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高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_集合的基本关系及运算 (2)

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案

集合的基本关系及运算

编稿：审稿：

【学习目标】

1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．

2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．【要点梳理】

要点一、集合之间的关系

1.集合与集合之间的“包含”关系

集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；

子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：A B(B A)??或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)??或

要点诠释：

（1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈．（2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ?B (或B ?A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”

）．真子集：若集合A B ?，存在元素x ∈B 且x A ?，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A)

规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系

A B B A ??且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B

要点诠释：

任何一个集合是它本身的子集，记作A A ?．

要点二、集合的运算 1.并集

一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B ”，即：A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}

Venn 图表示：

要点诠释：

（1）“x ∈A ，或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈?但”；“,x B x A ∈?但”；“,x A x B ∈∈且”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).

2.交集

一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A ∩B ，读作：“A 交B ”，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}；交集的Venn 图表示：

要点诠释：

（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =?．

（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”．

（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合. 3.补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.

补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set)，简称为集合A 的补集，记作：U U A A={x|x U x A}∈?；即且；补集的Venn 图表示：

要点诠释：

（1）理解补集概念时，应注意补集

A 是对给定的集合A 和()U A U ?相对而言的一个概念，一个

确定的集合A ，对于不同的集合U ，补集不同．

（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．

（3）

A 表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U ”也必须换成

相应的集合（即

A ）．

4.集合基本运算的一些结论

A B A A B B A A=A A =A B=B A ??????????，，，，

A A

B B A B A A=A A =A A B=B A ?????????，，，，

U U (A)A=U (A)A=???，

若A ∩B=A ，则A B ?，反之也成立若A ∪B=B ，则A B ?，反之也成立

若x ∈(A ∩B)，则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A ∪B)，则x ∈A ，或x ∈B

求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题】

类型一、集合间的关系

例1. 集合{}|2,A a a k k N ==∈，集合21|1(1)(1),8n B b b n n N ????==--?-∈??????

，那么,A B 间的关系是（）.

A. A B

B. B A

C. A =B

D.以上都不对【答案】B

【解析】先用列举法表示集合A 、B ，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合A 是非负偶数集，

即{}0,2,4,6,8,A =???.集合B 中的元素2

11(1)(1)8n b n ??=--?-??0()1(1)(1)()4

n n n n ??=?+-??为非负偶数时，

为正奇数时.而1

(1)(1)4n n +-（n 为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即1,3,5,7,n =???.由1

(1)(1)4

n n +-依次得0,2,6,12，???，即{}0261220B =???，，，，，. 综上知，B A ，应选B .

【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn 图，或数形集合表示）.

举一反三：

【变式1】若集合{}{}|21,,|41,A x x k k z B x x l l z ==-∈==±∈，则（）. A. A B B. B A C. A =B D.A B Z =

【答案】C

例2. 写出集合{a ，b ，c}的所有不同的子集.

【解析】不含任何元素子集为?，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a ，

b}，{a ，c}，{b ，c}，含有3个元素的子集为{a ，b ，c}，即含有3个元素的集合共有23

=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d ，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d 放入这8个子集中，

会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24

=16个不同子集，由此可推测，含有n 个元素的集合

共有2n

个不同的子集.

【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a 起，a 与每个元素搭配有{a ，b}，{a ，c}，然后不看a ，再看b 可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：?和它本身.

举一反三：

【变式1】已知{},a b A ?{},,,,a b c d e ，则这样的集

合A 有个.

【答案】7个

【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5M ?；②a M ∈，则6a M -∈的非空集合M 有（） A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个【答案】C

【解析】3a =时，63a -=；1a =时，65a -=；2a =时，64a -=；4a =时，62a -=；5a =时，61a -=；∴非空集合M 可能是：{}{}{}{}{}{}3,1,5,2,4,1,3,5,2,3,4,1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共7个.故选C.

