文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_集合的基本关系及运算 (2)

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_集合的基本关系及运算 (2)

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案

集合的基本关系及运算

编稿: 审稿:

【学习目标】

1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别一些给定集合的子集.在具体情境中,了解空集和全集的含义.

2.理解两个集合的交集和并集的含义,会求两个简单集合的交集与并集.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. 【要点梳理】

要点一、集合之间的关系

1.集合与集合之间的“包含”关系

集合A 是集合B 的部分元素构成的集合,我们说集合B 包含集合A ;

子集:如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A 是集合B 的子集(subset).记作:A B(B A)??或,当集合A 不包含于集合B 时,记作A B ,用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系:A B(B A)??或

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_集合的基本关系及运算 (2)

要点诠释:

(1)“A 是B 的子集”的含义是:A 的任何一个元素都是B 的元素,即由任意的x A ∈,能推出x B ∈. (2)当A 不是B 的子集时,我们记作“A ?B (或B ?A )”,读作:“A 不包含于B ”(或“B 不包含A ”

). 真子集:若集合A B ?,存在元素x ∈B 且x A ?,则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作:A B(或B A)

规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系

A B B A ??且,则A 与B 中的元素是一样的,因此A=B

要点诠释:

任何一个集合是它本身的子集,记作A A ?.

要点二、集合的运算 1.并集

一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,称为集合A 与B 的并集,记作:A ∪B 读作:“A 并B ”,即:A ∪B={x|x ∈A ,或x ∈B}

Venn 图表示:

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_集合的基本关系及运算 (2)

要点诠释:

(1)“x ∈A ,或x ∈B ”包含三种情况:“,x A x B ∈?但”;“,x B x A ∈?但”;“,x A x B ∈∈且”. (2)两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).

2.交集

一般地,由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合,叫做集合A 与B 的交集;记作:A ∩B ,读作:“A 交B ”,即A ∩B={x|x ∈A ,且x ∈B};交集的Venn 图表示:

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_集合的基本关系及运算 (2)

要点诠释:

(1)并不是任何两个集合都有公共元素,当集合A 与B 没有公共元素时,不能说A 与B 没有交集,而是A B =?.

(2)概念中的“所有”两字的含义是,不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”,同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”.

(3)两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合. 3.补集

全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.

补集:对于全集U 的一个子集A ,由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set),简称为集合A 的补集,记作:U U A A={x|x U x A}∈?;即且;补集的Venn 图表示:

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_集合的基本关系及运算 (2)

要点诠释:

(1)理解补集概念时,应注意补集

U

A 是对给定的集合A 和()U A U ?相对而言的一个概念,一个

确定的集合A ,对于不同的集合U ,补集不同.

(2)全集是相对于研究的问题而言的,如我们只在整数范围内研究问题,则Z 为全集;而当问题扩展到实数集时,则R 为全集,这时Z 就不是全集.

(3)

U

A 表示U 为全集时A 的补集,如果全集换成其他集合(如R )时,则记号中“U ”也必须换成

相应的集合(即

R

A ).

4.集合基本运算的一些结论

A B A A B B A A=A A =A B=B A ??????????,,,,

A A

B B A B A A=A A =A A B=B A ?????????,,,,

U U (A)A=U (A)A=???,

若A ∩B=A ,则A B ?,反之也成立 若A ∪B=B ,则A B ?,反之也成立

若x ∈(A ∩B),则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A ∪B),则x ∈A ,或x ∈B

求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法. 【典型例题】

类型一、集合间的关系

例1. 集合{}|2,A a a k k N ==∈,集合21|1(1)(1),8n B b b n n N ????==--?-∈??????

,那么,A B 间的关系是( ).

A. A B

B. B A

C. A =B

D.以上都不对 【答案】B

【解析】先用列举法表示集合A 、B ,再判断它们之间的关系.由题意可知,集合A 是非负偶数集,

即{}0,2,4,6,8,A =???.集合B 中的元素2

11(1)(1)8n b n ??=--?-??0()1(1)(1)()4

n n n n ??=?+-??为非负偶数时,

为正奇数时.而1

(1)(1)4n n +-(n 为正奇数时)表示0或正偶数,但不是表示所有的正偶数,即1,3,5,7,n =???.由1

(1)(1)4

n n +-依次得0,2,6,12,???,即{}0261220B =???,,,,,. 综上知,B A ,应选B .

