集合知识点总结及习题
集合
123412n x A x B A B A B A n A ∈???
?????
∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n
A A A
B
C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ???????????
???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。
真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ?????
??
??
????
??????????
????????
???????????????????????
?????????????????????=???????
一、集合有关概念 1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山
(2)元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3．元素与集合的关系——（不）属于关系 （1）集合用大写的拉丁字母A 、B 、C …表示
元素用小写的拉丁字母a 、b 、c …表示
（2）若a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A,记作a ∈A;
若不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作a?A;
4.集合的表示方法：列举法与描述法。
（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合
的方法
格式：{ a,b,c,d }
适用：一般元素较少的有限集合用列举法表示
（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。格式：{x |x满足的条件}
例如：{x R| x-3>2} 或{x| x-3>2}
适用：一般元素较多的有限集合或无限集合用描述法表示
注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N={0,1,2,3，…}
正整数集 N*或 N+ = {1,2,3，…}
整数集Z {…，-3，-2，-1，0,1,2,3，…}
有理数集Q
实数集R
有时，集合还用语言描述法和Venn图法表示
例如：语言描述法： {不是直角三角形的三角形}
Venn图:
4、集合的分类：
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合例：{x∈R|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
定义：若对任意的x∈A，都有x∈B，则称集合A是集合B的子集，
A?（或B?A）
记为B
注意：①B
A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
②符号∈与?的区别
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B
定义：如果A B 同时 B A 那么A=B
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”3.真子集:如果A B,且存在元素x∈B,但x?A,那么就说集合A是集合B 的真子集，记作A B(或B A)
4.性质
①任何一个集合是它本身的子集。A A
②如果 A B, B C ,那么 A C
③如果A B 同时 B A 那么A=B
5. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
三、集合的运算
运算
类型
交集并集补集
定义由所有属于A且属于B的元
素所组成的集合,叫做A,B
的交集．记作A B（读作
‘A交B’），即A B=
｛x|x∈A，且x∈B｝．
由所有属于集合A或属
于集合B的元素所组成
的集合，叫做A,B的并
集．记作：A B（读作
‘A并B’），即A B
={x|x∈A，或x∈B})．
设S是一个集合，A是S的一个子集，
由S中所有不属于A的元素组成的集
合，叫做S中子集A的补集（或余集）
记作A
C
S
，即
C S A=}
,
|
{A
x
S
x
x?
∈且
A A=A A Φ=Φ
A B=
B A A B ?A A B ?B A
B ﹤＝﹥A B=A
A A=A A Φ=A A B=
B A A B ?Ａ A B ?B
A B ﹤＝﹥A B=B
第一章：集合与函数的概念 第一课时：集合 集合的含义与表示
集合的含义：我们一般把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。通常用大写字母A 、B 、C 等表示集合，用小写字母a 、b 、c 等表示元素，元素与集合之间的关系是属于和不属于。元素a 属于集合A ，记做a ∈A ，反之，元素a 不属于集合A ，记做a ?A 。 集合中的元素的特征：
①确定性：如世界上最高的山；
②互异性：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y}；
③无序性：如集合{a 、b 、c}和集合{b 、a 、c}是同一个集合。 集合的分类：
①根据集合中元素的个数可分为有限集、无限集和空集。 ②根据集合中元素的属性可分为数集、点集、序数对等。 本节精讲：
一. 如何判断一些对象是否组成一个集合：判断一组对象能否组成集合，主要是要看这组对象是否是确定的，
即对任何一个对象，要么在这组之中，要么不在，二者必居其一，如果这组对象是确定的，那么，这组
对象就能够组成一个集合。
例：看下面几个例子，判断每个例子中的对象能否组成一个集合。
（1）大于等于1，且小于等于100的所有整数；
（2）方程x2=4的实数根；
（3）平面内所有的直角三角形；
（4）正方形的全体；
（5）∏的近似值的全体；
（6）平面集合中所有的难证明的题；
（7）著名的数学家；
（8）平面直角坐标系中x轴上方的所有点。
解：
练习：
考察下列各组对象能否组成一个集合，若能组成集合，请指出集合中的元素，若不能，请说明理由：
（1）平面直角坐标系内x轴上方的一些点；
（2）平面直角坐标系内以原点为圆心，以1为半径的园内的所有的点；
（3）一元二次方程x2+bx-1=0的根；
（4）平面内两边之和小于第三边的三角形
（5）x2,x2+1,x2+2；
（6）y=x,y=x+1,y=ax2+bx+c(a≠0)；
（7）2x2+3x-8=0,x2-4=0,x2-9=0；
（8）新华书店中意思的小说全体。
二．有关元素与集合的关系的问题：确定元素与集合之间的关系，即元素是否在集合中，还要看元素的属性是否与集合中元素的属性相同。
例：集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)| y=x2+1},(A、B中x∈R,y∈R)选项中元素与集合之间的关系都正确的是（）
A、2∈A，且2∈B
B、（1,2）∈A，且（1,2）∈B
C、2∈A，且（3,10）∈B
D、（3,10）∈A，且2∈B
解：C
练习：
Q；∏ Q； 0 R+； 1 {（x,y）|y=2x-3}； -8 Z；
三．有关集合中元素的性质的问题：集合中的元素有三个性质:分别是①确定性②互异性③无序性
例：集合A是由元素n2-n，n-1和1组成的，其中n∈Z，求n的取值范围。
解：n是不等于1且不等于2的整数。
练习:
1.已知集合M={a,a+d,a+2d},N={a,aq,aq2},a≠0,且M与N中的元素完全相同，求d和q的值。
