化归思想在初中数学解题中的应用

化归思想在初中数学解题中的应用

向阳乡初级中学 周红林

【摘要】化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能，化归的原则，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，力求比较全面地体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位。

【关键词】化归思想 化归的原则 教学策略 化归思想要点 新课程标准指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”从中我们可以看出新课程标准下的数学教学更加突出培养学生的数学思想的重要性，而数学思想同样离不开数学方法的支持。

数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链：

从中我们可以发现，在解决某一个具体问题时，不必都从原始概念开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。所以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。

一、化归思想的涵义和作用

化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。

二、化归思想的基本原则

数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。

为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则。

⒈熟悉化原则

熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。

⒉简单化原则

简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定

解决方案的问题，从而使问题获解。中学数学受多年应试教育的影响，有些问题被复杂化了，而学生对于这类问题却又相当头疼，所以通过化归，将问题变为比较简单的形式、关系结构，或者通过问题的简单化，获得解决复杂问题的思路，往往更容易让学生接受。

⒊具体化原则

具体化就是把比较抽象的问题转化为比较具体、直观的问题，以便形象地把握问题所涉及的各个对象之间的关系，使问题易于求解。新课程标准提出：数学教学要紧密联系生活实际，注重探索和合作，由具体到抽象。但绝不是只要让学生直观感受,满足于具体的现象而忽视问题的本质。对于抽象的关系,可以让学生对一些具体的关系进行观察、比较、分析、归纳,逐步提高他们的思维的能力。

⒋极端化原则

极端化原则就是运用极端化位置或状态的特性引出一般位置或状态下的特性，从而获得解决问题的思路。这也是我们常说的从一般到特殊再到一般。

⒌和谐化原则

所谓“和谐”指的是配合得适当和匀称。和谐化原则就是在对问题进行化归时，要注意把条件和结论的表现形式转化为更具数、式与形内部固有的和谐统一特点的形式，以帮助我们去确定解决问题的方法。

三、化归思想的要点

化归思想方法的主要特点是它的灵活性和多样性。一个数学问

题，组成主要元素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的，其形式并非唯一，而是多种多样。所以应用数学变换的方法去解决有关数学问题时，就没有一个统一的模式可以遵循。因此，我们必须根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，具体问题具体分析，去寻求有利于问题解决的化归途径和方法。

1、注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性

化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法、途径三个要素。因此，化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法。而设计目标是问题的关键。设计化归目标时，总是以课本中那些基础知识、基本方法在应用上已形成固定的问题（通常称为规范性问题）为依据，而把要解决的问题化归为成规律问题（即问题的规范化）。化归能不能如期完成，与化归方法的选择有关，同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性。因此，在解题过程中，始终必须紧紧盯住化归的目标，即始终应该考虑这样的问题：怎样才能达到解原问题的目的。在这个大前提下，实施的化归才是卓有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同。

2、注意转化的等价性，保证逻辑上的正确

化归包括等价化归和非等价化归，在中学数学中的化归多为等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果。

3、注意转化的多样性，设计合理的转化方案

在转化过程中，同一转化目标的达到，往往可能采取多种转化途径和方法。因此研究设计合理、简捷的转化途径是十分必要的，必须避免什么问题都死搬硬套，造成繁难不堪。

四、化归思想在解题中的应用

1、化未知问题为已知问题

该法采取的措施是不对问题直接攻击，而是对问题进行变形、转化。直至把它化归为某个（些）已经解决的问题或容易解决的问题。

例.如图，梯形ABCD 中，A D ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3，BC=5，求AC 的长。

分析：此题是根据梯形对角线互相垂直的特

点，通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角

形和平行四边形，使问题得以解决。

解：过D 作D E ∥AC 交BC 的延长线于点E ，则得AD=CE ，

AC=DE ，所以BE=BC+CE=8。

∵AC ⊥BD

∴BD ⊥DE

又∵AB=CD

∴AC=BD

∴BD=DE

在Rt △BDE 中，222BE DE BD =+

∴BD=BE 22=24 即AC=24 2、化新问题为旧问题

将陌生的问题转化为熟悉的问题，运用自己熟悉的知识、经验和问题来解决。

例：教材中解二元一次方程是通过降次化归成一元一次方程；解二元一次方程组或三元一次方程组是通过消元化归成一元一次方程或二元一次方程组；解分式方程是化归成整式方程；异分母分数的加减法，通过通分转化成同分母分数的加减法；多边形的内角和问题转化为三角形的内角和来解决；梯形的中位线问题转化为三角形的中位线来解决。这些问题都是通过化新问题为旧问题，从而使问题得以解决。

3、化复杂问题为简单问题

有些数学问题结构复杂，若用常规手法过程繁琐，对这个问题，可以从其结构入手，将结构进行转化，另辟解题途径。

例：已知012=-+x x ,求2009223++x x 的值。

分析：此题通过“化零散为整体”或利用降次来转化，可使问题得以解决。

解法一：∵012=-+x x

∴x x -=12

∴2009223++x x =x(1－x )+2(1－x )+2009

=20112+--x x

=2010)1(2+-+-x x

=2010

解法二：原式=20091)1()1(22++-++-+x x x x x

=2010

4、特殊问题与一般问题的转化

特殊问题与一般问题的转化是数学化归的常用方法之一，其采取的措施主要是联系已学过的各种知识利用数学的整体统一思想，将碰到的难解决的特殊问题转化为一般的知识点或将一般的问题转化为特殊问题，以便套用公式或定理等解决。

