表示的.求微分即求某点的切线的斜率.

以y=sinx 为例，该函数在x 从0~π/2变化时是递增的，斜率是减小的，在π/2处斜率为0；在π/2~3π/2时是递减的，斜率继续减小后增加，在3π/2处斜率也为0.如果把这些切线的斜率变化在新的坐标图上画出来，就是y=cosx.

也就是说，对正弦函数求微分，得到的就是余弦函数.微分

用d 表示，d(sinx)=cosx.对余弦函数求微分，得到，

d(cosx)=-sinx.

接下来，我们就通过用计算的方法求三角函数的微分.再次

以y=sinx 为例，假如在这上面有一点A(x,sinx)，那么首先在

沿x 轴正方向，找一个与A 相距h 的B 点，B 点的坐标可求，

为(x+h,sin(x+h)）.那么，连接A ，B 两点的直线，斜率就可以

这样表示：

sin x +? ?sinx ?

直线AB 不是点A 的切线.但如果B 点沿着函数图像靠近A

点的话，直线AB 就接近A 点的切线，如果h 无限接近于0，

也就是说，B 点无限接近于A 点，直线AB 的斜率K ，就会与A

点的切线的斜率无限接近.所以，此处我们就引入极限的概念，点A 切线的斜率可以表示为：

K =lim ?→0sin (x +?)?sin x 这也就是导数的概念。也就是说，对于y=sinx 上A 点求其切线的斜率，就是求其导数，用(sinx)'表示. (sin x )′=lim ?→0sin (x +?)?sin x ?

将sin(x+h)用和角公式展开，sin(x+h)=sinxcosh+cosxsinh 。代入刚刚那个式子:

lim ?→0sin x+??sinx

=lim

?→0

sinx·cos?+cosx·sin??sinx

=lim

?→0

sinx cos??1+cosx·sin?

将这个式子分为两个式子相加，并且把不含△x的sinx和cosx提出到极限符号的前面，就变成了：

(sin x)′=sinx·lim

?→0cos??1

+cosx·lim

?→0

sin?

该极限可求：对于极限：

lim ?→0sin??

先建立一个不等式，当0＜h＜π/2时有：

sin?＜?＜tan?以sinh除各项可得：

1＜?

＜1或者cos?＜sin?＜1

根据两倍角余弦公式：

0＜1??

＜1?cos?=2sin2?≤2?

由于：

lim ?→00=0且lim

?→0

根据夹逼准则，有：

lim ?→01?

sin?

=0即lim

?→0

sin?

对于极限：

lim

?→0

cos??1可进行如下变形：

lim ?→0cos??1

=lim

?→0

cos??1(cos?+1)

?(cos?+1)

=lim

?→0

?sin2?

?(cos?+1)

=lim

?→0

sin?

?sin?

=lim

?→0

sin?

·lim

?→0

?sin?

=1×0=0

代入上式，得：

(sin x)′=sinx·lim

?→0cos??1

+cosx·lim

?→0

sin?

=sinx×0+cosx×1=cosx

接下来是三角函数的积分.既然已经有了微分和导数，积分将十分简单.积分就是微分和导数的逆运算.

但是，因为(sinx+1)'=cosx，而(sinx+4)'=cosx，sinx加上任意常数，对其求导，最后求得都是cosx.括号中的，谓之cosx的原函数，那么cosx的所有原函数，谓之cosx的不定

积分.如果常数用C表示，积分符号是∫，则：∫cosxdx=sinx+C.

不定积分并没有定下范围，也就不可求从何到何的面积（积分其实就是在

求面积），所以是“不定”的.

那么定积分就是指限定一个范围内对于这个函数求面积。比如说，如果是

这样一个式子，积分号上端是π/2，下端是0，也就是求f(x)=sinx 在区间[0，π/2]的面积，也就是求f(x)=sinx 在区间[0，π/2]的面积。根据牛顿-莱布尼茨公式，可得：

sinxdx = ?cos π ? cos 0 =1π2

根据函数的图像可知，当积分上限是π，积分下限是π/2时亦是如此.如果规定坐

标轴上端的区域面积是正的，坐标轴下端的面积是负的，那么，y=sinx 从在[0,2π]

区间内的积分是0；由y=cosx 的图像可知，这个答案也是0.

接下来是三角函数的正交性.所谓正交性，就是指一个函数

中完全不包括另一个函数的成分.如何来判断“包含”这个“成

分”到什么程度，众所周知的方法是对两个函数的成绩求积分.