例3．集合A={x|y=x 2+1}，B={y|y=x 2+1}，C={(x,y)|y=x 2+1}，D={y=x 2

+1}是否表示同一集合？【答案】以上四个集合都不相同

【解析】集合A={x|y=x 2+1}的代表元素为x ，故集合A 表示的是函数y=x 2

+1中自变量x 的取值范围，即函数的定义域A=(,)-∞+∞；

集合B={y|y=x 2

+1}的代表元素为y ，故集合B 表示的是函数y=x 2

+1中函数值y 的取值范围，即函数的值域B=[1,)+∞；

集合C={(x,y)|y=x 2+1}的代表元素为点（x ，y ），故集合C 表示的是抛物线y=x 2

+1上的所有点组成的集合；

集合D={y=x 2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x 2

+1．

【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件．

举一反三：

【变式1】设集合{(,)|34}M x y y x ==+，{(,)|32}N x y y x ==--，则M N =（）

A. {1,1}-

B. {1,1}x y =-=

C.(1,1)-

D. {(1,1)}- 【答案】D

【解析】排除法：集合M 、N 都是点集，因此M

N 只能是点集，而选项A 表示二元数集合，选项B

表示二元等式集合，选项C 表示区间(1,1)-（无穷数集合）或单独的一个点的坐标（不是集合），因此可以判断选D ．

【变式2】设集合{|21,}M x y x x Z ==+∈，{|21,}N y y x x Z ==+∈，

则M 与N 的关系是（） A. N M B. M

N C. N M = D. N

M =?

【答案】A

【解析】集合M 表示函数21,y x x Z =+∈的定义域，有{}M =整数；

集合N 表示函数21,y x x Z =+∈的值域，有{}N =奇数，故选A.

【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例2】

【变式3】设M={x|x=a 2+1，a ∈N +}，N={x|x=b 2

-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足( ) A. M=N B. M N C. N M D. M ∩N=?

【答案】B

【解析】当a ∈N +时，元素x=a 2

+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当b ∈N +时，元素x=b 2-4b+5=(b-2)2

+1，其中b-2可以是0，所以集合N 中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M 中元素都在N 中，但N 中至少有一个元素x=1不在M 中，即M N ，故选B.

【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例3】例

．

已

知

,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M =N ，则

+++2()(x y x )()1001002y x y +++ = ．

A ．－200

B ．200

C ．－100

D ．0

【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．【答案】D

【解析】由M=N ，知M ，N 所含元素相同.由O ∈{0，|x|，y}可知O {x,xy,x-y}∈ 若x=0，则xy=0，即x 与xy 是相同元素，破坏了M 中元素互异性，所以x ≠0.

若x ·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N 中元素0，y 是相同元素，破坏了N 中元素的互异性，故xy ≠0

0，则x=y ，M ，N 可写为

M={x ，x 2

，0}，N={0，|x|，x}

由M=N 可知必有x 2=|x|，即|x|2

=|x| ∴|x|=0或|x|=1

若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立若|x|=1即x=±1

当x=1时，M 中元素|x|与x 相同，破坏了M 中元素互异性，故 x ≠1 当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1

∴+++2()(x y x )()1001002y x y +++ =-2+2-2+2+…+2=0

【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．

举一反三：

【变式1】设a ，b ∈R ，集合b

{1,a+b,a}={0,

,b}a

，则b-a=( ) 【答案】2

【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：

1{0,,b},0{1,a+b,a}a 0a b=0a

∈∈≠∴+，又，

∴当b=1时，a=-1，b

{0,b}={0,-1,1}a

∴，

当b

=1a

时，∴b=a 且a+b=0，∴a=b=0(舍) ∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2. 类型二、集合的运算

例 5. 设集合{}{}|3,,|31,A x x k k Z B y y k k Z ==∈==+∈，{}|32,C z z k k Z ==+∈，

{}|61,D w w k k Z ==+∈，求,,,A B A C B C B D .

【答案】A

B A

C B C ===?,B

D D =

【解析】先将集合A 、B 、C 、D 转化为文字语言叙述，以便弄清楚它们的构成，再求其交集即可.

集合{}|3,A x x k k Z ==∈表示3的倍数所组成的集合；

集合{}|31,B x x k k Z ==+∈表示除以3余1的整数所组成的集合；集合{}|32,C x x k k Z ==+∈表示除以3余2的整数所组成的集合；集合{}|61,D x x k k Z ==+∈表示除以6余1的整数所组成的集合；

A B A C B C ∴===?,B D D =.

