计算方法作业集及答案

第一章数值计算基本常识

一.填空题

1. 用四舍五入得到的近似数0.628，有_____位有效数字，其绝对误差限是____________。

2. 用四舍五入得到的近似数0.586，有_____位有效数字，其绝对误差限是____________。

3. 用四舍五入得到的近似数0.69，其绝对误差是__________，由此计算出的相对误差限是__________。

4. 用四舍五入得到的近似数0.7960，其绝对误差是__________，由此计算出的相对误差限是__________。

5. 设0.484是0.4900的近似值，那么0.484具有____位有效数字。

6. 设x*=0.231是真值x=0.229的近似值，则x*有_____位有效数字。

7. 设x*=0.23是真值x=0.229的近似值，则x*有_____位有效数字。

8. 设x=2.3149541…，取5位有效数字，则所得的近似值x*=_____。

9. 设x=2.3149541…，取4位有效数字，则所得的近似值x*=_____。

10. 若近似数0.1100有4位有效数字，由有效数字计算出的相对误差是____________。

11. 若近似数76.82有4位有效数字，由有效数字计算出的相对误差是____________。

12. 若近似数576.00有5位有效数字，由有效数字计算出的相对误差是____________。

13. 用3.15作为π的近似值有_____位有效数字。

14. 用3.14作为π的近似值有_____位有效数字。

15. 用3.1416作为π的近似值有_____位有效数字。

解答:

1. 3、0.5*10-3

2. 3、0.5*10-3

3. 0.5*10-2、0.725%

4. 0.5*10-4、0.00628%

5. 1

6. 2

7. 2

8. 2.3150

9. 2.315

10. 0.05%

11. 0.007%

12. 0.001%

13. 2

14. 3

15. 5

二.选择题

1. 3.141580 是π的近似值,有( )位有效数字。

A. 6

B. 5

C. 4

D. 7

2. 3.141593是π的近似值,有( )位有效数字。

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

3. 4.3490是4.3490287…的近似值,有( )位有效数字。

A. 6

B. 5

C. 4

D. 7

4. 5.47625是5.47625793…的近似值,有( )位有效数字。

A. 6

B. 5

C. 4

D. 7

5. 若相对误差限为0.5×10－5，那么近似数0.00340000可能有( )位有效数字。

A．2 B. 3 C. 4 D. 6

6. 若相对误差限为0.5×10－5，那么近似数0.0591200可能有( )位有效数字。

A．2 B. 3 C. 4 D. 6

7. 已知圆周率π=3.141592654…，若其近似值取5位有效数字，则近似值为( )

A．3.1414 B. 3.1415 C. 3.1416 D. 3.1417

8. 已知精确值22/7，若其近似值取6位有效数字，则近似值为( )

A．3.14285 B. 3.142857 C. 3.14286 D. 3.14290

9. 以下符合绝对误差定义的是( )

A. 真值=近似值+绝对误差

B.绝对误差=相对误差/真值

C. 近似值=真值+绝对误差

D. 相对误差=真值*绝对误差

10. 以下符合相对误差定义的是（）

A. 真值=近似值+相对误差

B. 相对误差=绝对误差/真值

C. 近似值=真值-相对误差

D. 相对误差=真值*绝对误差

11. 有效数字由（）决定

A. 相对误差

B. 绝对误差

C. 截断误差

D. 舍入误差

12. 用1+x 近似表示e x所产生的误差是( )误差。

A. 模型

B. 观测

C. 截断

D. 舍入

13. 舍入误差是( )产生的误差。

A. 只取有限位数

B.模型准确值与用数值方法求得的准确值之差

C. 观察与测量

D.数学模型准确值与实际值

14. 误差在数值计算中是不可避免的，以下哪个误差根据测量工具或仪器本身的精度可以知道其误差的上限值？（）

A．模型误差 B. 观测误差 C. 截断误差 D. 舍入误差

15. 截断误差是（）产生的误差。

A. 只取有限位数

B.模型准确值与用数值方法求得的准确值之差

C. 观察与测量

D.数学模型准确值与实际值

解答:

1. B

2. B

3. B

4. B

5. D

6. D

7. C

9. A

10. B

11. B

12. C

13. A

14. B

15. B

三.简答题

1. 学习数值计算方法有什么意义？

2. 数值计算方法的任务是什么？

3. 数值计算方法为什么不仅要讨论计算量,而且要讨论计算误差?

