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高考数学理科模拟试卷

2018年高考数学(理科)模拟试卷(四)

(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)

第Ⅰ卷(选择题满分60分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·成都诊断考试]已知集合A ＝{x |y ＝4x －x 2}，B ＝{x ||x |≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．[－2,2] B ．[－2,4] C ．[0,2] D ．[0,4]

2．[2016·茂名市二模]“a ＝1”是“复数z ＝(a 2－1)＋2(a ＋1)i(a ∈R )为纯虚数”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．[2017·呼和浩特调研]设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B

向x 轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k 等于( )

B ．±32

C ．±1

4．[2016·洛阳第一次联考]如果圆x 2＋y 2＝n 2至少覆盖曲线f (x )＝3sin πx

n (x ∈R )的一个最

高点和一个最低点，则正整数n 的最小值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

5．[2016·长春质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )

6．[2016·贵阳一中质检]函数g (x )＝2e x ＋x －3??1

2t 2d t 的零点所在的区间是( )

A ．(－3，－1)

B ．(－1,1)

C ．(1,2)

D ．(2,3)

7．[2016·浙江高考]在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域

????

x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0

中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )

A ．2 2

B ．4

C ．3 2

D ．6

8．[2017·广西质检]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A ．24＋6π

B ．12π

C ．24＋12π

D ．16π

9．[2016·南京模拟]已知四面体P －ABC 中，P A ＝4，AC ＝27，PB ＝BC ＝23，P A ⊥平面PBC ，则四面体P －ABC 的外接球半径为( )

A ．2 2

B ．2 3

C ．4 2

D ．4 3

10．[2016·四川高考]在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( )

11．[2016·山西质检]记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7·S 6－S 3

S 3

－8＝0，

且正整数m ，n 满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8

的最小值是( )

12．[2016·海口调研]已知曲线f (x )＝k e

－2x

在点x ＝0处的切线与直线x －y －1＝0垂直，

若x 1，x 2是函数g (x )＝f (x )－|ln x |的两个零点，则( )

A ．1

第Ⅱ卷(非选择题满分90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．[2017·安徽合肥统考]一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：(ⅰ)如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；(ⅱ)如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭4号阀门；(ⅲ)不能同时关闭3号阀门和4号阀门，现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是________．

14．[2017·云南检测]若函数f (x )＝4sin5ax －43cos5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π

，则实数a 的值为________．

15．[2017·山西怀仁期末]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、

F 2，焦距为2c ，直线y ＝

(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为________．

16．[2016·广州综合测试]已知函数f (x )＝?

???

1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1，

则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________个．

三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．[2016·河南六市联考](本小题满分12分)如图，在一条海防警戒线上的点A、B、C 处各有一个水声监测点，B、C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是千米/秒．

(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B、C到P的距离，并求x的值；

(2)求P到海防警戒线AC的距离．

18．[2016·重庆市一模](本小题满分12分)某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种．

方案一：每满200元减50元；

方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区别)

(1)

(2)若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？

19．[2016·贵州四校联考](本小题满分12分)已知长方形ABCD中，AB＝1，AD＝ 2.现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A－BCD，如图所示．

(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由．

(2)当四面体A－BCD体积最大时，求二面角A－CD－B的余弦值．

20．[2016·全国卷Ⅲ](本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．

(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

21．[2016·湖北八校联考](本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax－ln x－4(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a ＝2时，若存在区间[m ，n ]????

2，＋∞，使f (x )在[m ，n ]上的值域是???

?k m ＋1，k n ＋1，求k 的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[2016·陕西八校联考](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝1，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ(2cos θ－sin θ)＝6.

(1)将曲线C 1上的所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C 2，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；

(2)设P 为曲线C 2上任意一点，求点P 到直线l 的最大距离．

23．[2016·南昌一模](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝x －2＋11－x 的最大值为M . (1)求实数M 的值；

(2)求关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋22|≤M 的解集．

参考答案(四)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·成都诊断考试]已知集合A ＝{x |y ＝4x －x 2}，B ＝{x ||x |≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．[－2,2] B ．[－2,4] C ．[0,2] D ．[0,4] 答案 B

解析 A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，故A ∪B ＝{x |－2≤x ≤4}，故选B. 2．[2016·茂名市二模]“a ＝1”是“复数z ＝(a 2－1)＋2(a ＋1)i(a ∈R )为纯虚数”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件

答案 A

解析 a 2－1＋2(a ＋1)i 为纯虚数，则a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，反之也成立．故选A.