例3：如图，已知两个半圆，大半圆的弦AB 与小半圆相切，且AB ∥ CD 。AB=6cm ，求图中阴影部分面积。

分析：要求阴影面积，即大半圆面积

减去小半圆面积。但在这里两个半圆的半径

都未知，在图（1）中较难发现两个半径与

AB 的关系，若把图（1）中小半圆移动，使两个半圆的圆心重合，如 图（2），阴影部分的面积不变。此时我们容易发现两个半圆的半径的平方差等于AB 21的平方，这样便可求得图中阴影部分面积。 解：设大半圆和小半圆的半径分别为R 和r ，则

π2

9)2AB π(

21)r -π(R 21πr 21πR 2122222===-=S

5、化代数问题为几何问题（即数形转化思想）

著名的数学家华罗庚教授曾在一首诗中写道：数形结合百般好，两家分离万事休。这一句话道出了数形结合这一方法的重要性。数形结合是把函数、方程、不等式等代数形式中的量与量的关系，同几何

图形的位置关系相结合，以形论数或以数论形。因数能入微，形可直观，二者结合起来能使隐含的条件明显化；使抽象的概念形象化；使繁杂的运算简捷化；可以灵活、直观地解决问题。

例：已知直线421+=x y x 轴、y 轴的交点分别是B 、A ，直线3212-=x y 与x 轴、y 轴的交点分别是D 、C 。求四边形ABCD 的面积. 分析：欲求四边形ABCD 的面积，先在同一坐标系中把它的图象画出，如下图，由于直接求不易得出，可把四边形ABCD 分成△ABD 和△BCD 来求。

解：在直线421+=x y 中，

当x ＝0时，41=y ，

所以A 点坐标为（0，4），

当01=y 时，x ＝－2，

所以B 点的坐标为（－2，0）；

在直线32

12-=x y 中，

当x ＝0时，32-=y ，

所以C 点坐标为（0，－3）.

当02=y 时，x ＝6，

所以D 点的坐标为（6，0）.

函数图象如右图：

∴CO BD AO BD S S S BCD ABD ABCD ?+?=+=??2121四边形

=2838214821

=??+?? 五、化归思想方法的教学策略

纵观整个初中数学教学，我们不难发现初中数学教材中有很多问题都是需要用化归思想来解决，化归思想在初中数学的学习中有着举足轻重的作用，是一种非常重要的数学思想。那么如何在日常教学中更好的渗透和落实化归思想呢？

1、夯实基础知识，完善知识结构是落实化归思想方法教学的基础

拥有扎实的基础知识、掌握完整的知识结构是实现化归的基础。教学实践告诉我们，数学优等生与差生区分的第一标准就是基础知识及知识结构掌握的程度不同，教学过程中，夯实基础、完善知识结构可从以下几个方面做起：

a、重视概念、公式、法则等基本数学模型的教学，为寻求化归目标奠定基础。

b、养成整理、总结数学方法的习惯，为寻求化归方法奠定基础。

c、完善知识结构，为寻求化归方向奠定基础。

2、培养化归意识，提高转化能力是实现化归思想方法教学的关键

数学是一个有机整体，它的各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透，使之构成了纵横交错的立体空间，我们在研究数学问题的过程中，常需要利用这些联系对问题进行适当转化，使之达到简单化、熟悉化的目的。要实施转化，首先须明确转化的一般原理，掌握基本的化归思想和方法，并通过典型的问题加以巩固和练习。因此，在平时的教学中，我们不断教会学生解题，通过仔细的观察、分析，由问

题的条件、图形特征和求解目标的结构形式联想到与其有关的定义、公式、定理、法则、性质、数学解题思想方法、规律以及熟知的相关问题解法，由此不断转化，建立条件和结论之间的桥梁，从而找到解题的思路和方法。

3、掌握化归的一般方法，是实现数学化归思想方法教学的基本手段。

树立了化归意识后，接下来的工作是探求化归的方法。化归的实质是不断变更问题，因此，可以从变形的成分这个方面去考虑，也可以从实现化归的常用方法直接去考虑。

4、深入教材，反复提炼与总结是实现化归思想方法教学的基本途径。

在数学教学中，要善于挖掘教材中蕴含的化归思想方法，注意不断总结化归法解题的一般原理、提炼蕴含其中的思想方法，把化归思想方法的教学融于各个环节之中，让学生切实感受到化归思想方法的存在形式及其发挥的作用。在概念形成、运用的过程中渗透化归思想；在定理、公式的探究和发现过程中深化化归思想方法；在问题解决过程中领悟化归思想方法；在知识的归纳总结过程中概括化归思想方法。在教学过程中让学生逐渐悟出数学中常常把新知识转化已知知识、把一般转化为特殊的解决问题的思路和方法。

实践证明，教师重视数学思想教育，发挥数学思想方法在数学中的作用，确实是培养学生创新精神与应用能力、提高学生综合素质的一个重要途径。在中学数学教学中，在向学生展示知识的发生、发展

