用主成分分析模型构造综合评价指数

用主成分分析模型构造中学考试综合评价指数

[摘要] 在中学考试的综合评价中，使用较多的指标进行描述使分析复杂化，难以对众多指标的影响作出正确的判断，需要少量几个“综合评价指标”。通过简单加权的合成方法，难以得到科学的结果。主成分分析是一种多元统计方法，可以将众多指标简化浓缩为少量几个甚至一个综合评价指标，使简化的指标既能基本包括全部指标具有的信息，又使指标之间相互无关，较好地解决了这一课题。 [关键词] 考试评价；主成分分析；数学模型；计算步骤，指数构造方法

一、问题的提出

在中学考试评价中，通常使用各学科的“平均分”、“优秀率”、“及格率”和“低分率”等指标。考虑到成绩的分布状况（“优秀率”与“及格率”之间的差距偏大，可能失去部分信息量），某些地区还使用了“良好率”指标。这样，k 个学科的考试评价的p 项指标将多达k ╳p 个。在对考试进行综合的评价时，使用较多的指标进行描述不仅会增加评价的工作量，而且会因评价指标间的相关性造成评价信息重叠，相互干扰，其结果使分析复杂化，难以对众多指标的影响作出正确的判断。因此，需要少数几个甚至一个“综合评价指标”来代替众多的且相互之间具有相关关系的指标，同时又需要不失去原有指标具有的信息量，这是考试评价中具有现实意义的课题。

某些地区采用一种“降维”的方法，较成功地把k ╳p 维指标降为p 维指标，即在使用“总分平均分”的同时，用“科平均╳╳率”取代各科的“╳╳率”（计算方法见备注1）。如何把p 维指标再合成为一个“综合评价指标”？采用一些简单加权的合成方法时，由于对各指标的影响不容易作出正确的定量化的判断，及权数产生的科学性等问题，往往难以得到令人信服的科学的结果。

主成分分析是一种多元统计方法，可以将众多指标简化浓缩为少数几个甚至一个综合评价指标，使简化的指标既能基本包括全部指标具有的信息，又使指标之间相互无关。较好地解决了这一课题。

二、主成分分析的数学模型

设有n 个样品，每个样品观测p 个指标（变量）：X 1，X 2，…，X p , 得到原始数据矩阵：

用数据矩阵X 的p 个列向量（即p 个指标向量）作线形组合（即综合指标向量）为：

上述方程组要求：

且系数αij 由下列原则决定：

①、F i 与F j （i ≠j ，i ，j =1，…，p ）不相关；

②、F 1是X 1，X 2，…，X p 的一切线性组合（系数满足上述方程组）中方差最大的，F 2是与F 1不相关的X 1，X 2，…，X p 的一切线性组合中方差最大的，…，F p 是是与F 1，F 2，…，F p-1都不相关的X 1，X 2，…，X p 的一切线性组合中方差最大的。

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2

2221=+++pi i i a a a

这样决定的综合变量F 1，F 2，…，F p 分别称为原变量的第一，第二，…，第p 主成分，其中F 1的方差在总方差中占的比例最大，其余主成分F 2，F 3，…，F p 的方差依次递减。在实际工作中挑选前几个甚至一个最大主成分F 1，就能够基本包括全部指标所具有的信息，达到了将众多指标简化浓缩为少数几个甚至一个综合评价指标的目的。

三、主成分分析的计算步骤及实例

求解满足上述要求的方程组系数αij 的运算，在数学上可以变为求方程组中的系数向量，即矩阵的特征值及其相应的单位特征向量的问题。

建立模型时，首先将原始数据写成矩阵，如（式1—1）。注意：原始数据矩阵X 的p 个指标需要有一定的联系，而且为正相关（如果为负相关，需要进行相应的转化）。

1、将原始数据标准化。

2、建立变量的相关系数矩阵：R =（r ij ）p ╳p 不妨设R=X ’X

3、求R 的特征值λ1≥λ2≥…≥λp > 0 及其相应的单位特征向量：

4、写出主成分：

F i = a 1i X 1 + a 2i X 2 + … + a Pi X P i = 1, …，p

5、计算第j 个主成分（特征值）的方差贡献率及前几个主成分的累计方差贡献率。选取累计贡献率大

于某值（如定为90%、95%、99%等）的前几个主成分。

6、对选取的主成分进行解释或分析。 主成分分析计算过程举例：

对青岛市中考的5项指标作主成分分析，原始数据如附表1： 由于“低分率”指标与其他指标之间呈显著的“负相关”，直接代入必然产生严重的干扰，故实际写入矩阵时该指标以“100% - 低分率”的形式出现。

第一步、将原始数据标准化。

第二步、建立变量的相关系数矩阵R 如下：

表1、相关系数矩阵R

第三步、求特征值、特征向量和方差贡献率

表2、特征根和方差贡献率

从表2看，前2个特征值累计贡献率已达99.30%，说明前2个主成分包括了全部指标具有的99.30%

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的信息，我们取前2个特征值，并计算出相应的特征向量。

表3、单位特征向量

第四步、写出主成分：

第一主成分 F 1 = 0.453012X 1 + 0.434557X 2 + 0.451546X 3 +0.457640X 4 + 0.438876X 5 第二主成分 F 2 = 0.336346X 1 - 0.642130X 2 - 0.320931X 3 + 0.008946X 4 + 0.609478X 5

第五步、分析。从第一主成分F 1的各项指标的系数大小基本相当可见：这5个指标对F 1的作用也基本相当。“良好率”指标的系数（0.451546）甚至略大于“优秀率”指标的系数（0.434557）。