【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要

对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成.类似地，若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来.

举一反三：

【变式1】已知集合M={y|y=x 2-4x+3，x ∈R }，N={y|y=-x 2

-2x+8，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A. ? B. R C. {-1，9} D. [-1，9] 【答案】D

【解析】集合M 、N 均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M={y|y ≥-1}，N={y|y ≤9}，所以M ∩N={y|-1≤y ≤9}，选D.

例6. 设集合M={3，a}，N={x|x 2

-2x<0，x ∈Z}，M ∩N={1}，则M ∪N 为( ) A. {1，3，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} D. {1，3} 【思路点拨】先把集合N 化简，然后再利用集合中元素的互异性解题．【答案】D

【解析】由N={x|x 2

-2x<0，x ∈Z}可得：N={x|0

举一反三：

【变式1】（1）已知：M={x|x ≥2}，P={x|x 2

-x-2=0}，求M ∪P 和M ∩P ；

（2）已知：A={y|y=3x 2}， B={y|y=-x 2

+4}，求：A ∩B ，A ∪B ；

（3）已知集合A={-3， a 2 ，1+a}， B={a-3， a 2

+1， 2a-1}，其中a ∈R ，若A ∩B={-3}，求A ∪B. 【答案】（1）{x|x ≥2或x=-1}，{2}；（2）{y|0≤y ≤4}，R ；（3）{-4，-3，0，1，2}. 【解析】（1）P={2，-1}，M ∪P={x|x ≥2或x=-1}，M ∩P={2}.

（2）∵A={y|y ≥0}， B={y|y ≤4}， A ∩B={y|0≤y ≤4}， A ∪B=R . （3）∵A ∩B={-3}，-3∈B ，则有：

①a-3=-3?a=0， A={-3，0，1}， B={-3，1，-1}?A ∩B={-3，1}，与已知不符，∴a ≠0；

②2a-1=-3?a=-1， ∴ A={-3，1，0}， B={-4，2，-3}，符合题设条件，∴A ∪B={-4，-3，0，1，2}.

【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性.其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a 的一个值时，又要检验是否符合题设条件.

【高清课堂：集合的运算 377474 例5】

【变式2】设集合A={2，a 2-2a ，6}，B={2，2a 2

，3a-6}，若A ∩B={2，3}，求A ∪B. 【答案】｛2，3，6，18｝

【解析】由A ∩B={2，3}，知元素2，3是A ，B 两个集合中所有的公共元素，所以3∈｛2，a 2

-2a ，6｝，

则必有a 2-2a=3，解方程a 2

-2a-3=0得a=3或a=-1

当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}

∴A ∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}

这既不满足条件A ∩B={2，3}，也不满足B 中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去. 综上A ∪B=｛2，3，6，18｝

例7.已知全集{}{}

1,2,3,4,5,|40U A x x px ==++=，求C u A.

【思路点拨】C u A 隐含了A U ?，对于A U ?，注意不要忘记A =?的情形.

【答案】当44p -<<时，C u A={}1,2,3,4,5；当4p =-时，C u A={}1,3,4,5；当5p =-时，C u A={}2,3,5. 【解析】

当A =?时，方程2

40x px ++=无实数解. 此时2

160,44p p ?=-<-<<.C u A=U

当A ≠?时，二次方程2

40x px ++=的两个根12,x x ，必须属于U . 因为124x x =，所以只可能有下述情形：

当122x x ==时，4p =-，此时{}2,A = C u A={}1,3,4,5；当121,4x x ==时，5p =-，此时{}1,4,A = C u A={}2,3,5. 综上所述，当44p -<<时，C u A={}1,2,3,4,5；当4p =-时，C u A={}1,3,4,5；当5p =-时，C u A={}2,3,5.

【总结升华】求集合A 的补集，只需在全集中剔除集合A 的元素后组成一个集合即可.由于本题中集合A 的元素不确定，因此必须分类讨论才行.

举一反三：

【变式1】设全集U={x ∈N +|x ≤8}，若A ∩(C u B)={1，8}，(C u A)∩B={2，6}，(C u A)∩(C u B)={4，7}，求集合A ，B.

