勾股数填空选择及详解中考题

一、填空题（共20小题）

1、附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：

①3，4，5；

②5，12，13；

③7，24，25；

④9，40，41；…

请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：_________ ．

2、观察下列一组数：

列举：3、4、5，猜想：32=4+5；

列举：5、12、13，猜想：52=12+13；

列举：7、24、25，猜想：72=24+25；

…

列举：13、b、c，猜想：132=b+c；

请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b= _________ ，c= _________ ．

3、满足a2+b2=c2的三个正整数，称为_________ ．

4、观察下列一类勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…请你根据规律写出第4组勾股数为_________ ．

5、观察右面几组勾股数，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：_________ ，第n组勾股数是_________ ．

6、能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，试写出两种勾股数_________ ，_________ ．

7、在数3，5，12，13四个数中，构成勾股数的三个数是_________ ．

8、将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我

们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数_________ ，_________ ，_________ ．

9、有一组勾股数，最大的一个是37，最小的一个是12，则另一个是_________ ．

10、观察下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；…；你有没有发现其中的规律？请用你

发现的规律写出接下来的式子：_________ ．

11、一个直角三角形的三边长是不大于10的偶数，则它的周长为_________ ．

12、观察下面几组勾股数，并寻找规律：

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①4，3，5；

②6，8，10；

③8，15，17；

④10，24，26；

请你根据规律写出第⑤组勾股数是

_________ ．

13、数组3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…都是勾股数，若n为直角三角形的一较长直角边，用

