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直线与圆的位置关系常见题型归纳

直线与圆的位置关系常见题型归纳（一）.直线与圆的位置关系判定： Eg1：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，以C 为圆心，R 为半径作⊙C 。

（1）若⊙C 与斜边AB 没有公共点，则R 的取值范围是；

（2）若⊙C 与斜边AB 只有一个公共点，则R 的取值范围是；

（3）若⊙C 与斜边AB 有两个公共点，则R 的取值范围是。

Eg2：如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径是1，直线AB 与x 轴交于点P （x ，0），且与x 轴正方向夹角为45°，

若AB 与⊙O 有公共点，则x 值的范围是（）

A ．﹣1≤x ≤1

B ．22≤

≤-x C ．22 x - D ．20≤≤x

Eg3：如图，两个同心圆，大圆半径为5 cm ，小圆的半径为3 cm ，若大圆的弦AB 与小圆有公共点，

则弦AB 的取值范围是_______．

Eg4：如图，P 为∠AOB 边OA 上一点，∠AOB =30°，OP =10cm ，以P 为圆心，5cm 为半径的圆与直线OB 的位

置关系是（）A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定

（二）.切线性质：

1. 有关角度问题：

Eg1：如图，AB 为⊙O 的切线，切点为A ，BO 交⊙O 于点C ，点D 在⊙O 上，若∠ABO 的度数是32°，

则∠ADC 的度数是（）A.29° B.30° C.31° D.32°

Eg2：如图所示，线段AB 是⊙O 的直径，∠CDB ＝20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 等于 ( )

A ．50°

B ．40°

C ．60°

D ．70°

Eg3：如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C=度．

Eg4：如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C,点D、E、F是⊙O上三个点，EF∥AB，若EF=23，则∠EDC的度数为。

Eg5（弦切角）：（1）如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE=19°，则∠AFB的度数为（） A.97° B.104° C.116° D.142°

（2）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，

则∠PCA=() A.30° B.45° C.60° D.67.5°

Eg6（切线与圆内接四边形）：已知：如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=130°，过D点的切线PD与直线AB交于P点，则∠ADP的度数为（）A.40° B.45° C.50° D.65°

2.有关线段长度问题：

（1）.圆幂定理（补充结论）：

Ⅰ.切线长定理：

Eg1：如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝50°，则∠BAC的度数为．

Eg2：如图,AB、AC为⊙O的切线,B、C是切点,延长OB到D,使BD=OB,连接AD,如果∠DAC=78°, 那么∠ADO等于 ( ) A.70° B.64° C.62° D.51°

Eg3：如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE=25°，则∠D的度数是（）

A.50°

B.55°

C.60°

D.65°

Eg4：如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA的大小为°

Eg5：如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则（）

A .EF>AE+BF B. EF

Eg6：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点E在AB^上，过点E作⊙O的切线，

分别与PA，PB相交于点C，D．若PA=3cm，则△PCD的周长等于 cm

Eg7：如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AC、BC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是

Eg8：如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切与点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点

P作⊙O的切线MN与AB ，BC 分别交于点M ，N，若⊙O的半径为5，则Rt△MBN的周长为 .

Eg9：如图，以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB于点E，则△DAE与

直角梯形EBCD的周长的比值为（）A.3

4B.4

C.5

D.6

Eg10：如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DC切⊙O 于E，交AM于D，交BN于C．若AD BC=9，则直径AB的长为

Eg11：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（）A．2．5 B．1．6 C．1．5 D．1

Eg12：如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（）A．5 B．6 C．2D．3

Ⅱ.切割线定理：

Eg1：已知⊙O的直径AB的长为4 cm，C是⊙O上一点，∠BAC＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，则BP的长为 cm．

Eg2：如图，已知AB是⊙O的直径，AD、BD是半圆的弦，∠PDA=∠PBD，∠BDE=60°，若PD=√3，则PA的长为________．

Eg3：如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD=2，AD=3，BD=4，则PB=________．

Eg4：如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的一条割线，且PA=2√3，BC=2PB，那么PB的长为（）

A.2

B.√6

C.4

D.2√6

Ⅲ.割线长定理：

Eg：如图，P是圆O外的一点，点B、D在圆上，PB、PD分别交圆O于点A、C，如果AP=4，AB=2，PC=CD，那么PD=________．

（2）.有关半径问题：

Eg1：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径为 .

Eg2：把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为．

（3）.有关圆心坐标问题： Eg1：如图，在平面直角坐标系中，⊙A 交x 轴于点B （2，0）和点C （8，0），且与y 轴相切，则点A 的坐标是．

Eg2：如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点A (8,0)，与y 轴分别交于点B (0,4)与点C (0,16)，

则圆心M 到坐标原点O 的距离是 .