2. 已知集合A={x ，
x
y ,1},B={x 2,x+y,0}，若A=B ，则x 2009+y 2010
的值为 ，A=B= . 3. (1)若-3∈{a-3,2a-1,a 2
-4}求实数a 的值； (2)若m
m +-11 ∈{m},求实数m 的值。
4.已知集合M={2，a,b},N={2a,2,b 2
}，且M=N,求a,b 的值。
5.已知集合A={x|ax 2
+2x+1=0,a ∈R}，(1)若A 中只有一个元素，求a 的值； (2)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围。
四．集合的表示法：三种表示方法 练习；
1. 用列举法表示下列集合。
（1） 方程 x 2
+y 2=2d 的解集为 ； x-y=0
（2）集合A={y|y=x 2
-1,|x|≤2,x ∈Z}用列举法表示为 ；
（3）集合B={
x
+18
∈Z|x ∈N}用列举法表示为 ； （4）集合C={x|=a a ||+b
b |
|，a ，b 是非零实数}用列举法表示为 ；
2.用描述法表示下列集合。 （1）大于2的整数a 的集合； （2）使函数y=
()()
111
+-x x x 有意义的实数x 的集合；
（3）{1、22
、32
、42
、…}
3.用Venn 图法表示下列集合及他们之间的关系：
（1）A={四边形}，B={梯形}，C={平行四边形}，D={菱形}，E={矩形},F={正方形}；
（2）某班共30人，其中15人喜欢篮球，10人喜欢兵乓球，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球的人数为 ，用Venn 图表示为： 。
五．有关集合的分类：
六．集合概念的综合问题： 练习 1. 若
{}t t
t
∈+-13，则t 的值为 _____________； 2. 设集合A={y|y=x 2
+ax+1，x ∈R},B={(x,y)|y= x 2
+ax+1, x ∈R },试求当参数a=2时的集合A 和B ； 3. 已知集合A={x|ax 2
-3x+2=0,a ∈R},求（1）若集合A 为空集，则a 的取值范围；（2）若集合A 中只有一
个元素，求a 的值，并写出集合A ；（3）若集合A 中至少有一个元素，则a 的取值范围。
课后作业：
1.判断下列各组对象能否组成集合： （1）不等式320x +>的整数解的全体； （2）我班中身高较高的同学； （3）直线21y x =-上所有的点； （4）不大于10且不小于1的奇数。
2.用符号∈或?填空：
（1）2______N （2______Q
（3）0______
{}0
（4）b ______{},,a b c （5）0______*
N （6）{x x <
（7）{
}2*
3____1,x x n n =+∈N （8）(){}2
1,1____y y x -=
（9）()(){}2
1,1____
,x y y x -=
3.写出下列集合中的元素（并用列举法表示）： （1）既是素数又是偶数的整数组成的集合 （2）大于10而小于20的合数组成的集合
4.用适当的方法表示： （1）(x ＋1)2
＝0的解集； （2）方程组??
?=+=-0
1
y x y x 的解集；
（3）方程3x －2y ＋1＝0的解集； （4）不等式2x －1≥0的解集； （5）奇数集；
（6）被5除余1的自然数组成的集合。 5.集合{1，a 2
}中a 的取值范围。 集合间的基本关系
子集：一般地，两个集合A 和B ，如果 集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，
我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记做A ?B （或B ?A ）,读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”） 。如右图示。比如说，集合A={1、2、3}，集合B={1、2、3、4、5}，那么，集合A 中的元素1、2、3都属于集合B ，所以，集合A 为集合B 的子集，记做A ?B （或B ?A ）。
集合相等：如果集合A ?B 且B ?A 时，集合A 中的元素与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记做A=B 。或A ?B 。
真子集：如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，我们称集合A 是集合B 的真子集。记作：A B （或B A ） 也可记作：B A ?（或A B ?）
空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记做?，并规定：空集是任何非空集合的子集（当然是真子集） 本节精讲：
一． 集合间的包含与相等的问题:对于集合相等，我们要从以下三个方面入手：
① 若集合A ?B 且B ?A 时，则A=B ；反之，如果A=B ，则集合A ?B 且B ?A 。这就给出了我们证明两个集
合相等的方法，即欲要证明A=B ，只需要证明A ?B 和B ?A 都成立就行了。 ② 两个集合相等，则所含元素完全相同，与集合中元素的顺序无关。
③ 要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集合，可以用列举法将元素列举出来，看看两个集合中
的元素是否完全相同；若是无限集合，则因从“互为子集”两个方面入手。 例：若集合{|}A x x a =>，{|250}B x x =-≥，且满足A B ?，求实数a 的取值范围. 解： 练习：
1.已知2{|0}A x x px q =++=，2{|320}B x x x =-+=且A B ?，求实数p 、q 所满足的条件.
2. 若2{1,2}{|0}x x bx c =++=，则（ ）. A. 3,2b c =-= B. 3,2b c ==- C. 2,3b c =-= D. 2,3b c ==-
3. 已知集合P ＝｛x|x 2
＋x －6＝0｝与集合Q ＝｛x|ax ＋1＝0｝，满足Q ≠?
P ，求a 的取值组成的集合A 。 二． 有关子集以及子集个数的问题： 例1：判定以下关系是否正确
(1){a}{a}? (2){1，2，3}＝{3，2，1} (3){0}??≠
(4)0∈{0} （5）Φ={0} （6）Φ∈{0}
解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．说明：含元素0的集合非空．
例2：列举集合{1，2，3}的所有子集．
分析：子集中分别含1，2，3三个元素中的0、1、2或者3个． 解：含有0个元素的子集有：Φ
含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；
含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}； 含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．
例3：已知{a 、b}?A ?{a 、b 、c 、d},则满足条件集合A 的个数为________．
分析：A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}，{a ，b ，d}，{a 、b 、c 、d}。 解：共3个．
例4：设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是 。
A A
B B A B
C A B
D A B ．＝．．．≠≠
???