如果积分的结果为0，说明两个函数正交.

三角函数的周期是2k π，一个周期是2π，积分上限取2π，

积分下限取π.可根据函数的图像.图左图，是y=sin 2x 的图像.由图像，得：

sin 2xdx =2π0

π?0=π≠0

所以，y=sinx 与y=sinx 不正交.

如右图，是y=cosx ·sinx 的图像.据此可求：

cosxsinxdx =2π

所以，y=cosx 与y=sinx 正交.

再如左图，是y=2cos3x·sinx 的图像.由此求得：

2cos 3x ·sinxdx =02π

所以，y=2cos3x 与y=sinx 正交.

如右图，是y=3sin2x·sinx 的图像.由此求得：

3sin 2x ·sinxdx =02π

所以，y=3sin2x 与y=sinx 正交.

由此，我们可以归纳出正弦与余弦函数的正交性：

sinnx ·cosmx m =n →0

m ≠n →02π

0 sinnx ·sinmx m =n →πm ≠n →02π0 cosnx ·cosmx 2π0

m =n →π

m ≠n →0 三角函数除了和自身以外的任何正弦与余弦函数相乘后求积分，结果一定为0，也就是说，三角函数之间都是正交的.那么，为什么在函数和函数的关系中要使用“正交性”这个词

呢？看看矢量的情况就容易理解了.

如图一，a 与b 以60°相交；图二中，c 与b 以90°相交，三个向量的值都是

2.在两个图中，分别过A 点和C 点向b 上作投影，可以得到投影的长度为：

l = a cos∠A (C )OB

图一中，这个值为1，也就是说a 含有 a 的一半的b 的成分；图二中，该值

为0.图二中，因为投影的长度为0，也就是说c 完全不含有b

的成分。这时称两个向量正交

向量(矢量)的定义是用箭头表示的具有大小和方向的量，于此相对的，只有大小而无方向的量叫做数量(标量).引入内积的概念来描述两个向量的关系.

如果两个向量的夹角是α，a的长度是a，b的长度是b，那么两者的内积表述如下：

a·b=a b cosα

图一中，内积为2；图二中，内积为0. 如果内积的计算结果是0，也就是α=90°时，这两个向量之间互相没有包含的成分，即无关.也就是说，两个向量内积为0时，两个向量是正交的.将各个向量的x成分和y成分分别相乘之后相加，亦可求得内积值.

如果将此概念拓展，衍伸到函数的正交性，就相当于“函数的内积”，即将函数的各成分分别相乘之后进行积分.由此，亦能得到，当两个函数的“内积”为0时，两个函数无关，亦称两个函数正交.

三角函数恒等变换(整理)

高考数学（文）难题专项训练：三角函数及三角恒等变换 1.已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心，且θ=∠A 若 AO m AC B C AB C B 2sin cos sin cos =+则=m （） A ．θsin B. θcos C. θtan D. 不能确定 2.设函数)(x f 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意)(D M M x ?∈，有 D l x ∈+，且)()(x f l x f ≥+，则称)(x f 为M 上的高调函数. 现给出下列命题： ①函数x x f -=2 )(为R 上的1高调函数； ②函数x x f 2sin )(=为R 上的高调函数； ③如果定义域为),1[+∞-的函数2 )(x x f =为),1[+∞-上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是),2[+∞； ④函数)12lg()(+-=x x f 为),1[+∞上的2高调函数. 其中真命题的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3. 已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<

4. 在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且c b a b 2sin 2sin log log ,22<>， bc a c b 3222+=+,若0

由三角函数图象求解析式

已知函数()f x =Acos(x ω?+)的图象如图所示，2 ()2 3 f π =- ，则(0)f =（）（A ）23- (B) 23 (C)－ 12 (D) 1 2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2π 3，于是【解析】选B.由图象可得最小正周期为f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称，所以 f(2π3)＝－f(π2)＝2 3. 如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π?? ??? ，0中心对称，那么||?的最小值为（）（A ）6π （B ）4π （C ）3π (D) 2 π w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】选A. 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π?? ??? ，0中心对称w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4232k ππφπ∴? +=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6π φ=. 已知函数y=sin （ωx+?）（ω>0, -π≤?<π）的图像如图所示，则 ?=________________ 【解析】由图可知， ()544,,2,1255T x πωπ??? = ∴=+ ??? 把代入y=sin 有： 89,510ππ???? +∴= ??? 1=sin 已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712 f π ?? = ??? 。

