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高中物理运动学讲义

高中物理运动学讲义
高中物理运动学讲义

经典力学研究的宏观物体的低速运动,通常分为运动学和动力学。运动学只描述物体的运动,不涉及引起运动和改变运动的原因;动力学则研究物体的运动与物体间相互作用(即力)的内在联系。

在物理学中,为了突出研究对象的主要性质,暂不考虑一些次要的因素,经常引入一些理想化的模型来代替实际的物体。“质点”就是一个理想化的模型。在经典力学研究中,物体的形状和大小是千差万别的。对有些场合(如落体受到空气的阻力问题),物体的形状和大小是重要的;但在很多问题中,这些差别对物体运动的影响不大,若不涉及物体的转动和形变,我们可暂不考虑它们的形状和大小,把它们当作一个具有质量的点(即质点)来处理。

1运动学

1.1运动的相对性

物体的运动总是相对于另一些选定的参考物体而言。所参照的物体,称为参考系。为了把物体在各个时刻相对于参考系的位置定量地表示出来,还需要在参考系上选择适当的坐标系。最常用的坐标系是直角坐标系。坐标系实质上是由实物构成的参考系的数学抽象,在讨论运动的一般性问题时,人们往往给出坐标系而不必具体地指明它所参照的物体。

1.2直线运动

1.2.1速度

物体(质点)轨迹是直线的运动,称为直线运动。直线运动可以用一维坐标描述。如下图所示,取O为坐标原点,物体在任一时刻t所经历的位置可用函数s (t)来描述。

速度是描述物体运动快慢的物理量。平均速度的定义:

)/(00s m t

S t t S S V ??=--= 当Δt 趋近零时,即为瞬时速度:

)/(lim 0s m dt

ds t s V t =??=→ 亦即,在数学上瞬时速度是s (t )的一阶导数。若以s 为纵坐标,t 为横坐标,则S(t)可用图1-7中的曲线AB 表示。时间间隔△t 内的平均速度即为割线AB 的斜率,t0的瞬时速度则为曲线过A 点切线AT 的斜率tan α.用瞬时速度来描述变速运动,就可以精确地反映出它在各个时刻的运动状态。

质点作变速运动时,各时刻的瞬时速度互不相同。用数学的术语说,瞬时速度v (t )也是时间的函数。若以v 为纵坐标,t 为横坐标,则变速运动可用图1-8中的曲线AB 来表示。

物体运动所经过的距离s-s 0可用图1-8中速度曲线AB 下的面积来表示,即:

?=-t

V V Vdt S S 0

1.2.2 加速度

加速度是描述物体运动速度变化快慢的物理量,平均加速度的定义如下: )/(200s m t V t t V V a t ??=--=

当Δt 趋近零时,即为瞬时加速度:

)/(lim 2220s m dt

s d dt dV t V a t ==??=→ 1.2.3 匀速直线运动

瞬时速度恒定不变的一维运动即为匀速直线运动,其加速度恒为零。匀速直线运动的a-t 图为值为零的水平线,V-t 图为值为定值的水平线,S-t 图为倾斜向上的直线。匀速直线运动的图像可总结为零、平、斜。

1.2.4 匀变速直线运动

加速度恒定不变的一维运动即为匀变速直线运动。当a>0即为均加速直线运动,当a<0即为均减速直线运动。匀变速直线运动的重要公式如下:

)1(01ΛΛat V V +=

)2(212001ΛΛat t V S S ++=

)

3(2)(2012021ΛΛS a S S a V V ?=-=-

)4(201ΛΛV V V += 式中为t0初速度和t1时刻的末速度,S 0、S 1为初末物体运动的位置。式3是式1、2联立消去变量t 得到的。式4表明在匀变速直线运动中,平均速度为初末时刻瞬时速度的算术平均值。所有匀变速直线运动的问题都可以利用这4个关系

式解决。

自由落体运动是加速度为g 的匀变速直线运动,涉及自由落体运动的问题同样可以利用这4个关系式解决。

匀变速直线运动的a-t 图为定值的水平线,V-t 图为值为定值的倾斜向上(a>0)或倾斜向下(a<0)的斜线,S-t 图为的二次抛物线。匀变速直线运动的图像可总结为平、斜、抛。

例1:一物体作匀加速直线运动,走过一段距离Δs 所用的时间为Δt1,紧接着走过下一段距离Δs 所用的时间为Δt2。试证明物体的加速度为2

121212t t t t t t s a ?+??-?????= 证:设初速度为V 0,走过第一段Δs 的瞬时速度为V 1,走过第二段Δs 的瞬时速度为V 2。则第一段Δs 的平均速度为:

