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-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用

2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（四）

23.已知函数()32

23log 32

a f x x x x =

-+（0a >且1a ≠）．（Ⅰ）若()f x 为定义域上的增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）令a e =，设函数()()3

24ln 63

g x f x x x x =--+，且()()120g x g x +=，求

证：122x x +≥

24.已知函数()2x f x e x ax =--. (1)R x ∈时，证明：1->x e x

；

(2)当2a =时，直线1y kx =+和曲线()y f x =切于点()(),1A m n m <，求实数k 的值； (3)当10<x f 恒成立，求实数a 的取值范围.

25.已知函数()ln a

f x a x x x

=-+-(a 为常数)有两个不同的极值点. (1)求实数a 的取值范围；

(2)记()f x 的两个不同的极值点分别为12,x x ，若不等式()()()2

1212f x f x x x l +>+恒成立，求实数l 的取值范围.

26.已知函数()1ln f x ax x =--（a ∈R ）. （1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；

（2）若1x ?>，()2xf x ax ax a <-+恒成立，求a 的最大整数值.

27.已知函数()()()()2

21,2ln 1f x x x g x a x a R =-+=-∈.

（1）求函数()()()h x f x g x =-的极值；

（2）当0a >时，若存在实数,k m 使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，求实数a 的取值范围.

28.设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+. （1）求()y f x =的表达式；

（2）若直线()01x t t =-<<，把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值.

29.已知函数()1

ln 2

f x x x =+（a ∈R ）. （1）若曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线经过点()2,3，求a 的值；（2）若()f x 在区间1,14??

???

上存在极值点，判断该极值点是极大值点还是极小值点，并求a 的取值范围；

（3）若当0x >时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围.

30.已知函数()ln f x x a =+，()(),b

g x x a b R x

-?. (1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在点()()

1,1f 处的切线方程相同，求实数,a b 的值； (2)若()()x g x f ≥恒成立，求证：当2≠a 时，1≠b .

31.()2x

f x e ax =--，其中e 是自然对数的底数，a R ∈.

（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若k 为整数，1a =，且当0x >时，()11

k x

f x x -'<+恒成立，其中()f x '为()f x 的导函数，求k 的最大值.

32.已知f （x ）=2x ln x ，g （x ）=﹣x 2

+ax ﹣3．（1）求函数f （x ）的单调区间；

（2）若存在x ∈（0，+∞），使f （x ）≤g （x ）成立，求实数a 的取值范围．

33.已知数列{x n }按如下方式构成：x n ∈（0，1）（n ∈N *

），函数f （x ）=ln （x x

-+11）在点

（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴交点的横坐标为x n +1 （Ⅰ）证明：当x ∈（0，1）时，f （x ）＞2x （Ⅱ）证明：x n +1＜x n 3

（Ⅲ）若x 1∈（0，a ），a ∈（0，1），求证：对任意的正整数m ，都有log n x a +log 1+n x a +…+log m n x +a ＜21?（3

1）n ﹣2（n ∈N *

）

34.已知函数f （x ）= ?????∈--∈-]3,1[),1(55

]

1,0[,2x x f x x x

（Ⅰ）求f （

）及x ∈[2，3]时函数f （x ）的解析式（Ⅱ）若f （x ）≤x

对任意x ∈（0，3]恒成立，求实数k 的最小值．

35.已知函数

1()(2)a f x a x x a -?

?=-- ?

??，其中0a ≠．（Ⅰ）若1a =，求()f x 在区间[0,3]上的最大值和最小值．（Ⅱ）解关于x 的不等式()0f x >．

36.若实数x ，y ，m 满足

x m y m

-<-，则称x 比y 靠近m ．

（Ⅰ）若1x +比x -靠近1-，求实数x 有取值范围．

（Ⅱ）（i ）对0x >，比较ln(1)x +和x 哪一个更靠近0，并说明理由．（ii ）已知函数{}n a 的通项公式为112n n a -=+，证明：1232e n a a a a

