和10的n次方加减1有关的速算法及其证明。

和n

10±1有关的速算法及其证明

1、加减法中和n 10±1有关的速算法。

例1：287+1001=287+（310+1）=287+310+1=1287+1=1288

287+999=287+（310-1）=287+310-1=1287-1=1286

法则： 当有一个加数是n 10±1时，先用另一个加数加上n 10，再加上1或者减去1。口诀是：先加整，再看零；少加1要加上1，多加1要减去1。

例2：3596-1001=3596-（310+1）=3596-310-1=2596-1=2595

3596-999=3596-（310-1）=3596-310+1=2596+1=2597

法则： 当减数是n 10±1时，先减去n 10，再减去1或者加上1。口诀是：先减整，再看零；少减1要减去1，多减1要加上1。

2、乘除法中和n 10±1有关的速算法。

例3：429?999=429?（310-1）=429?310-429?1=429000-429=428571

53?99=53?（210-1）=53?210-53?1=5300-53=5247

法则：当有一个因数是n 10-1时，用另一个因数减去1作积的前半部分，用n 10减去积的前半部分作积的后半部分。

这是另一个因数是n 位数时的速算法。其实当另一个因数的位数少于n 位时速算方法也相同，但是当另一个因数的位数多于n 位时，速算方法稍有不同。

例4：4167?99=4167?（210-1）=4167?210-4167?1=416700-4167=412533

2673?9=2673?（110-1）=2673?110-2673?1=26730-2673=24057

法则：当另一个因数的位数多于n 位时，先用这个因数从个位起的n 位减去1的差作减数，用n 10作被减数，差作积的后半部分，再用这个因数减去它从最高位起多于n 位的部分，再减去1作积的前半部分。

法则虽然啰嗦难记，但是运用起来并不复杂，速度还是要比笔算快许多。

例5：429?1001=429?（310+1）=429?310+429?1=429000+429=429429

53?101=53?（210+1）=53?210+53?1=5300+53=5353

法则：当有一个因数是n 10+1时，把另一个因数连写两遍就得到积。

这是另一个因数是n 位数时的速算法。当另一个因数的位数少于n 位时，这个因数少几位就在写第二遍时先写几个0就行了。但是当另一个因数的位数多于n 位时，速算方法稍有不同。 例6：：4167?101=4167?（210+1）=4167?2

10+4167?1=416700+4167=420867 2673?1001=2673?（310+1）=2673?310+2673?1=2673000+2673=2675673

法则：当另一个因数的位数多于n 位时，把这个因数错开n 位写两遍再求和就行了。

当n 10-1作除数时，除非被除数是n 10-1的整数倍，一般情况下，商是纯循环小数，循环节有n 位。当被除数是n 位时，被除数就是循环节；当被除数少于n 位时，在被除数前用0补够n 位就是循环节；当被除数多于n 位时，商是带小数，是以上两种情况的综合。 例7：429÷1001=0.428571（428571是循环节）

53÷101=0.5247（5247是循环节）

和例3对比可以发现：除数是n 10+1时商的循环节正好是因数是n 10-1时的积。条件是被除数和另一个因数相同且是n 位数。

证明如下：若A 是n 位数，则有 A ÷（n

10+1）=110+n A =)110)(110()110(-+-n n n A =110)110(2--n n A 。分母n 210-1是由2n 个9组成的，这说明A ÷（n 10+1）的商是纯循环小数，循环节是)110(-n A 。问题得证。

二〇一五年三月三日

求一个数的n次方根

数值计算 探讨求解的几种方法

摘要 很多科学计算问题都遇到非线性方程的求解问题。设非线性方程为 ()0 m f x x n =-=方程的解*x 称为方程的根或函数()f x 的零点。对于非线性方程的求解一般没有特殊公式，因此研究其数值解法是很有必要的，在此以求一个数的n 次方根为例探讨几种求近似根的常用方法，即二分法、牛顿迭代法、简化牛顿迭代法法以及割线法。 一、算法设计 计算机配置内存：2G 处理器主频：2.53GHz MATLAB 版本：R2011b 1.1二分法 设()f x 在区间[,]a b 上连续，()()0f a f b ?<，则[,]a b 内有方程的根。取[,]a b 的中点01 ()2 x a b = +，将区间一分为二。若0()0f x =，则0x 就是方程的根，否则判别根*x 在0x 的左侧还是右侧。 若0()()0f a f x ?<，则*0(,)x a x ∈，令110,a a b x ==；若0()()0f a f x ?>，则*0(,)x x b ∈，令101,a x b b ==。 不论出现那种情况，11(,)a b 均为新的有根区间，它的长度只有原有根区间长度的一半，达到了压缩有根区间的目的。 对压缩了的有根区间，又可施行同样的步骤，再次压缩有根区间。如此反复进行下去，即可得一系列有根区间套 11[,][,][,]n n a b a b a b ???? 由于每一区间都是前一区间的一半，因此区间[,]n n a b 的长度为 1 ()2n n n b a b a -= -若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限的进行下去。当n →∞