4. 误差来源有哪些？

5. 数值计算方法的特点是什么？

6. 用计算机解决科学计算问题通常要经历那些过程？

7. 绝对误差和相对误差的区别是什么？

8. 设0.484是0.4900的近似值，那么0.484具有几位有效数字？有

效数0.23与0.230有无不同？

解答:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

四.计算题

五.程序题 解答:

第二章 误差传播 一.填空题

1. p(x)=2x 3+3x 2+8 x -9用秦九韶算法计算可表示为____________ __。

2. p(x)=2-3x +x 2+5x 3用秦九韶算法计算可表示为______________ _____________ 。

3. p(x)=4x 3+7x 2+6 x +5用秦九韶算法计算可表示为____________ _____________。

4. p(x)=x 3+9x 2+ x +2用秦九韶算法计算可表示为______________ ___________。

5. p(x)=1-6x +8x 2+9x 3用秦九韶算法计算可表示为_____________ ____________。

6. p(x)=7-2x -6x 2+8 x 3用秦九韶算法计算可表示为___________ ______________。

7. 所谓数值稳定性问题，就是指_________________________是否受控制的问题。

8. 近似数的误差常用___________误差、________误差和有效数字表示。

9. 为了使3

2)

1(6

)1(41310y ---+-+

=x x x 的乘除法次数尽量的少，应将该表达式写为_______________。

10. 为了减少舍入误差，应将表达式 改写为_________________________。

11. 为了减少舍入误差，应将表达式 改写为_________________________。

12. 为了避免损失有效数字的位数，应将表达式 改写为

_________________________。

13. 为了避免损失有效数字的位数，应将表达式

改写为

_________________________。

14. 计算方法主要研究__________________误差和________________误差。

15. _________________________，是评定计算方法好坏的主要标准。

解答:

1. p(x)=((2x+3）x+8) x -9

2. p(x)=((5x+1）x-3) x+2

3. p(x)=((4x+7）x+6) x +5

4. p(x)=((x+9）x+1) x +2

5. p(x)=((9x+8）x-6) x+1

6. p(x)=((8x-6）x-2) x+7

7. 误差的传播（或积累）

8. 绝对误差、相对误差

9. y=10+(3+(4-6t)t)t, t=1/(x-1)

10.

11.

12.

13.

14. 截断、舍入

15. 计算值具有有效数字位数的多少

二.选择题

1. 以下对数值稳定性，描述不正确的是（）

A. 所谓数值稳定性问题，就是指误差的传播（或积累）是否受控制的问题；

B. 当算法稳定时，原始数据小的变化只会引起最后结果有小的变化；

C. 定性分析舍入误差的积累非常困难；

D. 在确定算法时应选用数值稳定性好的计算公式。

2. 以下选项，那个可以得到算法数值稳定的结果？（）

A.舍入误差在任何条件下不受控制；

B.原始数据小的变化引起最后结果有小的变化；

C.执行算法的过程中，舍入误差的增长不影响可靠结果的产生；

D.计算结果对初始数据的误差敏感。

3. 为了使有效数字位数为3位，以下哪种方法有效（）

A. =1.42-1.41

B. =

C. =1.418-1.414

D. =1.4177-1.4142

4. ，其中以下各式哪个计算更加准确（）

A. B.

C. 0

D.