37.已知函数

()e (e 1)1x f x ax a x =-+-+-（e 是自然对数的底数，a 为常数）．（1）若函数1

()()()2

g x f x x f x '=-?，在区间[1,+∞)上单调递减，求a 的取值范围．

（2）当(e 2,1)a ∈-时，判断函数()f x 在(0,1)上是否有零点，并说明理由．

38.已知函数()ln f x x x =．（1）求函数()f x 的极值点．

（2）设函数()()(1)g x f x a x =--，其中a ∈R ，求函数()g x 在[1,e]上的最小值．

39.已知函数

()ln 2f x x x

=-，(0,)x ∈+∞．（1）求函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程．（2）求函数()f x 的单调递增区间．

40.设m ∈R ，函数f （x ）=e x ﹣m （x +1）+41m 2

（其中e 为自然对数的底数）

（Ⅰ）若m =2，求函数f （x ）的单调递增区间；

（Ⅱ）已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=1，对任意的m ＜0，不等式f （x 1）+f （0）＞f （x 2）+

f （1）恒成立，求x 1的取值范围；

（Ⅲ）若函数f （x ）有一个极小值点为x 0，求证f （x 0）＞﹣3，（参考数据ln6≈）

41.已知函数f （x ）=x 2﹣x 3，g （x ）=e x

﹣1（e 为自然对数的底数）．（1）求证：当x ≥0时，g （x ）≥x +

1x 2

；（2）记使得kf （x ）≤g （x ）在区间[0，1]恒成立的最大实数k 为n 0，求证：n 0∈[4，6]．

42.设函数32

11()(3)332

f x x ax a x =

++++，其中a R ∈，函数()f x 有两个极值点12,x x ，且101x ≤<．

（1）求实数a 的取值范围；

（2）设函数'

1()()()x f x a x x ?=--，当12x x x <<时，求证：|()|9x ?<．

43.已知

14)(2+-=

x t

x x f 的两个极值点为α，β，记A （α，f （α）），B （β，f （β））

（Ⅰ）若函数f （x ）的零点为γ，证明：α+β=2γ．（Ⅱ）设点 C (

m t -4,0)，D (m t

,0)，是否存在实数t ，对任意m ＞0，四边形ACBD 均为平行四边形．若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由．

44.已知函数ln (),x

f x x

() (0)=>g x kx k ，函数{}()max (),(),F x f x g x =其中{}max ,a b ,,

,.a a b b a b ≥?=?

（Ⅰ）求()f x 的极值；

（Ⅱ）求()F x 在[]1, e 上的最大值(e 为自然对数底数).

45.已知函数2

()2ln ,f x x a x a R =+∈．

（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；

（Ⅱ）若不等式()0f x >对任意[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.

参考答案

23.（Ⅰ），

由为增函数可得，恒成立，则由

，设，则

，若由和可知

在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

当时，易知，当时，则，这与矛盾，

从而不能使恒成立，所以．

（Ⅱ），因为，

所以，所以

，

所以，

令，，，在上增，在上减，

，所以，整理得，

解得或（舍），所以得证．

24.(1)记，

∵，

令得，

当，，递减；当，，递增，

∴，

，

得.

(2)切点为，，则

，∴，

∵，∴由(1)得.

所以.

(3)由题意可得恒成立，

所以，

下求的最小值，

，

由(1)知且.

所以，递减，

∵，∴.

所以.

25.(1).

由函数(为常数)有两个不同的极值点.即方程有两个不相等的正实根.

∴，∴.

(2)由(1)知，，，

∴，

所以恒成立.

令，.

∵，递增，

∴，

26.（1）的定义域为，且.

当时，在上恒成立，函数在上单调递减.∴在上没有极值点；

当时，令得；

列表

所以当时，取得极小值.

综上，当时，在上没有极值点；

当时，在上有一个极值点.

（2）对，恒成立等价于对恒成立，

设函数（），则（），

令函数，则（），

当时，，所以在上是增函数，

又，，

所以存在，使得，即，

且当时，，即，故在在上单调递减；

当时，，即，故在上单调递增；

所以当时，有最小值，

由得，即，

所以，

所以，又，所以实数的最大整数值为3.

