冯恩信--电磁场与电磁波-课后习题答案
习题
1.1 已知z y x B z y x A ?2??;??3?2-+=-+=
，求:(a) A 和B 的大小（模）； (b) A 和B 的单位
矢量；(c)
B A
?；(d)
B A
?；(e)A 和B 之间的夹角；(f) A 在B 上的投影。
解：(a) A 和B 的大小
74.314132222222==++=++=
=z y x A A A A A
45.2621122222
2==++=++==z y x B B B B B
(b) A 和B 的单位矢量
z y x z y x A A a
?267.0?802.0?535.0)??3?2(74.31?-+=-+==
z y x z y x B B b
?816.0?408.0?408.0)?2??(45
.21?-+=-+==
(c)
A B ?
7232=++=++=?z z y y x x B A B A B A B A
(d) B A ?
z y x
z y x
B B B A A A z y x
B A z y x z y x
??3?52
11132??????-+-=--==?
(e)A 和B 之间的夹角α
根据αcos AB B A =?
得
764.0163
.97
cos ==?=AB B A α 019.40=α (f) A 在B 上的投影
86.245
.27?==?=?B B A b
A
1.2如果矢量A 、B 和C 在同一平面，证明A ·(B ?C )=0。
证明：设矢量A 、B 和C 所在平面为xy 平面
y A x A A y x ??+=
y B x
B B y x ??+=
y C x
C C y x ??+=
z C B C B y C B C B x
C B C B C C C B B B z
y x C B x y y x z x x z y z z y z
y x z y x
?)(?)(?)(???-+-+-==?
z
C B C B x y y x ?)(-= 0??)(0)(=?-?=??z z
C B C B C B A x y y x
1.3已知A =ααsin ?cos ?y x
+、B ββsin ?cos ?y x -=和C ββsin ?cos ?y x +=，证明这三个矢量都是单位矢量，且三个矢量是共面的。
证明：
1）三个矢量都是单位矢量
1sin cos 22222=+=++=
=ααz y x A A A A A 1sin cos 22222=+=++=
=ββz y x B B B B B
1sin cos 2222
2=+=++==ββz y x C C C C C
2）三个矢量是共面的
z
C C C B B B z
y x C B z
y x z y x
?sin cos 2???ββ==?
0??sin cos 20)(=??=??z z
C B A ββ
1.4 A x y z =+- 2； B x yz =+-α
3，当
A B
⊥时，求α。 解：当
A B
⊥时，0=?B A 032=++=?αB A
所以
5-=α
1.5证明三个矢量A y x
?5?5-=、B z y x ??7?3--=和C z y x ??2?2---=形成一个三角形的三条边，并利用矢积求此三角形的面积。
证明 ：因为 z y x
B A ??2?2++=-
0)(=+-+C B A
所以三个矢量A 、B 和C 形成一个三角形 此三角形的面积为
B A S ?=2
1
6.102/20551
73055??????222=++=---==z
y x B B B A A A z y x
z y x z y x
1.6 P 点和Q 点的位置矢量分别为z y x
??12?5++和z y x ??3?2+-，求从P 点到Q 点的距离矢量及其长度。
解：从P 点到Q 点的距离矢量为
y x z y x z y x
r r R P Q ?15?3)??12?5()??3?2(--=++-+-=-=
从P 点到Q 点的距离为
3.1515322=+==R R
1.7 求与两矢量A z y x
??3?4+-=和B z y x ???2-+=都正交的单位矢量。 解：设矢量C
与两矢量A z y x
??3?4+-=和B z y x ???2-+=都正交，则 034=+-=?z y x C C C C A
（1） 02=-+=?z y x C C C C B
（2）
（1）+（2） 得 026=-y x C C → x y C C 3= （3） （1）+3?（2）得 0210=-z x C C → x z C C 5= （4）
如果矢量C
是单位矢量，则
12592
22222=++=++==x x x z y x C C C C C C C C
所以 169.025
911=++=
x C
x y C C 3=507.0= x z C C 5=845.0=
z y x
C ?845.0?507.0?169.0++=
1.8将直角坐标系中的矢量场
F x y z x F x y z y 12
(,,) ,(,,) ==分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。
解：在圆柱坐标系中
??
??
?
?????-=????????????????????-=????????????????????-=??????????0sin cos 0011000cos sin 0sin cos 1000cos sin 0sin cos 111111?????
??????ρz y x z F F F F F F
??ρ
??ρ?sin ?cos ),,(1-=z F
??
??
?
?????=????????????????????-=????????????????????-=??????????0cos sin 0101000cos sin 0sin cos 1000cos sin 0sin cos 222222?????
?
?????ρz y x z F F F F F F
??ρ
??ρ?cos ?sin ),,(2+=z F
在圆球坐标系中
??
??
?
?????-=????????????????????--=????
?
???????????
??
??--=????????????θ?θ?
?
θ?θ?θθ?θ?θ??
θ?θ?θθ?θ?
θ?θsin cos cos cos sin 0010cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin 0cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin 111111z y x r F F F F F F
??θ?θρ
?θ?θ?sin ?cos cos ?cos sin ),,(1-+=r F
??
??
?
