某些含有定积分的不等式的证明

目录

摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．I 关键词．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．I Abstract．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II Key words．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II 0引言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1

1 预备知识．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1

2 含定积分的不等式的证明方法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

3 2．1利用定积分的定义来证明定积分不等式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 2．2利用定积分的性质来证明定积分不等式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

4 2．3利用积分中值定理和拉格朗日中值定理来证明定积分不等式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

5 2．4利用分部积分法来证明定积分不等式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 2．5构造辅助函数来证明定积分不等式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 2．6利用泰勒定理证明定积分不等式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 2．7利用定积分柯西--希瓦兹不等式证明定积分不等式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11 2．8利用函数的凹凸性来证明定积分不等式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 2．9利用二重积分证明定积分不等式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15 致谢．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16

某些含有定积分的不等式的证明方法研究

摘要:本文综述了证明含定积分不等式的多种方法，并给出了相关应用．关键词:定积分；不等式；泰勒公式；柯西不等式

Study on the methods of proving inequalities containing definite

integral

Abstract: In this paper, the methods of proving the inequalities containing definite integral are discussed, and the corresponding applications are given．

Key words: definite integral；inequality；Taylor formula；Cauchy inequality

0前言

本文综合各种证明方法（包括利用定义、利用性质、利用积分中值和拉格朗日中值定理、利用分部积分、构造辅助函数、利用泰勒定理、利用定积分柯西--希瓦兹不等式、利用函数的凹凸性法、利用二重积分），找出证明含定积分不等式的一般规律，有助于我们更好地解决含定积分的不等式的问题．

1预备知识

1．1定积分的定义

定义1[1] 设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数．若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任何分割，以及在其上任意选取的点集{}，只要，就有

