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(完整版)历年平面向量高考试题汇集.doc

高考数学选择题分类汇编

1．【2011 课标文数广东卷】已知向量 a ＝(1,2)，b ＝(1,0)， c ＝ (3,4)．若 λ为实数，

(a ＋ λ b)∥ c ，则 λ＝( ) 1 1

A. 4 B .2 C ．1 D ． 2

2．【2011·课标理数广东卷】若向量 a ，b ，c 满足 a ∥ b 且 a ⊥c ，则 c ·(a ＋ 2b)＝ ( ) A ． 4 B ．3 C ．2 D ． 0

3【． 2011 大纲理数四川卷】如图 1－1，正六边形 → → →

)

ABCDEF 中，BA ＋ CD ＋EF ＝ ( A ． 0 →

→ → B. BE

C. AD

D. CF

4．【2011 大纲文数全国卷】设向量 a ，b 满足 |a|＝ |b|＝1，a ·b ＝－ 1

，则 |a ＋ 2b|＝ ()

2 A. 2 B.

3 C. 5 D. 7 .

5．【2011 课标文数湖北卷】若向量 a ＝(1,2)， b ＝ (1，－ 1)，则 2a ＋b 与 a － b 的夹角等于 ( ) 3π

π π π A ．－ 4

B. 6

C.4

D. 4

6．【2011 课标理数辽宁卷】若 a ，b ，c 均为单位向量，且 a ·b ＝ 0，(a － c) ·(b － c)≤0，

则|a ＋b － c|的最大值为 ( ) A. 2－ 1 B ．1 C. 2 D ． 2

【解析】 |a ＋b －c|＝ a ＋ b － c 2＝ a 2＋ b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c － 2b ·c ，由于 a ·b ＝0，

所以上式＝

3－2c ·a ＋b ，又由于 (a －c) ·(b －c)≤0，得 (a ＋ b) ·c ≥c 2＝ 1，所以

|a ＋ b － c|＝ 3－2c ·a ＋b ≤1，故选 B.

7．【2011 课标文数辽宁卷】已知向量 a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a ·(2a －b)＝0，则 k ＝()

A ．－ 12

B ．－ 6

C ．6

D ．12

1 8．【2011 大纲理数 1 全国卷】设向量 a ，b ，c 满足 |a|＝|b|＝ 1， a ·b ＝－ 2，〈 a － c ，

b －

c 〉＝ 60°，

则 |c|的最大值等于 ( ) A ． 2 B. 3 C. 2 D ．1

9．【2011 课标理数北京卷】已知向量 a ＝( 3， 1)，b ＝(0，－ 1)，c ＝(k ， 3)．若a － 2b 与 c 共线，则 k ＝________.

10 ．【 2011·课标文数湖南卷】设向量 a ，b 满足 |a|＝2 5，b ＝ (2,1)，且 a 与 b 的方

向相反，则 a 的坐标为 ________．

【解析】因为 a ＋λb ＝(1,2) ＋λ(1,0) ＝ (1 ＋λ，2) ，又因为 (a ＋ λb) ∥c ，(1

＋λ) ×4－2×3＝0，解得 λ＝2.

【解析】因为 a ∥b 且 a ⊥ c ，所以 b ⊥ c ，所以 c ·(a ＋ 2b) ＝c ·a ＋2b ·c ＝0.

→ → → → → → → → →

【解析】 BA ＋CD ＋ EF ＝BA ＋ AF －BC ＝BF － BC ＝CF ，所以选 D.

【解析】 | a ＋2b | 2 ＝(a ＋ 2b) 2＝| a | 2＋4a ·b ＋4| b | 2 ＝3，则 | a ＋2b | ＝ 3，

故选 B

【解析】因为 2a ＋b ＝( 2， 4) ＋( 1，－ 1) ＝( 3，3) ，a －b ＝( 0， 3) ，所以

| 2a ＋b | ＝ 3 2 ， | a －b | ＝ 3. 设

2a ＋ b 与 a － b 的夹角为 θ，则 cos θ＝

( ) (

) (

3，3 ) (

) 2 0，π π 2a ＋b · a －b ＝

· 0，3

＝ 2 ，又 θ∈ [

] ，所以 θ＝4.

| |

2×3

2a ＋ b

a －b

【解析】 a ·(2a －b)＝ 2a 2－ a ·b ＝ 0，即 10－(k －2)＝ 0，所以 k ＝ 12，故选 D.

