2010年北京海淀区高考二模数学理科试题(word版含解析)(无水印)
数 学 （理科） 2010．5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．已知集合{}0A x x =≥，{0,1,2}B =，则
A ．A
B ?≠
B ．B A ?≠
C ．A B B =
D ．A B =?
2．函数()sin(2)3
f x x π
=+图象的对称轴方程可以为
A ．12
x π
=
B ．512
x π
=
C ．3
x π
=
D ．6
x π
=
3．如图，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，
连接DB ，若20D ∠=?，则DBE ∠的大小为 A ． 20? B ． 40? C ． 60? D ． 70? 4．函数()2ln f x x x =--在定义域内零点的个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤??
+-≥??-+≥?
所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为
A ．1
B ．3-
C ．1或3-
D ．0
6．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能 使n α⊥成立的是
A ．αβ⊥，m β?
B ．//αβ，m β⊥
C ．αβ⊥，//n β
D ．//m α，n m ⊥
7．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为 A ．16k ≥ B ．8k < C ．16k < D ．8k ≥
8．已知动圆C 经过点F (0，1)，并且与直线1y =-相切，若直线34200x y -+=与圆C 有公共点，则圆C 的面积 A ．有最大值为π B ．有最小值为π C ．有最大值为4π D ．有最小值为4π
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．在极坐标系中，若点0(,)3
A π
ρ(00ρ≠)是曲线2cos ρθ=上的一点，则0ρ= ．
10．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙
两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如
右图）．1s ，2s 分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的 标准差，则1s 2s ．（填“>”、“<”或“＝”）
11．已知向量a =)0,1(，b =)1,(x ，若a b 2= ，则x = ；a b += ． 12． 已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +=（n ∈N *），则910a a +的值为 ． 13．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若sin a c A =，则a b
c
+的最大值为 ．
14．给定集合{1,2,3,...,}n A n =，映射:n n f A A →满足： ①当,,n i j A i j ∈≠时，()()f i f j ≠；
②任取,n m A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈．
．则称映射f ：n n A A →是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”．
表1 表2
（1）已知表2表示的映射f ： 44A A →是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；
（2）若映射f ：1010A A →是“优映射”，且方程()f i i =的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是_____．
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）
记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2446,10a a S +==．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）令2n n n b a =?*
(N )n ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
16．（本小题满分14分）
已知四棱锥P A B C D -，底面A B C D 为矩形，侧棱P A A B C D ⊥底面，其中
226
B C A B P A ===，M N ,为侧棱PC 上的两个三等分点，如图所示． （Ⅰ）求证：//AN MBD 平面； （Ⅱ）求异面直线AN 与PD 所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角M BD C --的余弦值．
17．（本小题满分13分）
为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立． （Ⅰ）求4人恰好选择了同一家公园的概率；
（Ⅱ）设选择甲公园的志愿者的人数为X ，试求X 的分布列及期望． 18．（本小题满分13分）
已知函数2()(2)e ax f x ax x =-，其中a 为常数，且0a ≥． （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值点；
（Ⅱ）若函数()f x
在区间上单调递减，求实数a 的取值范围． 19．（本小题满分13分）
已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点F (1，0)， 1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点M （4，0）的直线l 与抛物线2C 分别相交于A ，B 两点． （Ⅰ）写出抛物线2C 的标准方程；
B
（Ⅱ）若12
AM MB =
，求直线l 的方程；
（Ⅲ）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，
求椭圆1C 的长轴长的最小值．
20．（本小题满分14分）
已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义：
1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈， 2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈．
其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值．若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]
x a b ∈成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”．
（Ⅰ）若()cos f x x =，[0,]x π∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式；
（Ⅱ）已知函数2()f x x =，[1,4]x ∈-，试判断()f x 是否为[1,4]-上的“k 阶收缩函数”，
如果是，求出对应的k ；如果不是，请说明理由；
（Ⅲ）已知0b >，函数32()3f x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数，求b 的取值范围．
海淀区高三年级第二学期期末练习
数学（理）
参考答案及评分标准
2010．5
说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数．
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
9．1 10．<11．212．48 13
14．
；84．
三、解答题(本大题共6小题，共80分)
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a的公差为d，由244
6,10
a a S
+==，
可得
1
1
246
43
410
2
a d
a d
+=
?
?
??
+=
??
，………………………
2分
即1
1
23
235
a d
a d
+=
?
?
+=
?
，
解得1
1
1
a
d
=
?
?
=
?