【答案】{1，3，5，8}，{2，3，5，6}. 【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}

由A ∩(C u B)={1，8}知，在A 中且不在B 中的元素有1，8；由(C u A)∩B={2，6}，知不在A 中且在B 中的元素有2，6；由(C u A)∩(C u B)={4，7}，知不在A 中且不在B 中的元素有4，7，则元素3，5必在A ∩B 中.

由集合的图示可得

A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}. 类型三、集合运算综合应用

例8．已知全集A={x|-2≤x ≤4}， B={x|x>a}. （1）若A ∩B ≠?，求实数 a 的取值范围；（2）若A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；

（3）若A ∩B ≠?且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围．【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点. 【答案】（1）a<4；（2）a ≥-2；（3）-2≤a<4．【解析】

(1)∵A={x|-2≤x ≤4}， B={x|x>a}，又A ∩B ≠?，如图，a<4； (2)画数轴同理可得：a ≥-2；

(3)画数轴同理可得：如图，-2≤a<4. 【总结升华】此问题从题面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题.思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题.

举一反三：

【变式1】已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（） A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞） C ．[-1，1] D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）【答案】C

【解析】P =｛x ︱11x -≤≤｝又 P M P =， ∴M P ?，∴ 11a -≤≤ 故选C ．

例9. 设集合{}{}

222|40,|2(1)10,A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈.

（1）若A B B =，求a 的值；（2）若A B B =，求a 的值. 【思路点拨】明确A B B =、A B B =的含义，根据问题的需要，将其转化为等价的关系式B A ?和A B ?，是解决本题的关键.同时，在包含关系式B A ?中，不要漏掉B =?的情况.

【答案】（1）1a =或1a ≤-；（1）2．【解析】首先化简集合A ，得{}4,0A =-. （1）由A

B B =，则有B A ?，可知集合B 为?，或为{}0、{}4-，或为{}0,4-.

①若B =?时，224(1)4(1)0a a ?=+--<，解得1a <-. ②若0B ∈,代入得2

1011a a a -=?==-或.

当1a =时，{}

{}2|400,4,B x x x A =+==-=符合题意；当1a =-时，{}

{}2|00,B x x A ===?也符合题意. ③若4B -∈，代入得2870a a -+=，解得7a =或1a =. 当1a =时，已讨论，符合题意；

当7a =时，{}

{}2|1648012,4B x x x =++==--，不符合题意. 由①②③，得1a =或1a ≤-. （2）,A

B B A B =∴?.又{}4,0A =-，

而B 至多只有两个根，因此应有A B =，由（1）知1a =. 【总结升华】两个等价转化：,A B B A B A B B B A =??=??非常重要，注意应用.另外，

在解决有条件A B ?的集合问题时，不要忽视A ≠?的情况.

举一反三：

【变式1】已知集合{}{}

2,|120A B x x ax a =-=++-=，若A

B B =,求实数a 的取值范围.

【答案】4,a ≥或4a <- 【解析】

A B B =,B A ∴?.

①当B =?时，此时方程2

120x ax a ++-=无解，由0?<，解得4,a >或4a <-.

②当B ≠?时，此时方程22

120x ax a ++-=有且仅有一个实数解-2，

0∴?=，且22(2)2120a a --+-=，解得4a =.

综上，实数a 的取值范围是4,a ≥或4a <-.

【变式2】设全集U R =，集合{}{}|12,|40A x x B x x p =-≤≤=+<，若B C u A ，求实数p 的取

值范围.

【答案】4p ≥

【解析】 C u A={}

|1,2x x x <->或，|4p B x x ??=<-????

B C

u A ，∴14

≤-，即4p ≥.∴实数p 的取值范围是4p ≥.