27.（I）由题意得，，∴，

①当时，则，此时无极值；

②当时，令，则；令，则；

∴在上递减，在上递增；

∴有极小值，无极大值；

（II）当时，由（1）知，在上递减，在上递增，且有极小值.

①当时，，∴，

此时，不存在实数，，使得不等式恒成立；

②当时，，

在处的切线方程为，

令，，

则，，

令，，

则，令，则；令，则；

∴，∴，

∴，

当，时，不等式恒成立，

∴符合题意. 由①，②得实数的取值范围为.

28.

（I）设，则．

由已知，得，．．

又方程有两个相等的实数根，

，即．故；

（II）依题意，得，

，

整理，得，即，

．

29.

（1）对求导，得.

因此.又，

所以，曲线在点处的切线方程为.

将，代入，得.解得.

（2）的定义域为.

设的一个极值点为，则，即.

所以.

当时，；当时，.

因此在上为减函数，在上为增函数.

所以是的唯一的极值点，且为极小值点.由题设可知.

因为函数在上为减函数，

所以，即.

所以的取值范围是.

（3）当时，恒成立，则恒成立，

即对恒成立.

设，求导得.

设（），显然在上为减函数.

又，则当时，，从而；

当时，，从而.

所以在上是增函数，在上是减函数.

所以，所以，即的取值范围为.

30.

(1)由，.

得，解得，.

(2)证明：设，

则，

①当时，，函数在上单调递增，

不满足恒成立.

②当时，令，由，

得，或(舍去)，

设，知函数在上单调递减，在上单调递增，

故，即，得.

又由，得，

所以，

令，.

当时，，函数单调慈善

当时，，函数单调递增；

所以，即，

故当时，得.

31.

（1），

若，则恒成立，所以在区间上单调递增

若，当时，，在上单调递增

（2）由于，所以，当时，

故，令（）

则

函数在上单调递增，而，，

所以在上存在唯一的零点.

故在上存在唯一的零点.

设此零点为，则.

当时，，当时，；

所以在上的最小值为，由于，可得

所以，所以整数的最大值为2.

32.

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于a≥（2ln x+x+）min，记h（x）=2ln x+x+，x∈（0，+∞），根据函数的单调性判断即可．

【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2（ln x+1），

令f′（x）=0，得x=，当x∈时，f′（x）＜0，当x∈时，f′（x）＞0，

所以f（x）在上单调递减；在上单调递增．

（2）存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，

即2xln x≤﹣x2+ax﹣3在x∈（0，+∞）能成立，

等价于a≥2ln x+x+在x∈（0，+∞）能成立，

等价于a≥（2ln x+x+）min．

记h（x）=2ln x+x+，x∈（0，+∞），

则h′（x）=+1﹣==．

当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，

当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，

所以当x=1时，h（x）取最小值为4，故a≥4．

33.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；数列与函数的综合．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出f（x）＞2x即可；

（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，求出曲线方程，得到x n+1=ln（﹣1）+x n，从而证出结论即可；

（Ⅲ）得到b k=＜a=b k﹣1＜b k﹣2＜…＜b0，问题转化为b0＜，根据（Ⅱ）证出即可．

【解答】证明：（Ⅰ）设g（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x，

则g′（x）=，

故x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，1）递增，

∴g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞2x；

（Ⅱ）由f′（x）=+=，

故曲线在点（x n，f（x n））处的切线方程是：y=（x﹣x n）+f（x n），

令y=0，则x n+1=x n+f（x n）（﹣1），

则x n+1=ln（﹣1）+x n，

由（Ⅰ）及﹣1＜0得：x n+1＜（2x n）?（﹣1）+x n=x n3；

（Ⅲ）令=b k，（k=0，1，2，…，m），

∵x n+k＜，且a∈（0，1），x n∈（0，1），

∴log a x n+k＞log a，

从而b k=＜a=b k﹣1＜b k﹣2＜…＜b0，

∴loga+loga+…+loga

=b0+b1+…+b m＜b0（1+++）=b0（1﹣）＜b0，

要证loga+loga+…+loga＜?（）n﹣2（n∈N*），

只需b0＜，

即证b0＜?a＜?x n＜，

由（Ⅱ）以及x 1∈（0，a ）得：x n ＜＜＜…＜＜，故原结论成立． 34.