，………………………4分
∴()
1
11(1)
n
a a n d n n
=+-=+-=，
故所求等差数列{}n a 的通项公式为n a n =． ………………………5分 （Ⅱ）依题意，22n
n
n n b a n =?=?，
∴12n n T b b b =+++
231
122232(1)22n n n n -=?+?+?++-?+? ，
………………………7分 又2n T =234
1122232(1)22n n n n +?+?+?++-?+? ，………………9分
两式相减得2
3
1
1(2222
2)2n n n n T n -+-=+++++-? ………………………11分
()1212212
n n n +-=
-?-1(1)22n n +=-?-， ………………………12分
∴1
(1)2
2n n T n +=-?+．
………………………13分
16．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连结AC 交BD 于O ，连结OM ， ABCD 底面为矩形，
O AC ∴为中点，
………… 1分 M N PC 、为侧棱的三等分点， CM MN ∴=，
//OM AN ∴ ，
………… 3分 ,OM MBD AN MBD ?? 平面平面，
//AN MBD ∴平面．
………… 4分 （Ⅱ）如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -，
则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(3,6,0)C ，(0,6,0)D ，
(0,0,3)P ，(2,4,1)M ，(1,2,2)N ， (1,2,2),(0,6,3)AN PD ==-
，
………………………5分
cos ,AN PD AN PD AN PD
?∴<>==
=
，
………………………7分
∴异面直线AN 与PD
．
………………………8分
（Ⅲ） 侧棱PA ABCD ⊥底面，
(0,0,3)BCD AP ∴=
平面的一个法向量为， ………………………9分
设MBD 平面的法向量为(,,)x y z =m ，
(3,6,0),(1,4,1)BD BM =-=-
，并且,BD BM ⊥⊥ m m ，
360
40x y x y z -+=?∴?
-++=?
，令1y =得2x =，2z =-， ∴MBD 平面的一个法向量为(2,1,2)=-m ． ………………………11分 2cos ,3AP AP AP ?<>==-
m m m
，
………………………13分
由图可知二面角M BD C --的大小是锐角，
∴二面角M BD C --大小的余弦值为
2
3
． ………………………14分
17． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A ． ………………1分
每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有43种等可能的情况
…………………2分 事件A 所包含的等可能事件的个数为3， …………………3分 所以，()4
31
327
P A =
=． 即：4人恰好选择了同一家公园的概率为
1
27
． ………………5分 （Ⅱ）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C ，则()1
3
P C =．
………………………6分
4人中选择甲公园的人数X 可看作4次独立重复试验中事件C 发生的次数，因此，随机变量X 服从二项分布．
X 可取的值为0，1，2，3，4．
………………………8分 ()4412()()33
i i i
P X i C -==， 0,1,2,3,4i =．
．………………………10分
分
X 的期望为()14
433
E X =?=．
……………………13分
18．（本小题满分13分）
解法一：（Ⅰ）依题意得2()(2)e x f x x x =-，所以2()(2)e x f x x '=-，……………………1分
令()0f x '=，得x =
………………………2分
()f x '，()f x 随x 的变化情况入下表：
………………………4分
由上表可知，x =函数()f x 的极小值点，x =是函数()f x 的极大值点．
………………………5分
（Ⅱ） 22()[(22)2]e ax f x ax a x a '=-+-+，
………………………6分
由函数()f x 在区间上单调递减可知：()0f x '≤对任意x ∈恒成立，
……7分
当0a =时，()2f x x '=-，显然()0f x '≤对任意,2)x ∈恒成立；
．…………………8分
当0a >时，()0f x '≤等价于22(22)20ax a x a ---≥，
因为x ∈，不等式2
2
(22)20ax a x a ---≥等价于2222
a x x a
--≥，
………………………9分
令2
(),g x x x x
=-∈，
则2
2
()1g x x '=+，在上显然有()0g x '>恒成立，所以函数()g x 在单调递增，
所以()g x 在上的最小值为0g =， ………………………11分
由于()0f x '≤对任意x ∈恒成立等价于2222
a x x a
--≥对任意x ∈恒
成立，
需且只需2min
22()a g x a -≥，即222
0a a
-≥，解得11a -≤≤，因为0a >，所以01a <≤．
综合上述，若函数()f x 在区间2)上单调递减，则实数a 的取值范围为
01a ≤≤． ………………………13分
解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）22()[(22)2]e ax f x ax a x a '=-+-+，
………………………6分
由函数()f x 在区间上单调递减可知：()0f x '≤对任意x ∈恒成立，
即22(22)20ax a x a ---≥
对任意x ∈恒成立， …………………7分
当0a =时，()2f x x '=-，显然()0f x '≤对任
意,2)x ∈恒成立；
…………………8分
当0a >时，令2
2
()(22)2h x ax a x a =---，则函数()h x 图象的对称轴为21
a x a
-=，
．……………9分 若21
0a a
-≤，即01a <≤时，函数()h x 在(0,)+∞单调递增，要使()0h x ≥
对任意
x ∈
恒成立，需且只需0h ≥，解得11a -≤≤，所以01a <≤；
．．………………………11分
若21
0a a
->，即1a >时，由于函数()h x 的图象是连续不间断的，假如()0h x ≥对
任意x ∈
恒成立，则有0h ≥，解得11a -≤≤，与1a >矛盾，所以()0h x ≥
不能对任意x ∈恒成立．
综合上述，若函数()f x
在区间2)上单调递减，则实数a 的取值范围为
01a ≤≤． ……13分
19．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意，抛物线2C 的方程为：24y x =，
…………2分
（Ⅱ）设直线AB 的方程为：(4),(0)y k x k k =-≠存在且． 联立2(4)4y k x y x
=-??=?，消去x ，得 24160ky y k --=，
………………3分
显然216640k ?=+>，设1122(,),(,)A x y B x y ，
则 124
y y k
+=
① 1216y y ?=- ② …………………4分 又12AM MB = ，所以 121
2
y y =- ③
…………………5分
由①② ③消去12,y y ，得 22k =， 故直线l
的方程为y -
或y =+．
…………………6分
（Ⅲ）设(,)P m n ，则OP 中点为(,)22m n
， 因为O P 、两点关于直线(4)y k x =-对称，
所以(4)221
n
m k n k m ?=-?????=-??，即80km n k m nk -=??+=?，解之得2228181k m k k n k ?=??+??=-?+?
，
…………………8分
将其代入抛物线方程，得：
2
222
88()411k k k k -=?++，所以，21k =． ………………………9分
联立 222
2(4)
1y k x x y a
b =-??
?+=??，消去y ，得：
2222222222()8160b a k x k a x a k a b +-+-=．
………………………10分
由2222222222(8)4()(16)0k a b a k a k a b ?=--+-≥，得 242222216()(16)0a k b a k k b -+-≥，即222216a k b k +≥，
…………………12分
将21k =，221b a =-代入上式并化简，得 2217a ≥
，所以a ≥
，即2a ≥ 因此，椭圆1C
． ………………………13分
20．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得：
1()cos ,[0,]f x x x π=∈ ， ………………………1分 2()1,[0,]f x x π=∈ ．
