立体几何证明(平行垂直)共4题(无空间向量)

A

C

B

1、如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC -3AC =，5AB =，4BC =，14AA =，点D 是AB

（1）求证：1AC BC ⊥； （2）求证：11//AC CDB 平面 （3）求三棱锥11A B CD -的体积.

2、如图，在三棱锥P ABC -中，点,E F 分别是棱,PC AC 的中点． (1)求证：PA //平面BEF ；

(2)若平面PAB ⊥平面ABC ，PB BC ⊥，求证：

BC PA ⊥．

3、如图，在三棱锥P ABC -中，90ABC ∠= ，PA ⊥平面ABC ，E ,F 分别为PB ,PC 的中点. （1）求证：//EF 平面ABC ； （2）求证：平面AEF ⊥平面PAB .

A

B

C

D

P

M

N

4、如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M,N 分别是AB,PC 的中点. (1)求证：MN ∥平面PAD ； (2)求证：MN ⊥DC ；

参考答案

1、【答案】（1）证明：在ABC ?中，由勾股定理得

ABC ?为直角三角形，即BC AC ⊥．又⊥1CC 面ABC ，AC CC ⊥∴1，C BC CC =?1，⊥∴AC 面1BCC ，1BC AC ⊥∴；

（2）证明：设C B 1交1BC 于点E ，则E 为1BC 的中点，连接DE ，则DE 为1ABC ?的中位线，

则在1ABC ?中，DE ∥1AC ，又?DE 面1CDB ，则1AC ∥面CD B 1； (3)811=-CD B A V .

（1）由勾股定理得BC AC ⊥，由⊥1CC 面ABC 得到AC CC ⊥1，从而得到⊥AC 面1BCC ，故1AC BC ⊥；（2）连接C B 1交1BC 于点E ，则DE 为1ABC ?的中位线，得到DE ∥1AC ，从而得到1AC ∥面CD B 1；（3）过C 作AB CF ⊥垂足为F ，⊥CF 面11A ABB ，面积法求CF ，求出三角形11A DB 的面积，代入体积公式进行运算. （1）证明：在ABC ?中，由勾股定理得ABC ?为直角三角形，即BC AC ⊥． 又⊥1CC 面ABC ，AC CC ⊥∴1，C BC CC =?1，⊥∴AC 面1BCC ，

1BC AC ⊥∴.

（2）证明：设C B 1交1BC 于点E ，则E 为1BC 的中点，连接DE ，则DE 为1

ABC ?的中位线，

则在1ABC ?中，DE ∥1AC ，又?DE 面1CDB ，则1AC ∥面CD B 1． （3）在ABC ?中过C 作AB CF ⊥垂足为F ，

由面11A ABB ⊥面ABC 知，⊥CF 面11A ABB ，1111D B A C CD B A V V --=∴． 而1021452111111=??=?=

?AA B A S B DA ，5

12

543=?=?=AB BC AC CF ，

85

12

103111=??=

∴-CD B A V . 2、【答案】

（1）题中条件出现了两个中点，故可考虑利用三角形中位线得到线线平行从而得到线面平行：即有//PA EF ，PA ?平面BEF ，EF ?平面BEF ，//PA 平面BEF ；（2）由题中条件平面PAB ⊥平面ABC ，故可首先由面面垂直得到线面垂直，因此在平面

PAB 内过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ，则有PD ⊥平面ABC ，结合条件BC PB ⊥，

可得⊥BC 平面PAB ，从而PA BC ⊥.

（1）在PAC ?中，∵E 、F 分别是PC 、AC 的中点，∴//PA EF ， 又∵PA ?平面BEF ，EF ?平面BEF ，∴//PA 平面BEF ； （2）如图，在平面PAB 内过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ．

∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB 平面ABC AB =，PD ?平面PAB ， ∴PD ⊥平面ABC ，

又∵BC ?平面ABC ，∴PD BC ⊥，

又∵PB BC ⊥，PD PB P = ，PD ?平面PAB ，PB ?平面PAB ， ∴BC ⊥平面PAB ，

∵?PA 平面PAB ，∴BC PA ⊥．

3、【答案】（1）见解析；（2）见解析

（1）由E 、F 分别为PB 、PC 中点根据三角形中位线定理知EF ∥BC ，根据线面平行的判定知EF ∥面ABC ；（2）由PA ⊥面PABC 知，PA ⊥BC ，结合AB ⊥BC ，由线面垂直的判定定理知，BC ⊥面PAB ，由（1）知EF ∥BC ，根据线面垂直性质有EF ⊥面PAB ，再由面面垂直判定定理即可证明面AEF ⊥面PAB.