解：A
例5：已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ． 分析:逆向操作：A 中元素减2得0，2，4，6，7，则C 中元素必在其中；B 中元素加2得3，4，5，7，10，则C 中元素必在其中；所以C 中元素只能是4或7． 答:C ＝{4}或{7}或{4，7}． 练习：
1{0}{012}{0}{01．在以下五个写法中：①∈，，②③，，≠
??
2}{120} 01{x|x {12}}???，，④∈⑤∈，写法正确的个数有
A ．1个 个 个 个
2A ={(x y)|y
x
=1}B ={(x y)|y =x}．集合，与，的关系是
A A =
B B A B
C A B
D A B ．．．．≠≠
???
3{01}M {01234}．满足条件，，，，，的不同集合的个数≠
??M 是
A ．8个 个 个 个
4．设I={0，1，2，3，4，5}，A={0，1，3，5}，B={0},则: ①0________A ②{0}________B ③C I A________C I B
④⑤⑥1
C B C A A
B I I ?
5．已知A={x|x=(2n ＋1)π， n ∈Z}，B={y|y=(4k ±1)π，k ∈Z}，那么A 与B 的关系为 ． 6.已知集合A={1,3，a},B={1,a 2
-a+1},且A ?B ，求a 的值。
7．已知集合A={x ∈R|x 2＋3x ＋3=0}，B={y ∈B|y 2－5y ＋6=0}，
A P
B P ??≠
，求满足条件的集合．
8．已知集合A={x|x=a 2＋1，a ∈N}，B={x|x=b 2－4b ＋5，b ∈N}，求证：A=B 。
课后作业：
A 组
1.写出集合{1，2，3}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。
2.下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A ??，则≠A ?。其中正确的有（ ）
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个
3.设{}?
?????
=--=-=-=∈123),(,23),(,,x y y x B x y y x A R y x ，则A ，B 的关系是_____________ 4.已知{}52≤≤-=x x A ，{}121-≤≤+=a x a x B ，A B ?，求实数a 的取值范围。 5.已知集合{}12,3,1--=m A ,集合{}2,3m B =，若A B ?，则实数m 的值。
6.设集合{}31≤≤=x x A ，{}
0≥-=a x x B ，若A 是B 的真子集，求实数a 的取值范围。 7.用适当的符号填空：
① {}c b a a ,,____ ② {}0____02
=x x ③ ?______{}
012
=+∈x R x
④ {}N ____1,0 ⑤ {}{}
x x x =2
_____0 ⑥ {}{}
023_____1,22
=+-x x x
8.判断下列两个集合之间的关系：
①{}4,21，A =,{
x x B =是8的约数
} _________________
②{}N k k x x A ∈==,3，{}
N z z x x B ∈==,6 __________________ ③{}
+∈==N m m x x A ,20,{
x x B =是4与10的公倍数
} __________________
9.设集合{}
042=+=x x x A ，{}
R x a x a x x B ∈=-+++=,01)1(222，若A B ?，求实数a 的
值。
10.下列选项中的M 与P 表示同一集合的是（ ） A 、{}
001.02=+∈=x R x M ，{}
02==x x P
B 、{
}
R x x y y x M ∈+==,2),(2
，{
}
R y y x y x P ∈+==,2),(2
C 、{
}
R x x y y M ∈+==,12
，{
}
R y y x x P ∈+-==,1)1(2
D 、{}
Z k k y y M ∈==,2，{}
Z k k x x P ∈+==,24 11.试写出满足条件
M
{}210，，的所有集合M 12.写出满足条件{}M
?0{}210，，的所有集合M
13.已知{
}x ,1{}
6,1,122
-+x
x ，求x
14.已知集合{}b a b a a A 2,,++=,{
}2
,,ac
ac a B =，若A=B ，求c 的值。
15.已知集合{
}
21<<=ax x A ,{
}
11<<-=x x B ，求满足A B 的实数a 的取值范围。
16.设集合{}a A ,8,2=,{}
43,22
+-=a a B ,且B
A ，求a 的值。
B 组
1.下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A ，
则≠
A 其中正确的是（ ）
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个
2.已知集合{
}4,3,2,1?A ，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合A 有（ ） A 、13个 B 、12个 C 、11个 D 、10个 3.设集合????
??
∈-+=
=Z k k x x M ,42πππ，?
??
???∈+==Z k k x x N ,24ππ，则（ ）
A 、M=N
B 、M
N C 、N M ? D 、N
M
4.已知集合{}
23<≤-=x x A ,{}
1212+≤≤-=k x k x B ，且B
A ，则实数k 的取值范围是
_________________。
5.已知集合{
}
R a a x ax x A ∈=++=,022
,若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是（ ） A 、1 B 、1- C 、0，1 D 、1-，0，1
6.设R b a ∈,，集合
{}?
??