5. 以下不能避免两个相近数相减的是（）

A．避免出现减法 B.减少有效数字位数

C. 公式变换

D.增大近似数有效数字位数

6. 计算机的位数有限，为了防止大数“吃掉”小数，进行减法运算时，要进行（）和（）

A. 对阶

B. 公式变换

C. 绝对值由大到小顺序相加

D. 规格化

7. 以下各式直接进行对阶和规格化能够减小运算误差的是：（）

A.0.8153+0.6303×105

B. 0.7315×103+0.4506×10-5

C.105+5-105

D. 0.4823×105+0.2390×103

8. 在数值计算中，以下对除数的作用描述错误的是：（）

A.绝对值太大的数不宜做除数；

B.除数很小时可能引起绝对误差很大；

C.除数绝对值较小而被除数绝对值较大会导致计算机计算时“溢出”；

D.除数绝对值较小而被除数绝对值较大会使商的数量级增加。

9. 对于3.8×105，以下各项做除数对计算结果影响最大的是（）

A. 1.9×106

B. 1.9×105

C. 1.9×10-2

D. 1.0×10-4

10. 以下哪项步骤能够减少进行浮点计算式产生的舍入误差（）

A. 不让两相近数相减

B. 存在大数小数相加时，先加小数再加大数

C. 选绝对值大的数做除数

D. 简化计算步骤

11. 对于I=arctan(N+1)-arctanN,当N充分大时，以下哪个公式可减少运算误差？（）

A. arctan(1/N(N+1))

B. arctan(1/(1+N(N+1)))

C. arctan(N(N+1))

D. arctan(1/(1-N(N+1)))

12. 计算x127,以下（）计算量最小。

A. (((x8)8)2)/x

B. ((((((x2)2)2)2)2)2)2/x

C. ((((x4)4))4)2/x

D. xx2x4x8x16x32x64

13. 计算多项式P(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0，需做（）次乘法和（）次加法。

A. n(n+1)

B. n

C.n2/2+n/2

D. n+1

14. 以下哪个措施不能减少运算误差？（）

A. 不让两相近数相减

B. 存在大数小数相加时，先加小数再加大数

C. 选绝对值小的数做除数

D. 简化计算步骤

15. 以下哪个措施能减少运算误差？（）

A. 不让两相近数相减

B. 存在大数小数相加时，先加大数再加小数

C. 选绝对值小的数做除数

D. 增加计算步骤

解答:

1. C

2. C

3. B

4. A

5. B

6. AD

7. D

8. A

9. D

10. D

11. D

12. B

13. CB

14. C

15. A

三.简答题

1. 数值计算为什么要选用稳定的数值计算方法?

2. 减少运算误差有哪些原则？

3. 若p(x)=2x3+3x2+8x-9用秦九绍算法进行计算，其形式是什么？

4. 能否用递推公式

计算积分

？为什么?

5. 若干数相加,如何避免大数“吃掉”小数的现象?

6. 如何估计一元函数的绝对误差和相对误差?

7. 如何估计二元函数的绝对误差和相对误差?

8. 如何计算y= ,才能使y有较多的有效数字?

解答:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

四.计算题

解答:

五.程序题

1. 试用C语言编一秦九韶算法程序，计算p(x)=6x5+3x4-12x3-x2+8x+7在x=2处的值。

2. 以下C程序是应用秦九韶算法计算多项式

P4(x)=0.0625x4+0.425x3+1.215x2+1.912x+2.1296 在x=1.0处的值,请将答案写在对应横线上。

#include "stdio.h"

main( )

{static float a[]={ __________________________ };

float y;

int i;

float x= __________________________ ;

y= __________________________ ;

for (i= _______ ;i>=0;i--)

y= ;

printf("x=%4.2f,y=%6.4f",x,y);

}

解答:

1.

2.