【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于:弄清两个集合的元素的构成,也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化(如用列举法来表示集合)、形象化(用Venn 图,或数形集合表示).

举一反三:

【变式1】若集合{}{}|21,,|41,A x x k k z B x x l l z ==-∈==±∈,则( ). A. A B B. B A C. A =B D.A B Z =

【答案】C

例2. 写出集合{a ,b ,c}的所有不同的子集.

【解析】不含任何元素子集为?,只含1个元素的子集为{a},{b},{c},含有2个元素的子集有{a ,

b},{a ,c},{b ,c},含有3个元素的子集为{a ,b ,c},即含有3个元素的集合共有23

=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d ,则以上8个子集仍是新集合的子集,再将第4个元素d 放入这8个子集中,

会得到新的8个子集,即含有4个元素的集合共有24

=16个不同子集,由此可推测,含有n 个元素的集合

共有2n

个不同的子集.

【总结升华】要写出一个集合的所有子集,我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时,应依次将每个元素考虑完后,再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时,先从a 起,a 与每个元素搭配有{a ,b},{a ,c},然后不看a ,再看b 可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集:?和它本身.

举一反三:

【变式1】已知{},a b A ?{},,,,a b c d e ,则这样的集

合A 有 个.

【答案】7个

【变式2】同时满足:①{}1,2,3,4,5M ?;②a M ∈,则6a M -∈的非空集合M 有( ) A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个 【答案】C

【解析】3a =时,63a -=;1a =时,65a -=;2a =时,64a -=;4a =时,62a -=;5a =时,61a -=;∴非空集合M 可能是:{}{}{}{}{}{}3,1,5,2,4,1,3,5,2,3,4,1,2,4,5,{}1,2,3,4,5共7个.故选C.

例3.集合A={x|y=x 2+1},B={y|y=x 2+1},C={(x,y)|y=x 2+1},D={y=x 2

+1}是否表示同一集合? 【答案】以上四个集合都不相同

【解析】集合A={x|y=x 2+1}的代表元素为x ,故集合A 表示的是函数y=x 2

+1中自变量x 的取值范围,即函数的定义域A=(,)-∞+∞;

集合B={y|y=x 2

+1}的代表元素为y ,故集合B 表示的是函数y=x 2

+1中函数值y 的取值范围,即函数的值域B=[1,)+∞;

集合C={(x,y)|y=x 2+1}的代表元素为点(x ,y ),故集合C 表示的是抛物线y=x 2

+1上的所有点组成的集合;

集合D={y=x 2+1}是用列举法表示的集合,该集合中只有一个元素:方程y=x 2

+1.

【总结升华】认清集合的属性,是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法,是列举法还是描述法;其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素,准确理解对代表元素的限制条件.

举一反三:

【变式1】 设集合{(,)|34}M x y y x ==+,{(,)|32}N x y y x ==--,则M N =( )

A. {1,1}-

B. {1,1}x y =-=

C.(1,1)-

D. {(1,1)}- 【答案】D

【解析】排除法:集合M 、N 都是点集,因此M

N 只能是点集,而选项A 表示二元数集合,选项B

表示二元等式集合,选项C 表示区间(1,1)-(无穷数集合)或单独的一个点的坐标(不是集合),因此可以判断选D .

【变式2】 设集合{|21,}M x y x x Z ==+∈,{|21,}N y y x x Z ==+∈,

则M 与N 的关系是( ) A. N M B. M

N C. N M = D. N

M =?

【答案】A

【解析】集合M 表示函数21,y x x Z =+∈的定义域,有{}M =整数;

集合N 表示函数21,y x x Z =+∈的值域,有{}N =奇数,故选A.

【高清课堂:集合的概念、表示及关系 377430 例2】

【变式3】 设M={x|x=a 2+1,a ∈N +},N={x|x=b 2

-4b+5,b ∈N +},则M 与N 满足( ) A. M=N B. M N C. N M D. M ∩N=?