【解析】

设向量 a ，b ，c 的起点为 O ，终点分别为 A ，B ，C ，由已知条件得，∠ AOB ＝ 120°，∠ACB ＝ 60°，则点 C 在△ AOB 的外接圆上，当 OC 经过圆心时， |c|最大，在△ AOB 中，求得 AB ＝ 3，由正弦定理得△ AOB 外接圆的直径是

＝2，|c |的最大值是 2，故选 A. sin120 °

【解析】因为 a －2b ＝ (

3，3)，由 a －2b 与 c 共线，有 k ＝ 3

，可得 k ＝1.

3 3

【解析】因为 a 与 b 的方向相反，根据共线向量定义有： a ＝λb( λ<0)，所以 a ＝(2 λ，λ)．

a 2 2

或 λ＝2(舍去 )，故 a ＝(－ 4，－ 2)．由 | |＝2

5，得 2λ ＋λ＝2 5? λ＝－ 2 11．【2011·课标理数天津卷】已知直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ ADC ＝90°，

＝，＝，是腰上的动点，则 → → ．

AD BC DC

＋3PB 的最小值为

2 1 P |PA | ________

12．【2011·课标理数浙江卷】若平面向量 α，β满足 | α|＝1，| β|≤ 1，且以向量 α，

β为邻边的平行四边形的面积为 2

，则 α与 β的夹角 θ的取值范围是 ________．

13 ．【2011·新课标理数安徽卷】已知向量 a ，b 满足 (a ＋2b) ·(a － b)＝－ 6，且|a|＝1，

|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为 ________．

14．【2011·课标文数福建卷】若向量 a ＝ (1,1)， b ＝ (－1,2)，则 a ·b 等于 ________．

→ → →

15．【2011·课标理数湖南卷】在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设BC ＝2BD ，CA ＝ → → →

3CE ，则 AD ·BE ＝________.

16．【2011 课标理数江西卷】已知 |a|＝|b|＝2，(a ＋2b) ·(a － b)＝－ 2，则 a 与 b 的夹角为 ________．

17．【2011·课标文数江西卷】已知两个单位向量

e 1 ， 2

的夹角为，若向量 b 1＝ 1

3 e

－2e 2， 2＝

1＋

2，则

b 3e 4e b ·b ＝________.

18．【2011 课标文数全国卷】已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量， k 为实数，若

向量 a ＋b 与向量 ka －b 垂直，则 k ＝ ________. 19．【10 安徽文数】设向量 a (1,0) , b ( 1 , 1 ) , 则下列结论中正确的是

2 2

(A) a b

(B) a ?b

2 (C) a / / b

(D) a b 与 b 垂直

20. 【10 重庆文数】若向量 a (3, m) ， b (2, 1) ， agb 0 ，则实数 m 的值为（A ）

（ B ）

（C ）2

（D ）6

【解析】建立如图 1－6 所示的坐标系，设 DC ＝ h ，则 A(2,0) ，B(1，h)．

设 P(0，y)， (0≤y ≤h) → →

则 PA ＝(2 ，－ y)， PB ＝ (1，h －y)，

∴ |

→

＋ →

|＝ 25＋ 3h － 4y 2 ≥ 25＝5. PA 3PB

【解析】由题意得： |α||β| θ＝1，∵ |α|＝，|β|≤ ，∴ sin

θ＝ 1

≥ 1

sin 2 1 1 2|β| 2.

π 5π

又∵ θ∈(0， π)，∴θ∈ 6， 6 .

【解析】设 a 与 b 的夹角为 θ，依题意有 (a ＋ 2b) ·(a －b)＝a 2＋a ·b － 2b 2＝－ 7＋2cos θ

＝－ 6，所以 1

cos θ＝2.因为 π

0≤θ≤π，故 θ＝3.

【解析】由已知

a ＝(1,1)，

b ＝ (－1,2)，得

a ·

b ＝1×(－1)＋1×2＝1.

【解析】由题知， D 为 BC 中点， E 为 CE 三等分点，以 BC 所在的直线为 x 轴，以 AD 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，可得 A 0， 3 ，D(0,0)，B －1

，0 ，

2 2

1 ， 3 → ，－ 3 → 5 3

→ → 3 3 1 E

，故 AD ＝

，BE ＝，，所以 AD ·BE ＝－

× ＝－ .