???=+b a b a b a ,,0,,1，则=-a b （ ） A 、1 B 、1- C 、2 D 、2-
7.已知{
}4,3,2,1=U ,{}3,1=A ,则=A C U _________________ 8.已知{
}3,1=U ,{}3,1=A ,则=A C U _________________ 9.已知集合{}21，
A -=,{}
022=+-=b ax x x B ，若≠B 且B
A ，求实数b a ,的值。
10.如果数集{}2,1,0+x 中有3个元素，那么x 不能取哪些值
11.不等式组???≤->-0
630
12x x 的解集为A ，R U =，试求A 及A C U
12.已知集合{}
52≤≤-=x x A ,{}
121-≤≤+=m x m x B （1）、若A B ?，求实数m 的取值范围。 （2）、若Z x ∈，求A 的非空真子集的个数。
集合的基本运算
并集：一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,称为集合A 与B 的并集,记作A ∪B,(读作“A 并B”).即 A ∪B={x|x ∈A,或x ∈B}。如图1-3-1所示。 例如，设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A ∪B. 解: A ∪B={4,5,6,8} ∪ {3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}
再比如说，设集合A={x|-1 U C U A A 图1-3-1 图1-3-2 图1-3-3 交集：一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作A ∩B,(读作“A 交B”),即A ∩B={x|x ∈A,且x ∈B}。如图1-3-2所示。 例如，设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A ∩B. 解: A ∩B.={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5 ,8} 再比如说，新华中学开运动会,设A={x|x 是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学} B={x|x 是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学},求A ∩B. 解:A ∩B={x|x 是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}. 补集：一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U. 对于一个集合A,由全集U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集. ，如图1-3-3所示。 例如，设U={x|x 是小于9的正整数},A={1,2,3}，B={3,4,5,6},求CuA,CuB 解:根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以 CuA={4,5,6,7,8}； CuB={1,2,7,8} . 集合中，一些常用的运算性质： B C CuA B A Cu B C CuA B A Cu B A A C B A C B A U A Cu A A B B A A A A A A A B A B A B B A A B A A B B A A A A A u )()()13(;u )()()12(); ()11();())(10(;)()9(;)8(;)7(;)6(; (5);,(4);(3);(2); (1) ==?====?==???=?=?=则 本节精讲 一． 有关两个集合的并集、交集的问题 1．已知集合M ＝{直线}，N ＝{圆}，则M ∩N 的元素个数为( )个．( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定 2．(2010·江西理，2)若集合A ＝{x | |x |≤1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2 ，x ∈R }，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |0≤x ≤1} D ．? 3．(09·山东文)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2 }．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2010·福建文，1)若集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x >2}，则A ∩B 等于( ) } ,|{A x U x x A C U ∈∈=且记作 A ．{x |2 B ．{x |x ≥1} C ．{x |2≤x <3} D ．{x |x >2} 5．设集合A ＝{x |－1≤x ＜2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ∩B ≠?，则a 的取值范围是( ) A ．a ＜2 B ．a ＞－2 C ．a ＞－1 D ．－1＜a ≤2 6．(08·山东文)满足M ?{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．(09·全国Ⅱ理)设集合A ＝{x |x >3}，B ＝? ????? ??? ?x ?? ? x －1 x －4<0，则A ∩B ＝( ) A ．? B ．(3,4) C ．(－2,1) D ．(4，＋∞) 8．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,1,2}，Q ＝{－1,1,6}，则P ＋Q 中所有元素的和是( ) A ．9 B ．8 C ．27 D ．26 9．已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈N * }，B ＝{x |x ＝k ＋3，k ∈N }，则A ∩B 等于( ) A ．B B ．A C ．N D ．R 10．当x ∈A 时，若x －1?A ，且x ＋1?A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，由A 的所有孤立元素组成的集合称为A 的“孤星集”，若集合M ＝{0,1,3}的孤星集为M ′，集合N ＝{0,3,4}的孤星集为N ′，则 M ′∪N ′＝( ) A ．{0,1,3,4} B ．{1,4} C ．{1,3} D ．{0,3} 二、填空题 11．若集合A ＝{2,4，x }，B ＝{2，x 2 }，且A ∪B ＝{2,4，x }，则x ＝________. 12．已知A ＝{x |x 2 ＋px ＋q ＝x }，B ＝{x |(x －1)2 ＋p (x －1)＋q ＝x ＋1}，当A ＝{2}时，集合B ＝________. 13．(胶州三中2009～2010高一期末)设A ＝{x |x 2 －px ＋15＝0}，B ＝{x |x 2 ＋qx ＋r ＝0}且A ∪B ＝{2,3,5}，A ∩B ＝{3}，则p ＝______；q ＝______；r ＝______. 三、解答题 14．已知A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5} (1)若A ∩B ＝?，求a 的取值范围． (2)若A ∪B ＝B ，a 的取值范围又如何 15．设集合M ＝{1,2，m 2 －3m －1}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，求m . 16．已知A ＝{1，x ，－1}，B ＝{－1,1－x }． (1)若A ∩B ＝{1，－1}，求x . (2)若A ∪B ＝{1，－1，1 2}，求A ∩B . (3)若B ?A ，求A ∪B . 当x ＝12时，A ∪B ＝{1，1 2 ，－1}． 17．某班参加数学课外活动小组的有22人，参加物理课外活动小组的有18人，参加化学课外活动小组的有16人，至少参加一科课外活动小组的有36人，则三科课外活动小组都参加的同学至多有多少人 18．已知集合A ＝{x |3x －7>0}，B ＝{x |x 是不大于8的自然数}，C ＝{x |x ≤a ，a 为常数}，D ＝{x |x ≥a ， a 为常数}． (1)求A ∩B ； (2)若A ∩C ≠?，求a 的取值集合； (3)若A ∩C ＝{x |7 3 (4)若A ∩D ＝{x |x ≥－2}，求a 的取值集合； (5)若B ∩C ＝?，求a 的取值集合； (6)若B ∩D 中含有元素2，求a 的取值集合． 二． 有关全集、补集、空集的问题 例1 判定以下关系是否正确 (1){a}{a}?