【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．

【分析】（Ⅰ）由函数f （x ）=可求f （）的值，由x∈[2，3]?x ﹣2∈[0，1]，可求得此时函数f （x ）的解析式；

（Ⅱ）依题意，分x∈（0，1]、x∈（1，2]、x∈（2，3]三类讨论，利用导数由f （x ）≤对任意x∈（0，3]恒成立，即可求得实数k 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f （）=﹣f （）=f （）=×=．

当x∈[2，3]时，x ﹣2∈[0，1]，所以f （x ）= [（x ﹣2）﹣（x ﹣2）2]=（x ﹣2）（3﹣x ）．

（Ⅱ）①当x∈（0，1]时，f （x ）=x ﹣x 2

，

则对任意x∈（0，1]，x ﹣x 2≤恒成立?k≥（x 2﹣x 3）max ，

令h （x ）=x 2﹣x 3，则h′（x ）=2x ﹣3x 2，令h′（x ）=0，可得x=，当x∈（0，）时，h′（x ）＞0，函数h （x ）单调递增；当x∈（，1）时，h′（x ）＜0，函数h （x ）单调递减， ∴h（x ）max =h （）=；

②当x∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，所以f （x ）=﹣ [（x ﹣1）﹣（x ﹣1）2

]≤恒成立

?k≥（x 3﹣3x 2+2x ），x∈（1，2]．

令t （x ）=x 3

﹣3x 2

+2x ，x∈（1，2]．则t′（x ）=3x 2

﹣6x+2=3（x ﹣1）2

﹣1，当x∈（1，1+）时，t （x ）单调递减，当x∈（1+，2]时，t （x ）单调递增， t （x ）max =t （2）=0，

∴k≥0（当且仅当x=2时取“=”）；

③当x∈（2，3]时，x ﹣2∈[0，1]，令x ﹣2=t ∈（0，1]，则k≥（t+2）（t ﹣t 2）=g （t ），在t∈（0，1]恒成立．

g′（t ）=﹣（3t 2

+2t ﹣2）=0可得，存在t 0∈[，1]，函数在t=t 0时取得最大值．而t 0∈[，1]时，h （t ）﹣g （t ）=（t 2﹣t 3）+（t+2）（t 2﹣t ）=t （1﹣t ）（2t ﹣1）＞0，

所以，h （t ）max ＞g （t ）max ，

当k≥时，k≥h（t ）max ＞g （t ）max 成立，综上所述，k≥0，即k min =0． 35.见解析

（Ⅰ）1a =，2()(2)(1)1f x x x x =-=--，()22f x x '=-，

∴

∴min (1)1f f ==-， max max[(3),(0)]f f f =，

而(3)3(0)f f =>， ∴max 3f =．（Ⅱ）0a >时， 1(2)0a x x a -?

?--> ???

，

∵1120a a a a

-+-=>， ∴

2a a

-<，此时()0f x >解集为：[|2x x >或1a x a -?

， 0a <时，1(2)0a x x a -?

?--< ??

?．

①10a -<<，则12a a

， ()0f x >解集为1|2a x x a -?

．

②1a =-，无解．

③1a <-，解集为1|2a x x a -??<

．综上：0a >，[|2x x >或1a x a -?

． 10a -<<，1|2a x x a -?

?<<

????

1a =-，?．

1a <-，12a x a -??

． 36.

（1）|1(1)||(1)|x x --<---+ 22|2||1|(2)(1)x x x x <-?<-++，

∴1

x <-．

（2）①∵0x >，∴ln(1)0x >+， ∴|ln(1)0||0|ln(1)x x x x ---=-++，记()ln(1)f x x x =-+， (0)0f =． 1()1011x f x x x

-'=

-=<++， ∴()f x 在(0,)∞+单减．

∴()2(0)0f x f =，即ln(1)x x <+， ∴ln(1)x +比x 靠近0． ②120n ->，由①得：

2323ln()ln ln ln n n a a a a a a =+++L L

12111ln(12)ln(12)ln(12)22n n -----=+++

111

112(12)211212n ------=<=--，

∴23e n a a a

解：（1）由2()e (e 1)1x f x ax a x =-+-+-得()e 2(e 1)x f x ax a '=-+-+， ∴2

11()()()e (e 1)1[e 2e 1]22x x g x f x x f x ax a x x ax a '=-?=-+-+---+-+，

即11

()1e (e 1)122x g x x a x ??=-+-+- ???