)1(t1

S 2V V ,1201011ΛΛ????=+==+即t S V V V 同理第二段Δs 的平均速度为:

)2(t2S 2V V ,2212122ΛΛ????=+==+即t S V V V

(2)-(1)并整理可的())3(21212t1S 222V -V 02ΛΛt t t t S t S ???-??=??-??=

对两段Δs 有:21212123,21V -V a 02t t t t t t S a t t ?+??-?????=?+?=式代入即得将

例2:由距离地面15m 处以初速度10m/s 向上竖直抛出一小球,忽略空气阻力的影响,重力加速度取10m/s 2。(1)求小球上升最高点距离地面的高度;(2)求小球落地的时间。

(1) 小球上升到最高点的瞬时速度为零,设其上升最高点距离抛出位置的距离为 Δs ,则有:

m X g V S g V 5102102S 22

2020

===???=

故小球上升最高点距离地面的高度为20m

(2) 建立以地面为坐标零点,垂直于地面为x 轴,向上为正方向的坐标系,则小球的初速度V 0=10m/s ,初位置S 0=15m ,加速度a =-g ,落地时末位置S 1=0,设小球落地时间为t ,则有

032t t ,2122001=---+=t gt t V S S 的一元二次方程:代入数值求得由

解该方程得t 1=3s ,t 2=-1s(舍去)

讨论1:从上题可以看出,建立合适的坐标系,正确确定各物理量的数值是解题的关键。在一维直线运动中,各物理量均是代数量,当其与坐标轴正向一致时取正,反之取负。

讨论2:第2问中-1s 的数学解虽然明显不合理,但有深刻的物理意义。在解题中我们隐含的指定计时的零点在抛出小球的一刻。有兴趣的同学可以验算,当以初速30m/s 在距离地面-25m 处竖直抛出小球时,该小球在到达距离地面15m 时其速度恰好为10m/s ,这也满足题目中的初始条件。这种情况下,小球在抛出后1s 到达地面,即如果以小球在距离地面15m 处开始计时,则小球将在计时开始前1s 和开始后3s 先后两次经过地面。

例3:(99年高考填空题)一跳水运动员从离水面10m 高的平台上向上跃起,举双臂直体离开台面,此时其重心位于从手到脚全长的中点。跃起后重心升高0.45m 达到最高点,落水时身体竖直,手先入水(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)。从离开跳台到手触水面,他可用于完成空中动作的时间为多少秒。(计算时,可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点,g 取为10m/s 2,结果保留二位数)

分析:本题与例2相近,根据运动员重心升到最高点时速度为零可求出其初速度,再利用例2的方法求出运动员从离开跳台到落水的时间。

解:建立以水面为坐标零点,垂直于水面为x 轴,向上为正方向的坐标系,则运动员的初位置S 0=10m ,末位置S 1=0,加速度a =-g ,并设其初速度为V 0,运动

员从离开跳台到落水时间为t 。

运动员上升到最高点时其速度为零,则有:

s m X X S g V S g V /345.010222020==?=??=

0103t 5t ,2122001=---+=t gt t V S S 的一元二次方程:代入数值求得由方程 可求出t=1.7s ,负值舍去。

例4:已知OABC 为同一直线上的四点,AB 间的距离为L 1,BC 间的距离为L 2,一物体自O 点由静止出发,沿此直线做匀加速运动,依次经过ABC 三点,已知物体通过AB 段与BC 所用的时间相等。求O 与A 的距离。

解:设物体经过A 点的速度为V 0,通过AB 段与BC 所用的时间为t ,O 与A 的距离为L 。

对AB 段有:)1(21201ΛΛat t V L +=

对AC 段有:)

2(222021ΛΛat t V L L +=+

(2)-2X(1):)3(212ΛΛat L L =- 4X(1)-(1):)

4(23021ΛΛt V L L =-

由(3)、(4)可解出:t L L t L L a 23V 210212-=-=, 对OA 段有:)(8)3(L V a 2122

21020L L L L a V L --==可求出和,代入

例5:(08年四川高考)A 、B 两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当 B 车在A 车前84m 处时,B 车速度为4m/s ,且正以2m/s2的加速度做匀加速运动;经过一段时间后,B 车加速度突然变为零。A 车一直以20m/s 的速度做匀速运动。经过12s 后两车相遇。问B 车加速行驶的时间是多少?