第三章求一元非线性方程二分法

一.填空题

1. 方程x3-x-1=0在区间[1,2]内有根，利用区间二分法求解该方程的根，若使

误差小于10-3，至少要二分_________次。

2. 方程2x3+x-1=0在区间[0,1]内有根，利用区间二分法求解该方程的根，若使

误差小于10-3，至少要二分_________次。

3. 方程3x3+x-1=0在区间[0,1]内有根，利用区间二分法求解该方程的根，若使

误差小于10-3，至少要二分_________次。

4. 方程4x3+x-1=0在区间[0,1]内有根，利用区间二分法求解该方程的根，若使

误差小于10-3，至少要二分_________次。

5. 用区间二分法求方程x3-x-1=0在[1, 2]内的近似根，若使误差小于10-4，

至少要二分_________次。

6. 用区间二分法求方程2x3+x-1=0在[0, 1]内的近似根，若使误差小于10-4，

至少要二分_________次。

7. 用区间二分法求方程3x3+x-1=0在[0, 1]内的近似根，若使误差小于10-4，

至少要二分_________次。

8. 用区间二分法求方程4x3+2x-1=0在[0, 1]内的近似根，若使误差小于10-4，

至少要二分_________次。

9. 用区间二分法求方程2x3+x-1=0在[0, 1]内的近似根，若使误差小于10-5，

至少要二分_________次。

10. 用区间二分法求方程3x3+x-1=0在[0, 1]内的近似根，若使误差小于10-5，

至少要二分_________次。

11. 用区间二分法求方程4x3+2x-1=0在[0, 1]内的近似根，若使误差小于10-5，

至少要二分_________次。

12. 用二分法求方程f(x)=x3+x-1=0在区间[0,1]内的根，进行一步后根的所在区间为_________。

13. 用二分法求方程f(x)=x3+x-1=0在区间[0,1]内的根，进行两步后根的所在区

间为_________。

14. 用二分法求非线性方程f(x)=0 在区间[a, b]内的根时，二分n次后的误差限为_________。

15. 设方程f(x)=0的有根区间为[a, b]，使用二分法时，误差限为|x k+1-x*|≤_ ________，其中x k+1=(a k+b k)/2。

解答:

1. 10

2. 10

3. 10

4. 10

5. 14

6. 14

7. 14

8. 14

9. 17

10. 17

11. 17

12. [0.5, 1]

13. [0.5, 0.75]

14. (b-a)/2n

15. (b-a)/2k+1

二.选择题

1. 对超越方程解的描述，以下正确的有（）

A. 根的数目和方程次数相同

B. 根只有一个

C. 根有两个以上

D. 根的数目与方程次数不一定相同

2. 一元非线性方程f(x)=0，以下不属于求解步骤的是（）

A. 判断根的存在性

B. 确定根的初始近似值

C. 根的精确化

D. 简化计算步骤

3. 以下方法中，哪个不可以求解一元非线性方程？（）

A. 逐步搜索法

B. 迭代法

C. 秦九韶法

D. 二分法

4. 以下方法中，哪个方法不能求解一元非线性方程的根？（ ） A. 逐步搜索法 B. 迭代法 C. 欧拉法 D. 区间二分法

5. 方程x 3-x-1=0在区间[1,2]内有根，利用区间二分法求解该方程的根，若使 误差小于10-3，至少要二分（ ）次 A. 7 B. 8 C.9 D. 10

6. 对于1-x-sinx=0在[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不大于0.5×10-4的 根，需要二分（ ）次 A. 12 B. 13 C.14 D. 15

7. 应用二分法求方程在区间[0, 1]上误差不超过的近似根，需要二

分（ ）次 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

8. 应用二分法求方程在区间[0, 1]上误差不超过的近似根，需要二分（ ）次

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

9. 应用二分法求方程在区间[0, 1]上误差不超过的近似根，需要二分（ ）次

A.2

B. 3

C. 4

D. 5

10. 应用二分法求方程在区间[0, 1]上误差不超过 的近似根，需要二分（ ）次

A.14

B. 15

C. 16

D. 17

11. 应用二分法求方程在区间[0, 1]上误差不超过的近似根，需要二分（ ）次

A. 12

B. 15

C. 19

D. 20

12. 用二分法求非线性方程f(x)=0 在区间[a, b]内的根时，二分n 次后的误差限为( )

A.

B.

C.

D.