10以内加减法混合运算

十以内加减运算 9-5-3= 2+2+2= 3-2+1= 2-1+1= 6+1+1= 4+2-3= 9-6+5= 9-5-2= 3+5+1= 9-3-4= 2+2-1= 3+4-2= 4+4+2= 3+3-3= 1+2+3= 2+2+6= 7-7+9= 3+5+1= 9-3-4= 2+2-1= 3+4-2= 4+4+2= 5-2+1= 1+3+4= 1+4+5= 1+5+1= 1+6+2= 1+7-2= 2+1+7= 2+3+5= 2+4+4= 3+4+1= 3+2+3= 9-3+2= 8-5+4= 8-6+4= 7-4+2= 8-3-4 = 9-4-5 = 8-3+2 = 3+2-4 = 8-5+3= 9-8+7= 5+4-7= 2+3+5= 10-3-4= 10-2-6= 10-8+1= 9-3-2= 9-4+1= 9-8+6= 9-4-5= 2+4+3= 8+2-1= 8-4+6= 8-8+5= 8-4-2= 7-1+3= 4+3-3= 5+3-4= 3+5-6= 7-4-3= 7+2-9= 6-4-1= 6+3-5= 6+1+3= 7-7+3= 8+0-0= 8+2-10= 9-8+1= 4+5-3= 7-6+6= 3-2+5= 5+3-2= 5+4+1= 4-3+6= 9-4-4= 9-8+4= 8-7+4= 3+7-5= 姓名：_____ 时间：______ 做对了___题（共100题）( )+5=10 3+( )=10 ( )-0=6 ( )+7=8 7-( )=7

9-( )=0 ( )+1=4 4+( )=10 ( )-4=2 ( )+3=9 3-( )=2 5+( )=9 ( )+3=3 10-( )=5 ( )+1=7 ( )+5=10 4+( )=5 ( )-4=3 ( )+2=9 0-( )=0 ( )+4=7 6-( )=1 10-( )=8 5-( )=2 6+( )=10 ( )+6=7 ( )-7=3 ( )+5=5 7-( )=2 2+( )=9 ( )+5=7 4+( )=10 ( )-7=2 4+( )=4 ( )-6=4 ( )+5=6 6+( )=7 ( )-2=4 10-( )=3 ( )-3=3 ( )-7=3 4+( )=9 ( )-5=5 ( )+2=8 4+( )=8 ( )+8=10 ( )-2=5 10-( )=1 ( )-7=2 ( )-1=8 10-( )=3 ( )-9=1 5+( )=8 ( )-0=10 4+( )=6 ( )-4=2 6-( )=3 7-( )=7 ( )+2=7 ( )-6=2 9-( )=2 ( )+2=5 0+( )=4 7-( )=6 ( )-3=0 ( )+6=9 1+( )=8 ( )-3=4 3+( )=4 ( )-9=1 ( )-3=5 9-( )=4 ( )-5=1 10-( )=2 ( )-6=4 ( )+3=8 5+( )=7 ( )-3=0 6-( )=2 姓名：____ 时间：____ 做对了_____题（共100题）2＋6＝ 9－7＝ 3＋2＝ 3＋4＝ 5＋4＝ 3＋5＝ 7＋1＝ 9－3= 8－3= 5－4= 8－2＝ 0＋8＝ 3＋1＝ 6＋1＝ 7＋3＝ 10－2＝

笔算开n次方的方法

笔算开n次方 笔算开n次方的方法： 1、把被开方的整数部分从个位起向左每隔n位为一段，把开方的小数部分从小数点第一位起向右每隔n位为一段，用撇号分开； 2、根据左边第一段里的数，求得开n次算术根的最高位上的数，假设这个数为a； 3、从第一段的数减去求得的最高位上数的n次方，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数； 4、把n(10a)^(n-1)去除第一个余数，所得的整数部分试商（如果这个最大整数大于或等于10，就用9做试商）； 5、设试商为b。如果(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数，这个试商就是n次算术根的第二位；如果(10a+b)^n-(10a)^n大于余数，就把试商逐次减1再试，直到(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数为止。 6、用同样的方法，继续求n次算术跟的其它各位上的数（如果已经算了k位数数字，则a要取为全部k位数字）。 例如计算987654321987654321的五次算术根，就算到小数点后四位。 3 9 7 1. 1 9 2 9 5√987'65432'19876'54321.00000'00000'00000'00000 243 ________________________________________________ 744 65432......................................74465432/(5×30^4)整数部分是18，用9作试商 659 24199......................................39^5-30^5 _____________________________________________ 85 41233 19876................................854123319876/(5×390^4)的整数部分是7，用7作试商 83 92970 61757................................397^5-390^5 ____________________________________________ 1 4826 2 58119 54321..........................1482625811954321/(5×3970^4)的整数部分是1，用1作试商 1 24265 57094 08851..........................3971^5-3970^5 ___________________________________________ 23997 01025 45470 00000....................23997010254547000000/(5×39710^4)的整数部分是1，用1作试商 12433 44352 06091 99551....................39711^5-39710^5 _________________________________________ 11563 56673 39378 00449 00000..............1156356673393780044900000/(5×397110^4)的整数部分是9，用9作试商 11191 17001 57043 20516 21599..............397119^5-397110^5 _________________________________________ 372 39671 82334 79932 78401 00000........3723967182334799327840100000/(5×3971190^4)的整数部分是2，用2

