浅谈中值定理在解题中的应用
浅谈中值定理在解题中的应用
王蕾
摘要：本文介绍了微分中值定理及其常用的三种表达形式,即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理．应用大量实例进行归类分析，论述了微分中值定理在证明不等式、证明等式、关于根的存在性、函数的单调性、证明函数恒为常数、求极限等6个方面的应用．以便深刻地掌握微分中值定理并进行灵活的运用．
关键词：罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理应用
导数与微分是数学分析中重要的概念．微分学是数学分析的重要组成部分，而微分中值定理是微分学的基本定理，也是微分学的核心，在数学分析中占有重要的地位．微分中值定理主要包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理．它们是微分学中最基本、最重要的定理，是沟通导数和函数的桥梁，是应用导数的局部性质研究函数整体性质的有效工具．运用这个工具，许多问题都迎刃而解．要从导数给出的局部性质推出函数在整个定义域上的性质，就要利用微分中值定理来达到这个目的．
1微分中值定理
微分中值定理给出区间端点函数值与其内点导数值的关系．用它可以从f 的导数的某些性质推出f的某些性质．如果()
f x在[,]
a b上连续，且在(,)
a b内
可导，则在(,)
a b内存在一数ξ,使
()()
()
f b f a
f
b a
ξ
-
'=
-
成立．
中值定理虽然是就闭区间说的，但是不必拘于a b
<，只要()
f x在开区间（有限或无限）上处处有导数，在(,)
a b内的任何两点
12
,x x都可以代替,a b，使12
,x x之间总有一个ξ,满足
1212
()()
()f x f x f x x ξ-'=
-
微分中值定理有三种常用形式，即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理．
定理1：（罗尔（Rolle ）中值定理）
若函数f 满足如下条件：
（i ）f 在闭区间[,]a b 上连续； （ii ）f 在开区间(,)a b 内可导； （iii ）()()f a f b =；
则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得
定理2：（拉格朗日（Lagrange ）中值定理）
若函数f 满足如下条件：
（i ）f 在闭区间[,]a b 上连续； （ii ）f 在开区间(,)a b 内可导；
则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得
定理3：（柯西（Cauchy ）中值定理）
设函数f 和g 满足：
（i ）在[,]a b 上都连续； （ii ）在(,)a b 上都可导； （iii ）()f x '和()g x '不同时为零； （iv ）()()g a g b ≠；
则存在(,)a b ξ∈,使得
f
由此，我们可以得知：拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，柯西中
值定理是拉格朗日中值定理的推广；罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例．其中拉格朗日中值定理是核心．
2 微分中值定理的应用
微分中值定理反映了函数增量与区间某个点导数值之间的关系，从而可用导数来研究可微函数值之间的相互关系及其变化性态．
应用中值定理主要有以下3个基本步骤：
（i ）根据已给问题P 的特点，确定或构造辅助函数()f x （与()g x ）及相应的区间[,]a b ．
（ii ）验证()f x （与()g x ）在[,]a b 上满足中值定理的条件． （iii ）应用中值定理及已知条件解答问题P ．
其中步骤（i ）是关键，通常也是难点所在；步骤（ii ）则比较容易；步骤（iii ）是对综合能力的考验．
微分中值定理的应用十分广泛，在此仅对几方面的应用进行归类介绍． 2.1 关于证明不等式
应用微分中值定理（含泰勒（Taylor ）公式）及其导出的结论证明不等式,首先介绍泰勒公式的表达形式．
定理：若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有
即 200000()
()()()()()2!
f x f x f x f x x x x x '''=+-+
-+
()00()(())!
n n n o f x x x x n -++- (*)
定理中(*)式称为函数f 在点0x 处的泰勒（Taylor ）公式．
对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达．多项式就是非常简单的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算就能计算出函数值．因此我们希望用多项式来近似表达函数．泰勒公式就是将满足某些条件的函数()f x 转化为多项式函数．证明某些与高阶导数有关的命题时常用到泰勒公式．
微分中值定理证明不等式内容十分丰富，在此仅举两例．
例1 证明：当02x π<<时，2
2
1cos 2
x x x π<-<．
分析：构造函数()cos f x x =，对任意(0,)2
x π
∈，可将()cos f x x =利用泰勒公式
展开．再逐步构造不等式2
2
1cos 2
x x x π<-<的中间部分1cos x -，根据已
知条件02
x π
<<
，即可证明．
证明：令()cos f x x =,由Taylor 公式知
对(0,)2
x π
?∈，存在(0,)x ξ∈，使
，
由02
x π
ξ<<<
，有2
2
0cos 44
x πξ<<
<，故
即当02x π<<时，2
2
1cos 2
x x x π<-<．
例2 已知0a b <≤，证明不等式
ln b a b b a
b a a
--≤≤． 分析：本题可分为两种情况进行讨论．当0a b <=时，等号显然成立.当
0a b <<时，构造辅助函数()ln f x x =，()f x 在[,]a b 上满足Lagrange
中值定理条件，即可证明. 证明：当0a b <=时，不等式中等号成立
即
ln b a b b a
b a a
--== 当0a b <<时，令()ln f x x =
则()f x 在区间[,]a b 上满足Lagrange 中值定理的条件 故存在(,)a b ξ∈，使得
()
ln
ln ln b b a b a a ξ
-=-= 从而
ln b a b b a b a a --<< 综上 ln b a b b a
b a a
--≤≤． 2.2 关于证明等式
证明等式常利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理．证明时常常从要证的结论入手，写成()()
()()()
f b f a
g b g a ?ξ-=-的形式，并且构造相应的辅助函数，即可证
得命题．
例3 设()f x 在[1,1]-上连续，在(1,1)-内可导，且(1)(1)0f f -==，(0)1f =，
则[1,1]??∈-，(1,1)ξ?∈-，使得()f ξ'=?．
分析与解答：作辅助函数()1()(0)
f x F x x f -??
