2017年上海市延安中学高考数学三模试卷(解析版)
2017年上海市延安中学高考数学三模试卷
一、填空题（本题满分54分，第1题到第6题，每小题4分；第7题到第12题，每小题4分）
1．若复数（a+i）（1+i）在复平面上所对应的点在实轴上，则实数a=．
2．设集合A={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，集合B={x|x＞0}，则A∩B=．
3．（x2﹣）8的二项展开式中x7项的系数为．
4．若一个球的体积为36π，则它的表面积为．
5．若等差数列{a n}前9项的和为27，且a10=8，则d=．
6．函数的单调递增区间为．
7．如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=5，以A、B为焦点的双曲线恰好过C、D两点，则双曲线M的标准方程为．
8．设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．
9．若命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题，则实数m的取值范围是．
10．把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为
b，则方程组只有一个解的概率为．
11．已知点，且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数的图象上，则四边形ABCD的面积为．
12．已知O为△ABC的外心，且，若，则α+β的最大值为．
二、选择题（本题满分20分，每小题5分）
13．已知向量都是非零向量，“”是“”的（）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件
14．已知x＞y＞0，则（）
A．B．sinx﹣siny＞0 C．D．lnx+lny＞0
15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）
A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0）B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2）D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）
16．已知x，y∈R，且，则存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立的P（x，y）
构成的区域面积为（）
A．4﹣B．4﹣C．D． +
三、解答题（本题满分76分）
17．已知图一是四面体ABCD的三视图，E是AB的中点，F是CD的中点．
（1）求四面体ABCD的体积；
（2）求EF与平面ABC所成的角．
18．已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3：
（1）若函数y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；
（2）设函数g（x）=x+b，当a=3时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[5，8]，使得g（x1）=f（x2），求实数b的取值范围．
19．如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三
角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1和S2．
（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；
（2）求的最小值．
20．已知椭圆的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，定义：△F1BF2为椭圆C的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似
椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点是椭圆的一个焦点，且C1上任意一点到它的两焦点的距离之和为4．
（1）若椭圆C2与椭圆C1相似，且C2与C1的相似比为2：1，求椭圆C2的方程；
（2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C1上的任意一点，若点Q是直线y=nx与抛物线
异于原点的交点，证明：点Q一定在双曲线4x2﹣4y2=1上；
（3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为C b，是否存在正方形ABCD，（设其面积为S），使得A、C在直线l上，B、D在曲线C b上？若存在，求出函数S=f（b）的解析式及定义域；若不存在，请说明理由．
21．如果存在常数a，使得数列{a n}满足：若x是数列{a n}中的一项，则a﹣x也是数列{a n}中的一项，称数列{a n}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．
（1）若数列：2，3，6，m（m＞6）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；（2）已知有穷等差数列{b n}的项数是n0（n0≥3），所有项之和是B，求证：数列{b n}是“兑换数列”，并用n0和B表示它的“兑换系数”；
（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列{c n}，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由．
2017年上海市延安中学高考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本题满分54分，第1题到第6题，每小题4分；第7题到第12题，每小题4分）
1．若复数（a+i）（1+i）在复平面上所对应的点在实轴上，则实数a=﹣1．
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：复数（a+i）（1+i）=a﹣1+（a+1）i在复平面上所对应的点（a﹣1，a+1）在实轴上，则实数a满足a+1=0，
解得a=﹣1．
故答案为：﹣1．
2．设集合A={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，集合B={x|x＞0}，则A∩B=[3，+∞）．
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】解关于A的不等式，求出A，B的交集即可．
【解答】解：A={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}={x|x≥3或x≤2}，
B={x|x＞0}，
故A∩B=[3，+∞），
故答案为：[3，+∞）．
3．（x2﹣）8的二项展开式中x7项的系数为﹣56．
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】利用通项公式即可得出．
=（﹣1）r C8r x16﹣3r，
【解答】解：（x2﹣）8的二项展开式通项公式T r
+1
令16﹣3r=7，解得r=3，
故（x2﹣）8的二项展开式中x7项的系数为﹣56，
故答案为：﹣56
4．若一个球的体积为36π，则它的表面积为36π．
【考点】LG：球的体积和表面积．
【分析】求出球的半径，直接利用表面积公式求解即可．
【解答】解：因为球的体积为36π，所以球的半径：=3，
球的表面积：4π×32=36π，
故答案为：36π．
5．若等差数列{a n}前9项的和为27，且a10=8，则d=1．
【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】由题意可得：，解得d．
【解答】解：由题意可得：，解得d=1．
故答案为：1．
6．函数的单调递增区间为．
【考点】H5：正弦函数的单调性．
【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数的性质可得单调递增区间．
【解答】解：函数=2sin（x+），
令，k∈Z，
得：，
∴函数f（x）的单调递增区为：．
故答案为：．
7．如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=5，以A、B为焦点的双曲线恰好过C、
D两点，则双曲线M的标准方程为．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，求出A、B、C、D四点的坐标，分析可得c=6，由双曲线的定义可得2a=||AC|﹣|CB||=13﹣5=8，即a=4，由双曲线的性质可得b的值，将a、b的值代入双曲线方程即可得答案．
（﹣6，0），B（6，0），D（﹣6，5），C（6，5），则|AC|==13，【解答】解：根据题意，分析可得A：
若双曲线的焦点为A、B，则c=6，
又由双曲线恰好过C、D两点，则2a=||AC|﹣|CB||=13﹣5=8，即a=4，
又由c=6，则b2=a2﹣c2=20；
则双曲线的方程为：；
故答案为：．
8．设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为64．
【考点】8I：数列与函数的综合；8G：等比数列的性质．
【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值．
【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，
可得q（a1+a3）=5，解得q=．
a1+q2a1=10，解得a1=8．
则a1a2…a n=a1n?q1+2+3+…+（n﹣1）=8n?==，
当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．