最新自然数幂次方和公式

1 2 自然数幂次方和的另一组公式 3 摘要：一般的自然数幂次方和公式是用n 的p+1次方的多项式表示，考虑到任 4 一多项式均可用k n C 表示，本文给出了自然数幂次方和用k n C 表示的方法，并且给 5 出了相应的系数完整表达式。这比多项式表达方便得多，因为多项式表达的系数 6 至今仍是递推公式表达。 7 8 9 由笔者的文章（注【1】）知，自然数幂次方和可以用关于n 的多项式表达，而 10 每一个多项式均可用k n C 表示的，因此可猜想自然数幂次方和也可以用k n C 表达出 11 来。 12 假设自然数幂次方和可以写成以下形式 13 ∑∑=++===p k k n k n k p n C A k S 1 111 。。。。。。（1） 14 那么同理可应有： 15 ∑∑=++--=-==p k k n k n k p n C A k S 1 11)1(1 1 1 16 那么： 17 ∑∑=+=++--=-=p k k n k p k k n k n n p C A C A S S n 1 1 1 11 1 18

[ ]∑∑==+++=-=p k k n k p k k n k n k p C A C C A n 1 1 111 19 20 ∑== p k k n k p C A n 1 21 因为对于充分大的自然数n 均使得上述式子成立，所以上式对应的应该是一个22 关于n 的p 次多项式，其中： 23 )1).....(1(k n n n C k n -+-= 24 这仅仅是一个多项式的写法，与排列组合无关, n 可为任意的数。 25 分别令n=1,2,3， 。。。。p-1时就有： 26 01 1 1 1 +=+ ==∑∑∑∑=+===t k k t k p t k k t k t k k t k p k k t k p C A C A C A C A t 27 ∑==t k k t k p C A t 1 )1...3,2,1(-=p t 。。。。。。。。 28 （2) 29 ∑-=-=1 1t k k t k p t C A t A )1...3,2,1(-=p t 。。。。。。。。 30 （3） 31 这是一个递推的数列，其中A 1=1 ， 很显然，通过它可以求出所有的系数t A ，32 仿照笔者的文章（注【1】）可证明，由（3）式求出的系数t A ，使得公式（1）33 成立，即自然数幂次方和的公式由（1）（3）给出了。 34 其中（3）式是递推公式，那么能不能直接写出系数A t 的表达式呢，下35 面给出这个结论。 36

1到10的n次方表格

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10以内的加减混合运算

10以内的加减混合运算 [教学内容]《义务教育教科书（五·四学制）·数学（一年级上册）》58～59页。 [教学目标] 1.理解加减混合所表示的意义，掌握加减混合的计算顺序，能正确地进行10以内数的加减混合计算。 2.学生经历从实际情境中抽象出加减混合计算数学问题的过程，直观地理解加减混合计算的意义。在学习活动中，经历观察、比较、抽象和概括等思维过程，发展思维能力。 3.在学习活动中，激发学生的学习兴趣，使学生体会到生活中处处有数学。并培养学生应用所学知识解决实际问题的能力，体会加减混合计算与生活的密切联系。 [教学重点]帮助学生理解加减混合式题的意义及计算顺序，正确计算。 [教学难点]理解加减混合运算的含义。 [教学准备]多媒体课件、小棒 [教学过程] 一、创设情境，激发兴趣 师：同学们，你们听说过《小猫钓鱼》的故事吗？花果山上的小猴子们也想学钓鱼，可是有些小猴学会了，有些小猴没学会，想知道为什么吗？我们一起去花果山看看吧！ 二、自主学习，小组探究 课件出示主题图。（图1） 1.观察情境图，讲数学故事。 学生观看课件。（见图1） 师：图上都有什么？它们在干什么？你能编一个数学故事吗？认真观察，把你编的故事讲给同桌听。 同桌交流后，教师指名一至两名同学讲一讲他们编的数学故事。（组织学生对他们的表现进行评价） 【设计意图】喜欢故事是孩子的天性，这个环节以故事导入，激起了学生的学习热情，自然地导入了新课，达到了课始趣生之效。 2.说说图中的信息，并提出数学问题。 （1）师：仔细观察主题图，你发现了哪些数学信息？ 预设1：5只学钓鱼，走了3只，又来了1只。

预设2：鱼缸里有3条，又钓了2条，跑了1条。 （2）师：根据这些信息，你能提出什么数学问题？ 预设1：现在有几只小猴学钓鱼？ 预设2：现在鱼缸里有几条小鱼？（师板书） 师：同学们可真棒！提的问题非常好。你有信心解决这些问题吗？ 3.解决红点问题“现在有几只小猴学钓鱼”。 小组讨论：怎样才能求出现在有几只猴子学钓鱼？让学生充分发挥个人的见解，每组选出一名同学汇报本组的意见。 教师根据学生的汇报情况分别列出各种算式。 5-3+1= 5+1-3=（师板书） 【设计意图】学生在讨论交流中，能够探索出多种算法。在与同学交流的过程中，学生有较强的合作意识并能有条理地、清晰地表述自己的操作和思考过程。 4.比较观察。 师：这两个算式和我们前两节课学的算式有什么不一样的地方？ 师：那你能不能像连加、连减一样给这种算式起一个名字？ 师小结：像这种有加法又有减法的算式，它的名字叫“加减混合”。今天我们就来学习10以内的加减混合运算。（师板书课题） 5.小组合作，探索算法。 师：5-3+1=？你能用学具摆一摆，解决这个问题吗？自己试试看。 小组同学互相说一说自己的想法。（小组活动，师巡视） 【设计意图】通过学生操作和语言表述，使学生自己加深表象，感悟加减混合运算的方法。 三、汇报交流，评价质疑 汇报交流计算方法，理解加减混合计算的意义。 师：哪个小组来汇报一下你们的想法？ 1.全班交流。 预设1：用小棒来摆一摆，从5个里面拿去3个再加上1个。 预设1：用5个小棒加上1个，再减去3个。 预设3：直接口算答案。 （课件演示） 2.运算顺序。 师：谁能说说算式中各数代表的什么意思？ 师：你能说一说运算顺序吗？ 引导学生用“先算……再算……”的格式表示运算顺序。 3.解决绿点问题“鱼缸里现在有几条鱼”。 （1）同学们认真观察鱼缸里小鱼是怎么变化的，然后独立思考，列出算式。 理解有困难的可以根据图意摆学具，再列式。 （2）让学生来当小老师讲解。引导学生用“先算……后算……”的格式表达运算顺序。