证明:（1）在PBC ?中，F E , 分别为PC PB ,的中点BC EF //∴ 又?BC 平面ABC ，?EF 平面ABC //EF ∴平面ABC （2）由条件，⊥PA 平面ABC ，?BC 平面ABC

BC PA ⊥∴?=∠90ABC ，即BC AB ⊥，

由//EF BC ，∴EF AB ⊥，EF PA ⊥

又A AB PA =?，AB PA ,都在平面PAB 内EF ∴⊥平面PAB 又?EF 平面AEF ∴平面AEF ⊥平面PAB 4、【答案】

（1）令E为PD的中点，连接AE，NE，根据三角形中位线定理，及中点的定义，我们易判断MN∥AE，结合线面平行的判定定理，即可得到MN∥平面PAD；（2）根据已知中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，我们易结合线面垂直的判定定理，得到DC⊥平面PAD，进而得到DC⊥AE，由（1）中AE∥MN，根据两条平行线与同一条直线的夹角相等，即可得到结论．

（1）设PD的中点为E，连AE,NE，则易得四边形AMNE是平行四边形，则MN∥AE，??

平面平面，所以MN∥平面PAD

MN PAD AE PAD

,

?平面，∴PA⊥CD

（2）∵PA⊥平面ABCD，CD ABCD

?平面

又AD⊥CD,PA∩DA=A，∴CD平面PAD，∵AE PAD

∴CD⊥AE∵MN∥AE∴MN⊥DC

利用空间向量解立体几何 完整版

向量法解立体几何 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离

点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为PQ =u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ u u u r 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法

用空间向量证明线线垂直与线面垂直

第二节 用空间向量证明线线垂直与线面垂直 一、空间向量及其数量积 1、 在空间,既有大小又有方向的量称为空间向量。用或a 表示,其中向量的大小称为向量的长度或模, 或a 。正如平面向量可用坐标(x,y.)表示,空间向量也可用坐标（x,y,z)表示。若已知点Ａ坐标为(x 1，ｙ1，ｚ1),点B 坐标为（ｘ2,y 2，z 2) 则向量=(x 2 －ｘ1，y 2－ y １,z ２ -z 1）即是终点坐标减起点坐标。 在空间,知道向量=(ｘ,y ，z) 222z y x ++ 2、 空间向量数量积 ① 已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点Ｏ,作OA ＝a ，OB =b ,则角∠A ＯB 叫向量a 与b 的 夹角,记作＜，＞规定，若０≤<，＞≤π,若＜,>= 2 π ,称与垂直,记作⊥。 ② 已知空间两个向量、, 则 ＣOS ＜，＞叫向量、的数量积，记作a ? COS ＜,>若⊥?a ? ＝0 ③ 若已知空间向量＝（ｘ1，y 1，z 1）, ＝（x 2,ｙ2，z ２） 则a ?b =x １x 2+y １ｙ2+z 1z 2 , COS<,> 2 2 2 22 22 12 12 12 12121z y x z y x z z y y x x ++?++++= 例１ 如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C １中，∠B ＣA=９０0,D 1、E 1分别为Ａ1B 1、A 1C １中点,若BC=ＣA ＝C Ｃ1，求向量1BD 与1AE 所成角的余弦值。 C 1 B 1 Ａ1 Ａ Ｃ Ｂ D 1 E 1

E D A 1 F D 1 A B 1 C B C 1

1111D C B A 中,11E B =11F D = 4 1 1B A ,求向量1BE 与1DF 所成角的余弦值。 二 、利用向量证线线垂直与线面垂直 例2 在正方体ＡB ＣD —1111D C B A 中,求证Ａ1C ⊥平面AB 1D 1 练习：在正方体ABCD —1111D C B A 中,Ｏ为底面ABCD 的中心,Ｐ为ＤＤ1的中点， 求证：Ｂ1O ⊥平面PAC 。 例3 如图,PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M, Ｎ分别是AB ，P Ｃ中点 (1)求证：M N ⊥CD (2)若∠P ＤA=４５0 ，求证：MN ⊥平面P ＣD B A D C B A C D B 1 A 1 D C B A C 1 D 1 O P C D P N