初中数学解题思想方法

初中数学解题思想方法 数学解题思想方法有配方法、换元法、判别式法、待定系数法、消元法。以上是解题技 巧上的思想方法，比它们更具有普遍意义的思想方法有转化与化简思想方法、数学结合思想方法、归纳猜想、分类讨论、函数与方程思想等。在数学解题过程中我们要养成灵活运用数学思想方法的意义和习惯。 联想在解题中起着重要的作用，从自己的大脑知识仓库中找出与要解题目接 很相似 的原理、方法或结论，变通使用这些知识使问题得以解决。 一、配方法：是指将代数式通过配凑等途径，得到完全平方式或立方式，它广泛应用于 初中数学的各个方面，代数式的化简求值、解方程（组）、求最值等方面。 例1、求5245422 2-+-++y x y xy x 的最小值。 例2、设a ，b 为实数，求b a b ab a 222--++的最小值。 例3、在直角坐标中，有三点A （0，1），B （1，3），C （2，6），已知b ax y +=上横 坐标为0，1，2的点分别为D 、E 、F ，试求：222CF BE AD ++的最小值。 例4、已知x ，y ，z 是实数，且 0))((4)2=----z y y x x z （，求y z x 2+的值。 例5．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ ）（2012） A ．18-. B ．0. C ．1. D ． 98. 例6 .已知a<0,动点11(,),(1,0),,A a a B A B AB a a +-定点则两点距离的最小值为 二、换元思想方法 根据问题的特征或关系适当引进辅助的元素，替换原问题中的数、字母或式子，从而使 原问题得以解决，这种通过引用变量替换来解决问题的思想方法叫做换元思想方法，它是数学解题的一种基本思想方法，有着广泛的应用。 例722011 例8、已知12433++=a ，求 32133a a a ++的值。 （其中0402≥-≠mq ，n m ）

初中数学思想方法总结模板计划模板汇总.doc

v1.0可编辑可修改 初中数学思想方法的概念、种类 及渗透策略分析 分类讨论思想 一、分类讨论思想的意义 当我们在解决数学问题时，有时由于被研究对象的属性不同，影响了研究问题的结果，因而需对不同属性的对象进行分类研究; 或者由于在研究问题过程中出现了不同情况，因而 需对不同情况进行分类研究. 通过分类讨论，常能化繁为简，更清楚地暴露事物的本质，并 增加条件，“分类讨论” , 简言就是先分类，后讨论。阅读大纲和教材会发现, 初中数学对分类讨论本着先易后难、循渐进的原则, 把“分类讨论思想” 分两个层次 , 即“分类思想” 和“讨论思想”。分类思想在初中数学占有相当要的地位, 通过教学应使学生确立类思想, 学会分类 方法 , 而“讨论思则要求通过有关知识的传授起到潜默化的作用。分类讨论是一种逻辑方 法, 也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性, 能训练人的思维条理性和概括性, 所以在试题中占有重要的位置。 二、分类讨论的一般步骤是：明确讨论对象, 确定对象的全体→确定分类标准, 正确进行分类 →逐步进行讨论, 获取阶段性结果→归纳小结, 综合得出结论。 三、分类讨论思想的分类原则： 分类讨论必须遵循原则进行，在初中阶段，我们经常用到的有以下 4 大原则 : (1)同一性原则 (2) 互斥性原则 (3) 相称性原则 (4) 多层次性原则四、七年 级数学中体现分类讨论思想的知识点 上册： 1、含字母式子的绝对值的化简2、过平面内的点画直线的条数3、线段、角的计算4、立体图形异面点之间的最短距离5、数轴上两点间的距离6、分段计费问题。下册：1、两边分别平行的两角的关系2、正数的平方根3、实数的分类4、坐标平面内点的坐标5、 P112第 10 题 6、解字母系数的不等式7、借助不等式（组）的正整数解讨论方案设计问题。 五、典型例题 例 1. （ 2011 浙江中考）解关于x 的不等式组： a(x 2 )> x 3

初中数学教学论文 浅谈化归思想方法在数学教学中的应用

浅谈化归思想方法在数学教学中的应用 内容摘要：所谓化归法，是指通过数学内部的联系和矛盾运用，在转化中实现问题的规范化，即将待解问题转化为规范问题，从而使原问题得到解决的一种方法.这里的规范问题是指已经具有确定的解决方法和程序的问题，即运用原有知识已能解决的问题.而将一个问题化为规范问题的过程叫做问题的规范化.因此，简而言之，所谓化归就是问题的规范化、模式化。“化归”方法很多，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 关键词：化归法简述运用操作实现化归 随着数学课程改革的深入，教师们已经认识到学生学习方法转变的必要性。数学教学是教师按照学生的认识规律和新课标特点，通过最优途径，指导学生掌握科学的学习方法，并获得具有选择和运用恰当有效学习方法的能力。重视方法指导是坚持“以学生为主体”和培养学生创新素养这一现代教育观念的体现，它能使学生主动参与认识过程，既能调动学生的积极性，又能向教师提出改进教法的反馈信息，有效发挥教法和学法的整体功能，最大限度地使用好教材。在数学方法论中有一种重要的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 一．化归法简述 在学习数学的各个环节中，解题的训练占有十分重要的地位。它既是掌握所学数学知识的必要手段，也是培养和提高数学能力的重要途径。解题的实质就是把数学的一般原理运用于题目的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出题目解答为止的过程。这一过程是一种复杂的思维活动的过程。解决问题的过程，实际是转化的过程，即对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。如抽象转化为具体，未知转化为已知，立体转化为平面，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算等等。这就是数学方法论中的一种新的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，假设有一个数学问题甲，一下子不能直接求解，于是人们将甲问题的求解化为乙问题的求解，然后通过乙问题的求解返回去得出甲问题的求解，这就是化归的基本想法。利用化归法解决问题的过程可以简单地用以下框图表示：