高一数学必修1知识点总结

高中高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集

人教版高二数学上册各章节知识点

人教版高二数学上册各章节知识点集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

不等式单元知识总结一、不等式的性质 1．两个实数a 与b 之间的大小关系 2．不等式的性质 (4) (乘法单调性) 3．绝对值不等式的性质 (2)如果a ＞0，那么 (3)|a ·b|＝|a|·|b|． (5)|a|－|b|≤|a ±b|≤|a|＋|b|． (6)|a 1＋a 2＋……＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋……＋|a n |．二、不等式的证明 1．不等式证明的依据 (2)不等式的性质(略) (3)重要不等式：①|a|≥0；a 2≥0；(a －b)2≥0(a 、b ∈R) ②a 2＋b 2≥2ab(a 、b ∈R ，当且仅当a=b 时取“=”号) 2．不等式的证明方法 (1)比较法：要证明a ＞b(a ＜b)，只要证明a －b ＞0(a －b ＜0)，这种证明不等式的方法叫做比较法．用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号． (2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法．

(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法．证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等．三、解不等式 1．解不等式问题的分类 (1)解一元一次不等式． (2)解一元二次不等式． (3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式． ①解一元高次不等式； ②解分式不等式； ③解无理不等式； ④解指数不等式； ⑤解对数不等式； ⑥解带绝对值的不等式； ⑦解不等式组． 2．解不等式时应特别注意下列几点： (1)正确应用不等式的基本性质． (2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性． (3)注意代数式中未知数的取值范围． 3．不等式的同解性

人教版高中数学必修一知识点总结

高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。注意：B ?/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

高中数学必修一知识点总结完整版

高中数学必修 1 知识点总结集合（1）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 x A x ，则 A ，即是的子集。 B B A B 、若集合中有个元素，则集合的子集有 2 n 个，真子集有 (2 n -1) 个。 1 A n A 、任何一个集合是它本身的子集，即 A A 注 2 关系、对于集合 A,B,C, 如果 A ，且 B C, 那么 A C. 3 B 、空集是任何集合的（真）子集。 4 真子集：若且（即至少存在 x 0 但），则是的真子集。集合 ABAB B x 0 A A B 集合相等： A 且 A B A B B 集合与集合定义： A B x / x 且 x B 交集 A 性质：，，，， AAAA ABBAABA,ABBAB A 定义： A B x / x 或 x B 并集 A 性质：，，，，，运算 AAAA AABBAABAABBAB A Card( A B) Card( A) Card( B) - Card( A B) 定义： C U A x/ x U 且x A A 补集性质： A) A ， A U ， C U (C U A) ，， (C U (C U A) A C U (A B) (C U A) (C U B) C U (A B) (C U A) (C U B) 函数

新人教版高中数学必修知识点总结

高中数学必修2知识点总结第一章空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥' ''''E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 (1)定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 (2)画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等

高一数学必修1知识网络

高一数学必修1知识网络 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????? ???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，，定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ???? ?????????? ???????? ?????????????????????? ??????????????????????=???????

人教版高中数学知识点汇总

高中数学主要知识点必修1数学知识第一章、集合与函数概念 §、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。记作B A ?. 2、如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集. §、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集{|,}U C A x x U x U =∈?且运算类型交集并集补集定义由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A I B （读作‘A 交B ’），即A I B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝．由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作： A Y B （读作‘A 并 B ’），即A Y B ={x|x ∈A ，或x ∈B})．设S 是一个集合，A 是S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集）记作A C S ，即 C S A=},|{A x S x x ?∈且韦恩图示 A B 图1 A B 图2 S A

高中数学必修一知识点总结(全)

第一章集合与函数概念课时一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人…… （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

人教版高中数学知识点汇总(全册版)

人教版高中数学知识点（必修＋选修）高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有2 2n -非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 B {x A A = ?=? B A ? B B ? B {x A A A = A A ?= A B A ? B B ? A {|x x ()U A =? e 2()U A A U =e 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（2）一元二次不等式的解法 0) ()()()U U A B A B =痧?()()() U U A B A B =痧?

高中数学必修知识点总结

高中数学必修知识点总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

必修 4 第一章三角函数一、任意角和弧度制 1.任意角（1）角的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角，射线的起始位置叫做角的始边，终止位置叫做角的终边.按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果射线没有作任何旋转，则形成零角.在坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的终边与x轴的正半轴重合，则角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. （2）终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合（3）坐标轴上的角： 2.弧度制（1）定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. （2）计算：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α弧度数的绝对值是其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定.