含n的代数式表示斜边为_________ ．

14、写出三组勾股数，使每组勾股数中必出现12，_________ ；

_________ ；

_________ ；

15、我们把符合等式a2+b2=c2的a、b、c三个称为勾股数．现请你用计算器验证下列各组的数是否勾股数．你能

发现其中规律吗？请完成下列空格．

3，4，5；

5，12，13；

7，24，25；

9，40，41；

11，_________ ，_________ ；…

16、以下列各组数为边长：①3、4、5；②5，12，13；③3，5，7；④9，40，41；⑤10，12，13；其中能构成直

角三角形的有_________ ．

17、观察下列勾股数组：

b= _________ ，c= _________ ．

18、写出常见的勾股数_________ 、_________ ．

19、请写出一组你知道的勾股数，它们是_________ ．

20、若8，a，17是一组勾股数，则a= _________ ．

二、选择题（共10小题）

21、下列各组数中，是勾股数的一组是（）

A、4，5，6

B、5，7，12

C、12，13，15

D、21，28，35

22、下列各组数为勾股数的是（）

A、7，12，13

B、3，4，7

C、8，15，17

D、1.5，2，2.5

23、若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定还是勾股数的是（）

A、a+1，b+1，c+1

B、a2，b2，c2

C、2a，2b，2c

D、a﹣1，b﹣1，c﹣1

24、在下列四组数中，不是勾股数的一组是（）

A、15，8，17

B、9，12，15

C、3，5，7

D、7，24，25

25、下列各组数中，是勾股数的为（）

A、1，2，3

B、4，5，6

C、3，4，5

D、7，8，9

26、下列几组数中，为勾股数的是（）

A、，，

B、3，4，6

C、5，12，13

D、0.9，1.2，1.5

27、下列各组数是勾股数的为（）

A、2，4，5

B、8，15，17

C、11，13，15

D、4，5，6

28、分别以下列四组数为一个三角形的三边的长①6、8、10；②5、12、13；③8、15、17；④7、8、9，其中能构

成直角三角形的有（）

A、4组

B、3组

C、2组

D、1组

29、下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（）

A、a=3，b=4，c=5

B、a=6，b=8，c=10

C、a=5，b=12，c=13

D、a=13，b=16，c=18

30、下列由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（）

A、a=3，b=4，c=5

B、a=5，b=12，c=13

C、a=2，b=3，c=4

D、a=10，b=24，c=26

答案与评分标准

一、填空题（共20小题）

1、附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：

①3，4，5；

②5，12，13；

③7，24，25；

④9，40，41；…

请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：11，60，61 ．

考点：勾股定理的逆定理；勾股数。

专题：规律型。

分析：勾股定理和了解数的规律变化是解题关键．

解答：解：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2，

故第5组第一个数是11，又发现第二、第三个数相差为一，

故设第二个数为x，则第三个数为x+1，

根据勾股定理得：112+x2=（x+1）2，

解得x=60，

则得第5组数是：11、60、60．

故答案为：11、60、61．

点评：本题考查了勾股数的概念也是找规律题，发现第一个数是从3，5，7，9，…的奇数．

2、观察下列一组数：

列举：3、4、5，猜想：32=4+5；

列举：5、12、13，猜想：52=12+13；

列举：7、24、25，猜想：72=24+25；

…

列举：13、b、c，猜想：132=b+c；

请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b= 84 ，c= 85 ．

考点：勾股数。

专题：规律型。

分析：认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n组数为（2n+1），（）（），由此规律解决问题．

解答：解：在32=4+5中，4=，5=；

在52=12+13中，12=，13=；

…

则在13、b、c中，b==84，c==85．

点评：认真观察各式的特点，总结规律是解题的关键．

3、满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．

考点：勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股数。

分析：因为题中a，b，c满足a2+b2=c2，且a，b，c都为正整数，这样的满足勾股定理的逆定理的正整数，称之为

勾股数．

解答：解：勾股数；

因为a，b，c都为正整数，且满足勾股定理的逆定理，所以是勾股数．

点评：掌握勾股数的含义及勾股定理的逆定理．

4、观察下列一类勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…请你根据规律写出第4组勾股数为9，

40，41 ．

考点：勾股数。

专题：规律型。

分析：通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，由此可写出第4组勾股数．

解答：解：通过观察得：

第1组勾股数分别为：2×1+1，2×12+2×1，2×12+2×1+1；

第2组勾股数分别为：2×2+1，2×22+2×2，2×22+2×2+1；

第3组勾股数分别为：2×3+1，2×32+2×3，2×32+2×3+1；

所以第4组勾股数为：2×4=1=9，2×42+2×4=40，2×42+2×4+1=41．

故答案为：9，40，41．

点评：此题考查的知识点是勾股数，此题属规律性题目，关键是通过观察找出规律求解．

5、观察右面几组勾股数，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：11，60，61 ，第n组勾股数是2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1 ．

考点：勾股数。

专题：规律型。

分析：先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．

解答：解：∵①3=2×1+1，4=2×12+2×1，5=2×12+2×1+1；

②5=2×2+1，12=2×22+2×2，13=2×22+2×2+1；

③7=2×3+1，24=2×32+2×3，25=2×32+2×3+1；

④9=2×4+1，40=2×42+2×4，41=2×42+2×4+1；

∴第⑤组勾股数为2×5+1=11，2×52+2×5=60，2×52+2×5+1=61，

第n组勾股数是2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1．

故答案为：11，60，61；2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1．

点评：本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．

6、能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，试写出两种勾股数3，4，5 ，6，8，10 ．考点：勾股定理的逆定理；勾股数。

分析：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，满足这个条件的三个正整数有很多组，随便填2组则可．

解答：解：根据勾股数的概念得，勾股数可以为：3，4，5；6，8，10；9，12，15等，任选两组即可．

点评：本题考查勾股数，比较简单．

7、在数3，5，12，13四个数中，构成勾股数的三个数是5、12、13 ．

考点：勾股定理的逆定理；勾股数。

专题：应用题。

分析：根据勾股数的定义可知，先把四个数平方后，然后再找到符合勾股定理的3个数即可．

解答：解：∵52+122+=132，

∴5，12，13构成勾股数．

点评：要理解勾股数的概念．凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数．

8、将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我

们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数5，12，13 ，8，15，17 ，9，40，41 ．