，

∴11()(1)e (e 1)22x

g x x a '=-+-+，

∴1()e 2

g x x ''=-，[1,)x ∈+∞；

∴()0g x ''<，

∴()g x '在[1,)+∞上单调递减，又()g x 在[1,)+∞上单调递减；

∴1

()(1)(e 1)02

g x g a ''=-+≤≤，

∴e 1a -≤，

即实数a 的取值范围是(,e 1]-∞-．

（2）假设函数()f x 在区间(0,1)上有零点，即存在(0,1)x ∈，使得2e (e 1)10x ax a x -+-+-=，

即2e (1e)1x x a x x

+--=-，

记2e (1e)1

()x x h x x x

+--=-．

①若()1h x <，则

2e (1e)110x x x x +---<-，即22e (2e)1

0x x x x x -+--<-，由于(0,1)x ∈，有20x x -<，

即证2e (2e)10x x x -+-->在(0,1)x ∈上恒成立，令2()e (2e)1x H x x x =-+--，(0,1)x ∈，则()e 22e x H x x '=-+-，()e 2x H x ''=-，当(0,ln2)x ∈时，()0H x ''<，当(ln2,1)x ∈时，()0H x ''>， ∴当(0,ln2)x ∈时，()H x '单调递减，当(ln2,1)x ∈时，()H x '单调递增．

而(0)102e 0H '=-+->，(1)e 22e 0H '=-+-=，ln 2(ln 2)e 2ln 22e 4e 2ln 20H '=-+-=--<，

∴在(0,ln2)上存在唯一的实数0x ，使得0()0H x '=， ∴在0(0,)x 上()H x 单调递增，在0(,1)x 上()H x 单调递减，而(0)0H =，(1)0H =，

∴()0H x >在(0,1)上恒成立，即2

e (1e)1

()1x x h x x x

+--=<-恒成立， ②若()e 2h x >-，则

2e (1e)1(e 2)0x x x x +---->-，即22e (e 2)1

0x x x x x ---->-，由于(0,1)x ∈，有20x x -<，即证2e (e 2)10x x x ----<在(0,1)x ∈恒成立，令2()e (e 2)1x H x x x =----，则()e 2(e 2)1x H x x '=---，()e 2(e 2)x H x ''=--，当(0,ln2(e 2))x ∈-，()0H x ''<，()H x '单调递减；

当(ln2(e 2),1)x ∈-，()0H x ''>，()H x '单调递增，而(0)0H '=，(1)3e 0H '=->，

∴在(ln2(e 2),1)-上存在唯一的实数x ，使得0()0H x '=， ∴在0(0,)x 上()H x 单调递减，在0(,1)x 上()H x 单调递增，又(0)0H =，(1)0H =，

故()0H x <在(0,1)上成立，即2e (1e)1

()e 2x x h x x x

+--=

>--成立，综上所述，当(e 2,1)a ∈-时，函数2()e (e 1)1x f x ax a x =-+-+-在区间(0,1)上有零点． 38.见解析．

解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln 1f x x '=+， ∴令()ln 10f x x '=+>，得1e x >

，令()0f x '<，得10e

x <<， ∴函数()f x 在10,e ?? ???

单调递减，在1,e ??

