康杰中学2017—2018高考数学(理)模拟题(一)
命题人:冯伟杰 李清娟
2018.4
【满分150分,考试时间为120分钟】
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}
22,1,0,2,3,|1,A B y y x x A =--==-∈,则A B I 中元素的个数是 A.2
B.3
C.4
D.5
2.i 是虚数单位,复数()z a i a R =+∈满足i z z 312
-=+,则z = A.2或5 B.2或5 C.5 D.5
3.设向量a 与b 的夹角为θ,且)1,2(-=a ,)3,2(2=+b a ,则θcos = A. 35- B.35 C.5 D.25- 4.已知1tan 2θ=
,则tan 24πθ??
-= ???
A.7
B.7-
C.
1
7
D.17
-
5.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的表面积为 A. 4
B. 642+
C. 442+
D. 2
6.已知数列{}{},n n a b 满足1n n n b a a +=+,则“数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.即不充分也不必要条件
7.执行如图所示的程序框图,则输出的a =
A.1
B.1-
C. 4-
D.52
-
8.在()10
2x -展开式中,二项式系数的最大值为a ,含7x 项的系数为b ,则b a
= A.
80
21
B.
2180 C .2180
- D.80
21
-
9.设实数,x y 满足约束条件250403100x y x y x y --≤??+-≤??+-≥?
,则22
z x y =+的最小值为
B.10
C.8
D.5
10.现有一半球形原料,若通过切削将该原料加工成一正方体工件,则所得工件体积与原料体积之比的最大值为
A.
3π
B.
6π
C.8π
D.4π
11.已知O 为坐标原点,F 是双曲线()22
22:10,0x y a b a b
Γ-=>>的左焦点,B A ,分别为Γ
的左、右顶点,P 为Γ上一点,且x PF ⊥轴, 过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与
y 轴交于点E ,直线BM 与y 轴交于点N ,若2OE ON =,则Γ的离心率为
A.3
B.2
C.
3
2
D.
43
12.已知函数 ()()
2ln x x f x e e x -=++,则使得()()23f x f x >+ 成立的x 的取值范围是
A.()1,3-
B.()(),33,-∞-+∞U
C.()3,3-
D.()(),13,-∞-+∞U
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.曲线3y x =
与y =
所围成的封闭图形的面积为 .
14.已知{}n a 是等比数列,5371
,422
a a a =
+=,则7a = . 15.设21,F F 为椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点,经过1F 的直线交椭圆C 于
B A ,两点,若AB F 2?是面积为34的等边三角形,则椭圆
C 的方程为 .
16.已知12,x x 是函数()2sin 2cos2f x x x m =+-在0,2π??
????
内的两个零点,则
()12sin x x += .
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。
17.(12分)在ABC ?中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 已知B b A c A b B A a cos 2cos sin cos cos 2
=--.
(I )求B ;
(II )若a b 7=,ABC ?的面积为32,求a .
18.(12分)在某校举行的航天知识竞赛中,参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1:3,且成绩分布在[]40,100,分数在80以上(含80)的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图(见下图).
(I )在答题卡上填写下面的22?列联表,能否有超过0095的把握认为“获奖与学生的文理科有关”?
文科生
理科生
合计 获奖 5
不获奖
合计
200
(II )将上述调査所得的频率视为概率,现从该校参与竞赛的学生中,任意抽取3名学生,记“获奖”学生人数为X ,求X 的分布列及数学期望.
附表及公式:)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=,其中d c b a n +++=
()2P K k >
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k
2.072 2.706
3.841 5.024
6.635
7.879
19.(12分)在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,60ABC ∠=?,
PB PC PD ==.
(I )证明:⊥PA 平面ABCD ;
(II )若2=PA ,求二面角A PD B --的余弦值.
20.(12分)已知抛物线()2:20C x py p =>,圆22:1O x y +=.