=??'? 11,00x x x -≤≤≠=，则()F x 在[1,1]-上
连续，由于(1)1F -=，(1)1F =-,故[1,1]??∈-，x ??，使得
()F x ?=?．
由Lagrange 中值定理，(0,)x ξ??∈(0)x ?>或(,0)x ξ?∈(0)x ?<，使得
()1
()()f x F x f x ξ???
-'=
= 即证． 例4 设120,0x x >>，证明211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=--,其中ξ在1x 与2x 之间． 分析：要证的等式是两个固定点1x ，2x 以及中间值ξ的表达式，作变形，使1x ，
2x 与ξ分离，再生成改变量的商，利用中值定理证明，具体步骤为：
（1）ξ与1x ，2x 分离 211212
(1)x x x e x e e x x ξξ-=--；
（2）产生改变量的商 21
2
1
21
(1)11x x e e x x e x x ξξ-=--；
（3）作辅助函数 ()x
e f x x
=，1()g x x =
只需在12[,]x x 上用柯西中值定理即可． 证明：由于120,0x x >>
则0x =不在1x 与2x 之间 令
()x
e f x x
=，1()g x x =
则()f x 与()g x 在1x 与2x 所限定的区间上满足Cauchy 中值定理的条件
即
整理得211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=-- 结论得证．
通过对以上例题的分析和解答，我们可以看出应用中值定理证明等式或不等式的关键在于：
首先，仔细观察，对待证式子进行适当的变换； 其次，认真分析，精确而巧妙的构造出辅助函数． 做到这两点，便可顺利地完成命题的证明． 2.3 关于根的存在性
根的存在定理：若函数f 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即
()()0f a f b <），则至少存在一点0(,)x a b ∈，使得
即方程()0f x =在(,)a b 内至少有一个根．
罗尔定理告诉我们， 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，()()f a f b =，则存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=．换句话说，在函数的等值点之间，有导函数的根．因此，证明导函数有根，只要证明函数本身有等值点即可．
例5 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0f f ==，1
()12
f =．试
证至少存在一个(0,1)ξ∈，使()1f ξ'=． 分析：()1()1()()0f f x f x x f x x ξ''=?=?=?-=
可令 ()()F x f x x =-． 证明：令 ()()F x f x x =-
则显然()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导 又 (1)(1)110F f =-=-< ((1)0)f =
1111()()02222F f =-=> 1
(()1)2
f =
由根的存在定理可知:
1
(,1)2
η?∈， 使()0F η=
又()(0)00F a f =-=，对()F x 在[0,]η上用Rolle 中值定理，存在
ξ
使得 ()0F ξ'= 即 ()1f ξ'=．
从以上例题的证明过程可见，在应用根的存在性定理证明某些问题时，选取合适的辅助函数，可收到事半功倍的效果．
此类问题的证明过程如下： （1）作辅助函数()F x ；
（2）验证()F x 满足罗尔中值定理的条件, 由此即得出命题证明． 2.4 关于函数的单调性
2.4.1 函数单调性与其导函数符号间的关系
定理：设()f x 在区间I 上可导，则()f x 在I 上递增（减）的充要条件是：
由些可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系． 2.4.2 函数单调性的判定法
定理：设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导．
(1) 如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加；
(2) 如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少．
如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立．
由此可见，这个判断函数增减性的方法简单到只需确定导函数的符号． 特别提醒：这个方法的使用条件是，函数在闭区间上连续，开区间内可导． 这里的闭区间可以换成其它各种区间，例如(,)-∞+∞，[,)a +∞，(,]b -∞等． 证明函数的单调性主要应用拉格朗日中值定理，下面举例进行分析说明． 例6 证明：若函数()f x 在[0,)a 可导，()f x '单调增加，且(0)0f =，则函数
()
f x x
在(0,)a 也单调增加． 证明：对任意1,2(0,)x x a ∈,且12x x <
则()f x 在区间1[0,]x 与12[,]x x 均满足Lagrange 中值定理条件 于是分别存在11212(0,),(,)x x x ξξ∈∈ 使
12112121
()(0)()()
(),()0f x f f x f x f f x x x ξξ--''=
=
-- 由于()f x '单调增加,且(0)0f =,所以
121121
()()()
f x f x f x x x x -≤
- 从而
1212
()()
f x f x x x ≤