；(2){1，2，3}＝{3，2，1}；(3){0}??≠ ；(4)0∈{0} 例2 列举集合{1，2，3}的所有子集． 例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ??________． 例设为全集，集合、，且，则≠ 4 U M N U N M ?? [ ] 例5 设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是 [ ] A A B B A B C A B D A B ．＝．．．≠≠ ??? M 与P 的关系是 [ ] A ．M ＝U P B ．M ＝P C M P D M P ．．≠? ? 例7 下列命题中正确的是 [ ] A ．U (U A)＝{A} B A B B A B C A {1{2}}{2}A ．若∩＝，则．若＝，，，则≠??? D A {123}B {x|x A}A B ．若＝，，，＝，则∈? 例8 已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ． 例9 设S ＝{1，2，3，4}，且M ＝{x ∈S|x 2－5x ＋p ＝0}，若S M ＝{1，4}，则p ＝________． 例10 已知集合S ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|，2}，S A ＝{a ＋3}，求a 的值． 例年北京高考题集合＝＝ π＋π，∈，＝11 (1993)M {x|x k Z}N {k 24}Z ∈+= κπ κπ,24x x 则 [ ] A ．M ＝N B M N C M N ．．≠≠?? D ．M 与N 没有相同元素 数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位 置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010年各省参加高考的考生人数。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 14131211 ，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明： ① {}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列 实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值 (1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 例：画出数列12+=n a n 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1 (1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 例：已知数列}{n a 的前n 项和322+=n s n ，求数列}{n a 的通项公式 高一数学集合知识点归纳及典型例题 Revised on November 25, 2020 集合 一、知识点： 1、元素： （1）集合中的对象称为元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ?; （2）集合中对象元素的性质：确定性、互异性、无序性; （3）集合表示方法：列举法、描述法、图示法； （4）常用数集：R Q Z N N N ;;;;;*+ 2、集合的关系： 子集 相等 3、全集 交集 并集 补集 4、集合的性质： （1）;,,A B B A A A A A ?=?=?=?φφ (2) ;,A B B A A A ?=?=?φ (3) );()(B A B A ??? (4);B B A A B A B A =??=??? (5));()()(),()()(B C A C B A C B C A C B A C S S S S S S ?=??=? 二、典型例题 例1. 已知集合 }33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，求a 。 例2. 已知集合M ＝{}012|2=++∈x ax R x 中只含有一个元素，求a 的值。 例3. 已知集合 },01|{},06|{2=+==-+=ax x B x x x A 且B A ，求a 的值。 \ 例4. 已知方程02=++c bx x 有两个不相等的实根x 1， x 2. 设C ＝{x 1， x 2}， A ＝{1，3，5，7，9}， B ＝{1，4，7，10}，若C B C C A =Φ= ,，试求b ， c 的值。 例5. 设集合}121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A ， （1）若Φ=B A ， 求m 的范围； （2）若A B A = ， 求m 的范围。 例6. 已知A ＝{0，1}， B ＝{x|x ?A}，用列举法表示集合B ，并指出集合A 与B 的关系。 三、练习题 1. 设集合M ＝,24},17|{=≤a x x 则（ ） A. M a ∈ B. M a ? C. a ＝ M D. a > M 第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 1. 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 1.3.元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2. 集合间的基本关系 2.1.子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B(或B ?A)． 2.2.真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ，A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B. 两集合相等：A ＝B ?? ??? ? A ? B ，A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性． 2.4.空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}． 3. 集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A∩B ，即A∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B}． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可 知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练] 集合 一．【课标要求】 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。 预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体 三．【要点精讲】 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或 者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R 。 2．集合的包含关系： （1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ； （2）简单性质：1）A ?A ；2）Φ?A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集： （1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； （2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 4．交集与并集： 集合基础知识及题型归纳总结 1、集合概念与特征： 例：1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 例：下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）36 11,,,,0.5242 -这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2、元素与集合、集合与集合间的关系 元素集合的关系：∈?或 集合与集合的关系=?或 例：下列式子中，正确的是（ ） A ．R R ∈+ B ．{}Z x x x Z ∈≤?-,0| C ．空集是任何集合的真子集 D ．{}φφ∈ 3、集合的子集：（必须会写出一个集合的所有子集） 例：若集合}8,7,6{=A ，则满足A B A =?