初中数学思想方法主要有哪些

一、用字母表示数的思想，这是基本的数学思想之一 在代数第一册第一章“代数初步知识”中，主要体现了这种思想。例如： 设甲数为a，乙数为b，用代数式表示：（1）甲乙两数的和的2倍：2（a+b） (2)甲数的1/3与乙数的1/2差：1/3a-1/2b 二、数形结合的思想 “数形结合”是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。实中数学教材中下列内容体现了这种思想。 1、数轴上的点与实数的一一对应的关系。 2、平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。 3、函数式与图像之间的关系。 4、线段（角）的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。 5、解三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决何问题。 6、“圆”这一章中，贺的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。 7、统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表的反映数据的分情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。 三、转化思想 在整个初中数学中，转化（化归）思想一直贯穿其中。转化思想是把一个未知（待解决）的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，它是数学基本思想方法之一。下列内容体现了这种思想： 1、分式方程的求解是分式方程转化为前面学过的一元二次方程求解，这里把待解决的新问题化为已解决的问题来求解，体现了转化思想。 2、解直角三角形；把非直角三形问题化为直角三角形问题；把实际问题转化为数学问题。 3、“圆”这一章中，证明圆周角定理进所做的分析：证明弦切角定理的思路：求两圆的切线长的问题。这些转化都是通过辅助线来完成的。 4、把三角形或多边形中的某种线段或面积问题化为相似比问题来解决。 四、分类思想 集合的分类，有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关生活经验等都是通过分类讨论的。 五、特殊与一般化思想

初中数学思想方法大全

一、宏观型思想方法 数学思想是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂。 （一）、转化(化归)思想 解决数学问题就是一个不断转化的过程，把问题进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，变未知为已知，从而使问题得以解决。 不是对原来的问题直接解答，而是想方设法对它进行变形，直到把它转化成某个（某几个）已经解决了的问题为止。通过转化可使原条件中隐含的因素显露出来，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间内在的联系，以便应用有关方法将问题解决。 “转化”的思想是一种最基本的数学思想。数学解题过程的实质就是转化过程，具体的说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“抽象”转化为“具体”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，把“高次”转化为“低次”，在不断的相互转化中使问题得到解决。 可运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法，配方法，进行构造变形实现转化、数形结合，实现转化。一般转化为特殊，有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明，有些结构比较复杂的问题，可以简化题中某一条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化的问题，这种简化题对于证明原题常常能起到引路的作用。把实际问题转化为数学问题。结合解题进行化归思想方法的训练的做法：a、化繁为简；b、化高维为低维；c、化抽象为具体；d、化非规范性问题为规范性问题；e、化数为形；f、化实际问题为数学问题； g、化综合为单一；h、化一般为特殊。 有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法 应用：A将未知向已知转化；B将陌生向熟知转化；C方程之间的转化；D平面图形间的转化；E空间图形与平面图形的转化；F统计图之间的相互转化。 例子：减法转化成加法（减去一个数等于加上这个数的相反数）；除法转化成乘法（除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数）；多项式的先化简再代入求值；单项式乘单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘多项式和多项式乘多项式都可以化归为单项式乘单项式的运算；将求负数的立方根转化为求正数的立方根的相反数；实数近似运算中据问题需要取近似值，从而转化为有理数计算；将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减；将分式的除法转化成分式的乘法；将分式方程转化为整式方程求解；将分子的次数不低于分母次数的分式用带余除法转化为整式部分和分式部分的和；将方程的复杂形式化为最简形式；通过立方程把实际问题转化为数学问题；通过解方程把未知转化为已知；把一元二次方程转化为一元一次方程求解；把二元二次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程从而求解；通过转化为解方程实现实数范围内二次三项式的分解、方程中字母系数的确定；角度关系的证明和计算；平行线的性质和判定；把几何问题向平行线等简单的熟悉的基本图形转化；特殊化（特殊值法、特殊位置、设项、几何中添辅助线等）；图形的变换（轴对称、平移、旋转、相似变换）；解斜三角形（多边形）时将其转化为解直角三角形； （二）、数形结合思想 数学的研究对象是现实世界中的数量关系（“数”）和空间形式（“形”），而“数”和“形”是相互联系、相互渗透的，一定条件下也是可以互相转化的，因此，在解决问题时，常需把同一问题的数量关系与空间形式结合起来考查，利用数的抽象严谨和形的直观表意，把抽象思维和形象思维结合起来，把数量关系问题通过图形性质进行研究，或者把图形性质问题通过数量关