考点：勾股定理的逆定理；勾股数。

分析：根据勾股定理的逆定理只要写出的数据符合a2+b2=c2即可，例如5，12，13；8，15，17；9，40，41．

解答：解：符合a2+b2=c2即可，例如5，12，13；8，15，17；9，40，41．（答案不唯一）

点评：此题属开放性题目，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形，只要写出的数据符合a2+b2=c2即可．

9、有一组勾股数，最大的一个是37，最小的一个是12，则另一个是35 ．

考点：勾股定理的逆定理；勾股数。

分析：根据勾股定理即可求得另一个数．

解答：解：根据勾股定理得，中间一个数为：=35．

点评：本题考查了勾股定理，是基础知识比较简单．

10、观察下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；…；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子：352+122=372．

考点：勾股数。

专题：规律型。

分析：观察等式的规律，可分别观察等式的左边：第一个的底数是依次加5，7，9…，第二个的底数是4，6，8…连续的偶数．右边的底数是比左边的第一个数大2，根据规律即可写出下一个式子．

解答：解：根据规律，下一个式子是：352+122=372．

点评：等式找规律的时候，注意分别观察等式的左边和右边以及左右两边的关系，这需要平时的努力．

11、一个直角三角形的三边长是不大于10的偶数，则它的周长为24 ．

考点：勾股数。

分析：本题可根据勾股定理，对不大于10的偶数进行排除，继而求得结果．

解答：解：直角三角形的三边长是不大于10的偶数，且三个数满足勾股定理，只有6，8，10满足62+82=102．

周长为24．

故答案为：24．

点评：本题考查勾股定理的运用，掌握好直角三角形的性质即可．

12、观察下面几组勾股数，并寻找规律：

①4，3，5；

②6，8，10；

③8，15，17；

④10，24，26；

请你根据规律写出第⑤组勾股数是

12，35，37 ．

考点：勾股数。

专题：规律型。

分析：根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中的第一个数是2（n+1），

第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）2+1．根据这个规律即可解答．

解答：解：第⑤组勾股数是12，35，37．

点评：观察已知的几组数的规律，是解决本题的关键．

13、数组3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…都是勾股数，若n为直角三角形的一较长直角边，用