的集合B 的个数是 4、集合的运算:(交集、并集、补集) 例1：已知全集}{5,4,3,2,1,0=U ,集合}{5,3,0=M ,}{5,4,1=N ,则=N C M U I 例2：已知 {}{}=|3217,|2A x x B x x -<-≤=< （1）求A ∩B ； （2）求（C U A ）∪B 例3：已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围 例4：某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人 例5：方程组? ??=-=+9122y x y x 的解集是（ ） A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5- 【半群】G非空，·为G上的二元代数运算，满足结合律。 【群】（非空，封闭，结合律，单位元，逆元）恰有一个元素1适合1·a=a·1=a,恰有一个元素a-1适合a·a-1=a-1·a=1。 【Abel群/交换群】·适合交换律。可能不只有两个元素适合x2=1 【置换】n元置换的全体作成的集合Sn对置换的乘法作成n 次对称群。 【子群】按照G中的乘法运算·,子集H仍是一个群。单位子群{1}和G称为平凡子群。 【循环群】G可以由它的某元素a生成,即G=（a）。a所有幂的集合an，n=0，±1，±2，…做成G的一个子群，由a生成的子群。若G的元数是一个质数，则G必是循环群。 n元循环群（a）中,元素ak是（a）的生成元的充要条件是（n，k）=1。共有?（n）个。【三次对称群】{I（12）（13）（23）（123）（132）} 【陪集】a，b∈G，若有h∈H，使得a =bh，则称a合同于b（右模H），a≡b（右mod H）。H有限，则H的任意右陪集aH的元数皆等于H的元数。任意两个右陪集aH和bH或者相等或者不相交。 求右陪集：H本身是一个；任取a?H而求aH又得到一个；任取b?H∪aH而求bH又一个。G=H∪aH∪bH∪… 【正规子群】G中任意g，gH=Hg。（H=gHg-1对任意g∈G都成立） Lagrange定理G为有限群，则任意子群H的元数整除群G的元数。 1有限群G的元数除以H的元数所得的商，记为（G：H），叫做H在G中的指数，H的指数也就是H的右（左）陪集的个数。 2设G为有限群,元数为n,对任意a∈G，有an=1。 3若H在G中的指数是2，则H必然是G的正规子群。证明：此时对H的左陪集aH，右陪集Ha，都是G中元去掉H的所余部分。故Ha=aH。 4G的任意多个子群的交集是G的子群。并且，G的任意多个正规子群的交集仍是G的正规子群。 5 H是G的子群。N是G的正规子群。命HN为H的元素乘N的元素所得的所有元素的集合，则HN是G的子群。 【同态映射】K是乘法系统，G到K的一个映射σ（ab）=σ（a）σ（b）。 设（G，*），（K，+）是两个群，令σ：x→e，?x∈G，其中e是K的单位元。则σ是G到K 内的映射，且对a，b∈G，有σ（a*b）=e=σ（a）+ σ（b）。即，σ是G到K的同态映射，G～σ（G）。σ（G）={e}是K的一个子群。这个同态映射是任意两个群之间都有的。 【同构映射】K是乘法系统，σ是G到σ（G）上的1-1映射。称G与σ（G）同构，G?G′。同构的群或代数系统，抽象地来看可以说毫无差别。G和G′同态，则可以说G′是G的一个缩影。 【同态核】σ是G到G′上的同态映射，核N为G中所有变成G′中1′的元素g的集合，即N=σ-1（1′）={g∈G∣σ（g）=1′}。 N是G的一个正规子群。对于Gˊ的任意元素aˊ，σ-1(aˊ)={x|x∈G ,σ(x)= aˊ}是N在G 中的一个陪集。Gˊ的元素和N在G中的陪集一一对应。 设N是G的正规子群。若A，B是N的陪集，则AB也是N的陪集。 【环】R非空，有加、乘两种运算 a+b=b+a2）a+（b+c）=（a+b）+c， 3）R中有一个元素0，适合a+0=a， 4）对于R中任意a,有-a,适合a+(-a)=0， 5）a（bc）=（ab）c， x 一元一次不等式与一元一次不等式组 一、不等式 考点一、不等式的概念 不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。不等号包括 . 题型一 会判断不等式 下列代数式属于不等式的有 . ① -x≥5 ② 2x -y ＜0 ③ 2 + 5 ≥ 3 ④ -3＜0 ⑤ x=3 ? x 2 + xy + y 2 ⑦ x≠5 ⑧ x 2 - 3x + 2＞0 ⑨x + y ≥ 0 题型二 会列不等式 根据下列要求列出不等式 ①.a ②.m 的 5 倍不大于 3 可表示为 . ③.x 与 17 的和比它的 2 倍小可表示为 . ④.x 和 y 的差是正数可表示为 . ⑤. x 的3 5 与 12 的差最少是 6 可表示为 . 考点二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向不变，则这个数是正数. 基本训练：若 a ＞b ，ac ＞bc ，则 c 0. 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向改变，则这个数是负数。 基本训练：若 a ＞b ，ac ＜bc ，则 c 0. 4、如果不等式两边同乘以 0，那么不等号变成等号，不等式变成等式。 练习:1、指出下列各题中不等式的变形依据 ①.由 3a>2 得 a> 2 理 3 由： . ②. 由 a+7>0 得 a>-7 理 由： -1 . 5 ③.由-5a<1 得 a> 理 由：. ④.由 4a>3a+1 得 a>1 理 由：. 2、若x＞y，则下列式子错误的是（） A.x-3＞y-3 B.x ＞ y 3 3 3、判断正误 ①. 若a＞b，b＜c 则a＞c. （） ②.若a＞b，则ac＞bc. （） ③.若ac2＞bc2，则a＞b. （） ④.若a＞b，则ac2＞bc2. （） ⑤.若 a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1） C. x+3＞y+3 D.-3x＞-3y （） ?. 若a＞b，若c 是个自然数，则ac＞bc. （） 考点三、不等式解和解集 1、不等式的解：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 练习：1、判断下列说法正确的是（） A.x=2 是不等式x+3＜2 的解 B.x =3 是不等式3x＜7 的解。 C.不等式3x＜7 的解是x＜2 D.x=3 是不等式3x≥9的解 2.下列说法错误的是（） A.不等式 x＜2 的正整数解只有一个 B.-2 是不等式 2x-1＜0 的一个解 C. 不等式-3x＞9 的解集是 x＞-3 D.不等式 x＜10 的整数解有无数个 2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 题型一会求不等式的解集 练习：1、不等式x-8＞3x-5 的解集是. 2、不等式x≤4的非负整数解是. 3、不等式2x-3≤0的解集为. 题型二知道不等式的解集求字母的取值范围 2、如果不等式（a-1）x＜（a-1）的解集是x＜1，那么a 的取值范围是. x＜ 1 函数的定义域 【考纲说明】 1、理解函数的定义域，掌握求函数定义域基本方法。 2、会求较简单的复合函数的定义域。 3、会讨论求解其中参数的取值范围。 【知识梳理】 （1） 定义：定义域是在一个函数关系中所有能使函数有意义的 的集合。 （2） 确定函数定义域的原则 1.当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域指的是表格中所有实数x 的集合。 2.当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域指的是图象在x 轴上的投影所覆盖的实数的集合。 3.当函数y=f(x)用解析式给出时，函数定义域指的是使解析式有意义的实数的集合。 4.当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数定义域要使函数有意义，同时还要符合实际情况。 3、.确定定义域的依据： ①f(x)是整式（无分母），则定义域为 ； ②f(x)是分式，则定义域为 的集合； ③f(x)是偶次根式，则定义域为 的集合； ④对数式中真数 ，当指数式、对数式底中含有变量x 时，底数 ； ⑤零次幂中， ，即x 0中 ； ⑥若f(x)是由几个基本初等函数的四则运算而合成的函数，则定义域是各个函数定义域的 。 ⑦正切函数x y tan = 4、抽象函数的定义域（难点） （1）已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可 得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 （2）已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 集合知识点总结 Prepared on 22 November 2020 辅导讲义：集合与常用逻辑用语 1、集合：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 集合的常用表示法：列举法、描述法。 