(I )若抛物线C 的焦点F 在圆O 上,且A 为C 和圆O 的一个交点,求AF ; (II )若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于点N M ,,求MN 的最小值及相应p 的值.
21.(12分)已知函数x x x f ln )(=
,)12
(ln )(--=ax
x x x g . (I )求函数)(x f 的最大值;
(II )当10,a e ??
∈????
时,函数)],0(()(e x x g y ∈=有最小值,记()g x 的最小值为()h a ,
求函数()h a 的值域.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy 中,曲线1:4C x y +=,曲线21cos :(sin x C y θ
θθ
=+??=?为参数)
, 以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I )求曲线12,C C 的极坐标方程;
(II )若射线)0(≥=ραθ与曲线12,C C 的公共点分别为,A B ,求
OB
OA
的最大值.
23.[选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数()()10f x a x x a a =-+->. (I )当2a =时,求不等式4)(≤x f 的解集;
(II )如果对于任意实数x ,1)(≥x f 恒成立,求a 的取值范围.
康杰中学2018年数学(理)模拟试题(一)答案
1. B 【解析】当2x =±时,3y =;当1x =-时,0y =;当0x =时,1y =-;当3x =时,
8y =,所以{1,0,3,8}B =-,所以{1,0,3}A B =-I ,故选B.
2. C 【解析】因为2
2
2
()1(21)13z z a i a i a a a i i +=+++=-+++=-,所以
211
213
a a a ?-+=?
+=-?,解得2a =-
,所以|||2|z i =-+==,故选C. 3. A 【解析】因为(2)2(4,2)a b a b +-==r r r r ,所以(2,1)b =r
,所以
3
cos 5||||a b a b θ?===-r r r r ,故选A.
4.D 【解析】因为2
2122tan 42tan 211tan 31()2θθθ?
===--,所以tan tan 24tan(2)41tan tan 24
θθθ
π
-π-=π+=
41134713
-
=-+,故选D. 5. B 【解析】由三视图知,该几何体是底面为斜边边长为2的等腰直角三角形、高为2的直
三棱柱,所以该几何体的表面积为1222262
?++?=+ B. 6. A 【解析】若数列}{n a 是等差数列,设其公差为1d ,则
1212112)()(d a a a a a a b b n n n n n n n n =-=+-+=-+++++,所以数列}{n b 是等差数列.
若
数
列
}
{n b 是等差数列,设其公差为
2
d ,则
221211)()(d a a a a a a b b n n n n n n n n =-=+-+=-+++++,不能推出数列}{n a 是等差数列.所以
数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的充分不必要条件,故选A.
7.C 【解析】第一次循环,得1,1,2b a i =-=-=;第二次循环,得5
5,,322
b a i =-=-=;第三次循环,得4,4,4b a i =-=-=,…,以此类推,知该程序框图的周期3,又知当40i =退出循环,此时共循环了39次,所以输出的4a =-,故选C.
8.
D 【解析】有题,得5
10C
a =,
3
10
3
)2(C b -=,所以21
80
)2(5
103
103-=-=C C a b ,故选D. 9. B 【解析】作出可行域,如图所示,因为22
z x y =+表示区域内的点到原点距离的平方,
由图知,1013|10003|2
2
2min
=???
?
??+-+?=z .故选B.
10. A 【解析】当正方体的下底面在半球的大圆面上,上底面的四个顶点在球的表面上时,所得工件体积与原材料体积之比选项取得最大值,此时设正方体的棱长为a ,则球的半
径为2
226
()22R a a a =+=33
63146()a ππ=
?,故选A. 11. A 【解析】易证得MFA ?∽EOA ?,则
||||
||||
MF EO FA OA =
,即 ||||||()
||||EO FA EO c a MF OA a
??-=
=
;同理MFB ?∽NOB ?, ||||||()
||||NO FB NO c a MF OB a ??+=
=
,所以||()EO c a a ?-||()NO c a a
?+=,又2OE ON =,所以2()c a a c -=+,整理,得
3c
a
=,故选A. 12. D 【解析】因为)()ln()()ln()(22x f x e e x e e
x f x x x x
=++=-++=---,所以)(x f 是
偶函数,又)(x f 在)0,(-∞单调递减,在),0(∞+单调递增,所以)2()2(+>x f x f 等价于|3||2|+>x x ,解得1-
13. 12
5【解析】由题意,所围成的封闭图形的面积为125|)4132()(10423
3
10=-=-?x x dx x x .