3．[2017·呼和浩特调研]设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B

向x 轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k 等于( )

B ．±32

C ．±1

答案 B

解析由题意可得c ＝1，a ＝2，b ＝3，不妨取A 点坐标为????1，±3

2，则直线的斜率k ＝±3

. 4．[2016·洛阳第一次联考]如果圆x 2＋y 2＝n 2至少覆盖曲线f (x )＝3sin πx

n (x ∈R )的一个最

高点和一个最低点，则正整数n 的最小值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 答案 B

解析最小范围内的至高点坐标为????n 2，3，原点到至高点距离为半径，即n 2＝n

＋3?n ＝2，故选B.

5．[2016·长春质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )

答案 A

解析由程序框图可知，输出的结果是首项为12，公比也为1

2的等比数列的前9项和，即

29－1

，故选A. 6．[2016·贵阳一中质检]函数g (x )＝2e x ＋x －3??1

2t 2d t 的零点所在的区间是( )

A ．(－3，－1)

B ．(－1,1)

C ．(1,2)

D ．(2,3)

答案 C

解析因为3??1

2t 2d t ＝t 3???

1＝8－1＝7，∴g(x)＝2e x ＋x －7，g ′(x)＝2e x ＋1>0，g(x)在R

上单调递增，g (－3)＝2e －

3－10<0，g (－1)＝2e －

1－8<0，g (1)＝2e －6<0，g (2)＝2e 2－5>0，g (3)＝2e 3－4>0，故选C.

7．[2016·浙江高考]在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域

????

x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0

中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )

A ．2 2

B ．4

C ．3 2

D ．6 答案 C

解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x ＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，又C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝?2＋1?2＋?－2－1?2＝3 2.故选C.

8．[2017·广西质检]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()

A．24＋6π B．12π C．24＋12π D．16π

答案 A

解析由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体与6个半径为1的半球构成的组合体，该组合体的表面由6个半球的表面(除去半球底面圆)、正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆构成，所以6个半球的表面(除去半球底面圆)的面积之和S1等于3个球的表面积，即S1＝3×4π×12＝12π；正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆的面积之和为S2＝6(22－π×12)＝24－6π.所以该组合体的表面积为S＝S1＋S2＝12π＋(24－6π)＝24＋6π.

9．[2016·南京模拟]已知四面体P－ABC中，P A＝4，AC＝27，PB＝BC＝23，P A⊥平面PBC，则四面体P－ABC的外接球半径为()

A．2 2 B．2 3 C．4 2 D．4 3

答案 A

解析 P A ⊥平面PBC ，AC ＝27，P A ＝4，∴PC ＝23，∴△PBC 为等边三角形，设其外接圆半径为r ，则r ＝2，∴外接球半径为2 2.故选A.

10．[2016·四川高考]在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →

＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( )

答案 B

解析由|DA →|＝|DB →|＝|DC →|知，D 为△ABC 的外心．由DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →

知，D 为△ABC 的内心，所以△ABC 为正三角形，易知其边长为2 3.取AC 的中点E ，因为M 是PC 的中点，所以EM ＝12AP ＝12，所以|BM →|max ＝|BE |＋12＝72，则|BM →|2max ＝494

，选B. 11．[2016·山西质检]记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7·S 6－S 3

S 3

－8＝0，

且正整数m ，n 满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8

的最小值是( ) 答案 C

解析 ∵{a n }是正项等比数列，设{a n }的公比为q (q >0)，∴S 12－S 6S 6＝q 6，S 6－S 3S 3

＝q 3

，∴

q 6－7q 3－8＝0，解得q ＝2，又a 1a m a 2n ＝2a 35，∴a 31·

＋2n －2

＝2(a 124)3＝a 31213

，∴m ＋2n ＝15，

∴1m ＋8n ＝115????1m ＋8n (m ＋2n )＝17＋2n m ＋8m n 15≥17＋22n m ×

n 15＝53，当且仅当2n m ＝8m

n ，n ＝2m ，即m ＝3，n ＝6时等号成立，∴1m ＋8n 的最小值是5

，故选C.