从第二主成分F 2的各项指标的系数分析可见：“低分率”指标（0.609478）对F 2的作用最大。

本例说明把“良好率”和“低分率”纳入指标考核的体系是有必要的（某些地区未采用这2个指标）。

四、构造综合评价指数的方法

方法一：利用主成分F 1，… ，F m 作线性组合，并以每个主成分F i 的方差贡献率αi 作为权数构造一个综合评价函数：

y = a 1F 1 … + a m F m

y 也称为评估指数，可以依据对每个样品计算出的y 值大小进行排序或分类划级。 在上述例子中，青岛市中考指标主成分分析的综合评价函数可以表述为：

y = 4.7350 F 1 + 0.2298 F 2

方法二：只用第一主成分F 1作综合评价指数。

在本例中，第1个特征值累计贡献率已达94.70%，说明第一主成分已经基本包括了主要指标具有的信息。当主成分特征向量的各分量符号不一致时（如本例第二主成分F 2），只用F 1作综合评价指数是适宜的。

青岛市中考指标主成分分析的结果见附表1。该表中分别列出了“第一主成分F 1指数”和“综合评估指数”的数值、标准分值Z 及其排序名次。

当原来的指标X 1，…，X P 的重要程度存在较大差异时，可以对原来指标辅以加权—“加权主成分分析”，相当于：

其中 m = m 1 + … + m p =1，然后对y 值作主成分分析。

五、用计算机软件自动实现主成分分析的过程

掌握主成分分析的数学模型需要一定的高等代数如矩阵运算的基础知识；进行实际计算的工作量十分

繁杂；以通用的Excel 软件不可能实现其计算过程；……等等，都限制了该方法在基层教研部门的普及应用，甚至在国内中心城市教研室中的应用也尚不普遍。曾见有关文献介绍“陕西省高中会考综合评价的主成分分析模型及应用”的经验。用计算机软件实现主成分分析综合评价的过程，并在基层教研部门甚至重点中学进行普及应用具有重要的意义。

笔者设计的《大中型城市教研室成绩汇总、统计分析系统》GSAS 软件设有“主成分分析综合评价”

模块，可完成数据采集、负相关转化、标准化、计算分析、构造评价指数和排序的全部过程，主要功能有：

1

、选择评估对象。可选择“全部地区”（以市、县、区为单位评估），也可选择“全部学校”或“某地区学校”（以学校为单位评估）

，也可以在软件的“学校版” 内运行，即在校内以班级为单位评估等。

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2、选择评估科目。可选择“汇总指标”，对考试进行评估，也可选择“单科指标”，对某个科目评估。

3、加权主成分分析。模块具有“权数”设置的条件。例如某次考试为了强调“及格率”在整体评价目标中的作用，可加大该指标的权数，而相应减小其他指标的权数。

如果想把“考试评价”扩展为更广义的“教学评价”，在评价指标体系中加入“巩固率”（实际考试人数/在册学生人数）、“科平差生转化率”、……等指标，也是完全可以实现的。

[参考文献]

