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常微分方程练习题及答案复习题

當微分方程练习试卷

3 U A

1.方程X —1 = U 址R _________ I Mett. ir?rt > 微分方仪.

dt-

：.方w —^- = f (xy) ________ ?可以化为tn分Khfi ______________ .

y dx

d'y

s.做分方《■ ——z- —_______________________________ — x = 0 購足条d y(0) = 1, y'(0) = 2 的解“个.

& ????/,?? y" + ay' + fly = ye x的卄解y (x) = e~x + e x + xe x.妙此方n的系型 a = ______________________________________________ . p = ______________ . y = 5.朗躲晰列式W(f)三0Wffittffl召(f),x2(t),^-,x n(t) A a

____________________ 条件.

& 方程xydx+(2x2 4- 3y2一2Q)dy = 0 的只号y有关的机分因子为__________________________________

T.已知X' = A(t)X的啊时为0(0的.期A(t) = _____________________________

~2 0_

8.方KfflX* = X的星轄第辞为

0 5_

空*+尸

9._________ 可用变殃紗们为利方程化；MS性方程.

10._____________________________________ 丁—1 足朋方程y m + 2y" 4- 5y r + y = 1 辦“苗条”g *

v<4)-v=z2

H.方程』丿的ftJiiWW-Jm ____ 的心式：

is.三附常不n齐仪件方丹y"—2y" + y = 0的椅征根乞________________________

点的曲找方幔.matt任.点仪的wtt^w点血成“.。).找*

s.求方程 y = y+sb】x (wifflw.

銓证微分加(cosxsmx-xy2)dx + y(l-x2)dy = 0足恰片方程.并来出它的ia*

2.求蔡方f￥

x+ y-1

x-y + 3

4.用比tt??k法解方程?才“一

4亡+4才=&

-1

.试耒方

Rm —— = AX 的_个垩解V -^K ①（/）.求——=AX 询足初始条件x （0） = rj 的解. at

三.证明18

1. ?7①（。，田⑴：

X' = A （t ）X 的删总阵.歩证：布花-个钿异BMHJt 矩阵C .便行W （f ）=①a ）c

2. ? 0(x) < x 0,x < P)足积分方程

y(Q = >o +『[F 陀)+幻百，x°, x w 9,0]

J.g

".U W 壮「. {0, ( Y)} ■'： [a. 0]

0(X)- "H — [a.0]

.71 l ：p .试用 E 步iiifiiiiE 明: *：[a,0] W(x)三 0(x).

&样

（x ）卫⑴昨何（一①他）冷—严（x ）￥g 5咖方』也⑴”乜口妙二0沪个仆虬血明

(i) z

丿韓只能肖简皱零点（即衲飲徽与#函救他不能在一成同时为零）；

(ii) 庶刃和许S ）没枫附环

(iii) 05）/3财和林点.

?I.试证：如果（p （t ）；￡ ——- = AX 満足初始条件（p （t 0

） = //的解.那么0（'） = e 羊A （/ —『o ）〃 at

答赛

1.二.非找性 z U =

XV. — ---------------------- ---------- du = — dx s.无另多-1. a = —3,0 = 2,/ = —1

?(/(?) +1) x

5 0妥 & y -①'（（）①T （f ） e

0 z =y~2

0 F

-3

r. ?

A =

〃=

昨

（1,0）的第二次近似解.

10. ?r

~ 2

r 厂

_-l

時方程

ta x = Ax 的駅從f ）,仪0）= 〃 =

并求expAt

歹(0)= i,”(o)= 0^"(0)= 0 4# +o>+Q i±7s

!.?￥■ ttt?点的net方程.KMttI ff点处的切找与WA*点U.0)的ttttMSSK.

解：方程为丁— M(x) 切勺为(工刀.vjjftjHjtt(to)的连怨的針申为天—1 .刈由匕总

可 WtaFMfflHJS：

dy _

2.求解方很~7~ = ax

HH -y-=纟工2.令

Z =纟.卿

a_0 Z= _± 稅分裂aictan乙一丄11】(1 + z‘) = In | 歹 | +C dg§-〃g 1+Z2§ 2 V 151

故si方伽翻为arctan = In J(x+1)

+(y-2)2 +C

x+1

d2x dx 2

3.求解方f￥ X r- + ( ) = U dt dt

色=￡_ 2

37= ~ x = c y t + c y (5 = 2c)

兀?所以“就足廉方程的通解.这里1 i为任意帘数.