12．[2016·海口调研]已知曲线f (x )＝k e

－2x

在点x ＝0处的切线与直线x －y －1＝0垂直，

若x 1，x 2是函数g (x )＝f (x )－|ln x |的两个零点，则( )

A ．1

答案 B

解析依题意得f ′(x )＝－2k e

－2x

，f ′(0)＝－2k ＝－1，k ＝1

.在同一坐标系下画出函数y

＝f (x )＝12e －

2x 与y ＝|ln x |的大致图象，结合图象不难看出，这两条曲线的两个交点中，其中一

个交点横坐标属于区间(0,1)，另一个交点横坐标属于区间(1，＋∞)，不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有12e －2x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈????12e －2，12，12e －2x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈????0，12e －2，12e －2x 2－12e －2x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln (x 1x 2)∈????－12，0，于是有e －1

第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

答案 2或3

解析若要开启1号阀门，由(ⅰ)知，必须开启2号阀门，关闭5号阀门，由(ⅱ)知，关闭4号阀门，由(ⅲ)知，开启3号阀门，所以同时开启2号阀门和3号阀门．

14．[2017·云南检测]若函数f (x )＝4sin5ax －43cos5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π

，则实数a 的值为________．

答案 ±3

解析因为f (x )＝8sin ????5ax －π3，依题意有，T 2＝π3，所以T ＝2π3，又因为T ＝2π5|a |，所以2π5|a |＝2π3，解得a ＝±3

. 15．[2017·山西怀仁期末]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、

F 2，焦距为2c ，直线y ＝

(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为________．

答案

3＋1

解析 ∵直线y ＝

(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P .∴|PF 2|＝1

2|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|·sin60°＝3c ，由双

曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝c

3c －c

＝3＋1.

16．[2016·广州综合测试]已知函数f (x )＝?

????

1－|x ＋1|，x <1，

x 2－4x ＋2，x ≥1，

则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________个．答案 2

解析由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0，得f (x )＝21

－|x |

，画出y ＝?????

1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1

与y ＝21－

|x |的

图象，可知，它们有2个交点，所以零点个数为2.

三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．[2016·河南六市联考](本小题满分12分)如图，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声监测点，B 、C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是千米/秒．

(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．

解 (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ，PB ＝x －×8＝x －12.(2分)

在△P AB 中，AB ＝20，cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB ＝x 2＋202－?x －12?22x ·20＝3x ＋325x ，

同理，在△P AC 中，

AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25

x .(4分)

∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，∴3x ＋325x ＝25

，解得x ＝31.(6分)

(2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝25

，

得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝

421

31，(9分) ∴PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×421

＝421.

故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．(12分)

18．[2016·重庆市一模](本小题满分12分)某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种．

方案一：每满200元减50元；

方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，

所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区别)

(1) (2)若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？解 (1)记顾客获得半价优惠为事件A ，则P (A )＝3×2×14×4×4＝3

，(2分)

两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率P ＝1－P (A )P (A )＝1－????1－3322＝1831024.(4分)

(2)若选择方案一，则付款金额为320－50＝270元．(6分) 若选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取160,224,256,320. P (X ＝160)＝3

，

P (X ＝224)＝3×2×3＋3×2×1＋1×2×14×4×4＝13

32，

P (X ＝256)＝3×2×3＋1×2×3＋1×2×14×4×4＝13

32，

P (X ＝320)＝1×2×34×4×4＝3

，(9分)

则E (X )＝160×332＋224×1332＋256×1332＋320×3

32＝240.

∵270>240，

∴第二种方案比较划算．(12分)

19．[2016·贵州四校联考](本小题满分12分)已知长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝ 2.现将长方形沿对角线BD 折起，使AC ＝a ，得到一个四面体A －BCD ，如图所示．

(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD ，AD 与BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 值；若不垂直，请说明理由．

(2)当四面体A －BCD 体积最大时，求二面角A －CD －B 的余弦值．解 (1)若AB ⊥CD ，因为AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥面ACD ?AB ⊥AC .

即AB 2＋a 2＝BC 2?12＋a 2＝(2)2?a ＝1.(2分) 若AD ⊥BC ，因为AD ⊥AB ，AB ∩BC ＝B ，所以AD ⊥面ABC ?AD ⊥AC ，

即AD 2＋a 2＝CD 2?(2)2＋a 2＝12?a 2＝－1，无解，故AD ⊥BC 不成立．(4分)

(2)要使四面体A －BCD 体积最大，因为△BCD 面积为定值2

，所以只需三棱锥A －BCD 的高最大即可，此时面ABD ⊥面BCD .(6分)

过A 作AO ⊥BD 于O ，则AO ⊥面BCD ，以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz (如图)，

则易知A ?

