(完整版)有理数知识点总结
有理数知识点总结（2016）
第一章有理数
1.1正数和负数
一、概念
1、正数：大于零的数，有时根据需要在正数前面加“+”（正号）
2、负数：在正数前面加上“—”（负号）的数说明：一个数前面的“+”“—”叫做它的号，其中“+”有时可以省略，但仍然表示正数，有时“+”是为了强调它是正数，但“—”号是绝对不能省略的。
3、0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界。说明：关于0的总结——实数，自然数，有理数，整数，非正数，非负数，偶数，相反数是本身，没有倒数，绝对值是本身，正负数分界
二、实际应用
在解决一些实际问题时，可以认为规定具有相反意义的量的正负。例如：收入为正，支出为负，收支平衡为0 零上为正，零下为负，分界为0 向北（东）走为正，向南（西）走为负，原地不动为0 加分为正，扣分为负，不加不扣为0 逆时针为正，顺时针为负超标为正，低标为负，标准为0 地上为正，地下为负，地面基准为0 盈余为正，亏空为负，收支平衡为0 水位上升为正，水位下降为负，水平面为0 高于平均分为正，低于平均分为负增加为正，减少为负，不增不减为0 海平面以上为正，以下为负，海平面记为0
三、易错易误点
1、-a一定是负数么？答案：不一定，需要分类分析解析：当a大于0时，-a就是负数；当a等于0时，-a为0；当a小于0时，-a是正数因此，a不一定是正数也不一定是负数，判断字母的正负时，需要分类讨论，也不能忽略0的存在。
2、海拔0米并不表示没有海拔，而是说海拔中海平面的平均高度为0米。
3、非正数：0和负数非负数：0和正数
1.2 有理数
一、概念
1、有理数：正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数（含有限小数和无限循环小数）的形式，这样的数称为有理数。
2、无理数：既不是正数也不是分数，就一定不是有理数。如无限不循环小数π=3.1415926… 它不能化成分数形式。
二、分类
1、按定义分类；有理数分为整数（正整数、0、负整数）；分数（正分数、负分数）
2、按性质符号分类；有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）
三、数轴
1、定义：数轴是一条可以向两端无限延伸的直线规定三要素——原点，正方向，单位长度注意“规定”二字，是说三要素是根据实际需要认为规定的。
2、画法：（必须用直尺！）
（1）先画一条直线
（2）在直线上任取一点，作为原点，记为0
（3）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右（向左）每隔一个单位长度取一点。 3、与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点表示，通常“正右负左，原点中间”；但数轴上的点不都来表示有理数。
四、相反数（重点）
1、概念
（1）几何定义：在数轴上分别位于原点两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。
（2）代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例如，2和-2 ；0的相反数是0。
2、表示方法以及多重符号的简化（1）a的相反数是-a，这里a是任意有理数(即正数、负数、0) 当a大于0时，-a小于0（正数的相反数是负数）当a小于0时，-a大于0（负数的相反数是正数）当a等于0时，-a等于0（0的相反数是0）（2）多重符号化简方法：正数前有偶数个“—”，可以把“—”一起去掉 ~ 2 / 5 ~ 正数前有奇数个“—”，最后只留一个“—” 0前无论有多少个“—”，化简后仍是0
五、绝对值
1、概念
（1）几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作｜a｜，读作a的绝对值，绝对值不能是负数。（2）代数定义：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。
2、做题时需要慎重考虑0的情况。
六、有理数大小比较
1、具体方法：将各数在同一条数轴上表示出来，那么从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即为——负数＜0＜正数。
2、两个负数，绝对值大的反而小。
3两数大小：同号——同正，绝对值大的数大同负，绝对值大的反而小异号——正数大于负数一数为零——正数＞0，负数＜0 1.3有理数的加减法 1.3.1有理数的加法
一、法则
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2、绝对值不相等的异号两数相加，去绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
3、互为相反数的两个数相加得0；
4、一个数同0相加，仍得这个数。
二、运算律
1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a
2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。(a+b)+c=(a+c)+b
1.3.2有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。a-b=a+(-b)
注意两变：减法变加法，减数变为它的相反数
1.4 有理数的乘除法
1.4.1有理数的乘法
一、法则 1、两数相乘，同号得正，异号的负，并把绝对值相乘。 2、任何数同0相乘，都得0。
二、推广 1、几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。
2、几个数相乘，有一个因数为0，则乘积为0。
三、运算律 1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。ab=ba
2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。(ab)c=(ac)b
3、乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。a(b+c)=ab+ac
四、倒数 1、乘积是1的两个数互为倒数。当a≠0时，与1/a互为倒数；当m≠0，n≠0时n/m与m/n互为倒数
2、注意：0没有倒数，做题时应当注意分母不为0
3、-1的倒数是-1；0~ -1之间的数的倒数比本身小；
小于-1的数的倒数比本身大。
1.4.2 有理数的除法
一、法则 1、除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。 2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0，0不能做除数。
二、化简 1、分数可以理解为分子除以分母，分数线就是除号。 2、0除以任何一个不等于0的数，都得0。
三、混合运算
1、乘除混合运算
（1）如果一个带分数的整数部分和分数部分都能与某分数相乘时约分，则将这个带分数写成整数部分与分数部分的和，再利用分配律运算（2）运算时应该从左至右，并将除法化成乘法再进行运算。
（3）除法化乘法，算式化连乘，小数化分数，带分数化假分数，负因数的个数确定符号的正负。
2、加减、乘除混合运算遵循原则：先乘除，后加减；按小括号、中括号、大括号依次计算；灵活运用分配律。
1.5有理数的乘方
1.5.1乘方
一、乘方的意义 1、求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在a n中，a 叫做底数，n 叫做指数。
2、一个数可以看做是这个数本身的一次方，指数1通常省略不写。
3、因为a n就是n个a相乘，所以可以利用乘法运算计算乘方运算。
二、乘方运算的性质 1、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数， 2、正数的任何次幂都是正数，3、0的任何正整数次幂都是0。
三、做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
1.5.2科学记数法。
一、概念把一个大于10的数表示成ax10n的形式（其中a是整数位只有一位的数，n是原数的整数位减1.即1≤｜a｜＜10，n是正整数），这种计数方法叫做科学记数法。
1.5.3近似数
一、概念四舍五入的近似数，从左边第一个非0的数字起，到精确到的数位止，所有的数都叫做这个数的有效数字。
二、说明一个数只是接近实际数，但与实际数还有差别，它是一个近似数。近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。