两数N次方差的一般计算公式

两数N次方差的一般计算公式 在数学的学习中，有时候会碰到求两数的平方差的题目，在六年级的奥数学习中，通过面积和体积的计算公式，发现了相邻两数二次方和三次方的计算规律，后来我把它推演到不相邻两个数的N次方，发现同样有效。就如同二次方差用于计算面积差，三次方的差用于计算体积差一样，也许N次方的差在将来用于计算N维度的差。 推导过程： 一、由二次方看 首先，我们知道两个数的二次方的计算方法 已知一个数A的平方，求这个数相邻数的平方。 解答：如图，一个数A的平方如图中有色部分，即A^2；这个数的相邻数的平方可以看图中的白色方框包含的部分和绿色边框包含的部分，他们分别是： 5^2-4^2=5^(2-1)+4^(2-1)=5+4=9 几何上可以理解为：图中白色框的一边5与另一边4相加 4^2-3^2=4^(2-1)+3^(2-1)=4+3=7 几何上可以理解为：图中绿色框的一边3与另一边4的相加 所以对于相邻两数的二次方的差计算的一般公式如下： (A+1)^2-A^2=(A+1)^(2-1)*A^(2-2)+(A+1)^(2-2)*A^(2-1) 对于最外边白色框与里边绿色框的平方差，可通过图形看到 (A+1)^2-（A-1)^2=(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)*2+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)*2 =[(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)]*2 几何上理解为：

长方向的A+1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积、宽方向上A-1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积，两块面积的和。 同理，推广到两个不相邻数P与Q的平方差，可表示为： P^2-Q^2=[P^(2-1)*Q^(2-2)+P^(2-2)*Q^(2-1)]*(P-Q) 二、再看三次方的情况 我们看相邻两个数的三次方的差的计算方法： 已知一个数A的三次方，求这个数相邻数的三次方。 设A的相邻数为A+1和A-1，则他们的三次方可以用一个三维立体图形形象地表示，如右图： (A+1)^3-A^3=(A+1)^(3-1)*A^(3-3)+(A+1)^(3-2)*A^(3-2)+(A+1)^(3-3)*A^(3-1) A^3-(A-1)^3=A^(3-1)*(A-1)^(3-3)+A^(3-2)*(A-1)^(3-2)+A^(3-3)*(A-1)^(3-1) 几何上的理解是： 长方向的A与高方向上的A厚度为1的体积、宽方向上的（A-1）与高方向上的A厚度为1的体积、长方向上的（A-1）与宽方向上的（A-1）厚度为1的体积，这三块体积之和。 对于不相邻两个数P、Q的三次方的差，可以看作是厚度为（P-Q）的形成体积的体积差，一般公式为： P^3-Q^3=[P^(3-1)*Q^(3-3)+P^(3-2)*Q^(3-2)+P^(3-3)*Q^(3-1)]*(P-Q) 三、推广到四次方 同样，可以知道相邻两个数的四次方之差公式：

最美的十个公式和十个数形结合

英国科学期刊《物理世界》曾让读者投票评选了“最伟大的公式”，最终榜上有名的十个公式既有无人不知的1＋1＝2，又有著名的E＝mc^2；既有简单的圆周公式，又有复杂的欧拉公式…… No.10 圆的周长公式（The Length of the Circumference of a Circle） 目前，人类已经能得到圆周率的2061亿位精度。还是挺无聊的。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位就已经足够了。如果用35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。现在的人计算圆周率，多数是为了验证计算机的计算能力，还有就是为了兴趣。 No.9 傅立叶变换（The Fourier Transform） 这个挺专业的，一般人完全不明白。不多作解释。简要地说，没有这个式子就没有今天的电子计算机，所以，你能在这里上网除了感谢党和政府外还要感谢这个完全看不懂的式子。傅立叶虽然姓傅，但他是法国人。 No.8 德布罗意方程组（The de Broglie Relations） 这个东西也挺牛B的，高中物理学到光学的活很多概念跟它是远亲。简要地说，德布罗意这人觉得电子不仅是一个粒子，也是一种波，它还有“波长”。于是搞啊搞，就有了这个物质波方程（属于量子物理的范畴），它表达了波长、能量…等之间的关系。同时他也获得了1929年的诺贝尔物理学奖。 No.7 哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture） 1＋1＝2 这个公式不需要名称，不需要翻译，更不需要解释。