【答案】B

【解析】 当a ∈N +时,元素x=a 2

+1,表示正整数的平方加1对应的整数,而当b ∈N +时,元素x=b 2-4b+5=(b-2)2

+1,其中b-2可以是0,所以集合N 中元素是自然数的平方加1对应的整数,即M 中元素都在N 中,但N 中至少有一个元素x=1不在M 中,即M N ,故选B.

【高清课堂:集合的概念、表示及关系 377430 例3】 例

4

},

,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M =N ,则

+++2()(x y x )()1001002y x y +++ = .

A .-200

B .200

C .-100

D .0

【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手,本题应侧重考虑集合中元素的互异性. 【答案】D

【解析】由M=N ,知M ,N 所含元素相同.由O ∈{0,|x|,y}可知O {x,xy,x-y}∈ 若x=0,则xy=0,即x 与xy 是相同元素,破坏了M 中元素互异性,所以x ≠0.

若x ·y=0,则x=0或y=0,其中x=0以上讨论不成立,所以y=0,即N 中元素0,y 是相同元素,破坏了N 中元素的互异性,故xy ≠0

0,则x=y ,M ,N 可写为

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_集合的基本关系及运算 (2)

M={x ,x 2

,0},N={0,|x|,x}

由M=N 可知必有x 2=|x|,即|x|2

=|x| ∴|x|=0或|x|=1

若|x|=0即x=0,以上讨论知不成立 若|x|=1即x=±1

当x=1时,M 中元素|x|与x 相同,破坏了M 中元素互异性,故 x ≠1 当x=-1时,M={-1,1,0},N={0,1,-1}符合题意,综上可知,x=y=-1

∴+++2()(x y x )()1001002y x y +++ =-2+2-2+2+…+2=0

【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征,而找不到题目的突破口.因此,集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点.

举一反三:

【变式1】设a ,b ∈R ,集合b

{1,a+b,a}={0,

,b}a

,则b-a=( ) 【答案】2

【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征:

b

1{0,,b},0{1,a+b,a}a 0a b=0a

∈∈≠∴+,又,

∴当b=1时,a=-1,b

{0,b}={0,-1,1}a

∴,

当b

=1a

时,∴b=a 且a+b=0,∴a=b=0(舍) ∴综上:a=-1,b=1,∴b-a=2. 类型二、集合的运算

例 5. 设集合{}{}|3,,|31,A x x k k Z B y y k k Z ==∈==+∈,{}|32,C z z k k Z ==+∈,

{}|61,D w w k k Z ==+∈,求,,,A B A C B C B D .

【答案】A

B A

C B C ===?,B

D D =

【解析】先将集合A 、B 、C 、D 转化为文字语言叙述,以便弄清楚它们的构成,再求其交集即可.

集合{}|3,A x x k k Z ==∈表示3的倍数所组成的集合;

集合{}|31,B x x k k Z ==+∈表示除以3余1的整数所组成的集合; 集合{}|32,C x x k k Z ==+∈表示除以3余2的整数所组成的集合; 集合{}|61,D x x k k Z ==+∈表示除以6余1的整数所组成的集合;

A B A C B C ∴===?,B D D =.

【总结升华】求两个集合的交集或并集,关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的,因而有时需要

对集合进行转化,或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合,有利于弄清集合的元素的构成.类似地,若一个集合元素的特征由不等式给出时,利用数轴就能使问题直观形象起来.

举一反三:

【变式1】已知集合M={y|y=x 2-4x+3,x ∈R },N={y|y=-x 2

-2x+8,x ∈R },则M ∩N 等于( ) A. ? B. R C. {-1,9} D. [-1,9] 【答案】D

【解析】集合M 、N 均表示构成相关函数的因变量取值范围,故可知:M={y|y ≥-1},N={y|y ≤9},所以M ∩N={y|-1≤y ≤9},选D.