初中数学解题的几种思路

初中数学解题的几种思路 解题思路的获得，一般要经历三个步骤： 1.从理解题意中提取有用的信息，如数式特点，图形结构特征等; 2.从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式，定理，基本模式等; 3.将上述两组信息进行有效重组，使之成为一个合乎逻辑的和谐结构。 数学的表达，有3种方式： 1.文字语言，即用汉字表达的内容; 2.图形语言，如几何的图形，函数的图象; 3.符号语言，即用数学符号表达的内容，比如AB∥CD。 在初中学段中，不仅要学好数学知识，同时也要注意数学思想方法的学习，掌握好思想和方法，对数学的学习将会起到事半功倍的良好效果。其中整体与分类、类比与联想、转化与化归和数形结合等不仅仅是学好数学的重要思想，同时对您今后的生活也必将起重要的作用。 先来看转化思想： 我们知道任何事物都在不断的运动，也就是转化和变化。 在生活中，为了解决一个具体问题，不论它有多复杂，我们都会把它简单化，熟悉化以后再去解决。体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为 熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。 如方程的学习中，一元一次方程是学习方程的基础，那么在学习二元一次方程组时，可以通过加减消元和代入消元这样的手段把二元一次方程组转化为一元一次方程来解决，转化(加减和代入)是手段，消元是目的;在学习一元二次方程时，可以通过因式分解把一元二次方程转化为两个一元一次方程，在这里，转化(分解因式)是手段，降次是目的。把未知转化为已知，把复杂转化为简

单。同样，三元一次方程组可以通过加减和代入转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程。在几何学习中，三角形是基础，可能通过连对角线等作辅助线的方法把多边形转化为多个三角形进行问题的解决。 所以，在数学学习和生活中都要注意转化思想的运用，解决问题，转化是关键。

化归思想在初中数学解题中的应用

化归思想在初中数学解题中的应用 向阳乡初级中学 周红林 【摘要】化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能，化归的原则，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，力求比较全面地体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位。 【关键词】化归思想 化归的原则 教学策略 化归思想要点 新课程标准指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”从中我们可以看出新课程标准下的数学教学更加突出培养学生的数学思想的重要性，而数学思想同样离不开数学方法的支持。 数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链： 从中我们可以发现，在解决某一个具体问题时，不必都从原始概念开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。所以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。

一、化归思想的涵义和作用 化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。 二、化归思想的基本原则 数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。 为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则。 ⒈熟悉化原则 熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。 ⒉简单化原则 简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定

中考数学思想方法专题之整体思想

初中数学思想之整体思想 整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 一．数与式中的整体思想 【例1】 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7 【例2】.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab ---+的值等于（ ） A.6 B.6- C. 125 D.27- 【例3】已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值． 二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想 【例4】已知24122x y k x y k +=+?? +=+? ，且03x y <+<，则k 的取值范围是 【例5】已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=??+=?的解为56 x y =??=?，那么关于x ， y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=??++-=? 的解为为 【例6】．解方程 22523423x x x x +-=+ 三．函数与图象中的整体思想 【例7】已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数）（1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式 四．几何与图形中的整体思想

关于初中数学教学中化归思想的应用分析

关于初中数学教学中化归思想的应用分析 【摘要】数学思想是数学知识中最为重要的内容之一，化归思想是初中数学中数学思想的基石。本文结合实例研究了在初中数学教学中如何把化归思想落到实处，使学生真正理解并灵活运用化归思想。 【关键词】初中数学；化归思想；应用分析 一、化归思想在初中数学教学中的体现 1.化归思想方法体现的结构性 初级中学数学分为代数和几何，我们将这两部分内容教材知识进行整理归纳，可以将蕴含在其中的较为零散的化归思想提炼，得到有序的知识结构网络。 代数部分分为数的运算、式的运算和方程三部分，数的运算部分，利用化归思想在小学加法基础上使加、减法统一得到代数和的概念；利用化归思想在乘法的基础上使乘法、除法得到统一；利用化归思想引入绝对值将有理数化为算术数的运算。式的运算部分，利用化归思想用字母代替数，根号中含字母的无理式、根号中不含字母的有理式和分母中不含字母的整式均可通过已学知识掌握。而方程的运算部分，等号连结代数式得到方程，不等号连结代数式得到不等式，利用化归思想方法将其化为式的运算，从而得到整式方程、

分式方程和无理方程。利用化归思想可对整个初中代数知识有一个系统的了解，有利于学生把握知识间的关系，更好地掌握代数知识。 2.化归思想方法体现的条理性 初级中学数学教材中充分体现了化归思想的条理性。例如，新人教版七年级《数学》上册第一章中在小学数学的基础上引入了负数，开始进行有理数的运算。第二章在第一章的基础上利用字母表示数引入了代数式。此后，学习5x、-3a2b等数与字母的乘积的单项式，ab+3mn等单项式的和――多项式。只有学生明白字母代表数及代数式的意义后才能进行整式的学习。随后学习分式，而分式的运算思路正是通过化归思想把分式运算转化为整式运算。这样一环接一环的条理性在教材中还有很多，我们在教学中应充分整理帮助学生更好地理解化归思想。 3.化归思想方法体现的层次性 初中数学教材的安排体现了化归思想方法的层次性。教材的最基础内容包括有理数、代数式、平面图形及其位置关系和一元一次方程。平面图形首先是三角形的学习，随后学习了图形的旋转、平行四边形，平行四边形正是对三角形的进一步拓展。式的运算中，先是学习了整式，后又学习了分式，分式正是对整式的进一步深化。随后又学习了代数和几何的结合――函数，学习了反比例函数、二次函数，这正是