①、于秀林任雪松编著《多元统计分析》中国统计出版社2003年4月

②、刘新平刘存侠编著《教育统计与测评导论》科学出版社 2003年6月

③、王汉澜主编《教育评价学》河南大学出版社 1995年版

附表1、青岛市中考指标主成分分析统计表

备注1、各科平均指标计算方法的说明

（科目1及格人数+ 科目2及格人数+ ……+ 科目n及格人数）各科平均及格率=

（科目1考试人数+ 科目2考试人数+ ……+ 科目n考试人数）

当各科目考试人数完全相等时：

各科平均及格率= （科目1及格率+ 科目2及格率+ ……+ 科目n及格率）/ n 各科平均优秀率、各科平均良好率、各科平均低分率的计算方法相同。

基于主成分分析的经济发展水平综合评价

基于主成分分析的经济发展水平综合评价1 吴冲，王栋 哈尔滨工业大学管理学院，哈尔滨 (150001) E-mail：wuchong@https://www.wendangku.net/doc/4a485072.html, 摘要：衡量一个国家的经济发展程度，要从其社会生产的各个方面去考察，要看各项生产能力的综合效果。为了客观、科学地分析我国的经济发展状况，本文首次把居民消费价格指数和商品零售价格指数引入评价指标体系中，提出一种新的社会发展水平综合指标体系，并通过SPSS分析软件进行上机计算，应用主成分分析方法对我国31个省、直辖市、自治区（不包括香港、澳门和台湾）的经济发展水平进行综合分析和评价，突出了各大省市经济发展进程的特点和优势，为我国实现均衡发展提供理论依据。 关键词：主成分分析，经济发展，综合评价 1. 引言 要描述和评价一个社会的经济发展状况，最理想的是找到一个总括性社会指标体系评价方法，其测度结果能够反映社会经济发展的全部或大部分信息。20世纪60年代以来一些国际性组织、国家和地区的职能部门以及研究学者曾经提出各种不尽完全相同的指标体系评价方法[1]。我国系统地研究社会发展指标体系评价方法起步较晚，但发展很快，20世纪80年代以来，国内一些政府部门、研究单位和个人先后设计了一些“社会指标体系评价方法”[2-4]，如：唐晓东[5]采用了21个指标变量的函数模型来评价我国社会经济发展状况，然而此模型一个最大缺点，就是没有把所有反映经济情况的因素考虑在内，得不到预期效果。但到目前为止，还没有形成一套完善、客观的社会经济发展综合指标体系评价方法，为了更加全面、客观地反映我国各地区的社会发展水平，本文在借鉴国内外研究成果的基础上，通过对我国已有研究成果的修正和充实，首次把居民消费价格指数和商品零售价格指数引入评价指标体系中，提出一种新的社会发展水平综合指标体系。 在实际经济问题中，不同的经济变量之间具有一定的相关性，如职工平均工资和消费水平必然有一定的关联性，这样势必增加分析问题的复杂性，因此需要有一种进行简化的方法。主成分分析法可以用较少的指标来代替原来较多的指标，并使这些较少的指标尽可能地反映原来指标的信息，从根本上解决了指标间的信息重叠问题，又大大简化了原指标体系的指标结构，用主成分分析法分析经济发展水平的优势主要体现在: (1)全面性(消除评价指标的相互影响)，在满足n p f的条件下，不限制指标的个数，可以综合评价一国的经济发展状况，主成分分析的降维处理技术能较好地解决多指标评价的要求，在选择了() p个主成分后， m m p 仍能保留原是数据信息的85%以上，因此这一方法综合评价经济发展水平比较全面，可以克服片面追求个别经济指标而忽略全面经济发展指标的倾向；(2)可加性(数据标准化处理)，在综合评价经济发展水平时，所建立的评价指标量纲往往不同，变差不能直接综合，主成分分析法避免了此现象的发生，因为在计算过程中，主成分分析法把各个指标进行了标准化处理，这就使得各个经济指标之间具有可比性即可加性；(3)客观性(科学的确定权重)，在层次分析法计算过程中，通过专家打分来确定权重，也就是说在确定权重的问题上具有了人为因素，而主成分分析法在确定综合因子的权重时，克服了某些评价方法中人为确定权重的缺陷，使得综合评价结果唯一；(4)简单性(计算简介)，随着电子计算机技术的发展，SPSS、SAS等计 1本课题得到高校博士点基金(20050213037）资助。

用主成分分析模型构造综合评价指数

用主成分分析模型构造中学考试综合评价指数 [摘要] 在中学考试的综合评价中，使用较多的指标进行描述使分析复杂化，难以对众多指标的影响作出正确的判断，需要少量几个“综合评价指标”。通过简单加权的合成方法，难以得到科学的结果。主成分分析是一种多元统计方法，可以将众多指标简化浓缩为少量几个甚至一个综合评价指标，使简化的指标既能基本包括全部指标具有的信息，又使指标之间相互无关，较好地解决了这一课题。 [关键词] 考试评价；主成分分析；数学模型；计算步骤，指数构造方法 一、问题的提出 在中学考试评价中，通常使用各学科的“平均分”、“优秀率”、“及格率”和“低分率”等指标。考虑到成绩的分布状况（“优秀率”与“及格率”之间的差距偏大，可能失去部分信息量），某些地区还使用了“良好率”指标。这样，k 个学科的考试评价的p 项指标将多达k ╳p 个。在对考试进行综合的评价时，使用较多的指标进行描述不仅会增加评价的工作量，而且会因评价指标间的相关性造成评价信息重叠，相互干扰，其结果使分析复杂化，难以对众多指标的影响作出正确的判断。因此，需要少数几个甚至一个“综合评价指标”来代替众多的且相互之间具有相关关系的指标，同时又需要不失去原有指标具有的信息量，这是考试评价中具有现实意义的课题。 某些地区采用一种“降维”的方法，较成功地把k ╳p 维指标降为p 维指标，即在使用“总分平均分”的同时，用“科平均╳╳率”取代各科的“╳╳率”（计算方法见备注1）。如何把p 维指标再合成为一个“综合评价指标”？采用一些简单加权的合成方法时，由于对各指标的影响不容易作出正确的定量化的判断，及权数产生的科学性等问题，往往难以得到令人信服的科学的结果。 主成分分析是一种多元统计方法，可以将众多指标简化浓缩为少数几个甚至一个综合评价指标，使简化的指标既能基本包括全部指标具有的信息，又使指标之间相互无关。较好地解决了这一课题。 二、主成分分析的数学模型 设有n 个样品，每个样品观测p 个指标（变量）：X 1，X 2，…，X p , 得到原始数据矩阵： 用数据矩阵X 的p 个列向量（即p 个指标向量）作线形组合（即综合指标向量）为： 上述方程组要求： 且系数αij 由下列原则决定： ①、F i 与F j （i ≠j ，i ，j =1，…，p ）不相关； ②、F 1是X 1，X 2，…，X p 的一切线性组合（系数满足上述方程组）中方差最大的，F 2是与F 1不相关的X 1，X 2，…，X p 的一切线性组合中方差最大的，…，F p 是是与F 1，F 2，…，F p-1都不相关的X 1，X 2，…，X p 的一切线性组合中方差最大的。 ?? ? ??? ? ???? ???=np n n p p x x x x x x x x x X 2122221 11211 ??? ?? ???????=ni i i i x x x X 2 1 ?? ???? ?+++=+++=+++=p pp p p p p p p p p X a X a X a F X a X a X a F X a X a X a F 22122221122122111111 2 2221=+++pi i i a a a