例6. 设集合M={3,a},N={x|x 2

-2x<0,x ∈Z},M ∩N={1},则M ∪N 为( ) A. {1,3,a} B. {1,2,3,a} C. {1,2,3} D. {1,3} 【思路点拨】先把集合N 化简,然后再利用集合中元素的互异性解题. 【答案】D

【解析】由N={x|x 2

-2x<0,x ∈Z}可得:N={x|0

举一反三:

【变式1】(1)已知:M={x|x ≥2},P={x|x 2

-x-2=0},求M ∪P 和M ∩P ;

(2)已知:A={y|y=3x 2}, B={y|y=-x 2

+4}, 求:A ∩B ,A ∪B ;

(3)已知集合A={-3, a 2 ,1+a}, B={a-3, a 2

+1, 2a-1}, 其中a ∈R ,若A ∩B={-3},求A ∪B. 【答案】(1){x|x ≥2或x=-1},{2};(2){y|0≤y ≤4},R ;(3){-4,-3,0,1,2}. 【解析】(1)P={2,-1},M ∪P={x|x ≥2或x=-1},M ∩P={2}.

(2)∵A={y|y ≥0}, B={y|y ≤4}, A ∩B={y|0≤y ≤4}, A ∪B=R . (3)∵A ∩B={-3},-3∈B ,则有:

①a-3=-3?a=0, A={-3,0,1}, B={-3,1,-1}?A ∩B={-3,1},与已知不符,∴a ≠0;

②2a-1=-3?a=-1, ∴ A={-3,1,0}, B={-4,2,-3}, 符合题设条件,∴A ∪B={-4,-3,0,1,2}.

【总结升华】此例题既练习集合的运算,又考察了集合元素的互异性.其中(1)易错点为求并集时,是否意识到要补上孤立点-1;而(2)中结合了二次函数的值域问题;(3)中根据集合元素的互异性,需要进行分类讨论,当求出a 的一个值时,又要检验是否符合题设条件.

【高清课堂:集合的运算 377474 例5】

【变式2】设集合A={2,a 2-2a ,6},B={2,2a 2

,3a-6},若A ∩B={2,3},求A ∪B. 【答案】{2,3,6,18}

【解析】由A ∩B={2,3},知元素2,3是A ,B 两个集合中所有的公共元素,所以3∈{2,a 2

-2a ,6},

则必有a 2-2a=3,解方程a 2

-2a-3=0得a=3或a=-1

当a=3时,A={2,3,6},B={2,18,3}

∴A ∪B={2,3,6}∪{2,18,3}={2,3,6,18} 当a=-1时,A={2,3,6},B={2,2,-9}

这既不满足条件A ∩B={2,3},也不满足B 中元素具有互异性,故a=-1不合题意,应舍去. 综上A ∪B={2,3,6,18}

例7.已知全集{}{}

2

1,2,3,4,5,|40U A x x px ==++=,求C u A.

【思路点拨】C u A 隐含了A U ?,对于A U ?,注意不要忘记A =?的情形.

【答案】 当44p -<<时,C u A={}1,2,3,4,5;当4p =-时,C u A={}1,3,4,5;当5p =-时,C u A={}2,3,5. 【解析】

当A =?时,方程2

40x px ++=无实数解. 此时2

160,44p p ?=-<-<<.C u A=U

当A ≠?时,二次方程2

40x px ++=的两个根12,x x ,必须属于U . 因为124x x =,所以只可能有下述情形:

当122x x ==时,4p =-,此时{}2,A = C u A={}1,3,4,5; 当121,4x x ==时,5p =-,此时{}1,4,A = C u A={}2,3,5. 综上所述,当44p -<<时,C u A={}1,2,3,4,5; 当4p =-时,C u A={}1,3,4,5; 当5p =-时,C u A={}2,3,5.

【总结升华】求集合A 的补集,只需在全集中剔除集合A 的元素后组成一个集合即可.由于本题中集合A 的元素不确定,因此必须分类讨论才行.

举一反三:

【变式1】 设全集U={x ∈N +|x ≤8},若A ∩(C u B)={1,8},(C u A)∩B={2,6},(C u A)∩(C u B)={4,7},求集合A ,B.