???0，0，

63，C ????63，33，0，D ???

?0，233，0，显然，面BCD 的法向量为OA →＝????0，0，6

3.(8分)

设面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．

因为CD →＝????－63，33，0，DA →＝?

???

0，－233，

63，所以???

6x ＝3y ，

23y ＝6z .

令y ＝2，

得n ＝(1，2，2)，(10分) 故二面角A －CD －B 的余弦值即为 |cos 〈OA →

，n 〉|＝

263

·1＋2＋4＝277.(12分)

20．[2016·全国卷Ⅲ](本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．

(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；

(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解由题知F ????12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ????a 2

2，a ，B ????b 2

2，b ，P ????－12，a ，Q ????－1

2，b ， R ?? －12，

?a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(3分) (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝k 2，

所以AR ∥FQ .(5分)

(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝1

2|b －a |????x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 则题设可得|b －a |????x 1－12＝|a －b |

2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．

当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y

x －1(x ≠1)，而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －

1(x ≠1)．

当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.(12分)

21．[2016·湖北八校联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax －ln x －4(a ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性；

(2)当a ＝2时，若存在区间[m ，n ]????

2，＋∞，使f (x )在[m ，n ]上的值域是???

?k m ＋1，k n ＋1，求k 的取值范围．

解 (1)函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －1

x ，

当a ≤0时，f ′(x )≤0，所以f (x )在(0，＋∞)上为减函数，

当a >0时，令f ′(x )＝0，则x ＝1

a ，当x ∈????0，1a 时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，当x ∈????1a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，(3分)

∴当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上为减函数；当a >0时，f (x )在????0，1a 上为减函数，在????1a ，＋∞上为增函数．(4分)

(2)当a ＝2时，f (x )＝2x －ln x －4，由(1)知：f (x )在???

2，＋∞上为增函数，而[m ，

n ]????

2，＋∞， ∴f (x )在[m ，n ]上为增函数，结合f (x )在[m ，n ]上的值域是????k m ＋1，k n ＋1知：f (m )＝k m ＋1，

f (n )＝k n ＋1，其中12≤m

x ＋1在????12

，＋∞上至少有两个不同的实数根，(6分) 由f (x )＝k

x ＋1

，得k ＝2x 2－2x －(x ＋1)ln x －4，

记φ(x )＝2x 2－2x －(x ＋1)ln x －4，x ∈????12，＋∞，则φ′(x )＝4x －1

x －ln x －3，记F (x )＝φ′(x )＝4x －1

x －ln x －3，则F ′(x )＝4x 2－x ＋1x 2＝?2x －1?2＋3x x 2

>0，

∴F (x )在????12，＋∞上为增函数，即φ′(x )在????1

2，＋∞上为增函数，而φ′(1)＝0， ∴当x ∈????

12，1时，φ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )>0， ∴φ(x )在????12，1上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，(10分)

而φ????12＝3ln 2－92，φ(1)＝－4，当x →＋∞时，φ(x )→＋∞，故结合图象得： φ(1)

(1)将曲线C 1上的所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C 2，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；

(2)设P 为曲线C 2上任意一点，求点P 到直线l 的最大距离．解 (1)由题意知，直线l 的直角坐标方程为2x －y －6＝0.(2分) ∵曲线C 2的直角坐标方程为：????x 32＋????y 22＝1，

即x 23＋y 2

＝1，(4分) ∴曲线C 2的参数方程为???

x ＝3cos θ，

y ＝2sin θ

(θ为参数)．(5分)

(2)设点P 的坐标(3cos θ，2sin θ)，则点P 到直线l 的距离为d ＝|23cos θ－2sin θ－6|

＝

???

?4cos ????θ＋π6－65

，

∴当cos ????θ＋π6＝－1时，d max ＝|4＋6|5

＝2 5.(10分) 23．[2016·南昌一模](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝x －2＋11－x 的最大值为M . (1)求实数M 的值；

(2)求关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋22|≤M 的解集．解 (1)f (x )＝x －2＋11－x ≤2

?x －2?＋?11－x ?

＝32，

当且仅当x ＝13

时等号成立．故函数f (x )的最大值M ＝3 2.(5分)

(2)由(1)知M ＝3 2.由绝对值三角不等式可得|x －2|＋|x ＋22|≥|(x －2)－(x ＋22)|＝3 2.