立体几何中的向量方法—证明平行和垂直

2017届高二数学导学案编写 审核 审批 课题：立体几何中的向量方法—证明平行和垂直 第 周 第 课时 班 组 组评 姓名 师评 【使用说明】 1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】 理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【学习方法】学案导学法，合作探究法。 【自主学习·梳理基础】 1、 考点深度剖析 利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向． 2．【课本回眸】 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB → 为直线l 的方向向量，与AB → 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量． ②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量， 则求法向量的方程组为??? ?? n·a ＝0， n·b ＝0. 2.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. ②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝xv 1＋yv 2. ③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . ④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1∥u 2. 3. 用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. ②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 4.共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)， a ⊥ b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． 【课堂合作探究】 探究一：如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中， N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在 棱 1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP . 当1=λ时，证明：直线//1BC 平面EFPQ . 探究二：如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明： (1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .

利用空间向量证明线线垂直

利用空间向量证明线线垂直 1.如图，在四棱锥S?ABCD中，SA⊥底面ABCD，四边形ABCD 是边长为1的正方形，且SA=1，点M是SD的中点． 求证：SC⊥AM 2.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC， AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上， 且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点． 求证：C1M⊥B1D 3.如图，正三棱柱ABC?A1B1C1中，底面边长为√2．设侧棱长为1， 求证：AB1⊥BC1

4.如图，在四棱锥中，底面，，， ，，点E为棱PC的中点．证明： 5.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3， 点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点． 求证：C1M⊥B1D 6.如图所示，直三棱柱ABC?A′B′C′的侧棱长为4，AB⊥BC，且AB=BC=4，点D， E分别是棱AB，BC上的动点，且AD=BE． 求证：无论D在何处，总有B′C⊥C′D

答案和解析 1.解：证明：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AS 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则S(0,0，1)，C(1,1，0)，A(0,0，0)，M(0,12,12)，∴SC ????? =(1,1，?1)，AM ?????? =(0,12,1 2 )， ∴SC ????? ?AM ?????? =12?12=0，∴SC ⊥AM ． 2.解：根据题意，以C 为原点，CA ????? ，CB ????? ，CC 1??????? 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立 空间直角坐标系，如图所示， 则C(0,0，0)，A(2,0，0)，B(0,2，0)，C 1(0,0，3)，A 1(2,0，3)，B 1(0,2，3)，D(2,0，1)， E(0,0，2)，M(1,1，3)，证明：依题意，C 1M ???????? =(1,1，0)，B 1D ???????? =(2,?2,?2)， ∴C 1M ???????? ·B 1D ???????? =2?2+0=0，∴C 1M ???????? ⊥B 1D ???????? ，即C 1M ⊥B 1D ； 3.证明：(1)AB 1??????? =AB ????? +BB 1??????? ，BC 1??????? =BB 1??????? +BC ????? ．因为BB 1⊥平面ABC ， 所以BB 1??????? ?AB ????? =0，BB 1??????? ?BC ????? =0．又△ABC 为正三角形， 所以=π?=π?π3=2π3．因为AB 1??????? ?BC 1??????? =(AB ????? +BB 1??????? )?(BB 1??????? + BC ????? )=AB ????? ?BB 1??????? +AB ????? ?BC ????? +BB 1??????? 2 +BB 1??????? ?BC ????? =|AB ????? |?|BC ????? |?cos +BB 1??????? 2=?1+1=0，所以AB 1⊥BC 1． 4.证明：(1)依题意，以点A 为原点建立空间直角坐 标系(如图)， 可得B(1,0，0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0，2)． 由E 为棱PC 的中点，得E(1,1，1) 向量BE ????? =(0,1，1)，DC ????? =(2,0，0)，

空间向量及立体几何练习试题和答案解析

. 1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD， 点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． 的中点；PB（1）求证：M为 的大小；A2）求二面角B﹣PD﹣（ 所成角的正弦值．BDP（3）求直线MC与平面 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，

∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， . . ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C （2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，）， ，．

用向量方法证明直线垂直,求两直线夹角

3.2．2用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 学习目标： 1、进一步理解向量的坐标表示和坐标运算 2、能建立适应的空间直角坐标系并利用坐标方法求空间两个向量的夹角 3、利用向量的数量积解决与立体几何有关的问题 复习回顾 1、 向量数量积的运算及其性质？ 2、 向量夹角与线线夹角的联系与区别？ 3、 如何求向量的夹角？ 一、课前达标： 1、异面直线所成的角： 分别在直线n m ,上取定向量,,b a 则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a ,所成的角或其补角（如图1所示）， 则 .||||| |cos b a b a ??=θ 2、预习检测 （1）如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，求证EF ⊥DA 1 . （2）如图，在正方体ABCDA ′B ′C ′D ′中，E `1 、F 1分别是A 1B `1、C 1D 1的四等分点，求BE 1与DF 1所成的角．