13. 用二分法求非线性方程f(x)=0 在区间[1, 2]内的根时，二分n 次后的误差限为( ) A. 1/2 B. 1/2n-1 C. 1/2n D. 1/2n+1

14. 设方程f(x)=0的有根区间为[a, b]，使用二分法时，误差限为|x k+1-x*|≤（ ），其中

A. B. C. D.

15. 设方程f(x)=0的有根区间为[1, 2]，使用二分法时，误差限为|xk+1-x*|≤（），其中

A. 1/2

B.1/2 k

C.1/2 k+1

D. 1

解答:

1. D

2. D

3. C

4. C

5. D

6. D

7. B

8. B

9. D

10. D

11. C

12. C

13. C

14. C

15. C

三.简答题

1. 什么是方程f(x)=0的零点?

2. 求一元非线性方程根的三个步骤是什么?

3. 如何求一元非线性方程根的初始近似值?

4. 求解一元非线性方程根的二分法的基本思想是什么?

5. 用二分法求解一元非线性方程的根的近似值,如何确定二分的次数？

6. 常用的方程初始近似根逐步精确化的方法有哪些?

7. 用二分法求解一元非线性方程的根的近似值,如何确定有根区间?

8. 二分法计算机实现时,在区间(a,b)确定方程f(x)=0的有根区间时为什么不需要计算f(a K)?

解答:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

四.计算题

1. 方程f(x)=x3-x-1=0 在区间(1, 1.5）内有一个根，用二分法求误差不大于0.5X10-2的近似根，需要迭代多少次？

2. 试用区间二分法求方程X3+X2-1=0 在区间(0,1)上的根，要求求得的近似根误差不大于10-3。

3. 用适当数值方法求方程x3+x-1=0 在区间(0,1)上的一个根，要求求得的近似根误差不大于10-3。

4. 利用二分法求方程x3-2x-5=0 在区间[2，3]内根的近似值,并指出误差。

5. 用二分法求方程f(x)=x3-2x2-4x-7=0 在[3,4]上根的近似值, 精确到小数点后三位。

6. 求函数f=x3+2x2+x-5 在(-2，2) 根的近似值,10-4为精度。

7. 用二分法求方程2x3-4x2+3x-6=0在（-10,10）之间的根，10-5为精度。

8. 使用二分法求解f(x)=x3-x-1=0在区间(1，2)上的解，精确到小数点后第6位。

解答:

1.

2.

4.

5.

6.

7.

8.

五.程序题

1. 试用C语言编写二分法程序求方程在区间[0,1]内的根,要求求得的近似根误差不大于0.5X10-4。

2. 以下C程序是应用二分法求方程f(x)=x3-x-1=0 在区间(1, 1.5）误差不大于0.5X10-2的近似根，请将答案写在对应横线上。

#include "stdio.h"

#include "math.h"

#define f(x) ((x*x-1)*x-1)

#define e ________________

main( )

{

float x,a=1,b=1.5,y= ________________;

if(y*f(b)>=0) { printf("\nThe range is error!");

return; }

else do

{ x= ________________;

if (f(x)==0) break;

if( ________________ )

b=x;

else

a=x;

}while( ________________ );

printf("\nx=%4.2f",x);

}

解答:

1.

2.

第四章求一元非线性方程迭代法

一.填空题

1. 计算的牛顿迭代式为_________________________。

2. 计算的牛顿迭代式为_________________________。

3. 计算的牛顿迭代式为_________________________。

4. 计算(b>0)的牛顿迭代式为_________________________。

5. 计算(a>0)的牛顿迭代式为_________________________。

6. 计算(c>0)的牛顿迭代式为_________________________。

7. 牛顿迭代法的迭代公式为_________________________。

8. 牛顿迭代法的迭代函数为φ(x)= ______________________。

9. 用牛顿法解方程x2-C=0的迭代公式为________________________。

10. 用牛顿法解方程x3-a=0的迭代公式为______________。

11. 若非线性方程f(x)=0可以表成x= φ(x)，用简单迭代法求根，那么φ(x)满足_____________________，近似根序列x1, x2,…, x k,…一定收敛。