含n的代数式表示斜边为n+1 ．

考点：勾股数。

分析：首先确定各勾股数中的较长直角边、斜边，认真观察，总结规律，不难得出．

解答：解：因为3、4、5中较长直角边是4、斜边是5=4+1；

5、12、13中较长直角边是12、斜边是13=12+1；

7、24、25中较长直角边是24、斜边是25=24+1；

9、40、41中较长直角边是40、斜边是41=40+1；…

∴若n为直角三角形的一较长直角边，用含n的代数式表示斜边为n+1．

点评：此题考查勾股数之间的规律，认真观察是关键．

14、写出三组勾股数，使每组勾股数中必出现12，5，12，13 ；

9，12，15 ；

12，16，20（还有一组：37，35，12）；

考点：勾股数。

分析：根据勾股数的概念解答即可．

解答：解：例如5，12，13；9，12，15；12，16，20（还有一组：37，35，12），答案不唯一；

点评：此题属开放型题目，答案不唯一，只要写出的每组数据符合勾股定理且都为正整数即可．

15、我们把符合等式a2+b2=c2的a、b、c三个称为勾股数．现请你用计算器验证下列各组的数是否勾股数．你能

发现其中规律吗？请完成下列空格．

3，4，5；

5，12，13；

7，24，25；

9，40，41；

11，60 ，61 ；…

考点：勾股数。

专题：规律型。

分析：通过观察，得这组勾股数用n表示为：2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，据此求解．

解答：解：先用计算机验证是勾股数；

通过观察得到：这组勾股数用n表示为：2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，

11是第5组勾股数的第一个小数，

所以其它2个数为：2×52+2×5=60，

2×52+2×5+1=61，

故答案为：60、61．

点评：此题考查的知识点是勾股数，关键是首先通过计算得是勾股数，再观察得出规律，据规律求解．

16、以下列各组数为边长：①3、4、5；②5，12，13；③3，5，7；④9，40，41；⑤10，12，13；其中能构成直角三角形的有①②④．

考点：勾股数。

专题：计算题。

分析：根据勾股定理的逆定理，对四个选项中的各组数据分别进行计算，如果三角形的三条边符合a2+b2=c2，则可判断是直角三角形，否则就不是直角三角形．

解答：解：①32+42=52，②52+122=132，③32+52≠72，④92+402=412，⑤102+122≠132；

所以①②④组数为边长的能构成直角三角形，

故答案为：①②④．

点评：此题主要考查学生利用勾股定理的逆定理来判定直角三角形这个知识点的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．

17、观察下列勾股数组：

用含有字母a的代数式分别表示b，c，则b= ，c= +1 ．

考点：勾股数。

专题：规律型。

分析：根据数据图表中数字特点，8=32﹣1，15=42﹣1，24=52﹣1，以及10=32+1，17=42+1，26=52+1，即可得出规律写出即可．

解答：解：∵a=6，8，10，12时，对应b的值为：

8=32﹣1，15=42﹣1，24=52﹣1，35=62﹣1，…

∴b=；

对应c的值为：

10=32+1，17=42+1，26=52+1，…

∴c=+1．

故答案为：；+1．

点评：此题主要考查了数字规律，分别列举出数字进行分析得出发现8，15，24…与9，16，25平方数只相差1是

解决问题的关键．

18、写出常见的勾股数3，4，5 、6，8，10 ．

考点：勾股数。

专题：开放型。

分析：欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．解答：解：∵32+42=52；62+82=102．