二、典例分析： 1、建立坐标系证明线线垂直，求夹角 例3 在棱长为1的正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、BD 的中点，G 在CD 上，且CG ＝CD/4，H 为C 1G 的中点，⑴求证：EF ⊥B 1C ；⑵求EF 与C 1G 所成角的余弦值；⑶求FH 的长。 注意思考： （1） 如何建立坐标系、把已知条件转化为向量表示？ （2） 如何对已经表示出来的向量进行运算才可获得所需结论？ 巩固练习：练习A 1 练习B 1 2、选取基向量求解线线夹角：例4、（见课本100页） O -A B C ,O A =4,O B =5,O C =3; A O B =B O C = C O A =90,M ,N O A ,B C M N ,B C ∠∠∠三棱锥分别是中点，求直线所成角 注意：基向量的选取；如何用基向量来表示未知向量。 巩固练习：练习B 3 三：作业：如下图，直棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.

利用空间向量证明面面平行垂直

利用空间向量证明面面平行垂直 1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．证 明：平面ADE⊥平面A1D1F. 2.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1 上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．求证：平面EGF//平面ABD 3.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD， PA=1，M为侧棱PD的中点．证明：平面MAC⊥平面PCD

4.如图，四边形是矩形，平面，，为中点． 证明：平面平面 5.如图，在底面是矩形的四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4， E是PD的中点．求证：平面PDC⊥平面PAD 6.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点． 求证：平面EAC⊥平面AB1C

7.如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点． 求证：平面ABB1A1⊥平面A1BD PD。 8.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD//QA，QA=AB=1 2证明：平面PQC⊥平面DCQ

答案和解析 1.解：以D 为原点，向量DA ????? ，DC ????? ，DD 1???????? 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系如图， 设正方体的棱长为1． 则D(0,0，0)，A(1,0，0)，E (1,1,1 2)，C 1(0,1，1)，M (1,0,1 2)， DA ????? =(1,0，0)，DE ?????? =(1,1,12)，C 1M ???????? =(1,?1,?1 2 )． 设平面ADE 的法向量为m ??? =(a,b ，c)， 则{DA ????? ·m ??? =0 DE ?????? ·m ??? =0?{a =0,a +b +12 c =0.令c =2，得m ??? =(0,?1,2)， 由D 1(0,0，1)，A 1(1,0，1)，F (0,12,0)，得D 1A 1?????????? =(1,0，0)，D 1F ??????? =(0,1 2 ,?1)， 设平面A 1D 1F 的法向量为n ? =(x,y ，z)，则{D 1A 1?????????? ·n ? =0D 1F ??????? ·n ? =0?{x =0,12y ?z =0. 令y =2，则n ? =(0,2，1)．∵m ??? ·n ? =(0,?1,2)·(0,2，1)=0?2+2=0， ∴m ??? ⊥n ? .∴平面ADE ⊥平面A 1D 1F . 2.证明：如图所示建立空间直角坐标系， 设AB =a ，则A 1(a,0，0)，B 1(0,0，0)，C 1(0,2，0)，F(0,1，0)，E(0,0，1)， A(a,0，4)，B(0,0，4)，D(0,2，2)，G(a 2,1，0)． 所以B 1D ???????? =(0,2，2)，AB ????? =(?a,0，0)，BD ?????? =(0,2，?2)． AB ????? =(?a,0，0)，BD ?????? =(0,2，?2)，GF ????? =(?a 2,0，0)，EF ????? =(0,1，?1)，所以AB ????? =2GF ????? ，BD ?????? =2EF ????? ，所以GF ????? //AB ????? ，EF ????? //BD ?????? ?所以GF // AB ，EF // BD ． 又GF ∩EF =F ，AB ∩BD =B ，所以平面EGF //平面ABD ．

高中数学讲义微专题64 空间向量解立体几何(含综合题习题)