?.强方涉才一4护站乂 = 0 .的組/】=°’久23二2 心?二 C] + G/+C>'

对炖齐方幔的ifi解为 u 1 J.

X0) = o

分???.枳分并密理后可符

/=-(A-1)2+C

x+y-l

x-y + 3

M：

x+y-l = 0,

in*

x-y+3=Q

求彻兀=—1, y = 2,

*g_l,

y=〃+2,

—- ~2 = y—^y—^y2 = 0

解令处歹.直接计算可紂曲dx.于是廉方程化为dx?故有

山用比方程.

才"一4左'+4才=&

代亦方晌一力十花加十

b)二8：利用协沁计/二讥=° 氏方程的均解可以老示为(5° 5* G 堆任总希動

琲)二心

(f) + x 企)二 H + C\ + 6』+ 中/

5.求方程# = y+sin x 的划解.

w.先解

y‘ = y 側遇解为y = ce x

令

y = c(x)e 乂为廉方程的解?

代入

w c\x)e x

+ c(x)e x

= c(x)e x

+ sin x. 叭 c'(x) = e~x

sin x.

积分n c(x)= 一丄厂

(sin x + cos x) + c . 所以 y = ce x

-丄(sin x +cos x) :w 方很的创.

&购证微分方丹

(cos x sill x —xy~ )dx + y(l — x~ )dy = 0址恰气方程.并求岀它的颯解.

?： M M

(x, y) = cosxsill x-xy 2

,N(x, y) = y(l — F).因为—=-2xy =—所以廉方程为”方程 dy

把檄方很分顶

tflfm cos x sin xdx - {xy 2

dx + yx 2

dy) + ydy = 0

故尿方翟的

ISM siii~ x —x 2

y~ 4- y 2

= C

?试求方

Rm —— = AX 的一个垩解垒解却阵①(/). >R —— = AX 消足初始条件x(0) = rj (r)w. at

设方程的特解IT 形如 x *(/) = at 2

+bt

det(A-2E)= ~3~A

-4-2

=(几 +

2)(几 + 5) = 0,

求

wnfftn\ = —2, 血 =—5.对总兔 =—2, 2, = —5的符征向最分别为匕 =a

in r 1 _ ,%=0 , (G ,0H O). 1

—Z

"制?个删如为①(/)=

.又何为①

t(0) = 2 2 3 1 1

-1

干足.所求的解为

0(f)=①(/)①"(0)〃 =

1 ◎ 严1

卩 1 ■

■ 1 _ 1 「宀2严 3 e - -2e~5,

-i

-i ~3 严一 4产

XV.

或与成

F + dg 巧 2)+班*尸)=()

-3

?. ? A =

"一

1 J

/工石（4砂

匸° 1

dy 2

L 求方程 —= 2x —1 —3），增过戊（1,0）的第二次近艸.

?：令%

(x) = 0 .干足

? (x)=儿 + J ； [2x —1 — 3 號(x)Xx = x 2

-x,

]

3 3

02（兀）=凡+『[2兀一1一3奸0）肚=仓一％+妒一兀'+空疋一&尹，

— 4xy 牛+

8严=0 的is 解

+ 8)2

解：方程可化为

Y _P‘+8)'2

令

dx 则有 4“

(?).

＜?）两边对y 求导得

2y （宀对）鲁+窗詁=4心

? rii

将y 代入＜*）得

c 2

叩方程的含移数形式的通解为:

. ?＞为歩数:

又屏3

+ =

0得

丄

p = (4y2)3

4 3 y = 一

x ? 77

代入得

厶1 也是方程的解.

io. n

pS) =

?＞椅征方机

〃=

“2

-1 4

A-2 试求方程组

x =

的"他/),

0(°) = " = ["']并求

ex ?At

-1 2-4

=22

-62 + 9 = 0

入

2 = 3

耳=

?tm '

?此时k=i. 1

夬)=0

乞+⑺-3砂

/=0 ' ?