初中数学解题思维方法大全

初中数学解题思维方法大全 还在为初中数学解题而烦恼？还在为数学低分而烦躁？那是你没有全面理解初中数学 的解题思维和解题方法。暑假不出门，了解，助你在新学期解决数学难题。 一、选择题的解法 1、直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，，最后得到题目的所求。 2、特殊值法：特殊值淘汰法有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关， 在解这类选择题时，可以考虑从取值范围内选取某几个特殊值，代入原命题进行验证，然 后淘汰错误的，保留正确的。 3、淘汰法：把题目所给的四个结论逐一代回原题的题干中进行验证，把错误的淘汰掉，直至找到正确的答案。 4、逐步淘汰法：如果我们在计算或推导的过程中不是一步到位，而是逐步进行，既 采用“走一走、瞧一瞧”的策略，每走一步都与四个结论比较一次，淘汰掉不可能的，这 样也许走不到最后一步，三个错误的结论就被全部淘汰掉了。 5、数形结合法：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义， 又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求 解题思路，使问题得到解决。 二、常用的数学思想方法 1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数 含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。 2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。数 学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。在解题时，如果能恰当处理它们之 间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。如：代换转化、已知与未知的转化、特殊 与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。 3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不 同情况予以考查，这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要 的解题策略。

初中数学分式方程典型例题讲解

第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?= ,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义

浅谈中学数学中的化归思想(精)

浅谈中学数学中的化归思想 作者：中原中学刘继华 不断地变换你的问题，我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成 功地找到某些有用的东西为止。 ————波利亚 化归是解决数学问题的一种重要思想方法．化归的思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，并学会用它分析问题、处理问题，有着十分重要的意义．匈牙利著名数学家路莎˙彼得以生动的比喻对这种思维方式作了如下风趣的描述：有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是，提问者指出，这一回答并不能使他满意，因为，更好的回答应当是：“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称我把后一问题化归为前面所说的问题了。” 路莎˙彼得在这里说的就是化归方法。在数学教育中，化归思想是“问题解决”的一种重要手段和方法。 —、化归方法的基本思想 1、化归方法的含义：把待解决和未解决的问题，通过转化，或再转化，将原问题归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个比较容

易解决的问题甚至为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决．我们就把这种将未知转化归结为已知的解决数学问题的基本方法称之为化归方法． 2、化归方法是辨证思维在方法论上的反映 数学中充满着矛盾，有着极其丰富的辨证内容，例如，数学概念中一与多、正与负、常量与变量、有限与无限以及数学运算中的加与减、乘与除、乘方与开方、微分与积分等都表现为矛盾的对立统一的形式． 化归方法正是根据客观事物是普遍联系、永恒发展和矛盾的对立统一及其相互转化的观点，来实现问题解决的，它着眼于揭示联系实现转化．因此说化归方法是辨证思维在方法论上的反映． 3、化归方法的作用 我们知道整个中学数学内容，始终贯穿着数学知识和数学方法这两条线．中学数学问题的解决过程常常表现为不断发现问题、分析问题直到归结转化为熟悉的或已能解决的问题的过程，化归方法是中学数学中的重要数学方法之一． 例如 (1代数中解一般方程(或不等式的基本思路是多元向一元、高次向低次的化归；分式方程向整式方程的化归，无理方程向有理方程的化归．

初中数学解题技巧-常用的数学思想方法

初中数学解题技巧:常用的数学思想方法 初中数学解题技巧:常用的数学思想方法 1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。 2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。 3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查，这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。 4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。 5、配方法：就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再进行所需要的变化。配方法是初中代数中重要的变形技巧，配方法在分解因式、解方程、讨论二次函数等问题，都有重要的作用。 6、换元法：在解题过程中，把某个或某些字母的式子作为一个整体，用一个新的字母表示，以便进一步解决问题的一种方法。换元法可以把一个较为复杂的式子化简，把问题归结为比原来更为基本的问题，从而达到化繁为简，化难为易的目的。 7、分析法：在研究或证明一个命题时，又结论向已知条件追溯，既从结论开始，推求它成立的充分条件，这个条件的成立还不显然，则再把它当作结论，进一步研究它成立的充分条件，直至达到已知条件为止，从而使命题得到证明。这种思维过程通常称为“执果寻因” 8、综合法：在研究或证明命题时，如果推理的方向是从已知条件开始，逐步推导得到结论，这种思维过程通常称为“由因导果” 9、演绎法：由一般到特殊的推理方法。

初中数学解题技巧(史上最全)