微专题64 利用空间向量解立体几何问题 一、基础知识 （一）刻画直线与平面方向的向量 1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如：()()2,4,6,3,0,2A B ，则直线AB 的方向向量为()1,4,4AB =-- 2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面α垂直的直线称为平面α的法线，法线的方向向量就是平面α的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？ （1）所需条件：平面上的两条不平行的直线 （2）求法：（先设再求）设平面α的法向量为(),,n x y z =，若平面上所选两条直线的方向向量分别为()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则可列出方程组： 1112220 x y z x y x y z x y z z ++=?? ++=? 解出,,x y z 的比值即可 例如：()()1,2,0,2,1,3a b ==，求,a b 所在平面的法向量 解：设(),,n x y z =，则有20230x y x y z +=??++=? ，解得：2x y z y =-??=? ::2:1:1x y z ∴=- ()2,1,1n ∴=- （二）空间向量可解决的立体几何问题（用,a b 表示直线,a b 的方向向量，用,m n 表示平面 ,αβ的法向量） 1、判定类 （1）线面平行：a b a b ?∥∥ （2）线面垂直：a b a b ⊥?⊥ （3）面面平行：m n αβ?∥∥ （4）面面垂直：m n αβ⊥?⊥ 2、计算类： （1）两直线所成角：cos cos ,a b a b a b θ?==

向量法证明线面平行及垂直问题教案

龙文学校——您值得信赖的专业化个性化辅导学校 龙文学校个性化辅导教案提纲 教师：_______ 学生：_______ 年级：______ 授课时间：_____年___月___日_____——_____段 一、授课目的与考点分析：向量法证明线面平行及垂直 掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，会找直线的方向向量和平面的法向量，并通过它们研究线面关系，会用向量法求空间距离． 二、授课内容及过程： 考点1.利用空间向量证明空间垂直问题 例1:已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=12 AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.证明：CM ⊥SN ； 证明：设PA=1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴正向建立空 间直角坐标系如图，则P （0,0,1），C （0,1,0），B （2,0,0），M （1,0, 12），N （12,0,0），S （1,12,0）111(1,1,),(,,0)222 CM SN =-=--, 因为110022 CM SN ?=-++=， 所以CM ⊥SN . 【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通 过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直. 例2:在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点，CF =AB =2CE , 1::AB AD AA = 1:2:4.证明AF ⊥平面1A ED 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设1AB =,依题意得 (0,2,0)D ,(1,2,1)F , 1(0,0,4)A ,31,,02E ?? ??? 已知(1,2,1)AF =,131,,42EA ? ?=-- ???,11,,02ED ??=- ?? ?于是AF ·1EA =0，AF ·ED =0.因此，1AF EA ⊥,AF ED ⊥,又1EA ED E ?= 所以AF ⊥平面1A ED 【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法 向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量 法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可. 例3：在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ， //PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==. 求证：平面EFG ⊥平面PDC . 解析：以A 为原点，向量DA ,AB ,AM 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，如

证明直线与直线垂直(空间向量)

证明线线垂直 在棱长为a 的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别是AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ，求证：A 1F ⊥C 1E . 【证明】 以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设AE ＝BF ＝x ，∴E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)． ∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E → ＝(a ，x －a ，－a )． ∵A 1F →·C 1E →＝(－x ，a ，－a )·(a ，x －a ，－a )＝－ax ＋ax －a 2＋a 2＝0， ∴A 1F →⊥C 1E → ，即A 1F ⊥C 1E . 例1：已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝ 1 4 CC 1. 求证：AB 1⊥MN . 解答：法一 设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→ ＝c ，则由已知条件和正三棱柱的性质，得 |a |＝|b |＝|c |＝1，a ·c ＝b ·c ＝0，AB 1→＝a ＋c ，AM →＝1 2(a ＋b )， AN →＝b ＋14c ，MN →＝AN →－AM → ＝－12a ＋12b ＋14 c ， ∴AB 1→·MN → ＝(a ＋c )·(－12a ＋12b ＋14c )＝－12＋12cos 60°＋0－0＋0＋14＝0. ∴AB 1→⊥MN → ，∴AB 1⊥MN . 法二 设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1. 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得 A (－12，0,0)，B (12，0,0)，C (0，32，0)，N (0，32，14)，B 1(1 2 ，0,1)，

利用空间向量解立体几何完整

利用空间向量解立体几何(完整版)

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向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 基本思路与方法 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系

线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+-u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 002 2 Ax By C A B +++ 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ u u u r 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤：