如何有效利用主成分分析进行综合评价

如何有效利用主成分分析进行综合评价 摘要：由于主成分分析在多元统计分析中的降维作用，使之在社会、经济、医疗、生化等 各领域运用越来越广泛，但由于传统主成分分析方法的局限性导致了一些问题的产生。这些 问题吸引了许多领域专家的关注，并具有针对性的提出了一些不同的改进方法。本文介绍了 主成分分析的基本和性质，并整理了近年来主成分分析在综合评价应用中遇到的普遍问题并整理验证了认同率较强的一些改进方法，以供大家研究学习。 关键词：主成分分析；综合评价；均值化 1引言 1.1研究的背景和意义 随着生产力的不断进步，生产方式由外延式扩张转化为追求经济效益的内涵式发展，以 致在生产过程中必须考虑经济效益的各个方面，如生产力水平、技术进步、资源占用等情况， 并需要就综合各方面的因素进行综合评价。 评价是根据确定的目的来测定对象系统的属性，并将这种属性变为客观定量的计值或者主观效用行为，整个过程离不开评价者的参与，而综合评价作为评价的一种也需要评价者做出相应反应或指示，而很多综合评价过程易受到评价者的干预，使评价结果产生偏差。 主成分分析能将高维空间的问题转化到低维空间去处理【9】，使问题变得比较简单、直 观，而且这些较少的综合指标之间互不相关，又能提供原有指标的绝大部分信息。而且，伴 随主成分分析的过程，将会自动生成各主成分的权重，这就在很大程度上抵制了在评价过程 中人为因素的干扰，因此以主成分为基础的综合评价理论能够较好地保证评价结果的客观性，如实地反映实际问题。主成分综合评价提供了科学而客观的评价方法，完善了综合评价 理论体系，为管理和决策提供了客观依据，能在很大程度上减少了上述不良现象的产生。 所以在社会经济、管理、自然科学等众多领域的多指标体系中，如节约型社会指标体系、生态环境可持续型指标体系、和谐社会指标体系、投资环境指标体系等，主成分分析法常被应用于综合评价与监控【6】。 综上所述，对综合评价指标体系理论进行研究，既有理论上的必要性，更有实践中的迫 切性。 1.2研究的发展史

主成分分析计算方法和步骤

主成分分析计算方法和步骤： 在对某一事物或现象进行实证研究时,为了充分反映被研究对象个体之间的差异, 研究者往往要考虑增加测量指标,这样就会增加研究问题的负载程度。但由于各指标都是对同一问题的反映,会造成信息的重叠,引起变量之间的共线性,因此,在多指标的数据分析中,如何压缩指标个数、压缩后的指标能否充分反映个体之间的差异,成为研究者关心的问题。而主成分分析法可以很好地解决这一问题。 主成分分析的应用目的可以简单地归结为: 数据的压缩、数据的解释。它常被用来寻找和判断某种事物或现象的综合指标,并且对综合指标所包含的信息给予适当的解释, 从而更加深刻地揭示事物的内在规律。 主成分分析的基本步骤分为: ①对原始指标进行标准化,以消除变量在数量极或量纲上的影响;②根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵 R; ③求出 R 矩阵的特征根和特征向量; ④确定主成分,结合专业知识对各主成分所蕴含的信息给予适当的解释;⑤合成主成分,得到综合评价值。 结合数据进行分析 本题分析的是全国各个省市高校绩效评价，利用全国2014年的相关统计数据(见附录)，从相关的指标数据我们无法直接评价我国各省市的高等教育绩效，而通过表5-6的相关系数矩阵，可以看到许多的变量之间的相关性很高。如：招生人数与教职工人数之间具有较强的相关性，教育投入经费和招生人数也具有较强的相关性，教工人数与本科院校数之间的相关系数最高，到达了0.963，而各组成成分之间的相关性都很高，这也充分说明了主成分分析的必要性。 表5-6 相关系数矩阵 本科院校 数招生人数教育经费投入 相关性师生比0.279 0.329 0.252 重点高校数0.345 0.204 0.310 教工人数0.963 0.954 0.896 本科院校数 1.000 0.938 0.881 招生人数0.938 1.000 0.893 教育经费投 0.881 0.893 1.000 入

主成分进行综合评价 综合评价主成分分析方法与因子分析方法的比较

主成分进行综合评价综合评价主成分分析方法 与因子分析方法的比较 统计研究 主成分分析方法和因子分析方法都是寻求从高维空间到低维空间的映射的方法，其目的是起到降维的效果，以便于用几个较少的综合指标来综合所研究总体各方面的信息，且这几个指标所代表的信息不重叠，也就是说从高维空间到低维空间的映射仍保持高维空间的“序”的结构。但这两种综合评价方法往往易混淆，本文从这两种方法的统计依据、数学模型、计算方法、综合指标的选取等方面比较它们的异同，以供初学者参考。 １、统计依据不同。主成分分析方法的统计问题：依Ｐ个指标戈ｌ，ｘ２，Ａ，戈Ｐ的／７，个观察值矩阵Ｘ＝Ｇ０帅，能否找到能较好地综合反映这个Ｐ 、二 指标的线性函数Ｙ＝乞ａｔｘｔ，即 ｉ＝１ 找到这个主成分的方法就是主成分分析方法。 因子分析方法的统计问题仍 口由Ｐ个指标戈。，戈：，Ａ，却的几个观钱道察信息阵Ｘ＝ＧＦ）忡，用有限个不翠