3 6 2 6 6 2 6

【解析】设 a 与 b 的夹角为 θ，由 (a ＋ 2b)(a － b)＝－ 2 得

|a|2＋a ·b －2|b|2＝ 4＋ 2× 2× cos θ－2×4＝－ 2，解得 cos θ＝2，∴θ＝3.

【解析】 |e 1 ＝ 2 ＝

且

1－ 2 · 1＋ 2 ＝ 2

1·2－

1·2＝，所以 b 1·2＝

1－

|e | 1

e e

(e 2e ) (3e 4e ) 3e 2e e

－ 8＝－ 6.

8e ＝ 3－ 2× 2

【解析】由题意，得 (a ＋ b) ·(ka －b)＝k |a |2

－ ·＋ ·－ |b |2＝

k ＋ (k －

·－

1 a b ka b

1)a b ＝ (k －1)(1＋ a ·b)＝0，a 与 b 不共线，所以 a ·b ≠－1，所以 k － 1＝ 0，解得 k

＝ 1.

【解析】 a b = ( 1

) ， ( a b)gb 0 ，所以 a b 与 b 垂直 . 【解析】 D

21.【 10 重庆理数】已知向量 a ，b 满足 a ?b 0, a 1, b 2, ，则 2a b

A. 0

B. 2 2

C. 4

D. 8 解析： 2a b

a b )2 4

a b b 2

2 2

22．【10 湖南文数】若非零向量 a ，b 满足 |a | | b |,(2 a b) b 0 ，则 a 与 b 的夹角为 C

A. 30

B. 60

C. 120

D. 150

uur uur

23.【 10 全国卷理数】 V ABC 中，点 D 在 AB 上，CD 平方 b ，

ACB ．若 CB a ，CA

，

uuur

2 2 1 （）

（）

，则 CD （A ）

a 1

b 2

b （B ） a

3 3

3 5

【解析】因为 CD 平分 ACB ，由角平分线定理得

= CA 2

，所以 D 为 AB

的

CB 1

三等分

点，且

uuur

2 uuur 2

uuur uuur

，

所以

AB 3 (CB CA)

uuur uuur uuur

2 uuur 1 uuur 2 r 1 r

CD CA+AD

CB CA a b ，选 B.

3 3 3 3

uuur r uuur r

24. 【 10

辽宁文数】平面上 O, A, B 三点不共线，设 OA a, OB b , 则 OAB 的面

积等于

（ A ） r 2 r 2 r r

（B ） r 2 r

r r a b (a b)2 a b (a b) 2

（ C ）

1 r

2 r 2

r r 2

（D ）

1 r

2 r 2

r r 2

a b

(a b)

a b

(a b)

1 r r r r 1 r r 2

r r 1 r r OAB

2 | a || b | sin a,b

2 | a || b | 1 cos

a,b 2 | a ||b | 1

r r 2 ( a b) r 2 r 2

| a | | b |

1 r

2 r 2

r r 2 2 a b

(a b)

uuur uuur

25.【 10 全国卷】△ ABC 中，点 D 在边 AB 上， CD 平分∠ ACB ，若 CB = a , CA =

b ,

a = 1 ，

uuur

2 b （ B ） 2 a + 1

（C ） 3 a + 4

b （ D ）

b = 2, 则 CD =（A ） 1

a +

a + 3

b 3

5 5

uuur uuur uuur r r

∵ CD 为角平分线， ∴

AC 2 ， ∵

AB CB CA a b ， ∴

uuur 2 uuur 2

uuur uuur uuur r

b CD

3 3

，∴

26. 【10 山东理数】定义平面向量之间的一种运算“

e ”如下，对任意的 a=(m,n) ，

r r r

b （ p,q) ，令 a e b=mq-np ，下面说法错误的是（

）

r r r r r r r r A. 若 a 与 b 共线，则 ae b=0

B. a e b=b e a

C.对任意的 r r r r

r r 2 r r 2 r 2 r

2 R ，有（ a) e b= ( a e b) D. (a e b) +(ab) =|a| |b|

r r r r

r r pn-qm ，而【解析】若 a 与 b 共线，则有 a e b=mq-np=0 ，故 A 正确；因为 b e a r r r r r r a e b=mq-np ，所以有 a e b

be a ，故选项 B 错误，故选 B 。

27. 【 10 四川理数】设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，

uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuuur BC 16, AB AC AB AC 则 AM