【解析】由图象知最小正周期T ＝32（445ππ-）＝ 32π＝ωπ2，故ω＝3，又x ＝4 π时，f （x ）＝0，即2φπ +? 4 3sin(）＝0，可得4 π φ= ，所以，712f π ?? = ? ?? 2)41273sin(ππ+?＝0。）已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02 A π ω?>><< ）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2 π ，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-. (Ⅰ)求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[ ,]122 x ππ ∈，求()f x 的值域. 【解析】（1）由最低点为2(,2)3 M π -得A=2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2 π ，即T π=，222T ππωπ=== 由点2(,2)3M π-在图像上得242sin(2)2,)133ππ ???+=-+=-即sin( 故42,32k k Z ππ?π+=-∈ 1126 k π?π∴=- 又(0, ),,()2sin(2)266f x x π ππ ??∈∴= =+故（2）7[,],2[,]122636x x πππππ ∈∴+∈ 当26x π+=2π，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当7266 x ππ+= 即2 x π =时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]把函数y ＝cos(3x ＋4 π )的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是( )

高中数学必备知识点正弦与余弦定理和公式

三角函数正弦与余弦的学习，在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试正弦和余弦的相关题目一般不会很难，是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分，那是为什么呢？首先，我们要了解下正弦定理的应用领域在解三角形中，有以下的应用领域：（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦正弦定理在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径）其次，余弦的应用领域余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论： a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R（R为外接圆半径）（4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA （5）a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1．在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值为 2．已知α为锐角，且，则α的度数是（） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在△ABC中，若，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是（） A．75° B．90° C．105° D．120° 4．若∠A为锐角，且，则A=（） A．15° B．30° C．45° D．60° 5.在△ABC中，AB＝AC＝2，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝，E是AC中点， EF⊥BC，垂足为F，求sin∠EBF的值。

三角函数正弦定理和余弦定理

(文）已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =， (sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- . (1)若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c = 2，角ΔABC 的面积 . 答案：证明：（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v Q 即22a b a b R R ? =? ，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a b =. ABC ∴?为等腰三角形（2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v 即 a b ab ∴+= 由余弦定理可知， 2 2 2 4()3a b ab a b ab =+-=+- 2()340ab ab --=即4(1)ab ab ∴==-舍去. 11 sin 4sin 223 S ab C π ∴==??= 来源：09年高考上海卷题型：解答题，难度：中档

(文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。（Ⅱ）求)4 2sin(π - A 的值。答案：（1）解：在ABC ? 中，根据正弦定理， A BC C AB sin sin = ，于是522sin sin ===BC A BC C AB （2）解：在ABC ? 中，根据余弦定理，得AC AB BC AC AB A ?-+=2cos 2 22 于是A A 2cos 1sin -== 5 5，从而5 3sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-== =A A A A A A 10 2 4 sin 2cos 4 cos 2sin )4 2sin(= -=- π π π A A A 来源：09年高考江西卷题型：解答题，难度：容易在⊿ABC 中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且

三角函数知识点公式定理记忆口诀1

三角函数知识点公式定理记忆口诀 2008-9-2 14:12:26 三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用； 1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集。【文字：大小】口口之和仍口口赛赛之和赛口留口口之差负赛赛赛赛之差口赛收

高中数学三角函数公式定理口诀三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集

三角函数与三角变形

三角函数与三角变形一. 本周教学内容：专题复习“三角函数与三角变形” 二. 重点与难点： 1. 三角函数的图象与性质； 2. 同角三角函数的差不多关系式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和积互化公式等三角公式的应用。三. 要点综述： 1. 三角函数是一类重要的初等函数，因其在复数（如复数的三角形式）解析几何（如直线的倾斜角，参数方程，极坐标），立体几何（如两条异面直线成角，直线与平面的成角，二面角）中有着广泛的应用，因此对三角函数与三角变形要有足够的认识。 2. 三角函数的周期性，以及y=sinx ，y=cosx 的有界性是试题经常考查的重要内容。要把握形如y=Asin(ωx+?)或y=Acos(ωx+?)的函数的周期的求法；灵活应用y=sinx ，y=cosx 的有界性研究某些类型的三角函数的最值（或值域）问题。 3. 三角恒等式的证明因其技巧性较强，一度成为数学的难点，近些年的高考试题对这类题目的考查在减少，要求有所降低，但我们应该充分重视三角变形，因为其中表达了对三角公式的运用能力，专门表达了事物之间互相联系，互相转化的辩证思想。 4. 基于上述几点理由，建议同学们在复习这部分内容时，做到“立足课本，落实三基；重视基础，抓好常规”即复习时以中低档题目为主，注意求值化简题以及求取值范畴的习题，另外，注意充分利用单位圆，三角函数图象研究问题。【典型例题分析与解答】例1. 已知，且，则的值为 sin cos cos sin θθπθπ θθ?= <<-1842 分析：联想与的关系式：cos sin sin cos (cos sin )sin cos θθθθθθθθ±±=±2 12 可知，欲求的值，不妨先求的值，另外，应注意到，当 cos sin (cos sin )θθθθ--2π θπ θθθθ4 2 0<< >-<时，，故sin cos cos sin 解：(cos sin )sin cos θθθθ-=-=-?=2 12121834 而 π θπ 42 << ∴-