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性。 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为 A ? B ，或B ?A ，读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”。 即：若A a ∈则B a ∈，那么称集合A 称为集合B 的子集 注：空集是任何集合的子集。 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ?B 或B ?A ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作 U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作 B A ?（读作“A 交B ”），即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 B A ?=A B ?，B A ?B B A A ???，。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作 B A ?（读作“A 并B ”），即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 B A ?=A B ?，?A B A ?，?B B A ?。 8、元素与集合的关系：有属于和不属于两种，集合与集合间的关系，用包含、真包含 集合 一、知识点： 1、元素： a 是集合A的元素，记作a A ；若b不是集合A的 （ 1）集合中的对象称为元素，若 元素，记作 b A ; （ 2）集合中对象元素的性质：确定性、互异性、无序性; （3）集合表示方法：列举法、描述法、图示法； （4）常用数集：N; N*; N ;Z; Q;R 2、集合的关系： 子集 相等 3、全集 交集 并集 补集 4、集合的性质： （1）A A A,A,ABBA; (2)A A, A B B A; (3)( A B)(A B); (4)A B A B A ABB; (5) C S(A B) (C S A) (C S B),C S( A B) (C S A) (C S B); 二、典型例题 例1.已知集合 A { a 2, (a 1)2 ,a 23a 3} ，若1 A ，求a。 例 2. 已知集合M ＝x R | ax 2 2x10 中只含有一个元素，求a的值。 例3.已知集合 A { x | x2x 6 0}, B { x | ax 1 0}, 且B A ，求 a 的值。\ 例 4. 已知方程x2bx c 0 有两个不相等的实根x ， x 2.设 C＝ {x ， x 2}，A＝{1，3， 11 5，7，9}， B＝{1 ，4，7，10} ，若A C,C B C ，试求 b， c 的值。 例 5.设集合A { x | 2 x 5}, B { x | m 1 x 2m 1} ， （1）若A B，求 m 的范围；（2）若A B A ，求m的范围。 例 6. 已知 A ＝{0 ，1} ， B ＝ {x|x A} ，用列举法表示集合 B ，并指出集合 A 与 B 的关系。 三、练习题 1. 设集合 M ＝ { x | x 17}, a 4 2,则（ ） A. a M B. a M C. a ＝ M D. a > M 2. 有 下 列 命 题 ： ① { } 是 空 集 ② 若 a N, b N ， 则 a b 2③ 集合 100 N , x Z} 为无限集，其中正确命 { x | x 2 2x 1 0} 有两个元素 ④ 集合 B { x | x 题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列集合中，表示同一集合的是（ ） A. M ＝{ （3， 2）} ， N ＝{ （2， 3）} B. M ＝{3 ，2} ， N ＝{（ 2，3）} C. M ＝{ （ x ， y ） |x ＋ y ＝ 1} ， N ＝ {y|x ＋ y ＝ 1} D.M ＝{1 ，2} ， N ＝{2，1} 4. 设集合 M { 2,3, a 2 1}, N { a 2 a 4,2a 1}，若M N { 2} ， 则 a 的取值集 合是（ ） { 3,2, 1 } B. { －3} C. { 3, 1 } D. { － 3，2} A. 2 2 5. 设集合A ＝ {x| 1 < x < 2} ， B ＝ {x| x < a} ， 且 A B ， 则实数 a 的范围是 （ ） A. a 2 B. a 2 C. a 1 D. a 1 {( x, y) | y 1} 6. x 设 x ，y ∈ R ，A ＝ {（ x ，y ）|y ＝ x} ， B ＝ ， 则集合 A ，B 的关系是（ ） A.A B B.B A C. A ＝B D.A B 7. 已知 M ＝ {x|y ＝ x 2－ 1} ， N ＝ {y|y ＝x 2 －1} ， 那么 M ∩ N ＝（ ） A. Φ B. M C. N D. R 8. 已知 A ＝ {－2，－ 1，0，1} ， B ＝ {x|x ＝ |y|，y ∈ A} ，则集合 B ＝ _________________ 9. 若 A { x | x 2 3x 2 0}, B { x | x 2 ax a 1 0}, 且B A ，则 a 的值为 _____ 10. 若 {1，2， 3} A {1 ， 2，3， 4， 5} ， 则 A ＝ ____________ 11. 已知 M ＝ {2 ， a ， b} ， N ＝ {2a ， 2，b 2 } ，且 M ＝N 表示相同的集合，求 a ， b 的值 12. 已知集合 A { x | x 2 4x p 0}, B { x | x 2 x 2 0}且A B, 求实数 p 的范 围。 13. 已知 A { x | x 2 ax a 2 19 0}, B { x | x 2 5x 6 0} ，且 A ， B 满足下列三 个条件：① A B ② A B B ③ Φ A B ，求实数 a 的值。 高一数学集合知识点归纳及典型例题 一、、知识点： 本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。 本章知识结构 1、集合的概念 集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。 对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。 整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。不同的――集合元素的互异性。 2、有限集、无限集、空集的意义有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。 我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。 几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要记牢。 3、集合的表示方法（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合： ①元素不太多的有限集，如{0，1，8} ②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3，?，100} ③呈现一定规律的无限集，如 {1，2，3，?，n，?} ●注意a与{a}的区别 ●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。 （2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y＝x2}， {y|y ＝x2}， {（x，y）|y＝x2}是三个不同的集合。 4、集合之间的关系 ●注意区分“从属”关系与“包含”关系 “从属”关系是元素与集合之间的关系。 “包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是基本要求。 ●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。 5、集合的运算 集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。 