初中数学选择题、填空题解题技巧(完美版) 选择题目在初中数学试题中所占的比重不是很大，但是又不能失去这些分数，还要保证这些分数全部得到。因此，要特别掌握初中数学选择题的答题技巧，帮助我们更好的答题，选择填空题与大题有所不同，只求正确结论，不用遵循步骤。我们从日常的做题过程中得出以下答题技巧，跟同学们分享一下。 1.排除选项法： 选择题因其答案是四选一,必然只有一个正确答案,那么我们就可以采用排除法,从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案,那么留下的一个自然就是正确的答案。 2.赋予特殊值法： 即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。 3.通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果： 这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。 4、直接求解法： 有些选择题本身就是由一些填空题,判断题,解答题改编而来的,因此往往可采用直接法,直接由从题目的条件出发,通过正确的运算或推理,直接求得结论,再与选择项对照来确定选择项。我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。如:商场促销活动中,将标价为200元的商品,在打8折的基础上,再打8折销售,现该商品的售价是( )A 、160元 B、128元 C 、120元 D、 88元 5、数形结合法： 解决与图形或图像有关的选择题，常常要运用数形结合的思想方法，有时还要综合运用其他方法。 6、代入法： 将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。 7、观察法：观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。 8、枚举法：列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。 例如，把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值为2元，1元的人民币，换法有( ) (A)5种(B)6种(C)8种(D)10种。分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选B. 9、待定系数法： 要求某个函数关系式，可先假设待定系数，然后根据题意列出方程(组)，通过解方程(组)，求得待定系数，从而确定函数关系式，这种方法叫待定系数法。 10、不完全归纳法： 当某个数学问题涉及到相关多乃至无穷多的情形，头绪纷乱很难下手时，行之有效的方法是通过对若干简单情形进行考查，从中找出一般规律，求得问题的解决。 以上是我们给同学们介绍的初中数学选择题的答题技巧，希望同学们认真掌握，选择题的分数一定要拿下。初中数学答题技巧有以上十种，能全部掌握的最好;不能的话，建议同学们选择集中适合自己的初中数学选择题做题方法。 初中填空题解法大全 一.数学填空题的特点： 与选择题同属客观性试题的填空题，具有客观性试题的所有特点，即题目短小精干，考查目标集中明确，答案唯一正确，答卷方式简便，评分客观公正等。但是它又有本身的特点，即没有备选答案可供选择，这就避免了选择项所起的暗示或干扰的作用，及考生存在的瞎估乱猜的侥幸心理，从这个角度看，它能够比较真实地考查出学生的真正水平。考查内容多是“双基”方面，知识复盖面广。但在考查同样内容时，难度一般比择题略大。 二.主要题型： 初中填空题主要题型一是定量型填空题，二是定性型填空题，前者主要考查计算能力的计算题，同时也考查考生对题目中所涉及到数学公式的掌握的熟练程度，后者考查考生对重要的数学概念、定理和性质等数学基础知识的理解和熟练程度。当然这两类填空题也是互相渗透的，对于具体知识的理解和熟练程度

初中数学解题思维与思想

《初中数学解题思维与思想》 中数学解题思维与思想》 导 读
数学家 G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学 教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维 品质的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教 学的实际情况，从以下四个方面进行讲解： 一、数学思维的变通性 根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案 二、数学思维的反思性 提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。 三、数学思维的严密性 考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。 四、数学思维的开拓性 对一个问题从多方面考虑、 对一个对象从多种角度 观察、对一个题目运用多种不同的解法。 什么”转变，从而培养他们的思维能力。 《思维与思想》的即时性、针对性、实用性，已在 教学实践中得到了全面验证。

二、《解密数学思维的内核》 、《解密数学思维的内核》 解密数学思维的内核 数学解题的思维过程 数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至 解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。 对于数学解题思维过程，G . 波利亚提出了四个阶段*（见附录），即弄清 问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八 个字加以概括：理解、转换、实施、反思。 第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。 第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝 试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。 第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技 能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。 第四阶段： 反思问题往往容易为人们所忽视， 它是发展数学思维的一个重要方面， 是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。 数学解题的技巧 为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索 的成效，我们必须掌握一些解题的策略。 一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道 或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到 解决原题的目的。 基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、 一般化、整体化、间接化等。 一、 熟悉化策略 所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时， 要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验 或解题模式，顺利地解出原题。 一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从 结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此， 要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的 联系方式上多下功夫。 常用的途径有： ）、充分联想回忆基本知识和题型 充分联想回忆基本知识和题型： （一）、充分联想回忆基本知识和题型 按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题 相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论， 从而解决现有的问题。 全方位、 （二）、全方位、多角度分析题意 全方位 多角度分析题意： 对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己 的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟 悉的解题方向。 恰当构造辅助元素： （三）恰当构造辅助元素 数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（或 问题）之间，也存在着多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题 目的形式，沟通条件与结论（或条件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉

初中数学思想方法汇总

初中数学思想方法的概念、种类 及渗透策略分析 分类讨论思想 一、分类讨论思想的意义 当我们在解决数学问题时，有时由于被研究对象的属性不同，影响了研究问题的结果，因而需对不同属性的对象进行分类研究;或者由于在研究问题过程中出现了不同情况，因而需对不同情况进行分类研究.通过分类讨论，常能化繁为简，更清楚地暴露事物的本质，并增加条件，“分类讨论”,简言就是先分类，后讨论。阅读大纲和教材会发现,初中数学对分类讨论本着先易后难、循渐进的原则,把“分类讨论思想”分两个层次,即“分类思想”和“讨论思想”。分类思想在初中数学占有相当要的地位,通过教学应使学生确立类思想,学会分类方法,而“讨论思则要求通过有关知识的传授起到潜默化的作用。 分类讨论是一种逻辑方法,也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在试题中占有重要的位置。 二、分类讨论的一般步骤是：明确讨论对象,确定对象的全体→确定分类标准,正确进行分类→逐步进行讨论,获取阶段性结果→归纳小结,综合得出结论。 三、分类讨论思想的分类原则 ： 分类讨论必须遵循原则进行，在初中阶段，我们经常用到的有以下4大原则: (1)同一性原则 (2)互斥性原则 (3)相称性原则 (4)多层次性原则 四、七年级数学中体现分类讨论思想的知识点 上册：1、含字母式子的绝对值的化简2、过平面的点画直线的条数3、线段、角的计算4、立体图形异面点之间的最短距离5、数轴上两点间的距离6、分段计费问题。下册：1、两边分别平行的两角的关系2、正数的平方根3、实数的分类4、坐标平面点的坐标5、P 112第10题6、解字母系数的不等式7、借助不等式（组）的正整数解讨论方案设计问题。 五、典型例题 例1.（2011中考 ）解关于x 的不等式组： a(2-x )>3-x )9x a +（ >9a+8 例2已知直线AB 上一点C ，且有CA=3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为__ 或____ 。 练习：已知A 、B 、C 三点在同一条直线上，且线段AB=7cm ，点M 为线段AB 的中点，线段BC=3cm ，点N 为线段BC 的中点，求线段MN 的长.