【答案】{1,3,5,8},{2,3,5,6}. 【解析】全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}

由A ∩(C u B)={1,8}知,在A 中且不在B 中的元素有1,8;由(C u A)∩B={2,6},知不在A 中且在B 中的元素有2,6;由(C u A)∩(C u B)={4,7},知不在A 中且不在B 中的元素有4,7,则元素3,5必在A ∩B 中.

由集合的图示可得

A={1,3,5,8},B={2,3,5,6}. 类型三、集合运算综合应用

例8.已知全集A={x|-2≤x ≤4}, B={x|x>a}. (1)若A ∩B ≠?,求实数 a 的取值范围; (2)若A ∩B ≠A ,求实数a 的取值范围;

(3)若A ∩B ≠?且A ∩B ≠A ,求实数a 的取值范围. 【思路点拨】(1)画数轴;(2)注意是否包含端点. 【答案】(1)a<4;(2)a ≥-2;(3)-2≤a<4. 【解析】

(1)∵A={x|-2≤x ≤4}, B={x|x>a},又A ∩B ≠?,如图,a<4; (2)画数轴同理可得:a ≥-2;

(3)画数轴同理可得:如图,-2≤a<4. 【总结升华】此问题从题面上看是集合的运算,但其本质是一个定区间,和一个动区间的问题.思路是,使动区间沿定区间滑动,数形结合解决问题.

举一反三:

【变式1】已知集合P={x ︱x 2≤1},M={a }.若P ∪M=P,则a 的取值范围是( ) A .(-∞, -1] B .[1, +∞) C .[-1,1] D .(-∞,-1] ∪[1,+∞) 【答案】C

【解析】P ={x ︱11x -≤≤}又 P M P =, ∴M P ?,∴ 11a -≤≤ 故选C .

例9. 设集合{}{}

222|40,|2(1)10,A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈.

(1)若A B B =,求a 的值; (2)若A B B =,求a 的值. 【思路点拨】明确A B B =、A B B =的含义,根据问题的需要,将其转化为等价的关系式B A ?和A B ?,是解决本题的关键.同时,在包含关系式B A ?中,不要漏掉B =?的情况.

【答案】(1)1a =或1a ≤-;(1)2. 【解析】首先化简集合A ,得{}4,0A =-. (1)由A

B B =,则有B A ?,可知集合B 为?,或为{}0、{}4-,或为{}0,4-.

①若B =?时,224(1)4(1)0a a ?=+--<,解得1a <-. ②若0B ∈,代入得2

1011a a a -=?==-或.

当1a =时,{}

{}2|400,4,B x x x A =+==-=符合题意; 当1a =-时,{}

{}2|00,B x x A ===?也符合题意. ③若4B -∈,代入得2870a a -+=,解得7a =或1a =. 当1a =时,已讨论,符合题意;

当7a =时,{}

{}2|1648012,4B x x x =++==--,不符合题意. 由①②③,得1a =或1a ≤-. (2),A

B B A B =∴?.又{}4,0A =-,

而B 至多只有两个根,因此应有A B =,由(1)知1a =. 【总结升华】两个等价转化:,A B B A B A B B B A =??=??非常重要,注意应用.另外,

在解决有条件A B ?的集合问题时,不要忽视A ≠?的情况.

举一反三:

【变式1】已知集合{}{}

2

2

2,|120A B x x ax a =-=++-=,若A

B B =,求实数a 的取值范围.

【答案】4,a ≥或4a <- 【解析】

A B B =,B A ∴?.

①当B =?时,此时方程2

2

120x ax a ++-=无解,由0?<,解得4,a >或4a <-.

②当B ≠?时,此时方程22

120x ax a ++-=有且仅有一个实数解-2,

0∴?=,且22(2)2120a a --+-=,解得4a =.

综上,实数a 的取值范围是4,a ≥或4a <-.

【变式2】设全集U R =,集合{}{}|12,|40A x x B x x p =-≤≤=+<,若B C u A ,求实数p 的取

值范围.

【答案】4p ≥

【解析】 C u A={}

|1,2x x x <->或,|4p B x x ??=<-????

.

B C

u A ,∴14

p

-

≤-,即4p ≥.∴实数p 的取值范围是4p ≥.

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_集合的基本关系及运算 (2)