故答案是3、4、5；6，8，10．

点评：解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三

角形．

19、请写出一组你知道的勾股数，它们是3，4，5（答案不唯一）．

考点：勾股数。

专题：开放型。

分析：熟悉的勾股数很多，如3，4，5；5，12，13；8，15，17…任写一组即可．

解答：解：勾股数：3，4，5（答案不唯一）．

点评：此题主要考查对一些基本的勾股数的识记，需牢记．

20、若8，a，17是一组勾股数，则a= 15 ．

考点：勾股数。

专题：分类讨论。

分析：分a为最长边，17为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．

解答：解：①a为最长边，a==，不是正整数，不符合题意；

②17为最长边，a==15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．

故答案为：15．

点评：考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．

二、选择题（共10小题）

21、下列各组数中，是勾股数的一组是（）

A、4，5，6

B、5，7，12

C、12，13，15

D、21，28，35

考点：勾股定理的逆定理；勾股数。

分析：根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．

解答：解：A、不是，因为42+52≠62；

B、不是，因为52+72≠122；

C、不是，因为122+132≠152；

D、是，因为212+282=352．

故选D．

点评：解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．

22、下列各组数为勾股数的是（）

A、7，12，13

B、3，4，7

C、8，15，17

D、1.5，2，2.5

考点：勾股定理的逆定理；勾股数。

分析：欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证a2+b2=c2即可．

解答：解：A、72+122≠132，故错误；

B、32+42≠72，故错误；

C、82+152=172，故正确；

D、1.52+22=2.52，勾股数为正整数，故错误．

故选C．

点评：本题考查了勾股数的概念，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断．

23、若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定还是勾股数的是（）

A、a+1，b+1，c+1

B、a2，b2，c2

C、2a，2b，2c

D、a﹣1，b﹣1，c﹣1

考点：勾股定理的逆定理；勾股数。

分析：根据勾股数的概念进行分析，从而得到答案．

解答：解：根据勾股数的概念知，若有a2+b2=c2，则（2a）2+（2b）2=（2c）2也成立，其它三个不成立，故选C．

点评：本题考查了勾股数的概念．注意：一组数若是勾股数，扩大相同的倍数后仍然是勾股数．

24、在下列四组数中，不是勾股数的一组是（）

A、15，8，17

B、9，12，15

C、3，5，7

D、7，24，25

考点：勾股数。

分析：理解勾股数的定义，即在一组（三个数）中，其中两个数的平方和等于第三个数的平方．解答：解：由题意可知，A组中152+82=172=289，

B组中92+122=152=225，

D组中72+242=252=625，

而C组中32+52≠72，

故选C．

点评：理解掌握勾股数的定义，并能熟练运用．

25、下列各组数中，是勾股数的为（）

A、1，2，3

B、4，5，6

C、3，4，5

D、7，8，9

考点：勾股数。

分析：根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．

解答：解：A、错误，∵12+22=5≠32=9，∴不是勾股数；

B、错误，∵42+52=41≠62=36，∴不是勾股数；

C、正确，∵32+42=25=52=25，∴是勾股数；

D、错误，∵72+82=113≠92=81，∴不是勾股数．

故选C．

点评：此题比较简单，只要对各组数据进行检验，看各组数据是否符合勾股定理的逆定理即可．

26、下列几组数中，为勾股数的是（）

A、，，

B、3，4，6

C、5，12，13

D、0.9，1.2，1.5

考点：勾股数。

分析：根据勾股数的概念进行分析即可．

解答：解：A、不正确，因为其不是整数；

B、不正确，因为其不符合勾股定理；

C、正确，因为52+122=132；

D、不正确，因为其不是整数．

故选C．

点评：本题考查了勾股数的概念，比较简单．注：勾股数一定是正整数．

27、下列各组数是勾股数的为（）

A、2，4，5

B、8，15，17

C、11，13，15

D、4，5，6

考点：勾股数。

分析：勾股数是应该符合a2+b2=c2的据此作答即可．

解答：解：A、22+42=20≠52，故不是；

B、82+152=289=172，故是勾股数；

C、112+132=290≠152，故不是；

D、42+52=41≠62，故不是；

故选B．

点评：要熟记常用勾股数：3，4，5；8，15，17；5，12，13…，注勾股数还要是正整数．

28、分别以下列四组数为一个三角形的三边的长①6、8、10；②5、12、13；③8、15、17；④7、8、9，其中能构

成直角三角形的有（）

A、4组

B、3组

C、2组

D、1组

考点：勾股数。

专题：计算题。

分析：根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一解答即可．

解答：解：①62+82=100=102，符合勾股定理的逆定理；

②52+122=132，符合勾股定理的逆定理；

③82+152=172，符合勾股定理的逆定理；

④72+82≠92，不符合勾股定理的逆定理；

故选：B．

点评：本题考查的是勾股数即勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角

形就是直角三角形．

29、下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（）

A、a=3，b=4，c=5

B、a=6，b=8，c=10

C、a=5，b=12，c=13

D、a=13，b=16，c=18

考点：勾股数。

分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．

解答：解：A、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；

B、62+82=102，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；72+242=252，符合勾股定理的逆定理，故错误；

C、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；

D、132+162≠182，不符合勾股定理的逆定理，故不能作为直角三角形的三边长．

故选D．

点评：本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

30、下列由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（）

A、a=3，b=4，c=5

B、a=5，b=12，c=13

C、a=2，b=3，c=4

D、a=10，b=24，c=26

考点：勾股数。

分析：欲判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，就是判断三边的长是否为勾股数，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．

解答：解：A、32+42=52，故线段a、b、c组成的三角形，是直角三角形，选项错误；

B、52+122=132，故线段a、b、c组成的三角形，是直角三角形，选项错误；

C、22+32≠42，故线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形，选项正确；

D、102+242=262，故线段a、b、c组成的三角形，是直角三角形，选项错误．

故选C．

点评：本题主要考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形，