No.6 薛定谔方程（The Schr?dinger Equation） 也是一般人完全不明白的。因此我摘录官方的评价：“薛定谔方程是世界原子物理学文献中应用最广泛、影响最大的公式”。由于对量子力学的杰出贡献，薛定谔获得1933年诺贝尔物理奖。另外，薛定谔虽然姓薛，但他是奥地利人。 No.5 质能方程（Mass–energy Equivalence） 好像从来没有一个科学界的公式有如此广泛的意义。在物理学的“奇迹年”1905年，由一个叫做爱因斯坦的年轻人提出。同年他还发表了《论动体的电动力学》——俗称狭义相对论。这个公式告诉我们：能量和质量是可以互换的。副产品：原子弹。 No.4 勾股定理／毕达哥拉斯定理（Pythagorean Theorem） No.3 牛顿第二定律（Newton's Second Law of Motion） 有史以来最伟大的有其没有之一的科学家在有史以来最伟大的科学巨作《自然哲学的数学原理》当中的被认为是经典物理学中最伟大的核心定律。动力学的所有基本方程都可由它通过微积分推导出来。对于学过高中物理的人，没什么好多讲了。 No.2 欧拉公式（Euler's Identity） 这个公式是上帝写的么？到了最后几名，创造者个个都是神人。欧拉是历史上最多产的数学家，也是各领域（包含数学的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药…等）最多著作的学者。数学史上称十八世纪为“欧拉时代”。 欧拉出生于瑞士，31岁丧失了右眼的视力，59岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆力及注意力。他一生谦逊，很少用自己的名字给他发现的东西命名。不过还是命名了一个最重要的一个常数——e。

10以内加减法和混合运算(100道)

加减法练习题 姓名：_______ 时间：_____ 成绩：_____（共100题） 8-6= 3+9= 9+5= 9-3= 5-2= 4+2= 10+5= 6+2= 8+3= 2+2= 4+1= 5-2= 4-3= 9-5= 3-1= 2-2= 6-3= 2+8= 8-7= 4+2= 8+6= 6-3= 2-1= 2+6= 8+5= 8+9= 6-1= 4+1= 9-2= 8-6= 9+7= 4+3= 6+4= 3-2= 2+1= 8-3= 10+1= 8-6= 1+3= 8-7= 9+3= 3+1= 6+2= 8+8= 2+8= 1+8= 3-1= 8+1= 6+4= 8-3= 2+3= 1+2= 7-3= 9-4= 3+2= 3+2= 4+1= 10-4= 3+6= 8+2= 7-4= 5-3= 7+4= 6-3= 6-1= 1+7= 8+2= 4-1= 9-7= 6+3= 5-5= 9+8= 6-3= 6-2= 3+7= 7+1= 2+4= 9-5= 2-1= 5+2= 8-4= 5+4= 9-1= 8+7= 3+3= 6+3= 6+3= 9+4= 7-4= 9-2= 7-2= 2+1= 1+3= 1+8= 9-2=

6+5= 8-3= 5-2= 10-6= 3-2= 10以内加减法练习题( 2 ) 姓名：_______ 时间：_____ 成绩：_____ （共100题） 8-2= 3-2= 6+2= 6+3= 1+7= 1+3= 2+5= 10-4= 2+4= 9-7= 4-2= 2+6= 9-2= 3+1= 1+9= 8-1= 4+6= 5+3= 7-3= 5+5= 6+4= 5-3= 8+2= 7-3= 3+6= 8+2= 2+7= 9-8= 9-4= 8-6= 10-7= 2-1= 6+3= 5-2= 5-2= 8+2= 4-1= 9+1= 4-3= 2+1= 8-1= 9-7= 5+2= 1+3= 4-3= 9-8= 2+4= 6+2= 3+2= 8+2= 9-4= 4-3= 4+2= 5+2= 6-2= 6-3= 6-5= 7-1= 4-2= 5+3= 9+1= 7+3= 1+9= 9+1= 5-4= 9-5= 4-1= 5-4= 1-1= 2+2= 1+2= 8-3= 5+2= 4+5= 1+3= 6-5= 9-9= 1+9= 7-6= 1+2= 2+8= 1+9= 1+6= 9-6= 8-1=

幂的运算

幂的运算 第一部分:知识归纳，要点总结 （什么是——幂？） n a 1、 同底数幂的乘法（重点） 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式表示：m n m n a a a += （m 、n 都是正整数）。 推导过程：()()m n m n a a a a a a a a a +== 。 关键：找准底数。 注意：①底数必须相同；②相乘时，底数没有变化；③指数相加的和作为最终结果幂的指数。 例：计算351010?= ，3m m ?= ，()()32 b b --= ，21n n b b += 。 推广及逆用（难点） 同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上同底数幂的情况，即：m n p m n p a a a a ++= （m 、n 、p 都为正整数）， m n p m n p a a a a +++= （m 、n ，…，p 都为正整数）。 反之，m n m n a a a += （m 、n 为正整数）亦成立。 2、 幂的乘方与积的乘方 ⑴幂的乘方 意义：指几个相同的幂相乘。如：()n m a 是n 个m a 相乘，读作a 的m 次幂的n 次方。 推导过程：。 法则（重点）：()n m mn a a =（m 、n 都是正整数）。 ⑵积的乘方 意义：是指底数是乘积形式的乘方。如：()3ab ，()n ab 。 推导过程：()()()()()()n n n ab ab ab ab a a a b b b a b === 。