〃

1+『（一771 + 〃2）

由公式expAt=

w. .V

exp At = e 3t

[E + t(A - 3E)] = e 3t

三、证明JB

1. ?,

足

X' = A(t)X 的4m 鮮.求证：俐：个非商斤的借歌矩阵C ■

=①(/)C

证,①(/)址垒解矩阵?故C>_1

(t)帝

MJ x(t) niwn det x(r)h o.易知w(f)=①(/)x(r).

所以

W'(f) =①'(/)X(f) +①(/)X'(F) = 4(f)① U)X(r) + ①(f)X'(f) = 4(/)中(。+①(/)X'(f)

而

W'(/) = 4(r)W(f).所以0>(/)X'(f) = 0 X'(/) = 0, X(f) = C (卅碗阵〉.故 W(f)=①(f)C

2. ? 0(x) < x 0,x < P)足积分方程

y(x) = >o +『[F y@) +f]百，x°, x w 9,0]

J.g

".U W 壮「. {0, ( Y)} ■'： [a. 0]

0(X)"H — [a.0]

.71 l ：p .试用 E 步iiifiiiiE 明: *：[a,0] w(x)三 0(x).

证…呃“肖

(x)三 y° + J[gW@)+g]dg,

%(兀)=儿，

0”(兀)三儿 + j[F0n~?) +级歹,兀o,兀w[a,0] (” = 1,2,…)

下而只藏区何x 0 < x < p 上讨论.对于

a < x < x Q

的w 论完全-样.

因为

10(兀)一0。(兀)$ J (严丨 0(F) 1 + 1^ |)昭

X 。

所以 10(x) - ％ (x) IS J (鬥 0(g) - ％ (纟)I )d 歹"J M (g - x°)d 加土 (x - 如)2,

10(小一0"丿ivj (孑 10(切—血/切i 丿d&

]^^-x Q

yd^ = -^-(x-x 0r 1

("+ J

故由归瞬?对一切正整敕R ?#

1 0

-1 1

+ t

> =e

0 1 ?—

-1 1

典中厶=

max{x 2

}

at 对正整B ： n 引 | ?(x) — 0”_] (x) |<

ME'~

(X-X o

)n .wir

而上不零式的Gifilfetta 的正顼级敛的妞顼.故予 K —》°0 ?.；.它一> 0

怖函时列｛%（X ）｝ ftX 0

0（x ）三 0（x ）. X O

（x ）,q （x ）昨间（一卩佃）咖林? H 讽对，讥工）5线你”?*（e+?（x"二0的_个辱細试咧

卩（x ）和怦（X ）鄒只能有简单.点（即函欽忸与导函IMft 不能在一点同时为*）;

")M 0 (XG (-00,-K?))

柿在怎€

（-00,2）.使/（勺）=讥心）=°.闻列式性窗严E ） = 0 .林即

e （X ）2$只能肖筒m 牢点.同理对忖（X ）灯同样的rt?.故（0邯证.

若“在“0 €

（一8,+00）姻矽（兀0）= 0>a ）= 0册市列式性质可咼用（心）=°.刊.即e （x ）与怦（X ）无共同辛点.M （Wi￡.

柿在怎€

（—00,2）.婶G （比）=0（孔）=0.阴柚两性阿册%） = ° ?林.

⑴0（6严5无共比.故祸盹

?I.试证：如果(p(t) j￡ ——- = AX 満足初始条件(p(t Q

) = 1]的解.a ；么(p(t ) = e 羊A(/ —『o )〃 dt

田

B ：因为①(/) = exp 如址—-—=AX 的财解炬陈.(p(t) j￡H*.所以他帕st

C (tuh 伙t ) = exp At - C. dt 令t = t 0

. w ： /? = e?q)At 0

C. 所以 C = (e?q)At 0

)~1

/].

故

(/)( t ) = expAt-(expAt Q )T l

7] = exp At ? exp( —At Q )7] = expA( t —t Q )r/

e （x ）和肖（x ）没枫附钿: (iii) B （X ）相帜（无）

没有共同的寺成.

证明:

卩（对理（X ）的伏朗痕行列式为

r （x ）=

俘U ）疔

（X ）

0（x ）忖 3