．

则称函数在区间上可积或黎曼可积；数称为在上的定积分或黎曼积分，记作

．

其中，称为被积函数，称为积分变量，称为积分区间，分别称为这个定积分的下限和上限．

1．2可积的充分条件

定理1．1[1] 若为上的连续函数，则在上可积．

定理1．2 [1] 若是区间上只有有限个间断点的有界函数，则在上可积．

定理1．3[1] 若为上的单调函数，则在上可积．

1．3定积分的基本性质

性质1[1] 若在上可积，为常数，则在上也可积，且

．

性质2[1] 若，都在上可积，则在上也可积，且

．

性质3[1] 若、都在上可积，则在上也可积．

性质4 [1]在上可积的充要条件是：任给，在与上都可积．此时又有等式

．

性质5[1] 设为上的可积函数，若，则

．

推论[1]（积分不等式性）若与为上的两个可积函数，且，,则有

．

性质6[1] 若在上可积，则在上也可积，且

．

1．4积分中值定理

定理1．4[1]（积分第一中值定理）如果函数在上连续，则至少存在一点,使得

．

1．5拉格朗日(Lagrange)中值定理

定理1．5 [1] 若函数满足如下条件：

（i）在闭区间上连续；

（ii）在开区间内可导，

则在内至少存在一点，使得

．

1．6分部积分法

定理1．6[1]（定积分分部积分法）若为上的连续可微函数，则有定积分分部积分公式：

．

1．7泰勒公式

定理1．7[1] 如果函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，,至少存在一点，使得

1．8定积分柯西---希瓦兹不等式

柯西---希瓦兹不等式[2]:设在上连续，则

．

1．9凸函数

定义2[1] 设为定义在区间上的函数．若对上的任意两点、和任意实数总有

，

则称为上的凸函数．反之，如果总有

，

则称为上的凹函数．

1．10二重积分

1．10．1二重积分的定义及其存在性

定义4[2] 设是定义在可求面积的有界闭区域上的函数,是一个确定的数．若对任给的正数，总存在某个正数，使对于的任何分割，当它的细度时，属于的所有积分和都有

，

则称在上可积，数称为函数在上的二重积分，记作

，

其中称为二重积分的被积函数，、称为积分变量，称为积分区域．定理1．8[2] 有界闭区域上的连续函数必可积．

定理1．9[2] 设．在有界闭区域上有界，且其不连续点集是零面积，则．在上可积．

1．10．2直角坐标系下二重积分的计算

定理1．10[2] 设．在矩形区域上可积，且对每个，积分存在，则累次积分

也存在，且

．

定理1．11[2] 设．在矩形区域上可积，且对每个，积分存在，则累次积分

也存在，且

．

2含定积分的不等式的证明方法

2．1利用定积分的定义来证明定积分不等式

例1 证明:若在上连续，并且，则

．

证明因为在上连续，所以可积．把分成等分，得到分割．取,记,则有

于是

，

从而

．

上式中等号成立的条件是，．

2．2利用定积分的性质来证明积分不等式

例2若函数和函数在区间上可积，证明：

．

证明因为和在上都可积，则，，在上也都可积，对于任意实数，有在上也可积．

因为，所以可以得到,即

．

又因为，因此要使上式对于任意的实数恒成立，则有判别式，

即．从而得

．

例3[3]设在上连续，且对任意的都有．证明：对任意的正整数，

．

证明因为在上连续，所以可积,且

．

于是

．

，有

．

所以

即

．

2．3利用积分中值定理和拉格朗日中值定理来证明积分不等式

例4[4]设函数在上连续并且单调递增，，证明：

．

证明因为，所以

．

又因为函数在上连续，由积分第一中值定理，存在，，使得

，．

由于在上单调递增，由知道，于是

，

即

．

例5设函数在上连续且可导，证明：

．

证明因为连续，由积分第一中值定理得，至少存在一点，使得

，

所以

．

又因为在内连续且可导，由拉格朗日中值定理可得

，，

所以有

，

即

．

例 6 设在上连续且可导，，为在上的最大值，证明：

．

证明由题意，，利用拉格朗日中值定理得：

，使

，使

所以有

，．

由定积分的性质4得

，

即

．

例7[3]设函数在上连续，在内可导，且，，证明：

．

证明由拉格朗日中值定理可知，，

其中，

即

．

两边分别在上积分得

，

从而

．

2．4利用分部积分法来证明定积分不等式

例8 设在上具有连续导数，且，使．记，

证明：

．

证明由分部积分法可得

．

因为，,所以

．

例9[5] 设在上具有二阶连续导数，,是在上的最大值，证明

．

分析由于题目中出现了，我们不妨考虑用分部积分法，构造出来．

证明由分部积分法得

，

从而

．

于是

．

即

．

2．5构造辅助函数来证明定积分不等式

例10[6]设在上连续且单调递增，证明当时，有

．

分析将定积分不等式视为数值不等式，可利用相应的函数不等式的证明方法证明，将要证的不等式两端做差，并将上限换成，作辅助函数如下

如果能证明，即证得原命题．

证明构造辅助函数

，，

则在上可导且

，递增．

所以在上单调递增．

又因为,所以，即

，

所以

．

例11[3] 设在上连续，，且单调递减，证明

．

分析由于，要证(1)式成立，只须证

成立．

证明构造辅助函数

，，

只须证．

因为连续，所以，，，都可导，于是

．

因为，在上单调减少，且，所以，，所以

，

即在上单调增加．

又因为在上连续且，于是当时，，即

．

所以

．

例12[5] 设函数在上连续且，证明：

．

证明做辅助函数

，

则在上可导且

，

因此在上是单调递增的．

又因为，所以，即

，

从而

．

2．6利用泰勒定理证明定积分不等式

例13[7] 设在上二阶可导且，,证明：

．

证明，在此处将展开成一阶泰勒公式得

介于与之间．因为，所以，于是有

．

上式两边在上同时关于求积分得

．

即

，

于是

．

又由于，，，，．

所以

，

即

．

2．7利用定积分柯西---希瓦兹不等式证明定积分不等式

例14 设在上连续，证明：

．证明在柯西不等式

中设得

．例15 设在上具有连续导数，如果，证明：

，其中为在上最小值，．

证明在柯西不等式中，分别设函数为，，则有

，

其中，于是

．例16 设在具有连续导数，如果，证明：

．

证明因为，所以

．

两边在上积分得

，于是

．

2．8利用函数的凹凸性来证明定积分不等式

例17设在上连续，且，证明：，有

．证明令，其中则有

．（）

同理，令，，则有

．

于是

．由于与关于中点对称，且

，

所以

．

再由于知道是凸函数，根据式有

，

所以

．

例18 设在上有二阶连续导数，且在上有,证明：

．证明因为在上有,所以函数为凹函数，即有

．

令得

，

所以

．

2．9利用二重积分证明含定积分的不等式

例19已知且在上连续，，为任意实数，证明：

．

证明

，

于是

．

例20设在上单调递增，如果，，证明：

．

证明令

．

将其转化为累次积分得

．

同理有

．

将所得两式相加有

．

再由已知条件得，从而，所以

，

于是

．

例21 设在上可积且，，在是单调递增的函数，证明：

．证明将上式转化为二重积分，用二重积分的性质来证明．令

．

把和的位置互换，立即可得

．

将两式相加得

．

由于，是单调递增函数，且，故，即

，

从而有

．

参考文献

[1]华东师范大学数学系，数学分析[M](第四版)上册．高等教育出版社，2010：120—139，200—220．

[2]华东师范大学数学系．数学分析[M](第四版)下册．高等教育出版社，2010:223—272．

[3]任丽萍．定积分不等式的证明方法[J]．高等数学研究，2007，10（6）:14—16．

[4]杨凡．定积分中不等式的证明[J]．天津成人高等学校联合学报,2001,3（3）:72—74．

[5]李小平，赵旭波．定积分不等式几种典型证法[J]．高等数学研究，2009,12（6）：13—17．

[6]崔雅莉．定积分与不等式证明[J]．赤峰学院学报（科学教育版），2011,3（8）170—171．

[7]孙鹏．定积分与不等式的证明[D]．淮北:淮北师范大学数学科学学院,2011:1—12．

致谢

回想过去,太多的朋友帮助和支持过我,我对你们表示真诚的感谢．首先要感谢的是我毕业论文的指导老师—李艳梅老师，从开始进入课题到论文的顺利完成，李老师都非常耐心的对我进行指导，细心的指出我论文中的错误．李老师既是我毕业论文的指导老师，也是曾经教我数学分析的老师，不过数学分析我并没有学得太认真，也至于这次写论文的时候感觉很吃力，这篇论文也算让我绞尽脑汁吧．李老师在数学专业有着非常渊博的知识，还有她严谨求实的治学态度、兢兢业业的工作作风和大胆创新的精神，让我印象深刻，值得我终身学习．其次，我要感谢我的父母，没有你们就没有我，也就没有今天的我．感谢你们把我含辛茹苦的养大，感谢你们供我读书．养育之恩，无以回报．你们永远健康快乐是我最大的心愿．最后感谢这次写论文的过程 ,在这次论文写作的过程中,通过查资料和搜集有关的文献,培养了我的自学能力，学会了主动获取知识，这对于我是一个很大的突破．也培养了我学习知识的心态，对知识要严谨，做到一丝不苟．学习过程要有耐心和毅力，不要打退堂鼓．