14. 1【解析】设数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,则依题意,有412611
1
2
42a q a q a q ?=
???+=?,解得1
2182
a q ?
=??
?=?
,所以63711218a a q ==?=. 15. 22196
x y +=【解析】由题意,知2211||||||||||AF BF AB AF BF ===+ ①,又由椭圆的
定义知,21||||AF AF +=21||||2BF BF a += ②,联立①②,解得
224
||||||3
AF BF AB a ===
,
112
||||3
AF BF a
==,所以
2F AB
S ?
=
21
||||sin 602
AB AF ?=,所以3a =
,12||||2F F AB ==
c =以2
2
2
6b a c =-=,所以椭圆C 的方程为22
196
x y +=.
16.
(
)2sin 2cos2)f x x x m x m ?=+-=+-,其中
(cos ??=
=
),由函数()f x 在0,2π??
????
内的两个零点,知方
程)0x m ?+-=在0,2π??
????
内有两个根,即函数y m =
与)y x ?=+的图象在
0,2π??
????
内有两个交点,且12,x x 关于直线42x ?π=-对称,所以12x x +=2?π-
,所以12sin()sin()cos 25
x x ??π+=-==.
17. 解:(I )由已知及正弦定理,得
A C A
B B A A B B cos sin sin sin cos cos sin cos sin 22--= A
C A B B A A cos sin )sin sin cos (cos sin --=
A C
B A A cos sin )cos(sin -+=
B C A A C C A sin )sin(cos sin cos sin -=+-=--=, 4分
因为0sin ≠B ,所以2
1
cos -=B , 5分 又因为π<
2π
=
B . 6分 (II )由余弦定理,可得B ac c a b cos 2222-+=,将2
1
cos ,7-==
B a b 代入上式,
得0622=-+a ac c ,解得a c 2=, 10分
ABC ?的面积为322
3sin 212
==
=a B ac S ,解得2=a . 12分 18.解(I )
3分
841.3167.46
25
1604015050)45351155(2002>≈=????-??=k , 5分
所以有超过0095的把握认为“获奖与学生的文理科有关”. 6分
(II )由表中数据可知,将频率视为概率,从该校参赛学生中任意抽取一人,抽到获奖同学的概率为
5
1
. 7分 X 的所有可能的取值为3,2,1,0,且)5
1
,3(~B X . 8分
k
k
k C k X P -?
?
?
??-???? ???==5351151)((3,2,1,0=k ). 9分
所以X 的分布列如下
11分
5
3
513)(=?=X E .
12分
19.解:(I )连接AC ,则ABC ?和ACD ?都是正三角形,取BC 中点E ,连接AE ,PE . 因为E 为BC 的中点,所以在ABC ?中,BC AE ⊥, 因为PC PB =,所以PE BC ⊥,
又因为E AE PE =I ,所以⊥BC 平面PAE , 又?PA 平面PAE ,所以PA BC ⊥. 同理PA CD ⊥,
又因为C CD BC =I ,所以⊥PA 平面ABCD . 6分
(II )以A 为坐标原点,分别以向量AP AD AE ,,的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz A -,
则)0,1,3(-B ,)0,2,0(D ,)2,0,0(P ,)2,2,0(-=PD ,)0,3,3(-=BD .