向量方法(一)证明平行与垂直

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合.( ) (4)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行.( ) 2.已知平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，3，5)，n 2＝(－3，1，－4)，则( ) A.α∥β B.α⊥β C.α，β相交但不垂直 D.以上均不对 3.若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则( ) A.l ∥α B.l ⊥α C.l ?α D.l 与α相交 4.已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A.(－1，1，1) B.(1，－1，1) C.??? ?－33，－33，－33 D.????33，33，－33 5.所图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的 中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________. 最新考纲 1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 知识梳理 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a 为直线l 的方向向量. (2)平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量. 2.空间位置关系的向量表示

3.2(二)向量方法证明空间线面垂直关系

学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理. 知识点一 向量法判断线线垂直 思考 若直线l 1的方向向量为μ1＝(1，3，2)，直线l 2的方向向量为μ2＝(1，－1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？ 答案 l 1与l 2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l 1与l 2垂直. 判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A 、B 与C 、D ，计算向量AB →与CD →的坐标，若AB →·CD → ＝0，则两直线垂直，否则不垂直. (2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直. 梳理 设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 知识点二 向量法判断线面垂直 思考 若直线l 的方向向量为μ1＝????2，43，1，平面α的法向量为μ2＝????3，2，3 2，则直线l 与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？ 答案 垂直，因为μ1＝2 3μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直 线l 与平面α垂直. 判断直线与平面的位置关系的方法： (1)直线l 的方向向量与平面α的法向量共线?l ⊥α. (2)直线的方向向量与平面的法向量垂直?直线与平面平行或直线在平面内. (3)直线l 的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直?l ⊥α. 梳理 设直线l 的方向向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量μ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α?a ∥μ

用空间向量解立体几何问题方法归纳

用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α?a ⊥u ?a ·u ＝0?a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥u ?a ＝k u ?a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β?u ∥v ?u ＝k v ?a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求证：平面P AD ⊥平面PDC . [证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ? ????1 2，1，12， F ? ????0，1，12，EF ＝? ?? ?? －12，0，0，PB ＝(1,0，－1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)． (1)因为EF ＝－1 2AB ，所以EF ∥AB ，即EF ∥AB . 又AB ?平面P AB ，EF ?平面P AB ，所以EF ∥平面P AB . (2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，AP ?平面P AD ，AD ?平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD .因为DC ?平面PDC ， 所以平面P AD ⊥平面PDC . 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直. 例2、在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上， 且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点． 求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD .

用空间向量证明线线垂直与线面垂直教案资料

用空间向量证明线线垂直与线面垂直

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 第二节 用空间向量证明线线垂直与线面垂直 一、 空间向量及其数量积 1、在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。用AB 或表示，其中向量的大小称为 或a 。正如平面向量a 可用坐标(x,y.)表示，空间向量a 也可用坐标(x,y,z)表示。若已知点A 坐标为（x 1，y 1，z 1）,点B 坐标为（x 2，y 2，z 2） 则向量AB =（x 2 -x 1，y 2- y 1，z 2 -z 1）即是终点坐标减起点坐标。 在空间，知道向量a =（x ，y ，z 222z y x 2、空间向量数量积 ① 已知两个非零向量、，在空间任取一点O ，作=，=，则角∠AOB 叫向量a 与b 的夹角，记作＜a ，b ＞规定，若0≤＜a ，b ＞≤ ，若＜a ，b ＞=2 ，称a 与b 垂直，记作a ⊥b 。 ② 已知空间两个向量、 ＜，＞叫向量、的数量积，记作a ＜a ，b ＞若a ⊥b b a ＝０ ③ 若已知空间向量＝（x 1，y 1，z 1）， ＝（x 2，y 2，z 2） 则a ?b ＝x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 ， COS ＜a ， 2 2 2 22 22 12 12 12 12121z y x z y x z z y y x x 例１ 如图，已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=900,D 1、E 1分别为A 1B 1、A 1C 1中点，若BC=CA=CC 1，求向量1BD 与1AE 所成角的余弦值。 C 1 B 1 Ａ Ａ Ｂ D 1 E 1

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 练习：已知正方体ABCD — 1111D C B A 中，11E B =11F D = 4 1 1B A ，求向量1BE 与1DF 所成角的余弦值。 二 、利用向量证线线垂直与线面垂直 例2 在正方体ABCD —1111D C B A 中，求证A 1C ⊥平面AB 1D 1 E D A 1 F D 1 A B 1 C B C 1 B A D C B A C D