………………………2分
（Ⅱ）21,[1,0)()0,[0,4]x x f x x ?∈-=?∈?
，
………………………3分
221,[1,1)
(),[1,4]
x f x x x ∈-?=?∈? ，
………………………4分
2212
1,[1,0)()()1,[0,1),[1,4]
x x f x f x x x x ?-∈-?
-=∈??∈?，
………………………5分
当[1,0]x ∈-时，21(1)x k x -≤+1k x ∴≥-，2k ≥；
当(0,1)x ∈时，1(1)k x ≤+1
1
k x ∴≥
+1k ∴≥； 当[1,4]x ∈时，2
(1)x k x ≤+21x k x ∴≥+16
5
k ∴≥．
综上所述，16
5
k ∴≥
………………………6分 即存在4k =，使得()f x 是[1,4]-上的4阶收缩函数．
………………………7分
（Ⅲ）()2()3632f x x x x x '=-+=--，令'()0f x =得0x =或2x =．
函数()f x 的变化情况如下：
令()0f x =，解得0x =或3． ………………………8分
ⅰ）2b ≤时，()f x 在[0,]b 上单调递增，因此，()322()3f x f x x x ==-+，()1()00f x f ==．
因为32()3f x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数， 所以，①()()21()20f x f x x -≤-对[0,]x b ∈恒成立；
②存在[]0,x b ∈，使得()()21()0f x f x x ->-成立． ………………………9分 ①即：3232x x x -+≤对[0,]x b ∈恒成立， 由3232x x x -+≤，解得：01x ≤≤或2x ≥，
要使3232x x x -+≤对[0,]x b ∈恒成立，需且只需01b <≤．…………………10分 ②即：存在[0,]x b ∈，使得()2310x x x -+<成立．
由()2310x x x -+<得：0x 所以，需且只需b > 1b <≤． ………………………11分 ⅱ）当2b >时，显然有3 [0,]2 b ∈，由于()f x 在[0,2]上单调递增，根据定义可得： 2327()28f = ，13 ()02f =， 可得 213327 3()23228 2f f ??-=>?= ???， 此时，()()21()20f x f x x -≤-不成立． ………………………13分 1b <≤． 注：在ⅱ）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用 3 2 只是因为简单而已． 2018年北京市高考数学试卷（理科） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（） A．B．C．D． 4．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（） A． f B． f C． f D．f 5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个 数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（5分）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 7．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）?A C．当且仅当a＜0时，（2，1）?A D．当且仅当a≤时，（2，1）?A 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9．（5分）设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．10．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=． 11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为． 12．（5分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是． 13．（5分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在 高考理科数学试题及答案 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目 要 求 的 。 1. 31i i +=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2. 设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百 八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ，则2z x y =+的 最小 值是（） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共 有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） 绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入 1978年普通高等学校招生全国统一考试 数学 （理科考生五，六两题选做一题文科考生五，六两题选做一题，不要 求做第七题） 一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2. 解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z) 2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积 解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a 则.42,222 2 πππππa a a a r a r =?? ? ??=?==体积 3．求函数)2lg(x y +=的定义域 解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域 4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值 解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450= 2 2 5.化简： 二 .（本题满分14分） 已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指 出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图 解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴= k 2; .254:.)()1.0()4(41 2 12 14323 12 1b b a ab = ??? ? ??----原式解 ②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴= k 2，半短轴=2 如图： 2)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y 如图 3）k<0时，方程为 这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上如图： 三．（本题满分14分） （如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于C 点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点， 求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BN Y Y Y k=2 A k=1 (0,2) k=1/4 O A X O B X O X Y Y y=2 k=-4 A O O X B X y=-2 1 442 2=+-y k x 2018年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合A ＝{x |x |<2}，，B ＝{-2，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1} B ．{-1，0，1} C ．{-2，0，1，2} D ．{-1，0，1，2} （2）在复平面内，复数 i -11 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ） A ． 2 1 B ． 6 5 C ． 6 7 D ． 12 7 （4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等与122。若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ） A ．