可观测的潜在变量来解释原始变量间的相关性或协方差关系，寻求这几个公因子的方法就是因子缉含汗价士气分析劣珐乡图分奸劣珐的火仪 分析法。它的原理源于已知信息的指标向量戈＝０。，戈：，Ａ，菇Ｐ）’，总存在正交变换戈＝Ｑｙ使得记ｘ＝Ａｚ，这里正交阵Ｑ是Ｘ＝Ｇ０。巾的 协方差阵ｙ的特征向量排成的，ｙ的各分量是不相关的，若茹的方差集中在少数几个变量三，，Ａ，缸上，即ｙ的特征值Ａ，，Ａ，Ａ。较大，后几个特征值Ａ㈨，Ａ，Ａ。很小几乎为零，于是就有因子模型算＝４厂＋ｓ。寻求公因子、厂及因子载荷阵Ａ的方法就是因子分析法。 ， ２、数学模型不同。主成分分析的数学模型：Ｙ＝Ｅａｔ、、ｒｉ， １＝１ 即主成分是原始指标的线性函数。因子分析的数学模型：戈＝４厂＋￡，Ａ为因子载荷阵。厂为公因子向量，￡为随机误差项，Ｖｎｒｏｑ＝Ｉ。，Ｖａｒ＝ｏ，Ｖａｒ Ｉ３０圈羹堑绻过丝Ｑ丝生皇塑万 方数据＝Ｄ。从形式上看二者的模型不同，但主成分分析又为因子分析中因子的寻求提供了一个有效的途径。主成分分析与因子分析法最易混淆的地方在于，将主成分分析方法与因子分析

主成分分析法概念及例题

主成分分析法 主成分分析（principal components analysis，PCA）又称：主分量分析，主成分回归分析法 目录 [显示] 1 什么是主成分分析法 2 主成分分析的基本思想 3 主成分分析法的基本原理 4 主成分分析的主要作用 5 主成分分析法的计算步骤 6 主成分分析法的应用分析 o案例一：主成分分析法在啤酒风味评价分析中的应用[1] 1 材料与方法 2 主成分分析法的基本原理 3 主成分分析法在啤酒质量一致性评价中的应用 4 结论 7 参考文献 [编辑] 什么是主成分分析法 主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。 在统计学中，主成分分析（principal components analysis,PCA）是一种简化数据集的技术。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。 [编辑] 主成分分析的基本思想

在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。 同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。科普效果是很难具体量化的。在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。如上所述，主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的因素。根据这一点，通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究，找出影响科普效果某一要素的几个综合指标，使综合指标为原来变量的线性拟合。这样，综合指标不仅保留了原始变量的主要信息，且彼此间不相关，又比原始变量具有某些更优越的性质，就使我们在研究复杂的科普效果评估问题时，容易抓住主要矛盾。上述想法可进一步概述为：设某科普效果评估要素涉及个指标，这指标构成的维随机向量为。对作正交变换，令，其中为正交阵，的各分量是不相关的，使得的各分量在某个评估要素中的作用容易解释，这就使得我们有可能从主分量中选择主要成分，削除对这一要素影响微弱的部分，通过对主分量的重点分析，达到对原始变量进行分析的目的。的各分量是原始变量线性组合，不同的分量表示原始变量之间不同的影响关系。由于这些基本关系很可能与特定的作用过程相联系，主成分分析使我们能从错综复杂的科普评估要素的众多指标中，找出一些主要成分，以便有效地利用大量统计数据，进行科普效果评估分析，使我们在研究科普效果评估问题中，可能得到深层次的一些启发，把科普效果评估研究引向深入。 例如，在对科普产品开发和利用这一要素的评估中，涉及科普创作人数百万人、科普作品发行量百万人、科普产业化（科普示范基地数百万人）等多项指标。经过主成分分析计算，最后确定个或个主成分作为综合评价科普产品利用和开发的综合指标，变量数减少，并达到一定的可信度，就容易进行科普效果的评估。 [编辑] 主成分分析法的基本原理 主成分分析法是一种降维的统计方法，它借助于一个正交变换，将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量，这在代数上表现为将原随机向量的协方差阵变换成对角形阵，在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系，使之指向样本点散布最开的p 个正交方向，然后对多维变量系统进行降维处理，使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统，再通过构造适当的价值函数，进一步把低维系统转化成一维系统。 [编辑] 主成分分析的主要作用