法则（重点）：()n n n ab a b =（n 为正整数）。 3、 同底数幂的除法 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 公式表示：m n m n a a a -÷=（0a ≠，m 、n 为正整数，且m>n ）。 例：62x x ÷= ，()5 3a a -÷= ，41n n a a ++÷= ，()()3211a a +÷+= 。 零指数幂与负整数指数幂的意义（重、难点） （1）零指数幂 ()010a a =≠， 即任何不等于0的数的0次幂都等于1。 （2）负整数指数幂 1p p a a -=（0a ≠，p 是正整数） 即任何不等于零的数的-p （p 是正整数）次幂，等于这个数的P 次幂的倒数。 第二部分:考点精析，方法指导 【典型例题1】已知23x =，求32 x +的值。 【典型例题2】计算3534x x x x x += 【典型例题3】若236m m x x x -= ，求2112m m -+的值。 【典型例题4】若2m =-，求()()3 24m m m --- 的值。

10以内的加减混合运算

10以内的连加连减、加减混合 、基本练 1. (1) 3+3+2二(11) 5-2- 1 = (2) 5+4+1= (12) 6-3- 1 = (3) 2+6+1= (13) 8-3-4= ⑷1+7+1= (14) 9-3- 1 = (5) 5+4+1= (15) 10-7 —仁 (6) 6+3+1= (16) 8-2- 1 = (7) 7+1 + 2 二(17) 10-3-2= ⑻2+4+1= (18) 9-2-5= (9) 3+2+5二(19) 7-1-4= (10) 2 + 4+2 二(20) 8-5- 3= 2. (1) 4-1+2二(11) 1-1+3二 ⑵1+6-4= (12) 3+5— 5= ⑶10-3 +1 = (13) 4—4+ 2= ⑷10-4+2= (14) 4+4 —仁 ⑸4+5-3= (15) 5+ 1-2=

(6) 5+3+1 二(16) 2 + 6-5= (7) 4+ 3-5= (17) 8-2 +仁 (8) 10-6 +3二(18) 8-3 +仁 (9) 6-5+4= (19) 5+ 3-5= (10) 7+2-4= (20) 6+4 — 2二 、变式练。（在O里填上“ + ” 或“―”) (1) 40503=6 (6) 70503=401 (2) 20805=5 ⑺ 90605= 1002 (3) 60205=9 ⑻ 100205=201 (4) 30305=5 (9) 60205= 906 ⑸ 100205=3 (10) 100200=701 三、开放练 1.学校举行“学雷锋活动”，小明同学做了4件好事，李明做了 3 件好事， 王洋做了2好事，他们三人共做了几件好事？ 2.水果店运来10箱橘子，第一天卖出2箱，第二天卖出4箱， 还剩多少箱?

方根、指数、幂、对数基本运算公式及全部推导公式

方根、指数、幂、对数基本运算公式及全部推导公式 1.根式运算法则： (1) ， ， ； (2) ， ， (m a =≥0) a =≥0,P ≠0) (5) , 0),,a m n N =≥∈其中 2.指数运算法则： ， ， ， ， ， ， （7）1 (0)m m a a a -=≠， （8）1 n a = （9）m n a =（10） d b d b a c a c =?= 3.对数运算法则： i 性质：若a ＞0且a≠1，则 ， ， （3）零与负数没有对数， （4）log log 1a b b a ?= ⑥, （7）log log log 1a b c b c a ??= ii 运算法则： 若a ＞0且a≠1，M ＞0，N ＞0，b ＞0且b≠1，n ∈R 则 ， ，

， log log (,01)m n a a n b b a b m =>≠且 （4） , log log n n a a m m =， 1log log n a a m m n = （5）换底公式 ， a>0 a ≠1, b>0 b ≠1, N>0, （6）倒数公式 1 log ,0,1log a b b a a a = >≠, b>0 b ≠1 (7) 十进制对数 10log lg N N = ， l g 10x N x N =?= （8）自然对数 log e N InN = ， x InN x e N =?= ， 1lim(1) 2.71828...n n e n →∞ =+≈ 4.指数与对数式的恒等变形： ； 。 5、指数方程和对数方程解题： ()(1)()log ,log ()()(f x b a a a b f x b f x b f x a =?==?=定义法） ()()(2)()(),log ()log ()()()0(f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =?==?=>转化法） ()()(3)b ()log ()log ,f x g x m m a f x a g x b =?=（取对数法） ()(4)log log ()log ()log ()/log ,f x a b a a a g x f x g x b =?=（换底法） 6、理解对数 ①两种log a b 理解方法 1、表示a 的“指数”，这个指数能让a 变成b 。 2、表示a 的多少次方等于b 。 ② log log (...)n a a m M M M =??? n 个 log log ...log a a a M M M =+++ n 个 log a n M =

n次方和及n次方差公式

n 次方和及n 次方差公式 （1）n 次方差公式： 123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++ ++，n N *∈ （2）n 次方和公式： 123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -----+=+-++ -+，n N *∈，n 为奇数 注意：n 为偶数时，没有n 次方和公式 实际上， 12322211,()((1)(1)),n n n n n n n n n n n a b n a b a a b a b ab b a b n -------?+?+-++--+-=?-??为奇为偶 即n 为偶数时，立方和公式有两个： 123221123221()()()()n n n n n n n n n n n n a b a b a a b a b ab b a b a a b a b ab b -----------=-+++ ++=+-+++- 常用公式： 1.平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 2.立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ 立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3.四次方差公式：4432233223()() ()() a b a b a a b ab b a b a a b ab b -=-+++=+-+- 4.1231(1)(1)n n n n x x x x x x ----=-+++++，n N *∈ 1231(1)(1)n n n n x x x x x x ---+=+-+++-，n N *∈，n 为奇数