f 32 B ．f 322 C ．f 1252 D ．f 1272 （5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （6）设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |=|3a+b |”是“a ⊥b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 （7）在平面直角坐标系中，记d 为点p （cos θ，sin θ）到直线x -my -2=0的距离。当 θ，m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （8）设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax +y >4，x-ay≤2}，则（ ） A ．对任意实数a ，（2，1）∈A B ．对任意实数a ，（2，1）?A C ．当且仅当a <0时，（2，1）?A D ．当且仅当a ≤3 2 时，（2，1）?A 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋5a ＝36，则{a n }的通项公式为______________. （10）在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a （a >0）与圆ρ＝2cosθ相切，则a ＝________. （11）设函数f (x )=cos (ωx - 6π)，若f (x )≤f (4 π)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为______. （12）若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y -x 的最小值是__________. 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 2020年北京高考数学试卷 一、选择题10小题，每小题4分，共40分． 1.已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ?=（ ）． A. 12i + B. 2i -+ C. 12i - D. 2i -- 3.在5(2)x -的展开式中，2x 的系数为（ ）． A. 5- B. 5 C. 10- D. 10 4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）． A. 63+ B. 623+ C. 123+ D. 123+ 5.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6.已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A. (1,1)- B. (,1)(1,)-∞-+∞ C. (0,1) D. (,0)(1,)-∞?+∞ 7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于 Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A. 经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP 8.在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）． A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 9.已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）． A . 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）． A . 30303sin tan n n n ???? + ??? B. 30306sin tan n n n ???? + ??? C. 60603sin tan n n n ????+ ??? D. 60606sin tan n n n ????+ ??? 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11.函数1 ()ln 1 f x x x = ++的定义域是____________． 12.已知双曲线22 :163 x y C - =，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 13.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1 ()2 AP AB AC =+，则||PD =_________； PB PD ?=_________． 14.若函数()sin()cos f x x x ?=++最大值为2，则常数?的一个取值为________． 15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()() f b f a b a -- -的大小评价 2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数 学（理工农医类） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. （1）设集合B A x x B x x A ?>=>-=则|},0log |{},01|{22 等于 （A ）}1|{>x x （B ）}0|{>x x （C ）}1|{- 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 2 4S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 34 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1) (0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 2 16x + 2 12y =1 B 2 12x + 2 8y =1 C 2 8 x + 2 4 y =1 D 212 x + 2 4 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B C D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) 2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数 学 本试卷共5页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合{1,0,1,2},{03}A B x x =-=<<，则A B = （A）{1,0,1}-（B）{0,1} （C）{1,1,2}-（D）{1,2} （2）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ?= （A）12i +（B）2i -+（C）12i -（D）2i --（3）在5 (2)x -的展开式中，2 x 的系数为 （A）5-（B）5 （C）10 -（D）10 （4）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为 （A）63+（B）623 +（C）123+（D）1223 +（5）已知半径为1的圆经过点)4,3(，则其圆心到原点的距离的最小值为 （A）4（B）5（C）6 （D）7 （6）已知函数12)(--=x x f x ，则不等式()0f x >的解集是 （A）)1,1(-（B）(-1)(1,) -∞+∞ ,（C）(0,1)（D）(0)(1) -∞+∞ ,,（7）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ；P 是抛物线异己O 的一点，过P 做PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的 垂直平分线（A）经过点O （B）经过点P （C）平行于直线OP （D）垂直于直线OP （8）在等差数列{n a }中，19a =-，51a =-，记12(1,2,)n n T a a a n =?=?，则数列{n T } （A）有最大项，有最小项（B）有最大项，无最小项（C）无最大项，有最小项 （D）无最大项，无最小项 （9）已知αβ∈R ,，则“存在k ∈Z ，使得π(1)k k αβ=+-”是“βαsin sin =”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （10）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πay)D 。