,即函数()f x x 在(0,)a 单调增加． 2.5 证明函数恒为常数
证明函数恒为常数主要应用的是拉格朗日中值定理的推论，现将其主要的两个推论介绍如下：
推论1：若在(,)a b 内，'()0f x ≡，则在(,)a b 内()f x 为一常数．
推论2：若在(,)a b 内，'()'()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x c =+（c 为常数）．
例7 若1x ≥，求证：212arctan arccos 214
x x x π
+=+．
分析：在三角函数部分解题中见到过这种题型，应用公式
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
,解得tan()1αβ±=，αβ±的值可能为
4
π
．此种解法较繁琐，在这里用推论1证明． 证明：设212()arctan arccos 214
x f x x x π
=+-+
则'()0f x ≡
即()f x c =（c 为常数）
又因为1(1)arctan1arccos1024f π
=--=，所以0=c
故()0f x =，即212arctan arccos 214
x x x π
+=+．
例8 定义在实数集R 上的函数，如对任意,x y R ∈，有2
()()()
f x f y M x y -≤-其中M 是常数，则()f x 是常值函数．
证明：对任意x R ∈，x 的改变量为x ?， 由条件有
即
两边关于0x ?→，取极限得
所以 ()0f x '=
由中值定理得：
(
f
即 ()(0)f x f = 故()f x 在R 上为常值函数． 2.6 利用微分中值定理求极限
计算数列和函数的极限时，常遇到的是“∞?0”，“0∞”，“1∞”，“00”，“0∞”，
“∞-∞”等形式．经过简单的变换，它们一般均可化为“00”型或“∞
∞
”型的
极限。其中有时“0”也以差的形式出现，即“00-”型．这时我们就可以利
用微分中值定理把差化成积之后，在积的极限中，用等价无穷小进行代换，起到化繁为简的作用．另外，微分中值定理把函数差变成其间的导数值，这种转化往往可以变难为易。
例9 求2lim n n →∞
(0)a >．
x a 在1x n =
和1
1
x n =+两点处的函数值． 又因为 ()ln x x a a a '=，故由微分中值定理得
1/1
ln (1)
a a
n n ξ=+ 其中1n n ξ<<+ 于是
故得 2lim ln n n a →∞
=．
例10 lim x →+∞
．
解：令()f t =
显然()f t 在[x ，x+1]（x ≥0）上满足Lagrange 中值定理 得
(
-其中1x x ξ<<+
所以lim (cos
cos lim [(sin 0
x ξ→+∞
→+∞
=-=．
由上面的例题可以看出，求极限的过程中要注意洛必达法则和等价无穷小代换、极限的四则运算、极限的复合运算等多种方法的有机结合，灵活运用．当不定式中的“0”以同一函数在不同的两点之差的形式出现时，利用微分中值定理求极限，有统一、简便和易于掌握的优点．
以上为微分中值定理在解题中几个方面的应用作了简单总结分析．利用微分中值定理解决问题时，通常需要构造一个辅助函数，由这个辅助函数满足某个中值定理的条件而得到要证明的结论，而构造性方法是高等数学中一个重要的分析技巧，这往往成为解题的关键所在．
微分中值定理的作用是联系函数与导数的纽带，是建立函数与其导数关系的桥梁．罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理将函数与其一阶导数建立联系，泰勒中值定理将函数与其高阶导数建立起联系．微分中值定理作为微分学的基本理论，在研究函数的性质方面起着重要的作用．本文归纳总结了微分中值定理在6个方面的应用，旨在增强微分中值定理的实际应用价值，使其发挥更大的作用．
参考文献：
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[4]李国成．浅谈利用微分中值定理解题的方法和技巧．成都教育学院学报，2004． [5]周焕芹．浅谈中值定理在解题中的应用．高等数学研究，1999． [6]杨萍．微分中值定理在求极限和级数判敛中的应用．天中学刊，1997． [7]王海玲．微分中值定理的推广及应用．长春理工大学学报，2003（01）．
ON THE APPLICATION OF DIFFERENTIAL MID-VALUE THEOREM IN SOLVING PROBLEMS
WANG Lei
Abstract: This paper introduces the differential mid-value theorem and its three common forms of expression—Rolle theorem, Lagrange theorem and Cauchy theorem. By summarizing and analyzing plenty of examples, it discusses the application of differential mid-value theorem from the six aspects: proving equality and inequality, the existence of root, the monotone of function, proving the function is a permanent constant, and solving the limit, so that we can grasp the mid-value theorem and apply it flexibly.
Key words: Rolle theorem Lagrange theorem Cauchy theorem application