基于主成分法的学生成绩综合评价

现代经济信息 一、引言 在经济全球化和社会分工越来越细化的当今社会，人力资源已成为人类的第一宝贵资源。作为高素质人才主要培养基地的高等院校，如何科学地评价大学生的综合成绩成为当前各高校在全面推进素质教育过程中所面临的问题之一。传统的以多门课程总平均分排名的评价方法，比较笼统，为了尽可能全面、科学地反映被评价对象的情况，往往需要选取众多的指标构成评价体系，但是，过多的指标不仅会增加评价的工作量，还会因评价指标间的相关性造成评价信息相互重叠、相互干扰，从而难以客观地反映被评价对象的真实水平。本文认为可以使用主成分分析法解决此类问题。 二、主成分分析方法简介 主成分分析，是利用降维的方法，将多个指标转化为少数几个综合指标，去解释原始资料中的大部分变异的一种方法。在实际问题中，为了全面、系统地分析问题，通常必须考虑众多的影响因素，这些影响因素一般被称为指标或者变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。因此，把这些变量转化成彼此不相关的变量，然后从中选出比原始变量个数少、却能解释原始资料中大部分变异的几个新变量，即所谓的主成分，从而达到降维和简化问题分析的目的。 具体而言，主成分分析法是通过数学变换把给定的一组相关变量通过线性变换转成另一组不相关的变量，并按方差依次递减的顺序排列，找到第一、第二、…第 k个主成分，然后计算因子载荷矩阵，建立主成分模型，最后按因子得分及贡献率的大小，计算综合得分并进行排序。 三、高校学生成绩综合评价应用 (一)研究的对象及指标的选择 本文以贵州航天职业技术学院11级社区管理与服务班在2011—2012学年的13门主要课程考试成绩为研究对象，借助统计软件进行主成分分析，计算出主成分得分，并按主成分得分对学生进行了排名。班上共有28名同学，将这28名同学作为总体，13门主要课程具体为：大学英语Ⅰ(x1)、思想道德修养与法律基础(x2)、管理学原理(x3)、社区管理学(x4)、社会工作法律实务(x5)、应用统计学(x6)、体育(x7)、社会心理学(x8)、服务礼仪(x9)、高等数学(x10)、团队建设(x11)、大学英语Ⅱ(x12)、大学语文(x13)，学生姓名用序号1、2、… 28表示，用xij 表示第i个同学在第j 门课上的得分，则x=(xij)28×l3，这样就得到了一 个28×13的原始数据矩阵。见表1。 (二)主成分分析过程 将原始数据标准化，用计算机求出标准化矩阵的相关系数矩阵；求相关矩阵的特征值，确定主成分个数。(见表2) 基于主成分分析法的学生成绩综合评价 李　畅 贵州航天职业技术学院 摘要：以贵州航天职业技术学院2011级社区管理与服务班在2011—2012学年的13门主要课程考试成绩为研究对象，借助统计软件进行主成分分析，计算出主成分得分，并按主成分得分对学生进行了排名。为使成绩评价更具科学性、客观性和合理性，还将平均分和综合分比对，进行综合评价与分析，为教学研究、学生管理及就业指导提供科学依据。 关键词：主成分分析法；学习成绩；评价 中图分类号：G455 文献标识码：A 文章编号：1001-828X（2013）07-0408-03 408

如何有效利用主成分分析进行综合评价

如何有效利用主成分分析进行综合评价 摘要由于主成分分析在多元统计分析中的降维作用，使之在社会、经济、医疗、生化等各领域运用越来越广泛，但由于传统主成分分析方法的局限性导致了一些问题的产生。这些问题吸引了许多领域专家的关注，并具有针对性的提出了一些不同的改进方法。本文介绍了主成分分析的基本和性质，并整理了近年来主成分分析在综合评价应用中遇到的普遍问题并整理验证了认同率较强的一些改进方法，以供大家研究学习。 关键词主成分分析，综合评价，均值化 1引言 1.1研究的背景和意义 随着生产力的不断进步，生产方式由外延式扩张转化为追求经济效益的内涵式发展，以致在生产过程中必须考虑经济效益的各个方面，如生产力水平、技术进步、资源占用等情况，并需要就综合各方面的因素进行综合评价。 评价是根据确定的目的来测定对象系统的属性，并将这种属性变为客观定量的计值或者主观效用行为，整个过程离不开评价者的参与，而综合评价作为评价的一种也需要评价者做出相应反应或指示，而很多综合评价过程易受到评价者的干预，使评价结果产生偏差。 主成分分析能将高维空间的问题转化到低维空间去处理，使问题变得比较简单、直观，而且这些较少的综合指标之间互不相关，又能提供原有指标的绝大部分信息。而且，伴随主成分分析的过程，将会自动生成各主成分的权重，这就在很大程度上抵制了在评价过程中人为因素的干扰，因此以主成分为基础的综合评价理论能够较好地保证评价结果的客观性，如实地反映实际问题。主成分综合评价提供了科学而客观的评价方法，完善了综合评价理论体系，为管理和决策提供了客观依据，能在很大程度上减少了上述不良现象的产生。 所以在社会经济、管理、自然科学等众多领域的多指标体系中，如节约型社会指标体系、生态环境可持续型指标体系、和谐社会指标体系、投资环境指标体系等，主成分分析法常被应用于综合评价与监控。 综上所述，对综合评价指标体系理论进行研究，既有理论上的必要性，更有实践中的迫切性。 1.2主成分分析的发展史 主成分分析，首先是由英国的皮尔生(Kar卜Pearson)对非随机变量引入的，而后美国的数理统计学家赫特林(Harold.Hotelling)在1933年将此方法推广到随机向量的情形团。主成分分析的降维思想从一开始就很好地为综合评价提供了有力的理论和技术支持。