10以内的加减混合运算练习题

10以内的加减混合运算练习题 10-5+4= 2+3+4= 1+8-4= 10-5-2= 9-2-7= 8-5+1= 1+2-3= 3+4+3= 2+2+2= 5+2+1= 2-1+4 3-3+5= 0+2+4= 7-5-1= 6-2-2= 7-0+2= 3+1+2= 5+5-0= 0+7-7= 4+1+2= 9-5-0= 8-5-2= 7-5+3= 9-5+4= 10以内的加减混合运算练习题 10-5+4= 2+3+4= 1+8-4= 10-5-2= 9-2-7= 8-5+1= 1+2-3= 3+4+3= 2+2+2= 5+2+1= 2-1+4 3-3+5= 0+2+4= 7-5-1= 6-2-2= 7-0+2= 3+1+2= 5+5-0= 0+7-7= 4+1+2= 9-5-0= 8-5-2= 7-5+3= 9-5+4= 10以内的加减混合运算练习题 10-5+4= 2+3+4= 1+8-4= 10-5-2= 9-2-7= 8-5+1= 1+2-3= 3+4+3= 2+2+2= 5+2+1= 2-1+4 3-3+5= 0+2+4= 7-5-1= 6-2-2= 7-0+2= 3+1+2= 5+5-0= 0+7-7= 4+1+2= 9-5-0= 8-5-2= 7-5+3= 9-5+4= 10以内的加减混合运算练习题

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可靠性计算公式大全

常运行的概率，用R(t)表示． 所谓失效率是指单位时间内失效的元件数与元件总数的比例，以λ表示，当λ为常数时，可靠性与 失效率的关系为： Ｒ（λ）=e-λu(λu为次方） 两次故障之间系统能够正常工作的时间的平均值称为平均为故障时间(MTBF) 如：同一型号的1000台计算机，在规定的条件下工作1000小时，其中有10台出现故障 ，计算机失效率：λ=10/(1000*1000)=1*10-5(5为次方） 千小时的可靠性：R(t)=e-λt=e(-10-5*10^3(3次方）＝0.99 平均故障间隔时间MTBF=1/λ=1/10-5=10-5小时． 1）表决系统可靠性 表决系统可靠性：表决系统是组成系统的n个单元中，不失效的单元不少于k（k介于1和n之间），系统就不会失效的系统，又称为k/n系统。图12.8-1为表决系统的可靠性框图。通常n个单元的可靠度相同，均为R，则可靠性数学模形为： 这是一个更一般的可靠性模型，如果k=1，即为n个相同单元的并联系统，如果k=n，即为n个相同单元的串联系统。 2）冷储备系统可靠性 冷储备系统可靠性(相同部件情况)：n个完全相同部件的冷贮备系统,(待机贮备系统),转换开关s 为理想开关Rs=1,只要一个部件正常,则系统正常。所以系统的可靠度： 图12.8.2 待机贮备系统

3）串联系统可靠性 串联系统可靠性：串联系统是组成系统的所有单元中任一单元失效就会导致整流器个系统失效的系统。下图为串联系统的可靠性框图。假定各单元是统计独立的，则其可靠性数学模型为 式中，Ra——系统可靠度；Ri——第i单元可靠度 多数机械系统都是串联系统。串联系统的可靠度随着单元可靠度的减小及单元数的增多而迅速下降。图12.8.4表示各单元可靠度相同时Ri和nRs的关系。显然，Rs≤min(Ri),因此为提高串联系统的可靠性,单元数宜少,而且应重视串联系统的可靠性,单元数宜少,而且应重视改善最薄弱的单元的可靠性。 4）并联系统可靠性 并联系统可靠性：并联系统是组成系统的所有单元都失效时才失效的失效的系统。图12.8.5为并联轴系统的可靠性框图。假定各单元是统计独立的，则其可靠性数学模型为 式中 Ra——系统可靠度 Fi——第i单元不可靠度