注意：弧长公式:=l r α. 扇形面积公式:211 22 = =S lr r α. （3）换算:360°＝2π 180°＝π 说明：①1800＝π是所有换算的关键，如ππ====,18018030456644；②πm n 形式的角当n ＝2，3，4，6时都是特殊角. 二、任意角的三角函数 1.任意角三角函数的定义（1）定义：设P (x ,y )是角α终边上任意一点,=>OP r 0,则有（2）三角函数值的符号：口诀：一全二正弦，三切四余弦. 注：一二三四指象限，提到的函数为正值，未提到的为负值. 2.同角三角函数的基本关系 sin 2α+cos 2α=1 三、三角函数的诱导公式 1.诱导公式口诀2：函数名改变，符号看象限. 四、三角函数的图象与性质 1.正、余弦函数的图象 2.正、余弦函数的性质（2）最值 ①y =sin x ：当22 =+ x k ππ时，取得最大值1，

高一数学必修一各章知识点总结技巧解答

高一数学必修1各章知识点总结一、集合 1、集合的中元素的三个特性： 2、集合的表示方法：列举法与描述法、图示法非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数R 二、集合间的基本关系 1.?包含?关系—子集注意：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A 与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．?相等?关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等? 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

例题： 1.下列四组对象，能构成集合的是（） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a ，b ，c }的真子集共有个 3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0}，则M 与N 的关系是 . 4.设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= . 7.已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A ∩C=Φ，求m 的值

高中数学必修知识点有那些

高中数学必修知识点有那些？今天给大家整理的是高中数学必修一知识点集合相关内容，暑假打算预习新知识的同学们，可以参考一下，在以后的学习中，也可以尝试每周做一次这样的小结，可作为后期考试的一个参考资料。来一起看下吧！必修1：一、集合1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性（2）集合的分类；有限集，无限集（3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法 2、集合间的关系：子集：对任意x A ∈，都有 x B ∈，则称A 是B 的子集。记作A B ? 真子集：若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集，记作A ≠ ?B 集合相等：若：,A B B A ??,则A B = 3. 元素与集合的关系：属于∈ 不属于：? 空集：φ 4、集合的运算：并集：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为 A B 交集：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B 补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，记为U C A 5．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个； 6.常用数集：自然数集：N 正整数集：* N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 二、函数的奇偶性 1、定义：奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域） 2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；（2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形；（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；（4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．

高一数学必修1知识点总结

高中数学必修1知识点第一章、集合综合应用题；单调性、奇偶性证明与应用；第二章、指数幂与对数的运算；指数函数与对数函数性质的应用；第三章、零点问题，尤其是二次函数的零点、二次函数根的分布。第一章集合与函数概念一、集合有关概念： 1、集合的含义： 2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 3、集合的表示：（Ⅰ）列举法：（Ⅱ）描述法： 4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）N ；正整数集N*或N+ ；整数集Z；有理数集Q；实数集R 5、“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a A 6、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系集合相等，子集，真子集，空集等定义规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算 1．交集、并集、全集与补集的定义 2.性质：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A. ⑴C U(C U A)=A ⑵(C U A)∩A=Φ⑶(C U A)∪A=U (4)(C U A)∩(C U B)=C U(A∪B) (5)(C U A)∪(C U B)=C U(A∩B) 二、函数的有关概念 1．函数的概念：(看课本) 注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是

人教版高中数学必修一知识点和重难点

人教版高中数学必修一————各章节知识点与重难点第一章集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示【知识要点】 1、集合的含义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 2、集合的中元素的三个特性（1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 2、“属于”的概念我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ??表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, ??表示元素如：如果a是集合 A 的元素，就说a属于集合 A 记作a∈A，如果a不属于集合 A 记作 a A 3、常用数集及其记法非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集记作：N* 或N+ ；整数集记作：Z；有理数集记作：Q；实数集记作：R 4、集合的表示法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。（2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。 ①语言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝ ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2 的解集是｛x∈R| x-3>2｝或｛x| x-3>2｝（3）图示法（Venn 图） 1.1.2 集合间的基本关系【知识要点】 1、“包含”关系——子集一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合B的子集，记作 A B 2、“相等”关系如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合 A 等于集合B，即：A=B A B且B A 3、真子集如果 A B,且 A B那就说集合A是集合B的真子集，记作 A B（或 B A） 4、空集不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. 1.1.3 集合的基本运算【知识要点】 1、交集的定义一般地，由所有属于 A 且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A∩B（读作“A 交B”），即A∩B=｛x| x∈A，且x∈B｝． 2、并集的定义一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A ∪B（读作“A 并B”），即A∪ B={x | x∈A，或x∈B}．