空间向量解立体几何(含综合题习题)

利用空间向量解立体几何问题 一、基础知识 （一）刻画直线与平面方向的向量 1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如：()()2,4,6,3,0,2A B ，则直线AB 的方向向量为()1,4,4AB =-- 2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面α垂直的直线称为平面α的法线，法线的方向向量就是平面α的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？ （1）所需条件：平面上的两条不平行的直线 （2）求法：（先设再求）设平面α的法向量为(),,n x y z =，若平面上所选两条直线的方向向量分别为()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则可列出方程组： 1112220 x y z x y x y z x y z z ++=?? ++=? 解出,,x y z 的比值即可 例如：()()1,2,0,2,1,3a b ==，求,a b 所在平面的法向量 解：设(),,n x y z =，则有20230x y x y z +=??++=? ，解得：2x y z y =-??=? ::2:1:1x y z ∴=- ()2,1,1n ∴=- （二）空间向量可解决的立体几何问题（用,a b 表示直线,a b 的方向向量，用,m n 表示平面,αβ的法向量） 1、判定类 （1）线面平行：a b a b ?∥∥ （2）线面垂直：a b a b ⊥?⊥

（3）面面平行：m n αβ?∥∥ （4）面面垂直：m n αβ⊥?⊥ 2、计算类： （1）两直线所成角：cos cos ,a b a b a b θ?== （2）线面角：cos ,sin a m a m a m θ?= = （3）二面角：cos cos ,m n m n m n θ?==或cos cos ,m n m n m n θ?=-=- （视平面角与 法向量夹角关系而定） （4）点到平面距离：设A 为平面α外一点，P 为平面α上任意一点，则A 到平面 α的距离为A AP n d n α-?= ，即AP 在法向量n 上投影的绝对值。 （三）点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧 1、理念：先设再求——先设出所求点的坐标(),,x y z ，再想办法利用条件求出坐标 2、解题关键：减少变量数量——(),,x y z 可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：

用空间向量证明线线垂直与线面垂直

卑微如蝼蚁、坚强似大象 第二节 用空间向量证明线线垂直与线面垂直 一、空间向量及其数量积 1、 在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。用或表示，其中向量的大小称为向量的长度或 或a 。正如平面向量可用坐标(x,y.)表示，空间向量也可用坐标(x,y,z)表示。若已知点A 坐标为（x 1，y 1，z 1）,点B 坐标为（x 2，y 2，z 2） 则向量=（x 2 -x 1，y 2- y 1，z 2 -z 1）即是终点坐标减起点坐标。 在空间，知道向量=（x ，y ，z 222z y x 2、 空间向量数量积 ① 已知两个非零向量、，在空间任取一点O ，作=，=，则角∠AOB 叫向量与的 夹角，记作＜，＞规定，若0≤＜，＞≤ ，若＜，＞=2 ，称与垂直，记作⊥b 。 ② 已知空间两个向量、 COS ＜，＞叫向量、的数量积，记作a COS ＜，＞若⊥ a ＝０ ③ 若已知空间向量＝（x 1，y 1，z 1）， ＝（x 2，y 2，z 2） 则?＝x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 ， COS ＜， 2 2 2 22 22 12 12 12 12121z y x z y x z z y y x x 例１ 如图，已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=900,D 1、E 1分别为A 1B 1、A 1C 1中点，若BC=CA=CC 1，求向量1BD 与1AE 所成角的余弦值。 C 1 B 1 Ａ1 Ａ Ｃ Ｂ D 1 E 1

卑微如蝼蚁、坚强似大象 练习：已知正方体ABCD —1111D C B A 中，11E B =11F D =4 1 1B A ，求向量1BE 与1DF 所成角的余弦值。 二 、利用向量证线线垂直与线面垂直 例2 在正方体ABCD —1111D C B A 中，求证A 1C ⊥平面AB 1D 1 练习：在正方体ABCD —1111D C B A 中，O 为底面ABCD 的中心，P 为DD 1的中点， 求证：B 1O ⊥平面PAC 。 例3 如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M, N 分别是AB ,PC 中点 （1）求证：M N ⊥CD E D A 1 F D 1 A B 1 C B C 1 B A D C B A C D B 1 A 1 D C B A C 1 D 1 O P A B C D P M N

利用空间向量解立体几何(完整版)

向量法解立体几何 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为(PQ x =2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离：

方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n ? = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.