?????=????????????????????--=????
?
???????????
??
??--=????????????θ?θ?
?
θ?θ?θθ?θ?θ??
θ?θ?θθ?θ?
θ?θcos sin cos sin sin 0100cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin 0cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin 222222z y x r F F F F F F
??θ?θρ
?θ?θ?cos ?sin cos ?sin sin ),,(2++=r F
1.9 将圆柱坐标系中的矢量场 F z F z 12
23(,,) ,(,,) ρ?ρρ??
==用直角坐标系中的坐标分量表示。
解：根据
A A A A A A x y z z ??????????=-????????????????
?
??
?c o s s i n s i n c o s ????ρ?00001
（1）
得
??????????=????????????????????-=??????????0sin 2cos 20021000cos sin 0sin cos 111??????z y x F F F y x z y x F ?sin 2?cos 2),,(1??+=
又因为 ???
?
?
?
?
??
=+=+=z z y x x y x x 222
2sin cos ??
（2）
)??(2?2),,(2
2
1y y x
x y
x z y x F ++==ρ
?????
?????-=????????????????????-=??????????0cos 3sin 30301000cos sin 0sin cos 222??????z y x F F F y x
z y x F ?cos 3?sin 3),,(2??+-=
利用（2）式可得
)??(3?3),,(2
2
2x y y
x y
x z y x F -+==?
1.10 将圆球坐标系中的矢量场
F r r F r 12
5(,,) ,(,,) θ?θ?θ
==用直角坐标系中的坐标分量表示。
解：根据
A A A A A A x y z r
??????????=--?????????????????
???s i nc o s c o s c o s s i n s i ns i n c o s s i n c o s c o s s i n θ?θ??θ?θ??θθθ?0 （1）
得
?????
?????=????????????????????--=??????????θ?θ?θθθ??θ?θ??θ?θcos 5sin sin 5cos sin 50050sin cos cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin 111z y x F F F θ?θ?θcos 5?sin sin 5?cos sin 5?),,(1z y x
z y x F ++=
又因为
??
?
??===θ?θ?θcos sin sin cos sin r z r y r x （2）
得
)???(5),,(2
2
2
1z z y y x
x z
y x z y x F ++++=
θ
?θ?),,(2=r F
r ???=? )???(1?2
22z z y y x
x z y x r
++++= )??(1?2
2
x y y
x y
x -+=? θ
?θ?),,(2=r F
r ???=? =
?-+)??(12
2
x y y
x y x )???(12
2
2
z z y y x
x z
y x ++++
2
21y x +=
2
221
z y x ++]??)(?[22y yz x xz y x z
+++- 1.11 计算在圆柱坐标系中两点)5,6/,5(πP 和)4,3/,2(πQ 之间的距离。 解：两点)5,6/,5(πP 和)4,3/,2(πQ 之间的距离为 221221221)()()(z z y y x x d -+-+-=
222)45())3/sin(2)6/sin(5())3/cos(2)6/cos(5(-+?-?+?-?=ππππ 222)1()768.0()33.3(++=
==69.1256.3
1.12空间中同一点上有两个矢量，取圆柱坐标系，A z ?4?5?3-+=?ρ
，B z ?3?4?2++=?ρ，求:(a) A +B ； (b) A ?B ； (c) A 和B 的单位矢量； (d) A 和B 之间的夹角； (e) A 和B 的大
小； (f) A 在B 上的投影。 解：
(a) z z B A ??9?5?)34(?)45(?)23(-+=+-++++=+?ρ?ρ
(b) z z B B B A A A z B A z z ?2?17?313
42453??????+-=-==??ρ
?ρ
?ρ
?ρ
ρρ
(c) ==A A a
?)?3?4?2(07
.71
)?4?5?3(45312
22z z ++=-+++=?ρ?ρ
==B
B b
?)?3?4?2(385
.51
)?3?4?2(34212
22z z ++=++++=?ρ
?ρ
(d) A 和B 之间的夹角
0114.68)077
.3814(cos )(
cos ==?=--AB B A
θ (e) A 和B 的大小 071.722
2=++=z A A A A ?ρ 385.5222=++=
z B B B B ?ρ
(f) A 在B 上的投影
=?b
A ?
?-+)?4?5?3(z ?ρ)?3?4?2(385
.51
z ++?ρ
=6.2 1.13 矢量场中，取圆柱坐标系，已知在点)2,2/,1(πP 矢量为A ?ρ?3?2+=，在点)3,,2(πQ 矢量为B z ?10?3+-=ρ
；求:(a)A +B ； (b) A ·B ；(c) A 和B 之间的夹角。 解：转换到直角坐标系
A A A A A A x y z z ??????????=-????????????????
?
??
?c o s s i n s i n c o s ????ρ?00001
y x A ?2?3032100001010+-=??
??????????????????-= z x B ?10?31003100010001+=??
????????-??????????--= (a) A +B z y
?10?2+= (b) A ·B
9=
(c) A 和B 之间的夹角
0117.125)44
.159(cos )(
cos =-=?=--AB B A
θ 1.14 计算在圆球坐标系中两点)3/,4/,10(ππP 和),2/,2(ππQ 之间的距离及从P 点到Q