基于主成分分析和层次分析法的某市投资环境评价模型建立

基于主成分分析和层次分析法的某市投资环境评价模型建立研究 1 关于因子分析 围绕浓缩原有变量提取因子的核心目标，因子分析主要涉及以下内容： 1.1因子分析的前提条件； 1.2因子载荷矩阵的求解和因子提取； 1.3因子命名 1.4计算因子得分。 2层次分析法 运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行： 2.1建立递阶层次结构模型； 2.2构造出各层次中的所有判断矩阵；2.3层次单排序及一致性检验； 2.4层次总排序及一致性检验。 3指标体系的建立与评价模型的构建 3.1指标体系的建立X市投资环境评价分为三个层次：第一层是目标层；第二层准则层包括发展与效率综合指标、基础设施与配套能力综合指标、人力资源与社会责任综合指标、环境保护与节能减排综合指标、技术创新综合指标等五个二级指标；第三层是具体的评估指标。按照指标选取的全面性、科学性、目的性、可操作性以及最少性的原则，本研究引入22个指标变量以反映综合投资环境水平。 3.2评价模型的构建 3.2.1准则层评价模型的构建 为把各具体投资环境评价指标项聚合成为准则层的综合得分，采用主成分分析法进行处理。使用主成分法作综合评价时，主成分量选择的原则是其累计概率≥８５％。在主成分分析法确定各综合评价因子权重的基础上，构造评价模型，即： pj=∑U i=1mi?Vj(j=1,2,3,4,5) (1) 其中ｐｊ代表各子竞争力得分，Ｕｉ为各子竞争力相应的因子的主成分得分，Ｖｉ为各子竞争力相应的因子的权重值（即为主成分贡献率），ｍ为综合因子数。 3.2.2目标层评价模型的构建 在已求得的准则层综合得分的基础上，我们选择层次分析法（ＡＨＰ）来确定准则层的权重。本研究运用层次分析法建模时，具体步骤为：第一步，建立层次分析模型；第二步，构造判断矩阵Ａ；第三步，计算层次权重及一致性检验。 目标层投资环境评价模型为： S=∑Ij?Pj （2） j=1n 其中Ｓ为研究对象投资环境评价综合得分，Ｉｊ为准则层各综合指标的权重值，Ｐｊ为准则层各综合指标得分，ｎ为5。 4 某市投资环境评价的实证分析 4.1利用主成分分析计算各准则层综合得分 利用SPSS软件对准则层其下属指标层各变量系统进行主成分分析，其综合得分及排名如表1所示。 以准则层发展与效率指标为例，利用SPSS软件来实现该系统变量的主成分分析。第一，采用Ｚ－Ｓｃｏｒｅ方法对原始数据进行标准化处理［６］。本文采用ＳＡＳ软件中的ｐｒｏｃ、ｓ

主成分分析及其在综合评价系统中的应用

主成分分析及其在统计综合评价系统中的应用 一. 文献综述 主成分分析法是在对于复杂系统进行统计分析时十分有效的一种方法。本文主要是对主成分分析法进行详细介绍，并分析其在统计综合评价中的应用[1]。突出介绍主成分分析法在学生综合成绩分析[2]、企业业绩分析[3]及景区游客服务满意度测评[4]这三个综合评价系统中的应用。并在文末，对主成分分析法进行了一定的改进[5]，使得主成分分析法更加合理并贴近实际，且在一定程度上减小了统计分析过程中“线性化”产生的误差。 二.相关知识 在我们进行系统分析时，多变量问题是经常会遇到的。变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性，而且在许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。因此，我们就会很自然地想到，能否在各个变量之间相关关系研究的基础上，用较少的新变量代替原来较多的变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来较多的变量所反映的信息？事实上，这种想法是可以实现的，本文介绍的主成分分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力的方法。 （一）主成分分析方法的原理 主成分分析是把原来多个变量化为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。假定有n 个样本，每个样本共有p 个变量描述，这样可构成一个n×p 阶的数据矩阵。如何从这么多变量的数据中抓住事物的内在规律性呢？要解决这一问题，自然要在p 维空间中加以考察，这是比较麻烦的。为了克服这一困难，就需要进行降维处理，即用较少的几个综合指标来代替原来较多的变量指标，而且使这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。那么，这些综合指标（即新变量)应如何选取呢？显然，其最简单的形式就是取原来变量指标的线性组合，适当调整组合系数，使新的变量指标之间相互独立且代表性最好。 如果记原来的变量指标为 p x x x 21,，它们的综合指标——新变量指标为 21,x x ，m z （m≤p)。则

(完整版)利用主成分分析法对我国各地区普通高等教育的发展水平进行综合评价。

第3题. 利用主成分分析法对我国各地区普通高等教育的发展水平进行综合评价。 近年来，我国普通高等教育得到了迅速发展，为国家培养了大批人才。但由于我国各地区经济发展水平不均衡，加之高等院校原有布局使各地区高等教育发展的起点不一致，因而各地区普通高等教育的发展水平存在一定的差异，不同的地区具有不同的特点。对我国各地区普通高等教育的发展状况进行聚类分析，明确各类地区普通高等教育发展状况的差异与特点，有利于管理和决策部门从宏观上把握我国普通高等教育的整体发展现状，分类制定相关政策，更好的指导和规划我国高教事业的整体健康发展。遵循可比性原则，从高等教育的五个方面选取十项评价指标，具体见下图 图1. 高等教育的十项评价指标 指标的原始数据取自《中国统计年鉴，1995》和《中国教育统计年鉴，1995》除以各地区相应的人口数得到十项指标值，具体数值见下表见表6，其中：1x 为每百万人口高等院校数；2 x 为每十万人口高等院校毕业生数；3 x 为每十万人口高 等院校招生数；4 x 为每十万人口高等院校在校生数；5 x 为每十万人口高等院校教

职工数；6 x 为每十万人口高等院校专职教师数；7 x 为高级职称占专职教师的比例； 8 x 为平均每所高等院校的在校生数；9 x 为国家财政预算内普通高教经费占国内生 产总值的比重；10 x 为生均教育经费。 建模与求解： 一构造原始数据矩阵 X=????? ???????102 1x x x M