数量运算公式总结

数量关系常用公式 1.两次相遇公式：单岸型 S=(3S1+S2)/2 两岸型 S=3S1-S2 例题：两艘渡轮在同一时刻垂直驶离 H 河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙岸，另一艘从乙岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸 7 20 米处相遇。到达预定地点后，每艘船都要停留 10 分钟，以便让乘客上船下船，然后返航。这两艘船在距离乙岸 400 米处又重新相遇。问：该河的宽度是多少？ A. 1120 米 B. 1280 米 C. 1520 米 D. 1760 米 2.漂流瓶公式： T=（2t逆*t顺）/ （t逆-t顺） 无动力的木筏，它漂到B城需多少天？ 3.沿途数车问题公式：发车时间间隔T=(2t1*t2)/（t1+t2 ）车速/人速=(t2+t1)/(t2-t1) 例题：小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停地运行，每隔6分钟就有辆公共汽车从后面超过她，每隔10分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的（）倍？ A. 3 B.4 C. 5 D.6 4.往返运动问题公式：V均=(2v1*v2)/(v1+v2) 例题：一辆汽车从A地到B地的速度为每小时30千米，返回时速度为每小时20千米，则它的平均速度为多少千米/小时？（） A.24 B.24.5 C.25 D.25.5 5.电梯问题：能看到级数=（人速+电梯速度）*顺行运动所需时间（顺）能看到级数=（人速-电梯速度）*逆行运动所需时间（逆）

6.什锦糖问题公式：均价A=n /｛（1/a1）+(1/a2)+(1/a3)+(1/an)｝例题：商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所有费用相等，已知甲、乙、丙三种糖每千克费用分别为4.4 元，6 元，6.6 元，如果把这三种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克成本多少元？ A．4.8 元 B．5 元 C．5.3 元 D．5.5 元 7.十字交叉法：A/B=(r-b)/(a-r) 例：某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是：8.N人传接球M次公式：次数=（N-1）的M次方/N 最接近的整数为末次传他人次数，第二接近的整数为末次传给自己的次数。 例题：四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式（）。 A. 60种 B. 65种 C. 70种 D. 75种 9.对折问题：一根绳连续对折N次，从中剪M刀，则被剪成（2的N次方*M+1）段 10.方阵问题：方阵人数=（最外层人数/4+1）的2次方 N排N列最外层有：4N-4人 11.过河问题：M个人过河，船能载N个人。需要A个人划船，共需过河（M-A）/ (N-A)次。 例题 (广东05)有37名红军战士渡河，现在只有一条小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完？（）

10以内加减法混合运算练习(20200103160344)

10以内加减法混合运算练习 1 姓名：用时：正确数：（共7-7+2=8+2+0= 7-7+2=8+2+0= 2-0+4=3-1+4= 2-0+4=3-1+4= 7-4+6=3-0+3= 7-4+6=3-0+3= 4+8-2=4-2+0= 4+8-2=4-2+0= 7+1+1=10-7-3= 7+1+1=10-7-3= 7-5+1=10-5-5= 7-5+1=10-5-5= 3-1+1=8+2+0= 3-1+1=8+2+0= 4-0+8=1+4-5= 4-0+8=1+4-5= 9-7+0=9-2-1= 9-7+0=9-2-1= 1+3-1=8+1+0= 1+3-1=8+1+0= 9-3-2=4-3+3= 9-3-2=4-3+3= 3+2-1=9+1+0= 3+2-1=9+1+0= 5+1+2=1+8-8=5+1+2=1+8-8= 5-1+6=7+2+0=5-1+6=7+2+0= 2-0+6=5-3+6= 2-0+6=5-3+6= 4-2+6=2-2+3= 4-2+6=2-2+3= 8-8-0=3+4-0= 8-8-0=3+4-0= 4-0+1=3+2-3= 4-0+1=3+2-3= 8-4-1=4+3+2= 8-4-1=4+3+2= 4+0+4=1-1+5= 4+0+4=1-1+5= 4-1+3=6-6+3= 4-1+3=6-6+3= 9-1-3=8-0-4= 9-1-3=8-0-4= 7+2+1=3+5+1= 7+2+1=3+5+1= 6-2+2=9-2+4= 6-2+2=9-2+4= 6-2+2=9-2+4=6-4-2=8+1+0=

姓名：用时：正确数：（共3+3+1=4-1+2=8-0+9=9+1+0= 7+7-14=8+2+0=3-2-0=4-2+4= 3+0+3=8+8-14=8-5+5=4-2-1= 1+3+5=9+0+1=5-5+1=5-3+1= 3-0+10=4-2+4=8+1+0=8+0+0= 3+2+5=2+5-4=8-7+1=6-0-0= 8+0+2=4-4-0=4-2+2=9+9-18= 9+6-5=6+0+2=4-0-4=1-1+0= 5+3-7=5+8-10=9-1-3=3-1-0= 6+4+0=4-0+9=1-0+3=9+1+0= 5+10-15=9+0+0=9-4-2=5-4+3= 8-8-0=5-1+4=4+3-3=9+1+0= 9-7-2=5+0-4=1-0+3=2-0+3= 2-2+0=6-4-1=6+1+2=2+9-10= 1+9-2=3-0+7=6-4-2=8+1+0= 7+3+0=1+1+3=3-1+7=6-4+6= 9+0+0=7+3-10=5-3+6=8-2-3= 4-1+9=10-9-1=9+1+0=4+5-1= 9+8-13=8-8-0=5-3-0=4+3-6= 4+0-3=9-0-2=9-5-1=5+6-9= 9-7+0=6+2+0=5+1+3=2-0+7= 9+1+0=2+4+1=5-2+3=6-0+7= 5+7-0=5+7-1=2-1-1=9-1-5= 3-0+3=8-2+1=8+2+0=4+4+1= 2+10-11=6+4+0=5-1+1=9+1-4= 3+4-1=9-6-0=5-1-4=2-1+0=