设平面PBD 的法向量为),,(z y x =m ,?????=?=?0
,0m m BD PD ,即???=+-=-033022y x z y ,
取平面PBD 的法向量)1,1,3(=m . 9分 取平面PAD 的法向量)0,0,1(=n . 10分
> | |||n m n m ??515 =. 11分 所以二面角A PD B --的余弦值是 5 15 . 12分 20.解:(I )由题意,得)0,1(F ,从而y x C 4:2 =. 解方程组???=+=1 42 22y x y x ,得25-=A y ,所以15||-=AF . 5分 (II )设),(00y x M ,则切线l 的方程为000 )(y x x p x y +-= , 整理得000=--py py x x 6分 由1||=ON 得 1| |2 200=+p x py ,所以2022 02||p py p x py +=+=, 整理,得1 22 00-= y y p 且012 0>-y , 8分 所以1211||||2 00202022-+=-+=-=y py y x OM MN 8)1(1 424114411420202020202020=-?-+≥-+-+=-+-=y y y y y y y , 当且仅当30=y 时等号成立. 所以||MN 的最小值为22,此时31 33 2=-?= p . 12分 21.解:(I ))(x f 的定义域为),0(∞+,2 ln 1)('x x x f -= . 当),0(e x ∈时,0)('>x f ,)(x f 单调递增; 当),(∞+∈e x 时,0)(' e f 1 )(=. 4分 (II )?? ? ??-=-=a x x x ax x x g ln ln )(',由(I )及],0(e x ∈得: ①若e a 1= ,0ln ≤-a x x ,0)('≤x g ,)(x g 单调递减, 当e x =时,)(x g 的最小值2 )()(e e g a h -==. 6分 ②若????? ?∈e a 1, 0,a f ≤=0)1(,a e e f >=1 )(, 所以存在),1[e t ∈,0)('=t g 且at t =ln , 当),0(t x ∈时,0)(' 所以)(x g 的最小值)12 ln ()12ln (ln )12(ln )()(-=--=-- ==t t t t t at t t t g a h . 9分 令t t t t -=2ln )(?,),1[e t ∈. 2 1 ln )('-= t t ?, 当∈x ),1(e 时,0)(' ? ??-- ∈1,2)(e t ?,即 ?? ? ??--∈1,2)(e a h . 11分 由①②可知,)(a h 的值域是?? ? ???-- 1,2e . 12分 22.解:(I )曲线1C 的极坐标方程为4)sin (cos =+θθρ, 曲线2C 的普通方程为1)1(2 2 =+-y x ,所以曲线2C 的极坐标方程为θρcos 2=. 4分 (II )设),(1αρA ,),(2αρB ,因为,A B 是射线αθ=与曲线12,C C 的公共点,所以不妨设2 4 π απ ≤ <- ,则α αρsin cos 4 1+= ,αρcos 22=, 6分 所以 )sin (cos cos 24 1 ||||12αααρρ+?==OA OB ?? ? ???+-=++= 1)42cos(241)12sin 2(cos 41πααα, 8分 所以当8 π α= 时, | |||OA OB 取得最大值41 2+. 10分 23.解:(I )?? ? ??>-≤≤<+-=-+-=2,43;21,;1,43|2||1|2)(x x x x x x x x x f . 所以,)(x f 在]1,(-∞上递减,在),1[∞+上递增, 又4)38()0(==f f ,故4)(≤x f 的解集为}3 80|{≤≤x x . 4分 (II )①若1>a ,|1|)1(|||1||1|)1()(--≥-+-+--=x a a x x x a x f 1|1||1||1|)1(|)()1(|-=-≥-+--=---+a a a x a a x x , 当且仅当1=x 时,取等号,故只需11≥-a ,得2≥a . 6分 ②若1=a ,|1|2)(-=x x f ,10)1(<=f ,不合题意. 7分 ③若10< ||)1(a x a --+)1(|1|||)1(|1|a a a a a x a a a -=-≥--+-=,