二使矩阵X标准化（程序见附录1） Z= 4.3685 3.9057 4.0909 4.1392 4.5401 4.5748 2.4120 0.3954 1.9862 2.6869 2.3854 2.4187 2.0965 1.9157 0.8299 1.1346 1.0221 1.4520 1.5048 1.3575 0.9509 1.0406 1.4024 1.0991 0.0952 0.2331 0.1895 0.2072 0.1326 0.1823 0.0558 0.5375 0.2342 0.3453 0.3790 0.3951 0.0988 0.1823 0.7080 0.7219 0.3918 0.3133 0.2898 0.2270 0.1495 0.1823 0.5775 -0.2813 -0.0717 -0.0556 -0.0111 -0.0169 -0.0536 -0.0533 0.8638 0.2482 -0.1829 0.0086 -0.0223 -0.0136 -0.0649 -0.0701 0.4691 0.7675 -0.2756 -0.0396 0 -0.0466 -0.1383 -0.1374 0.2405 1.0602 -0.5166 -0.4405 -0.2564 -0.3168 -0.3696 -0.3899 0.7418 1.0264 -0.6371 -0.4245 -0.4124 -0.4091 -0.3696 -0.4067 0.4234 1.2987 -0.6279 -0.1358 -0.3344 -0.3959 -0.3922 -0.4235 0.4793 1.3884 -0.4981 -0.3924 -0.3567 -0.3663 -0.3414 -0.3562 -0.3371 0.4664 -0.4703 -0.3924 -0.3678 -0.3531 -0.3696 -0.3899 0.4979 0.4005 -0.3590 -0.3924 -0.2564 -0.3201 -0.3414 -0.3562 -0.0305 -0.0309 0.0396 -0.3122 -0.2341 -0.1191 -0.0705 -0.0196 -0.7098 -0.5435 -0.1922 -0.2160 -0.2564 -0.2740 -0.3584 -0.3562 -0.1881 -0.4775 -0.3683 -0.2160 -0.3233 -0.2740 -0.2850 -0.2889 -0.7606 0.2939 -0.4054 -0.3764 -0.3121 -0.3729 -0.3696 -0.4067 -0.0509 -0.1155 -0.6093 -0.5047 -0.5239 -0.5113 -0.4543 -0.4572 0.4590 0.1806 -0.5444 -0.4886 -0.6019 -0.5640 -0.4656 -0.4740 -0.2660 -0.6889 -0.4425 -0.3764 -0.3455 -0.3531 -0.3358 -0.4067 -0.2220 0.2262 -0.5074 -0.5367 -0.4793 -0.4487 -0.4486 -0.4909 -0.4709 -0.0630 -0.3776 -0.3764 -0.5128 -0.4289 -0.3471 -0.3057 -0.4184 -0.5908 0.4103 -0.6490 -0.5462 -0.5410 -0.2906 -0.2384 -3.0524 -2.6580 -0.6464 -0.5528 -0.5350 -0.5640 -0.4656 -0.5077 -0.2897 -0.0681 -0.6001 -0.6169 -0.5685 -0.5673 -0.4938 -0.5077 0.3065 -0.3980 0.1322 -0.2962 -0.3567 -0.3070 -0.2793 -0.2216 -1.2569 -1.4908 -0.5630 -0.6971 -0.6911 -0.6860 -0.5051 -0.5245 -0.3388 -1.5432 0.2157 -0.4565 -0.5350 -0.4948 -0.3584 -0.2889 -2.0750 -2.2960 三构造矩阵相关系数矩阵R（程序见附录2） R= 1.0000 0.9434 0.9528 0.9591 0.9746 0.9798 0.4065 0.0663 0.9434 1.0000 0.9946 0.9946 0.9743 0.9702 0.6136 0.3500 0.9528 0.9946 1.0000 0.9987 0.9831 0.9807 0.6261 0.3445 0.9591 0.9946 0.9987 1.0000 0.9878 0.9856 0.6096 0.3256 0.9746 0.9743 0.9831 0.9878 1.0000 0.9986 0.5599 0.2411 0.9798 0.9702 0.9807 0.9856 0.9986 1.0000 0.5500 0.2222 0.4065 0.6136 0.6261 0.6096 0.5599 0.5500 1.0000 0.7789

主成分分析法的原理应用及计算步骤

一、概述 在处理信息时，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠，例如，高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性；学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。而变量之间信息的高度重叠和高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。 为了解决这些问题，最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数，但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。为此，人们希望探索一种更为有效的解决方法，它既能大大减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的大量丢失。主成分分析正是这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用的分析方法。 主成分分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合6210x 较少几个综合指标，通常综合指标（主成分）有以下几个特点： ?主成分个数远远少于原有变量的个数 原有变量综合成少数几个因子之后，因子将可以替代原有变量参与数据建模，这将大大减少分析过程中的计算工作量。 ?主成分能够反映原有变量的绝大部分信息 因子并不是原有变量的简单取舍，而是原有变量重组后的结果，因此不会造成原有变量信息的大量丢失，并能够代表原有变量的绝大部分信息。 ?主成分之间应该互不相关 通过主成分分析得出的新的综合指标（主成分）之间互不相关，因子参与数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。 ?主成分具有命名解释性 总之，主成分分析法是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子，如何使因子具有一定的命名解释性的多元统计分析方法。 二、基本原理 主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标X1，X2，…，XP （比如p 个指标），重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标Fm 来代替原来指标。那么综合指标应该如何去提取，使其既能最大程度的反映原变量Xp 所代表的信息，又能保证新指标之间保持相互无关（信息不重叠）。 设F1表示原变量的第一个线性组合所形成的主成分指标，即 11112121...p p F a X a X a X =+++,由数学知识可知，每一个主成分所提取的信息量可用其方差来度量，其方差Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。常常希望第一主成分F1所含的信息量最大，因此在所有的线性组合中选取的F1应该是X1，X2，…，XP 的所有线性组合中方差最大的，故称F1为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来p 个指标的信息，再考虑选取第二个主成分指标F2，为有效地反映原信息，F1已有的信息就不需要再出现在F2中，即F2与F1要保持独