高中数学必修知识点归纳

必修2知识点归纳第一章空间几何体 1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体表示的几何体；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（3）（4）物体表示的几何体。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 1、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。（1）定义：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等” 2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形. 3、斜二测画法的基本步骤： ①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系' '' x O y ∠，使''' xOy ∠=450（或1350 ），注意它们确定的平面表示水平平面； ③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘ 轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘ 轴，且长度变为原来的一半；一般地，原图的面积是其直观图面积的22倍，即22S S 原图直观＝ 4、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积：l R l r S ??+??=ππ侧面 ⑷体积公式： h S V ?=柱体；h S V ?=3 1 锥体； ()1 3 V h S S S S =+?+下下台体上上 ⑸球的表面积和体积： 323 4 4R V R S ππ==球球，.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。第二章点、直线、平面之间的位置关系及其论证 1 、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 ,,A l B l l A B ααα ∈∈???? ∈∈? 公理1的作用：判断直线是否在平面内 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。若A ，B ，C 不共线，则A ，B ，C 确定平面α 推论1：过直线的直线外一点有且只有一个平面若A l ?，则点A 和l 确定平面α 推论2：过两条相交直线有且只有一个平面若m n A =，则,m n 确定平面α 推论3：过两条平行直线有且只有一个平面若m n ，则,m n 确定平面α 公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 ,P P l P l αβαβ∈∈?=∈且公理3作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。 4、公理4：也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.,a b c b a c ? 公理4作用：证明两直线平行。 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 ,1212a a b b ''∠∠?∠∠且与方向相同＝ ,1212180a a b b ''∠∠?∠+∠?且与方向相反＝作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。, ,,a b a b A a b =异面（1）没有任何公共点的两条直线平行（2）有一个公共点的两条直线相交（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 7、线面位置关系： S 侧＝2πr ?l AB=2πr r r l l A B A L θ?l (注：扇形的弧长等于圆心角乘以半径.提醒圆心角为弧度角，例如60° π 3 弧度， 45° π4弧度，90° π2 弧度等等) 圆锥的侧面展开图是扇形，扇形面积S 扇形 1 2 弧长半径的长图中：扇形的半径长为l ，圆心角为θ，弧AB θl l l h r B V O 2 O 1h l r R d=R 2-r 2 R r d O 1 O 简单组合体 l B A α B A α C l α A l m α A m n α P · α L β a b b a b ' a ' 方向相反则∠1+∠2＝180°方向相同则 ∠1＝∠2 21 2 1 a ' b ' (2) α a (3) α a A b αa A

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高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用 ⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量 ⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集 B A ? （或 )A B ? A 中的任一元素都属于B (1)A ?A (2)A ?? (3)若B A ?且B C ?，则A C ? (4)若B A ?且B A ?，则A B = A(B) 或B A 真子集 A ≠ ?B （或 B A ?，且B 中至少有一元素不属于 A （1）A ≠ ??（A 为非空子集） (2)若A B ≠ ?且B C ≠ ?，则A C ≠ ? B A

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高中数学必修3知识点第一章算法初步 1.1.1算法的概念 1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成. 2. 算法的特点: (1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的. (2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可. (3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题. (4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2程序框图 1、程序框图基本概念：（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。

（二）构成程序框的图形符号及其作用学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下： 1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A 框和B 框是依次执行的，只有在执行完A 框指定的操作后，才能接着执行B 框所指定的操作。 2、条件结构：

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高中数学必修1知识点总结集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????????=∈∈???=??=?=???????????=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，，定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ???? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=??????? 函数

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