历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中 的“割圆术”相似，数学家阿尔 卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正n 6边形的周长和外切正n 6边形（各边均与圆相切的正n 6边形）的周长，将它们的算术平均数作为π2的近似值。按照阿尔 卡西的方法，π的近似值的表达方式是（A）30303(sin tan )n n n ?? +（B）30306(sin tan )n n n ?? +（C）60603(sin tan )n n n ??+（D）60606(sin tan )n n n ??+第二部分（非选择题共110分） 二、填空题5小题，每小题5分，共25分． 创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 （这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ?Y （B ）X ?Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[8 1 2---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2 ,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2 θ （ B ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：.84π π或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2. 3．求方程2 1 )cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π -=?∈π+π= 4．求3)2| |1 |(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1 321lim +-∞→n n n 的值 答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647?P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设???>≤=, 0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4 )(2(>ρ=π -θ-ρ的曲线 解（1） （2） 2018年普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。） 1、设z= ，则∣z ∣=（ ） A.0 B. C.1 D. 2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则 A =（ ） A 、{x|-1 7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长 度为（） A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f（x）= g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 ( ) A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为 Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2 ，p 3 ， 则( ) A. p 1=p 2 B. p 1=p 3 C. p 2=p 3 D. p 1=p 2 +p 3 11.已知双曲线C： - y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N. 若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=( ) A. B.3 C. D.4 12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.若x，y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 . 2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学理工农医类(北京卷) 本试卷共150分．考试时长120分钟． 第一部分(选择题共40分) 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合A＝{x∈R|3x＋2＞0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)＞0}，则A∩B＝() A．(－∞，－1) B．{－1， 2 3 -} C．( 2 3 -，3) D．(3，＋∞) 2．在复平面内，复数10i 3i+ 对应的点的坐标为() A．(1,3) B．(3,1) C．(－1,3) D．(3，－1) 3．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为() A．2 B．4 C．8 D．16 5．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则() A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB C．AD·AB＝CD2 D．CE·EB＝CD2 6．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为() A．24 B．18 C．12 D．6 7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是() A ．28+ B ．30+ C ．56+ D ．60+8．某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 第二部分(非选择题 共110分) 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．直线2,1x t y t =+??=--?(t 为参数)与曲线3cos 3sin x y α α =??=?(α为参数)的交点个数为________． 10．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若11 2 a =，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n ＝________． 11．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，1 cos 4 B =- ，则b ＝________． 12．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线 y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________． 13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ?的值为________， DE DC ?的最大值为________． 14．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2．若同时满足条件： ①x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0； ②x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0． 则m 的取值范围是________． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．已知函数(sin cos )sin2()sin x x x f x x -= ． (1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间． 16．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6．D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2． 1991年全国高考数学试题及其参考答案 (理工农医类) 考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)．