初中数学专题复习(一) 化归思想

初中数学专题复习(一) 化归思想 本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． 【典型例题剖析】 一、转化思想在代数中的应用。 1.已知：n m ,满足13,132 2 =-=-n n m m , 求n m m n +的值。 二、转化思想在函数问题上的应用： 1. 函数1 y x = 】 A ．第一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限 2.（2016成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点A （2，2）． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）将直线OA 向上平移3个单位长度后与y 轴交于点B ，与反比例函数图象在第四象限的交点为C ，连接AB 、AC ，求点C 的坐标及△ABC 的面积． 三、转化思想在几何中的应用。 2、已知：如图6所示在中，，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。 求证：AC ＝AE ＋CD y kx =m y x =

四、代数问题与几何问题之间的化归： 1.如图，已知矩形ABCD 中，E 是AB 上一点， 沿EC 折叠，使点B 落在AD 边的B‘处，若AB=6， BC=10， 求AE 的长。 2、如图，AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，∠APB 的平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ，交⊙O 于点F ，∠A=60°，并且线段AE 、BD 的长是一元二次方程x 2－kx+23=0的两个根（k 为正的常数）。 ⑴求证：PA ·BD=PB ·AE ； ⑵求证：⊙O 的直径为常数k ； ⑶求tan ∠FPA 的值。 【强化训练】 一、选择题与填空题 1、用换元法解方程x x x x += ++2 22 1时，若设x 2+x=y, 则原方程可化为（ ） A 、y 2+y+2=0 B 、y 2－y －2=0 C 、y 2－y+2=0 D 、y 2+y －2=0 2、已知如图：ΔABC 中，∠C=90°，BC=AC ，以AC 为直径的圆交AB 于D ，若AD=8cm ，则阴影部分的 面积为（ ） A 、64πcm 2 B 、64 cm 2 C 、32 cm 2 D 、48 πcm 2 E A B C D E F P

初中数学常用公式思想方法及解题策

初中数学常用公式、基本方法及解题策略 一、常用数学公式 幂的运算（正逆运用） ①m a 〃n a n m a += ②m a ÷n a n m a -= ③n m a ）（=mn a ④n n a ab =）（〃n b ⑤n n n b a b a =?? ? ?? ⑥）（0a 1a 0≠= ⑦）（0a a 1a p p ≠=- 根式的运算（正逆运用）①???-≥==) 0()0(2 a a a a a a ②a ab =〃b （)0,0≥≥b a ③)0,0( b a b a b a ≥= 统计与统计 ①)(121n x x x n x +??++=— ②??????-+??+-+-=---222212)()()(1x x x n x x x n s 乘法与因式分解（正逆运用）①22b a -=()b a b a -+）（ ②222b ab a +±=2)(b a ± 一元二次方程的解 =X a ac b b 242-±- 根与系数的关系 ① X 1+X 2=-b a ，② X 1〃X 2=a c 判别式 ① b 2-4ac=0 ?方程有两个相等的实根 ?抛物线与X 轴只有一个交点 ② b 2-4ac>0 ?方程有两个不等的实根 ?抛物线与X 轴有两个交点 ③ b 2-4ac<0 ?方程没有实根?抛物线与X 轴没有交点 简单数列前n 项和 ①1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n= 21n(n+1) ②1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n 2 ③2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) n 边形的内角的和等于（n-2）×180° 外角和等于360° 正n 边形的每个内角都等于 n 180·2n ?-）（，每个外角等于n 360? 边长为a 的正三角形面积43 a 2；菱形面积等于对角线乘积的一半，即S ＝2 1ab 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L= 2 1（a+b ）， S=L ×h （a 、b 是两底长，L 是中位线长，h 是高） 半径为r 的圆外切三角形的面积 )(2 1c b a S ABC ++= ?〃r 半径为r 的圆外切直角三角形的面积 )(21c b a S ABC Rt ++=?〃r ab 2 1= ABC Rt ?的内切圆半径 c b a ab c b a r ++=-+=2；ABC Rt ?的内接圆半径 c R 2 1= 弧长计算公式：L=180R n π；扇形面积公式：S 扇形=360R n 2π=21LR 底面半径为r 的圆锥侧面展开图是扇形。扇形的弧长等于2πr ，半径等于母线长a ，