解析:设A 车的速度为V A ,B 车加速行驶时间为t ,加速度为a ,B 车初速度为V B ,两车在t 0时相遇。则有:

)2()()(2

1)

1(020ΛΛΛΛt t at V at t V S t V S B B B A A -?+++==

式中,t 0 =12s ,S A 、S B 分别为A 、B 两车相遇前行驶的路程。依题意有: )3(ΛΛS S S B A +=

式中 s =84 m 。由(1)~(3)式得:

[])4(0)(22002ΛΛ=--+-a

S t V V t t t A B 代入题给数据:V A =20m/s ,V B =4m/s ,a=2m/s 2,有:

)5(0108242ΛΛ=+-t t

解得:t 1=6s ,t 2=18s

t 2=18s 不合题意,舍去。因此,B 车加速行驶的时间为6s 。

从解该题步骤中,我们应有意识的培养利用参数符号推导的能力,切忌每步代入具体数值。推导出最终表达式后再代入数值的好处在于物理过程清晰,利于检查解题是否正确。这样作的好出还在于考试评分时拿到尽量多的步骤分,对复杂的大题尤有好处。每步代入数值,如果一步发生错误,则下面的所有步骤都会发生差错,改动工作量大,且容易遗漏差错的地方。

例6:AB 两辆小车以相同的初速度V 0同时由甲地出发驶向乙地。A 车先加速一段路程后再减速,到达乙地时速度恰为V 0。B 车先减速一段路程后再加速,到达乙地时速度也恰为V0。在整个行程中,两车的速度均一直大于零。则( )

(A) A 车先到达乙地

(B) B 车先到达乙地 (C) A 、B 两车同时到达乙地

(D) 无法判断 解析:对于速度连续变化的运动,平均速度肯定在其最小速度和最大速度之间。本题中A 车的最小速度为V 0,B 车的最大速度为V 0,故B A A V V V V φπφ?0B 0V V ,

在路程相同的条件下,平均速度大的A 车先到达目的地。应选A 。

1.3二维平面运动

1.3.1位移、速度和加速度

质点在高于一维的空间里运动,其轨迹一般是曲线,运动的描述需要用矢量。

首先,为了表征一个质点在空间的位置,我们可以选择一个原点O,从O点到质点的位置P引入一个矢量OP。这个矢量定义为位矢。

如图1-12,S代表上海,G代表广州,选择北京的位置O作为原点,则上海和广州的位置可分别由位矢r1=OS和r2=OG来表示。当一人自上海乘火车到广州,它所走过的路程如图中的虚线所示,其长度s代表此人旅程的长度。然而他位置的变动,即位移,则要用矢量△r=SG来表征。由图可以看出,位移矢量是终点位矢与起点位矢之差:

=

=

-

r

r-

在直线运动中质点的位移矢量和运动轨道完全重合,在曲线运动中就不是这样,只有在△t很短的情况下,质点的位移和运动轨道才可以近似地看作重合;在△t→0的极限情况下,位移和轨迹重合。因此在研究运动的速度时,可以把曲线运动看作是由无穷多个无限短的直线运动所组成。在这样的条件下我们用“以直

代曲”的处理方法来研究曲线运动的速度。

我们参照直线运动中瞬时速度的概念,将曲线运动中某时刻t 的瞬时速度矢量表示为: dt dr t r V t =??=→?0lim 瞬时速度是一个矢量,它的方向为△t →0时△r 的极限方向。如图1-13所示,△r 沿AB 弦的方向,当△t →0时,AB 趋于A 点的切线,所以A 点的瞬时速度v 的方向是沿A 点切线方向的。瞬时速度的数值叫瞬时速率。由于弧△s 在△t →0的极限情况下和△r 相等,所以瞬时速率为:

dt ds t s t r V t t =??=??=→?→?00

lim lim 在曲线运动中,速度的改变包括下述两个意义:速度大小的改变和速度方向的改变。例如,匀速率圆周运动的速度的大小虽不变,但方向不断改变。为了使加速度这个概念能反映曲线运动的情况,我们引进瞬时加速度矢量的概念。如图1-14所示,在时刻t 质点位于A 点,速度为V A ;经过△t 的时间后质点位于B 点,速度为V B 。这样,在时间△t 内,速度的增量为△v =V B -V A ,其瞬时加速度矢量为:

dt

d t t V V t A B t =??=?-=→?→?00lim lim 它既反映速度大小的变化,又反映速度方向的变化。

矢量,或称向量引入物理中表示即有大小又有方向的物理量,如位移、速度、加速度等,极大的简化了物理表述,提供了丰富的运算手段。大约公元前350年前,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。在高中阶段,仅需掌握两个向量的加法(即两个向量的合成)采用平行四边形法则即可。一般向量用黑斜体字母或在字母上加有向箭头表示。