满分120分 一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内． (1) 已知sin α=5 4 ，并且α是第二象限的角，那么tg α的值等于 ( ) (A) 3 4- (B) 4 3 - (C) 43 (D) 34 (2) 焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是 ( ) (A) y 2=8(x+1) (B) y 2=－8(x+1) (C) y 2=8(x －1) (D) y 2=－8(x －1) (3)函数y =cos 4x －sin 4x 的最小正周期是 ( ) (A) 2 π (B) π (C) 2π (D) 4π (4)如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中， 异面直线共有 ( ) (A) 12对 (B) 24对 (C) 36对 (D) 48对 (5) 函数y =sin(2x+2 5π )的图像的一条对称轴的方程是 ( ) (A) x =－ 2π (B) x =－4π (C) 8 π =x (D) 4 5π =x (6) 如果三棱锥S －ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的 ( ) (A) 垂心 (B) 重心 (C) 外心 (D) 内心 (7) 已知{a n }是等比数列，且a n >0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，那么a 3+a 5的值等于 ( ) (A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20 【数学大咖群】绝密★本科目考试启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数 学 本试卷共5页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合{1,0,1,2},{03}A B x x =-=<<，则A B = （A ）{1,0,1}- （B ）{0,1} （C ）{1,1,2}- （D ）{1,2} （2）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ?= （A ）12i + （B ）2i -+ （C ）12i - （D ）2i -- （3）在5(2)x -的展开式中，2 x 的系数为 （A ）5- （B ）5 （C ）10- （D ）10 （4）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为 （A ）63+ （B ）623+ （C ）123+ （D ）1223+ （5）已知半径为1的圆经过点)4,3(，则其圆心到原点的距离的最小值为 （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （6）已知函数12)(--=x x f x ，则不等式()0f x >的解集是 （A ）)1,1(- （B ）(-1)(1,)-∞+∞, （C ）(0,1) （D ）(0)(1)-∞+∞,, （7）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ；P 是抛物线异己O 的一点，过P 做PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线 （A ）经过点O （B ）经过点P （C ）平行于直线OP （D ）垂直于直线OP （8）在等差数列{n a }中，19a =-，51a =-，记12(1,2,)n n T a a a n =?=?，则数列{n T } （A ）有最大项，有最小项 （B ）有最大项，无最小项 （C ）无最大项，有最小项 （D ）无最大项，无最小项 （9）已知αβ∈R ,，则“存在k ∈Z ，使得π(1)k k αβ=+-”是“βαsin sin =”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （10）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πay)D 。历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正n 6边形的周长和外切正n 6边形（各边均与圆相切的正n 6边形）的周长，将它们的算术平均数作为π2的近似值。按照阿尔卡西的方法，π的近似值的表达方式是 （A ）30303(sin tan )n n n ?? + （B ）30306(sin tan )n n n ?? + （C ）60603(sin tan )n n n ?? + （D ）60606(sin tan )n n n ??+ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题 5小题，每小题5分，共25分． 普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工类）（北京卷） 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页,第II 卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束。将本试卷和答题卡一并交回。 第I 卷（选择题共40分） 注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）在复平面内，复数i i +1对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）若a 与b －c 都是非零向量，则“a ·b =a ·c ”是“a ⊥（b －c ）”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （3）在1，2，3，4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的共有 （A ）36个 （B ）24个 （C ）18个 （D ）6个 （4）平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹 是 （A ）一条直线 （B ）一个圆 （C ）一个椭圆 （D ）双曲线的一支 （5）已知),(1,log 1 ,4)13()(+∞-∞?? ?≥<+-=是x x x a x a x f a 上的增函数，那么a 的取值范 围是 （A ）（0，1） （B ）（0， 3 1 ） （C ）[ 71·3 1) （D ）7 1[，1） 1990年全国高考数学试题 （理工农医类） 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内. [Key] 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. (1)A 【】 [Key] (2)B (3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于 【】 [Key] (3)D (4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是 (A)1(B)2(C)3(D)4【】 [Key] (4)C (5) 【】 [Key] (5)C (A){-2,4}(B){-2,0,4} (C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}【】 [Key] (6)B (7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么 (C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6【】 [Key] (7)A (A)圆(B)椭圆 (C)双曲线的一支(D)抛物线【】 [Key] (8)D (B){(2,3)} (C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}【】 [Key] (9)B 【】 [Key] (10)D (11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于 (A)90°(B)60°(C)45°(D)30°【】 [Key] (11)C (12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│ 全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ?=+ ?? ?，则下面结论正确的 是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个单 位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233??? ???→=+=+ ? ???? ?y x x ． 注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. （1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = ∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A =2018年北京市高考数学试卷(理科)
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