一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质： A?CUA?U A?B?B?AA?A?A A?????A?? A?B?A?B?A 高中数学集合与函数的概念 知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点： 第一章集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1集合的含义与表示 【知识要点】 1、集合的含义 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 2、集合的中元素的三个特性 （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 2、“属于”的概念 我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ……表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, ……表示元素如：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A，如果a不属于集合A 记作a?A 3、常用数集及其记法 非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集记作：N*或N+ ；整数集记作：Z；有理数集记作：Q；实数集记作：R 4、集合的表示法 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 （2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} （3）图示法（Venn图） 1.1.2 集合间的基本关系 【知识要点】 1、“包含”关系——子集 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说 这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B 2、“相等”关系 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B A B B A 且 ??? 3、真子集 如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A) 4、空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. 1.1.3 集合的基本运算 一、知识点： 1、元素： （1）集合中的对象称为元素，若是集合A 的元素，记作；若b 不是集合A 的元素，记作; （2）集合中对象元素的性质：确定性、互异性、无序性; （3）集合表示方法：列举法、描述法、图示法； （4）常用数集： 2、集合的关系： 子集 相等 3、全集 交集 并集 补集 4、集合的性质： （1） （2） （3） （4） (5) 二、典型例题 例1. 已知集合，若，求a 例2.已知集合W中只含有一个元素，求a的值例3.已知集合且BA求a的值 例4.已知方程有两个不相等的实根x1, x2.设C= {x1 , x2}, A= {1 , 3, 5, 7, 9}, B = {1 , 4, 7, 10}，若，试求b, c 的值。 例5. 设集合， (1)若，求m的范围; (2)若，求m的范围。 例6.已知A= {0 , 1}, B = {x|xA}，用列举法表示集合B,并指出集合A 与B的关系。 三、练习题 1. 设集合M k则（） A. B. C. a = M D. a > M 2. 有下列命题：①是空集② 若，则③ 集合有两个元素④ 集合为无限集，其中正确命题的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列集合中，表示同一集合的是（） A. M={（3，2）} ，N={（2，3）} B. M={3，2} ，N={（2，3）} C. M={（x，y）|x＋y=1}，N = {y|x ＋y=1} D. M={1 ，2}，N={2，1} 4. 设集合，若，则a 的取值集合是（） A. B. { －3} C. D. { －3，2} 5. 设集合A = {x| 1 < x < 2} ，B = {x| x < a} ，且，则实 数a 的范围是（） A. B.C. D. 6. 设x, y € R, A= { （x, y）|y = x} , B =,则集合A, B 的关系是 （） A. AB B. BA C. A = B D. AB 集合 本章框架 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????? ???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ?????????????????????? ??????????????????????=??????? 集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 集合间的基本关系 高一数学必修1 1.知识点总结 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性, (2) 元素的互异性, (3) 元素的无序性, 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn图: 4、集合的分类： (1) 有限集含有有限个元素的集合 (2) 无限集含有无限个元素的集合 (3) 空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.?包含关系—子集 注意：B包含A有两种可能（1）A是B的一部分； （2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A不属于B或B不属于A 2．相等?关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等?即：①即任何一个集合是它本身的子集。 ②真子集:如果A属于B,且A不属于B那就说集合A是集合B的真子集。 ③如果 A属于B, B属于C ,那么 A属于C ④如果A属于B 同时 B属于A ，那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 1.规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 2.特点有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 组合知识点及题型归纳总结 知识点精讲 1.单纯组合问题 2.分选问题和选排问题 ①分选问题，几个集合按要求各选出若干元素并成一组的方法数. ②选排问题，分选后的元素按要求再进行排列的排列数. 3.分组问题和分配问题 ①分组问题，把一个集合中的元素按要求分成若干组的方法数； ②分配问题，把一个集合中的元素按要求分到几个去处的方法数. 题型归纳及思路提示 题型1 单纯组合应用问题 思路提示 把所给问题归结为从n 个不同元素中取m 个元素，可用分类相加、分布相乘，也可用总数减去对立数. 例12.21 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ （1）只有一名女生当选；（2）两队长当选；（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选；（5）既要有队长，又要有女生当选. 分析 注意理解组合与排列问题的不同——取出的元素有无顺序. 解析 （1）1名女生，4名男生，故共有3504 815=C C （种）. （2）只需从剩余的11人中选择3人即可，故有1653 11=C （种）. （3）解法一：（直接法）至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长，故共有 8253112241112=+C C C C （种）. 解法二：（间接法）采用排除法825511513=-C C （种）. （4）至多两名女生含有3类情形：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故选法为： 9665848153825=++C C C C C 种. （5）解法一：（直接法）分两类：①女队长当选，故有4 12C 种；②男队长当选，故至少需要另外 4名女生中的一名，故4 4173427243714C C C C C C C +++种. 综上可知，选法有4 12C +44173427243714C C C C C C C +++=790种. 解法二：分两类：①女队长当选，故有4 12C 种；②男队长当选，故至少需要另外4名女生中的一名. 若另外的4人都是男生，则有4 7C 种方法，故男队长当选，且至少有一名女生（且为非女队长）的方法有()474111C C -?种，故共有412C +() 47411C C -=790种. 变式1 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，10人中甲、乙不能都去，共有（ ）种邀请方法. A.84 B.98 C.112 D.140数列知识点总结及题型归纳
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