特殊角的三角函数值的巧记

特殊角的三角函数值的巧记特殊角的三角函数值在计算，求值，解直角三角形和今后的学习中，常常会用到，所以一定要熟记．要在理解的基础上，采用巧妙的方法加强记忆．这里关键的问题还是要明白和掌握这些三角函数值是怎样求出的，既便遗忘了，自己也能推算出来，切莫死记硬背．那么怎样才能更好地记熟它们呢？下面介绍几种方法，供同学们借鉴。 1、“三角板”记法根据含有特殊角的直角三角形的知识，利用你手里的一套三角板，就可以帮助你记住30°、45°、60°角的三角函数值．我们不妨称这种方法为“三角板”记法．首先，如图所标明的那样，先把手中一套三角板的构造特点弄明白，记清它们的边角是什么关系．对左边第一块三角板，要抓住在直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半的特点，再应用勾股定理．可以知道在这个直角三角形中30°角的对边、邻边、斜边的比是掌握了这个比例关系，就可以依定义求出30°、60°角的任意一个锐角三角函数值，如：001sin 30,cos302== 求60°角的三角函数值，还应抓住60°角是30°角的余角这一特点．在右边那块三角板中，应注意在直角三角形中，若有一锐角为45°，则此三角形是等腰直角三角形，且两直角边与斜边的比是1∶1 住：00sin 45cos 452 == ，00tan 45cot 451==。这种方法形象、直观、简单、易记，同时巩固了三角函数的定义．二、列表法：

说明：正弦值随角度变化，即0? →30?→45? →60? →90?变化；值从 0→2 1 →22→23→1变化，其余类似记忆．三、口诀记忆法口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉．如tan60°= =tan45°1=．这种方法有趣、简单、易记．四、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sinA ＜sinB ；tanA ＜tanB ；cosA ＞cosB ；cotA ＞cotB ；特别地：若0°＜α＜45°，则sinA ＜cosA ；tanA ＜cotA ；若45°＜A ＜90°，则sinA ＞cosA ；tanA ＞cotA ．例1.tan30°的值等于（）

三角函数恒等变换练习题与答案详解

两角和与差的正弦、余弦、正切 1. 利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换;2?利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2?灵活使用（正用、逆用、变形用）两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键? 知识点回顾 1 ?两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos( a—0)= cos acos0+ sin ocsin0(C a- 0 cos( a+ 0)= cos. acos _ 0— sin__ asin_ 0(C a+ 0 sin( a—0 = sin a cos0- cos ocsin (S a—0 sin( a+ 0 = sin a cos0+ cos ocsin0(S a+ 0 tan a—tan 卩 tan( a—? ；(T a—0 1 + tan atan 卩 tan a+ tan 卩 tan(%+ ? = (T a + 0 1 —tan %tan 0 2 ?二倍角公式 sin 2 a= 2sin ： cos：； cos 2 a= cos2a—sin2a= 2cos 2a—1 = 1 —2sin2a； 2ta n a tan 2 a= . 1 —tan a 3 ?在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等?如 T a±0可变形为 tan a± tan 0= tan( a± 0(1? tan_ %tan_ 0, tan a+ tan 0 tan a—tan 0 tan %tan 0= 1 —= —1. tan a+ 0 tan a—0 4 ? 函数f( a= a cos a+ b sin a(a, b 为常数),可以化为f( a = \i a2+ b2sin( a+ 0)或f( %)='：：：［a2+

三角函数之正余弦定理

教师寄语：天才=1％的灵感+99％的血汗 1 戴氏教育中高考名校冲刺教育中心【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用！！！】主管签字：________ §3.6 正弦定理和余弦定理一、考点、热点回顾 2014会这样考 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．复习备考要这样做 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．基础知识.自主学习 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r . 4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数一解两解一解一解