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二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

1、一元二次方程

02=++c bx ax 根的分布情况设方程()2

00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的

根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

k k k

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满

足的条件是

（1）0a >时，()()00f m f n

f m f n >???>??

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：

1? 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可

以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()2

2212mx m x x mx -++=--，另一根为

，由213m <<得2

3m <<即为所求；

2? 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0?=，此时由0?=可以求出参数的值，然后再将参数的值带

入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程2

4260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314

m -<<-

；②由0?=即()2

164260m m -+=得出1m =-或3

m =

，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =?-，故32

m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-

根的分布练习题

例1、已知二次方程()()2

21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得1

m -<<即为所求的范围。

例2、已知方程()2

210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。

解：由

()()0102200m f ?>??-+?->??>??

? ()2

18010m m m m ?+->?>-?

?>? ?

330m m m ?<->+??>???

03m <<-

3m >+

例3、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。

解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ? 1

m -<<即为所求的范围。

例4、已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f < ? ()4310m +< ? 1

m <-

即为所求范围。（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在()0,1内，由0?=计算检验，均不复合题意，计

算量稍大）

例1、当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围：（1）方程2

70x ax a -+-=的两个根一个大于2，另一个小于2；

（2）方程227(13)20x a x a a -++--=的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；（3）方程022=++ax x 的两根都小于0；变题：方程022

=++ax x 的两根都小于-1．

（4）方程22(4)2530x a x a a -+-++=的两根都在区间[1,3]-上；（5）方程042

=+-ax x 在区间（-1，1）上有且只有一解；

例2、已知方程042

=+-mx x 在区间[-1，1]上有解，求实数m 的取值范围．

例3、已知函数f (x )1)3(2

+-+=x m mx 的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．

检测反馈：

1．若二次函数2

()(1)5f x x a x =--+在区间1(,1)2

上是增函数，则(2)f 的取值范围是___________．

2．若α、β是关于x 的方程06k kx 2x 2=++-的两个实根, 则2

2)1()1(-β+-α的最小值为．

3．若关于x 的方程2

(2)210x m x m +-+-=只有一根在(0,1)内，则m ∈_ _． 4．对于关于x 的方程x 2+(2m -1)x+4 -2m=0 求满足下列条件的m 的取值范围：

（1）有两个负根（2）两个根都小于-1 （3）一个根大于2，一个根小于2 （4）两个根都在（0 ，2）内（5）一个根在(-2，0)内，另一个根在(1，3)内（6）一个根小于2，一个根大于4 （7）在（0， 2）内有根（8）一个正根，一个负根且正根绝对值较大

5．已知函数1)(2

-+=x mx x f 的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围。

2、二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值问题探讨

设()()002

>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：

对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：

（1）若[]n m a b ,2∈-

，则()()()??????

???

??-=n f a b f m f x f ,2,max max ，()()()?

????????

??-=n f a b f m f x f ,2,min min ；（2）若[]n m a

,2?-

，则()()(){}n f m f x f ,max max =，()()(){}n f m f x f ,min min = 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越小。

二次函数在闭区间上的最值练习

二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。

例1、函数()()2

220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。

解：对称轴[]012,3x =?，故函数()f x 在区间[]2,3上单调。

（1）当0a >时，函数()f x 在区间[]2,3上是增函数，故()()()()max min

32f x f f x f ?=??=?? ? 32522a b b ++=??+=? ? 10a b =??=?；（2）当0a <时，函数()f x 在区间[]2,3上是减函数，故()()()()

max min 23f x f f x f ?=??=?? ? 25322b a b +=??++=?? 13a b =-??

=? 例2、求函数()[]2

21,1,3f x x ax x =-+∈的最小值。

解：对称轴0x a =

（1）当1a <时，()min 122y f a ==-（2）当13a ≤≤时，()2

min 1y f a a ==-；（3）当3a >时，()min 3106y f a ==-

改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？

解：（1）当2a <时，()()max 3106f x f a ==-；（2）当2a ≥时，()()max 122f x f a ==-。

2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？

解：（1）当1a <时，()()max 3106f x f a ==-，()()min 122f x f a ==-；

（2）当12a ≤<时， ()()max 3106f x f a ==-，()()2min 1f x f a a ==-；（3）当23a ≤<时，()()max 122f x f a ==-，()()2min 1f x f a a ==-；（4）当3a ≥时， ()()max 122f x f a ==-，()()min 3106f x f a ==-。

例3、求函数243y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值。解：对称轴02x =

（1）当2t <即2t >时，()2min 43y f t t t ==-+；（2）当21t t ≤≤+即12t ≤≤时，()min 21y f ==-；（3）当21t >+即1t <时，()2min 12y f t t t =+=- 例4、讨论函数()21f x x x a =+-+的最小值。

解：()22

21,11,x a x x a f x x x a x a

x x a ≥?+-+=+-+=?<-++?，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线

12x =-，12x =，当12a <-，1122a -≤<，1

a ≥时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）

因此，（1）当12a <-

时，()min 1324

f x f a ??=-=- ???；（2）当1122a -≤<时，()()2

min 1f x f a a ==+；（3）当12a ≥

时，()min 1324

f x f a ??==+ ??? 以上内容是自己研究整理，有什么错误的地方，欢迎各位指正，不胜感激！

二次函数根的分布专题

一元二次方程根的分布专题一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x ①方程有两个不等正根 ??? ? ? ? ??? >=>-=+>-=?>>00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负：0021<<=<-=+>-=?<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x 即时应用： (1)若一元二次方程 0)1(2)1(2 =-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。 (2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332 =-++k kx kx 有一个正根和一个负根？

二、一元二次方程的非零分布——k分布设一元二次方程20(0) ax bx c a ++=>的两不等实根为1x，2x，k为常数。则一元二次方 k1x2x k 根的分布 ① 12 x x k② 12 k x x③ 12 x k x 图象充要条件 2 b k a f k 2 b k a f k f k 根的分布 ④ 1122 k x x k⑤ 11223 k x k x k⑥两根有且仅有一根在 12 ,k k内图象充要条件 1 2 12 2 f k f k b k k a 1 2 3 ()0 ()0 ()0 f k f k f k 12 f k f k 或 1 12 1 ()0 22 f k k k b k a 或 2 12 2 ()0 22 f k k k b k a k k k 2 k 1 k 2 k 1 k 3 k 2 k 1 k