（A ）8

uuur 2 （ B ） 4

（ C ） 2

（D ） 1w_w w. k#s5_u.c o*m

uuur uuur uuur

uuur uuur

解析：由 BC ＝ 16，得 | BC| ＝4 AB AC

BC ＝4 uuur uuur uuuur uuuur 而 AB AC AM 故 AM 2

28. 【10 天津文数】如图，在 ABC 中， AD

uuur

AB ， BC 3 BD ，

uuur uuur uuur AD 1 ，则 AC AD =

（A ） 2 3

（B ）

（ C ）

（D ） 3

uuur uuur

uuur

AC ? AD

∠ DAC

∠ | AC | sin ∠ BAC

| AC | ? | AD | cos | AC | ?cos DAC

uuur 3

BC sin B

29【.10 广东文数）w 若向量 a =（ 1,1），b =（2,5）， =(3,x) 满足条件 (8 a － b )· =30，

c 则 x = C A ．6 B ．5 C ． 4 D ． 3

30.【 10

uuur 2 16 ，

四川文数】设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外， BC uuur uuur uuur uuur uuuur

（A ） 8

（ B ）4

（C ） 2

（D ）

AB AC AB AC ，则 AM

uuur 2

解析：由 BC ＝16，得 | BC| ＝4w_w w. k#s5_u.c o*m

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuuur uuuur 2

AB AC AB AC BC ＝4 而 AB AC

AM 故 AM

计算题

1．【09 广东卷文】已知向量 a (sin , 2) 与 b

(1,cos ) 互相垂直，其中

(0, )

（1）求 sin 和 cos 的值

（2）若 5cos(

) 3 5 cos ， 0

2 , 求 cos 的值

解

v 2cos 0 , 即 sin 2cos

（１） Q a b , agb sin

又∵ sin 2

cos

∴ 4cos 2

cos 2

1 , 即 cos 2

, ∴ sin 2

又

(0, ) sin 2 5

, cos 5

(2) ∵ 5cos(

) 5(cos cos sin sin ) 5 cos 2 5 sin 3 5 cos

cossin

, cos 2

sin 2 1 cos 2

, 即 cos 2

又 0

, ∴ cos

r r r

(4cos ,sin (sin , 4cos (cos , 4sin )

2. 【09 江苏卷】设向量 a ),b ),c r r r 垂直，求 tan( ) 的值；

（1）若 a 与 b 2c

r r

（2）求 | b c | 的最大值 ;

（3）若 tan tan r r

16 ，求证： a ∥ b .

解析本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分

14 分。

(sin ,cos

(1,2).

3. 【09 湖南卷文】已知向量 a

2sin ),b

r r

（1）若 a / / b ，求 tan 的值；

r r , 求

（2）若 | a | | b |,0 的值。

r r

cos

2sin

, 4sincos ，故 tan

1 .

解（1）因为 a / /b ，所以 2sin 4

r r

(cos

2sin )2 5, 所以 1 2sin 2 4sin 2

（2）由 | a | |b | 知， sin 2

从而 2sin 2 2(1 cos2 ) 4 ，即 sin2

cos2

1 ，

于是 sin(2

) 2

. 又由 0

知，

4 9 ，

所以 2

，或 2

. 因此

2 ，或

3 .

4．【09 上海卷】已知

(a,b) ，

ABC 的角 A 、B 、C 所对的边分别是 a 、b 、c ，设向量 m r

ur (b 2, a 2)

n (sin B,sin A) ， p

（）若 ur r

为等腰三角形；

// n ，求证：

ABC

ur ur ，角，求的面积

（）若 m ⊥ p ，边长

c = 2 C = . 2

ABC

uv v

bsin B,

证明：（1） Q m // n, a sin A

即 a a b

，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径， a b

ABC 为等

2R 2R

腰三角形

uv uv

0,即 a(b 2)

b(a 2)

0 a b

解（ 2）由题意可知 m // p

由余弦定理可知， 4 a 2 b 2 ab

( a b) 2 3ab

即(ab)2 3ab 4 0

ab 4( 舍去 ab

absin C

4 sin