高中我们仅研究两类二维平面运动:抛体和匀速圆周运动。

1.3.2 抛体运动

在欧洲中世纪人们的观念里,抛体的轨迹由三段组成:初始一段直线,中间一段圆弧,最后一段垂直下落。伽利略发现落体是匀加速运动后,第一次正确指出,抛体的运动可看成是水平的匀速运动和垂直的匀加速运动的合成,其轨迹是抛物线。

在地球表面附近不太大的范围内,重力加速度g 可以看成常量。如果再忽略空气阻力的话,则抛体运动的水平分量和垂直分量将相互独立,使问题大为简化。取直角坐标(如图1-16所示),x 轴和y 轴分别沿水平和竖直方向。抛体运动沿x 轴方向无加速度,是匀速运动,沿y 轴方向以加速度-g 作匀加速运动。设抛物体的初速度为V 0,它与x 轴成α角,则它的两分量为V 0x =V 0cos α,V 0y =V 0sin α,在任何时刻t 抛体运动的速度分量和坐标为:

)4(2

1)sin ()

3()cos ()

2(sin )

1(cos 20000ΛΛΛΛΛΛΛΛgt t V y t V x gt V V V V y x -==-==αααα 由3式和4式消去t ,得轨迹方程

2220cos 2tan x V g x y αα-

= 这是抛物线方程(见图1-16中的实线轨迹,而虚线轨迹是考虑到空气阻力时的轨迹)。

抛物体所能达到的最大高度称为射高,以y m 表示之。由其特征V y =0可求得t =V 0sin α/g ,将其代入4式,从而:

g

V y m 2)sin (2

0α= 抛物体所能达到的最远点称为射程,以x m 表示之,则由其特征y =0可求得t =2V 0sin α/g ,将其代入3式,从而:

g

V g V V x m ααα2sin sin 2)cos (2000== 由上式,可得α=45°时,x m 有最大值。

例1:一人在平板车上,车以8.0m/s 的速度匀速行驶(如图)。此人欲抛一球,使球水平地通过一固定圆环。圆环距他的手的高度为 4.9m ,球抛出的速度相对地为

25m/s 。试求(1)球的初速度的垂直分量必须是多少?(2)球抛出后经过几秒通过此环?(3)他必须在环的前方多远的水平距离处抛球?

(1) 根据题意,球水平地通过圆环,即球过环时,垂直速度分量为零,则有:

s m X X gh V gh V y y /8.99.48.9222202

0===?=

(2) 球通过圆环的时间为:

s g V t gt V y

y 0.18.98.900===?= (3) 设抛球时车与环的水平距离为x 0,球初速度V 0的水平分量(相对于人或车)为V 0x ,车速为V f ,则当球通过环时有:

)(1)(00ΛΛt V V x f x +=

因)2(20200ΛΛy x V V V -=

由1式、2式有:t

V V V x f y )(20200+-= 将已知条件V 0=25m/s ,V f =18m/s 和已求得的V 0y =9.8m/s 、t=1.0s 代入上式可求出x 0=41m 。

讨论:涉及抛体运动的问题其实没有新的公式,了解抛体运动是水平匀速直线

运动和垂直方向加速度为g的均变速直线运动的合成,就只需分别利用前面匀速直线运动和均变速直线运动的公式即可。在向上平抛运动的最高点,质点仅有水平速度分量是一个重要的解题条件,需充分利用。

1.3.3匀速圆周运动

1.3.3.1圆周运动的角速度和线速度

对于圆周运动,可以采用如下图的极坐标,θ为极角。

L

描述圆周用θ角的变化率,即角速度ω。

)s/

(

lim

rad

dt

d

t

t

θ

θ

ω=

?

?

=

?

在国际单位制中角度采用弧度制,而非我们熟悉的“度”。当我们采用度作为单位时,θ角对应弧长为:R

R

L?

=

?

=)

360

2

(

360

2

θ

π

θ

π

常简洁,即

,则弧长的表达式将非

如果设R'

L

360

2

'

θ

θ

π

θ=

=

θ’即为弧度制,从上式我们可以得出弧度与度之间的换算关系式,即:1rad=180/π≌57.320,10=π/180≌0.01745rad

下面来求圆周运动的速度,也可称为圆周运动的线速度的大小(速率)

R

R

dt

d

dt

R

d

dt

dL

t

L

t

t

?

=

?

=

?

=

=

?

?

=

=

?

?