12. 解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数φ(x)满足在有根区间内_________________，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛。

13. 求方程x2-x-1.25=0的近似根，用迭代公式，取初始值x0=1，那么

x1=______________

14. 所谓迭代过程的收敛速度，是指在接近收敛时，______________的下降速度。

15. 所谓迭代过程的收敛速度，是指在接近收敛时，迭代误差的________________。

解答:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. |φ’(x)|<1

12. |φ’(x)|<1

13. 1.5

14. 迭代误差

15. 下降速度

二.选择题

1. 方程x3-x2-1=0在区间[1.3, 1.6]上有一根，以下四种迭代格式，（）和（）收敛。

A. B.

C. D.

2. 方程x3-x2-1=0在区间[1.3, 1.6]上有一根，以下四种迭代格式，（）和（）不收敛。

A. B.

C. D.

3. 方程x3-x2-1=0在区间[1.3, 1.6]上有一根，利用迭代格式求解，求x0=1.5附近的

根到4

位有效数字，如下结果哪个正确（）

A. 1.460

B. 1.462

C.1.464

D. 1.466

4. 用简单迭代法求方程的近似根，下列迭代格式不收敛的是( )

(A) e x－x－1＝0，[1,1.5]，令x k+1=

(B) x3－x2－1=0，[1.4,1.5], 令x k+1=1+

(C) x3－x2－1=0，[1.4,1.5], 令x k+1=

(D) 4－2x=x，[1,2], 令x k+1=

5. 用简单迭代法求方程的近似根，下列迭代格式收敛的是( )

(A) e x－x－1＝0，[1,1.5]，令x k+1 =In(x k+1)

(B) x3－x2－1=0，[1.4,1.5], 令x k+1=1+

(C) x3－x2－1=0，[1.3,1.6], 令x k+1=

(D) 4－2x=x，[1,2], 令x k+1=

6. 以下对牛顿迭代法描述不正确的是：（）

A. 将非线性方程f(x) =0逐步转化为某种线性方程求解

B. 通过非线性方程线性化得到迭代序列

C. 有明显的几何意义

D. 非线性方程f(x) =0, 相应的牛顿迭代函数是

7. 正确的牛顿迭代形式如下（）

A. B. C. D.

8. x=e-x，取x0=0.5，用牛顿迭代法写出迭代一次的基本形式（）

A. B. C. D.

9. 用牛顿迭代法计算，取=10-3，正确结果为（）

A. 5.55

B. 5.56

C. 5.57

D. 5.58

10. 已知x=e -2x -1，在区间[-1,1]中有根，初值x 0取（ ）时，可以保证牛顿迭代法收敛，而且收敛速度较快。 A. 1 B. 0.5 C. 0.3 D. -1

11. 已知x=e -x -1，在区间[-1,1]中有根，初值x 0取（ ）时，可以保证牛顿迭代法收敛，而且收敛速度较快。 A. 1 B. 0.5 C. 0.3 D. -0.5 12. 以下对牛顿迭代法描述正确的有（ ）、（ ）和（ ）。 A. 将非线性方程 f(x) =0逐步转化为某种线性方程求解 B. 通过非线性方程线性化得到迭代序列 C. 有明显的几何意义 D. 非线性方程 f(x) =0, 相应的牛顿迭代函数是

13. 设函数f(x)=(x 3

-a)2

，解的牛顿迭代格式应该是以下（ ）项 A. 2316k k k k x a x x x --=+ B. a x x x x k k k k --=+3

216 C. 21

3

16---=k k k x a x x D. a x x x x k k k k --=-3

216 14. 对于方程x 3-x 2-1=0取x 0=1.5附近的根，有如下四种迭代格式，其中收敛的是（ ）

A.

B.

C.

D.

15. 对于方程x 5-2x-1=0在[1,2]附近的根，有如下四种迭代格式，其中( )可用

A.

B.

C.

D.

解答: 1. AB

2. CD

3. D

4. A

5. D

6. D