所以不等式|x －2|＋|x ＋22|≤32的解集就是方程|x －2|＋|x ＋22|＝32的解．(7分) 由绝对值的几何意义，得当且仅当－22≤x ≤2时，|x －2|＋|x ＋22|＝32，所以不等式|x －2|＋|x ＋22|≤M 的解集为 {x |－22≤x ≤2}．(10分)

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

高考数学模拟试卷(四)

高考模拟试卷（四）一、填空题 1. 已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝( ) A. B. C. D. 2. 复数在复平面上对应的点位于第( )象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3.已知在等比数列中，，9，则（） A ． B ．5 C ． D ．3 4. 若对任意实数，不等式成立，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 5. 在样本的频率分布直方图中,共有4个小长方形,这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列,已知,且样本容量为300,则小长方形面积最大的一组的频数为( ) A. 80 B. 120 C. 160 D. 200 6. 已知公差不为的正项等差数列中，为其前项和，若，，也成等差数列，，则等于( ) A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 7. 一个算法的流程图如图所示.若输入的n 是100，则输出值S 是( ) A. 196 B. 198 C. 200 D. 202 8. 已知周期函数是定义在R 上的奇函数，且的最小正周期为3，的取值范围为( ) A. B. C. D. {}0,1{}0,2{}1,2{}2,4i i 4321+-{}n a 11=a =5a =3a 5±3±[] 1,1p ∈-()2 330px p x +-->x ()1,1-(),1-∞-()3,+∞() (),13,-∞-+∞}{n a 122a a =0{}n a n S n 1lg a 2lg a 4lg a 510a =5S )(x f )(x f ,2)1(

高考数学模拟复习试卷试题模拟卷150 3

高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点； 2.了解反证法的思考过程和特点．【重点知识梳理】 1．直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果执果索因框图表示 P ?Q1→Q1?Q2→…→Qn ?Q Q ?P1→P1?P2 →…→ 得到一个明显成立的条件文字语言因为……所以…… 或由……得…… 要证……只需证…… 即证…… 2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法． (1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法． (2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．【高频考点突破】考点一综合法的应用例1 已知数列{an}满足a1＝12，且an ＋1＝an 3an ＋1(n ∈N*)． (1)证明数列{1 an }是等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设bn ＝anan ＋1(n ∈N*)，数列{bn}的前n 项和记为Tn ，证明：Tn<1 6. 【特别提醒】(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理

高考数学模拟复习试卷试题模拟卷20144

高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性； 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间??? ?－π2，π2内的单调性．【热点题型】题型一三角函数的定义域、值域【例1】 (1)函数y ＝1 tan x －1 的定义域为____________． (2)函数y ＝2sin ??? ?πx 6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－3 解析 (1)要使函数有意义，必须有???? ?tan x －1≠0，x ≠π2＋kπ，k ∈Z ，即? ??x ≠π 4＋kπ，k ∈Z ，x ≠π 2＋kπ，k ∈Z. 故函数的定义域为{x|x≠π4＋kπ且x≠π 2＋kπ，k ∈Z}． (2)∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π 6， ∴sin ????π6x －π3∈???? ??－32，1. ∴y ∈[]－3，2，∴ymax ＋ymin ＝2－ 3. 答案 (1){x|x≠π4＋kπ且x≠π 2＋kπ，k ∈Z} (2)A 【提分秘籍】 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型： ①形如y ＝asin x ＋bcos x ＋c 的三角函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝asin2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝asin xcos x ＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设t ＝sinx±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值

2020年高考数学模拟试卷汇编：专题4 立体几何(含答案解析)

2020年高考数学模拟试卷汇编专题4 立体几何（含答案解析） 1．（2020·河南省实验中学高三二测（理））现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠= ∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（） A 3 B ．36 C 3 D 3 2．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( ) A ．16 B ．163 C ．163 D ．1283 3．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是（） A ．若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于β B ．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β C ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥ D ．若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β 4．（2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟（理））榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，

它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于建筑，同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构，榫卯结构中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（） A ．36 B ．45 C ．54 D ．63 5．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．83π3 B ．4π1633 C 16343π+ D ．43π1636．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））在平面五边形ABCD E 中，60A ∠=?，63AB AE ==BC CD ⊥，DE CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120?，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为（） A ．63π B ．84π C ．252π D ．126π 7．（2020·陕西省西安中学高三三模（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

2020-2021高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<