ω

θ

θ)

(

lim

lim

这里用到了当Δt趋于零时,位移和轨迹重合,即位移的大小和弧长相等。1.3.3.2匀速圆周运动

当物体作匀速圆周运动时,其角速度恒定,线速度的大小(速率)恒定,但其方向不断地变化着。这时加速度a没有与v同方向的分量,它只反映速度v方向的改变,总与v垂直,指向圆心。有兴趣的可以参考一下下面的论述:现在我们用矢量v方向改变的关系求匀速圆周运动中的加速度a.如图1-19所示,设作匀速圆周运动的质点经过A、B点时的速度分别为V A和V B,由A点运动到B点所经时间为△t,则按加速度的定义有:

图1-19中OA和OB都等于半径,故△OAB为等腰三角形。将矢量vB平移,使其起点与A重合(见图中虚线矢量),则从V A末端到V B末端的矢量即为△

V=V B-V A。由于在本运动中速率不变,即|V A|=|V B|,故V A、V B和△V三矢量也构成一个等腰三角形。又因V A⊥OA,V B⊥OB,所以它们之间对应的顶角相等(都用α表示),两等腰三角形相似。令△L为AB的弦长,则由相似三角形得如下比例关系:

再看a 的方向,即△v 的极限方向。在V A 、V B 和△v 组成的等腰三角形中,易见△V 和V A 的夹角为θ=(π-α)/2(三角形内角和等于π),当△t →0时,α→0,故这夹角θ→π/2,即a ⊥V A .可见,A 点加速度方向垂直于A 点速度的方向,亦即沿半径指向圆心,因此称为向心加速度。

匀速圆周运动的重要公式总结如下:

)2()

1(22ΛΛΛΛωωR R

V a R V === 有关匀速圆周运动的所有运动学问题都可以由上面两式解决。同时了解匀速周运动的周期(T)和频率(ν)的关系式:T=1/ν=2π/ω, ω=2πν。

讨论:从2式是否会得出匀速圆周运动的向心加速度大下既可以说与半径R 成反比也可以说与变径R 成正比的结论。其实对一个圆周运动而言,速度V 的大小会随着R 的变化而变化,只有角速度ω是独立于R 的一个变量。在讨论向心加速度与变径的关系时就只能用a=R ω2。

例1:(92年高考)图中所示为一皮带传动装置,右轮的半径为r ,a 是它边缘上的一点。左侧是一轮轴,大轮的半径为4r ,小轮的半径为2r 。b 点在小轮上,到小轮中心的距离为r 。c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中,皮带不打滑。则( )

(A)a 点与b 点的线速度大小相等

(B)a 点与b 点的角速度大小相等

(C)a 点与c 点的线速度大小相等

(D)a 点与d 点的向心加速度大小相等 分析:对于皮带传输装置,在皮带不打滑的情况下,两轮皮带各点的线速率相同。对本题即V c =V a 。设c 点所在轮的角速度为ω,a 点所在轮的角速度为ω’。则有: ()d

a d a a

a b a c a a r a r r r a V r V r r V V =??==?=?====?==??=??=2222b 4,42'2

22''2ωωωωωωωωω

ωωω, 故应选择C 、D 。

1.4 相对运动

P

r 2

r 1 K 2系

R

K 1系

假设参考系K 2相对于参考系K 1的位矢为R (见上图),从而K 2系相对于K 1系的速度V 为:dt dR

V =

若K 1和K 2中坐标轴始终保持平行,而在参考系K 1中质点P 的位矢、速度、加

速度分别为r 1,v 1,则在参考系K 2中其位矢r 2、速度v 2分别为:

V

V V V V dt

dR dt dr V R

r r +=-=-=-=2111212 这就是伽利略速度变换公式,适用于低速宏观物体。因为推导中两个参考系的时间不变,它们建立在牛顿“绝对时空”观念之上的。高中阶段仅掌握两个参考系间的相对运动为直线的情况,如人在运动的小车上行走,V 人对地=V 人对车+V 车对地。

1.5 运动学总结

从应试的角度,运动学部分的重点在匀变速直线运动上。如果考试中有独立的运动学计算题的话,肯定是关于匀变速直线运动的内容,而且运动学试验题一般也是这方面的内容。平抛运动其实也就是匀速直线运动和匀变速直线运动的合成。匀变速直线运动的四个公式灵活运用就能解决所有的问题。

匀速圆周运动一般会结合天体(同步卫星)的运动规律、万有引力定律或动力学综合考察。就匀速圆周运动本身而言,只要掌握线速度、角速度、向心加速度三者间的关系式和周期、频率的概念即可。

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