Eg3：如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是(3,)(3)a a >，半径为3，函数y x =的图像被⊙P 截得的弦

AB 的长为42，则a 的值是 ( ) A. 4 B. 32+ C. 32 D. 33+

3. 三角形内切圆及内心问题：

Eg1：下列说法中：

①、垂直于弦的直径平分于弦；②、平分于弦的直径垂直于弦；③、相等的弦所对的弧相等；④、三角形的内心也是该三角形两内角平分线的交点；⑤、三角形的外心到三角形三个顶点距离相等；⑥、和半径垂直的直线是圆的切线．其中正确的个数为（） A.2 B.3 C.4 D.5

Eg2：如图，⊙O 内切于⊿ABC ，切点分别为D 、E 、F ．

（1）、若∠ABC ＝50°， ∠ACB ＝60°则∠COB ＝_____°, ∠EDF ＝_____°；

（2）、若∠A ＝80°，则∠BOC ＝______°，∠EDF ＝_______° ；

（3）、若AB＝8，BC＝9，AC＝7，则AE＝AF ＝ _____， BD＝BF ＝ ______， CD＝CE ＝ _______．Eg3：已知正三角形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：a：R等于 ( ) A．1：23：2 B．1：3：2 C．1：2：3 D．1：3：23

Eg4：已知一个三角形的三边长分别为5，7，8．则其内切圆的半径为（）

A．

B．

C．3 D．23

Eg5：如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连OE、OF、DE、DF，那么∠EDF等于 ( ) A．40° B．55° C．65° D．70

Eg6：如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，∠O=140°，则∠I为（）

A.135°

B.130°

C.125°

D.120°

4.切线性质应用：

Eg1：已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BD?//?AE交AC的延长线于点D，求证：AB2=AC·AD

Eg2：如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，CD为⊙O的切线，C为切点，且CD⊥PA，

垂足为D．

(1)若∠PAC=60°，求∠CAE的度数；

(2)若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．

Eg3：如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，cosB ＝5

4，点P 是边BC 上的动点，当以CP 为半径的圆C 与边AD 相交时，交点是E 、F （点F 在点E 的右侧),射线CE 与射线BA 交于点G ．

（1）当⊙C 与平行四边形ABCD 相切时，求CP 的长；

（2）当⊙C 经过点A 时，求CP 的长；

（3）连接AP ，当AP ∥CG 时，求弦EF 的长．

Eg4：如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．

(1)求证：EF ⊥AB ；

(2)若∠C =30°，EF =√6，求EB 的长

Eg5：如图，⊙O 的割线PBA 交⊙O 于A 、B ，PE 切⊙O 于E ，∠APE 的平分线和AE 、BE 分别交于C 、D ，

PE =4√3，PB =4，∠AEB =60°．

(1)求证：△PDE ∽△PCA ；

(2)试求以PA 、PB 的长为根的一元二次方程；

(3)求⊙O 的面积．（答案保留π）

Eg6：如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于点E，F.

(1)求证：AF⊥EF；

(2)求证：AF＋CF＝AB．

（三）.切线的判定：

Eg：下列直线中，一定是圆的切线的是（）

A.过半径外端的直线

B.与圆心的距离等于该圆半径的直线

C.垂直于圆的半径的直线

D.与圆有公共点的直线

1.切线证明：有切点连切点，证垂直

Eg1：如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD的外接圆．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．

Eg2：如图，已知四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，AE 是⊙O 的直径，连接BE 、BD ，P 为⊙O 外一点，连接PA ，若

∠AEB =40°，AE =12．

(1)若∠PAB =∠ADB ，求证：PA 为⊙O 的切线；

(2)若∠BDC =20°，求∠ABC 的度数．

Eg3：如图，已知点P 是⊙O 外一点，PO 交圆O 于点C ，OC =2，AB ⊥OC ，劣弧AB 的度数为120°，连接PB ． (1)求证：OC =BC ；

(2)当PB 的长是多少时，PB 是⊙O 的切线？写出证明过程．

Eg4：如图，AB 为⊙O 的直径，CO ⊥AB 于点O ，D 在⊙O 上，连接BD 、CD ，延长CD 与AB 的延长线交于E ，F 在BE

上，且FD=FE ．

（1）求证：FD 是⊙O 的切线；

（2）若AF=10，tan ∠BDF=

41，求EF 的长．

Eg5：已知：如图，A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点，OC=BC ，AC=

OB ．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；

（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD 的长．

Eg6：已知，如图，直线MN 交⊙O 于A ，B 两点，AC 是直径，AD 平分∠CAM 交⊙O 于D ，过D 作DE ⊥MN 于E ．

(1)求证：DE 是⊙O 的切线；

(2)若DE ＝6cm ，AE ＝3cm ，求⊙O 的半径．

Eg7：如图, AB 是⊙O 的直径，点,C D 在圆上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，分别交

OA 的延长线与OC 的延长线于点,E F ，连接BF .

(1)求证BF 是⊙O 的切线;

(2)已知⊙O 的半径是1，求线段EF 的长.

2.切线证明：没有切点，作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径

Eg1：如图，梯形ABCD 中，为圆心，，以点于点的平分线交，于O O AE ADC E BC ,//∠⊥AE BC AD

OA 为半径的圆经过点B,交BC 于另一点F.

(1)求证: CD 与⊙O 相切;

(2)若24,5BF OE ==，求

AE BE

的值.

Eg2：如图，在△ABC 中，O 为AC 上一点，以O 为圆心，OC 长为半径作圆，与BC 相切于点C ，过点A 作AD ⊥BO

交BO 的延长线于点D,且∠AOD=∠BAD 。

（1）求证：AB 为⊙O 的切线；

（2）若BC=6,tan ∠ABC=

4,求AD 的长.

Eg3：如图，AB 是⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线并在其上取一点C ，连接OC 交⊙O 于点D ．

(1)如图1，连接BD 并延长BD 交AC 于点E ，连接AD ．

①证明：△CDE ∽△CAD ；

②若AB ＝2，AC ＝22．求CD 和CE 的长；

(2)如图2，过点C 作⊙O 的另一条切线，切点为F ，连结AF 、BF ，若OC ＝

BF ，求CA BF 的值．