+∞ ???单调递增，

∴1

x =

是函数()f x 的极小值点，极大值点不存在．（2）由题意得()()(1)ln (1)g x f x a x x x a x =--=--， ∴()ln 1g x x a '=+-，令()0g x '=得1e a x -=．

①当1e 1a -<时，即1a <时，()g x 在[1,e]上单调递增， ∴()g x 在[1,e]上的最小值为(1)0g =；

②当11e e a -≤≤，即12a ≤≤时，()g x 在1[1,e ]a -上单调递减，在1[e ,e]a -上单调递增， ∴()g x 在[1,e]上的最小值为11111(e )e lne e e a a a a a g a a a -----=-+=-； ③当1e e a ->，即2a >时，()g x 在区间[1,e]上单调递减， ∴()g x 在[1,e]上的最小值为(e)e (e 1)e e g a a a =--=-+，综上所述，当1a <时，()g x 的最小值为0；当12a ≤≤时，()g x 的最小值为1e a a --；当2a >时，()g x 的最小值为e e a a -+． 39.见解析．

解：（1）1()ln 2f x x x =-，得11

()2

f x x '=-，

∴(2)ln21f =-，(2)0f '=，

∴函数()f x 在(2,(2))f 处的切线方程为ln21y =-．（2）∵112()22x

f x x x

-'=-=，

令()0f x '>，得2x <，令()0f x '<，得2x >，又()f x 的定义域是(0,)+∞， ∴函数()f x 的单调增区间为(0,2)． 40.

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；（Ⅱ）问题转化为2（x 1﹣1）m ﹣（﹣）+e ﹣1＜0对任意m ＜0恒成立，令g （m ）=2（x 1﹣1）m ﹣（﹣）+e ﹣1，得到关于x 1的不等式组，解出即可；

（Ⅲ）求出f （x 0）的解析式，记h （m ）=m 2

﹣mlnm ，m ＞0，根据函数的单调性求出h （m ）的取值范围，从而求出f （x 0）的范围，证明结论即可．

【解答】解：（Ⅰ）m=2时，f （x ）=e x ﹣2x ﹣1，f′（x ）=e x ﹣2，令f′（x ）＞0，解得：x ＞ln2，故函数f （x ）在[ln2，+∞）递增；

（Ⅱ）∵不等式f （x 1）+f （0）＞f （x 2）+f （1）恒成立，x 1+x 2=1， ∴2（x 1﹣1）m ﹣（﹣）+e ﹣1＜0对任意m ＜0恒成立，令g （m ）=2（x 1﹣1）m ﹣（﹣）+e ﹣1，当2（x 1﹣1）=0时，g （m ）=0＜0不成立，则，解得：x 1＞1；

（Ⅲ）由题意得f′（x ）=e x ﹣m ，f′（x 0）=0，故=m ， f （x 0）=﹣m （x 0+1）+m 2=m 2﹣mlnm ，m ＞0，记h （m ）=m 2

﹣mlnm ，m ＞0，

h′（m ）=m ﹣lnm ﹣1，h′′（m ）=﹣，

当0＜m ＜2时，h′′（m ）＜0，当m ＞2时，h′′（m ）＞0，故函数h′（x ）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，如图所示：

[h′（m ）]min =h′（2）=﹣ln2＜0，

又当m→0时，h′（m ）＞0，m→+∞，h′（m ）＞0，

故函数h′（m ）=0有2个根，记为m 1，m 2（m 1＜2＜m 2＜6），（h′（6）＞0），故h （m ）在（0，m 1）递增，在（m 1，m 2）递减，在（m 2，+∞）递增，

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

导数压轴题处理专题讲解

导数压轴题处理专题讲解（上）专题一双变量同构式（含拉格朗日中值定理）..................................................... - 2 -专题二分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）.................................... - 4 -专题三导数与零点问题（如何取点） .................................................................. - 7 -专题四隐零点问题整体代换.............................................................................. - 13 -专题五极值点偏移 ........................................................................................... - 18 -专题六导数处理数列求和不等式....................................................................... - 25 -

专题一双变量同构式（含拉格朗日中值定理）例1. 已知（1）讨论的单调性（2）设，求证：例2. 已知函数，。（1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：若，则对任意x ，x ，x x ，有。例3. 设函数. （1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；（2）讨论函数零点的个数；（3）若对任意恒成立，求的取值范围. ()()21ln 1f x a x ax =+++()f x 2a ≤-()()()121212 ,0,,4x x f x f x x x ?∈+∞-≥-()2 1(1)ln 2 f x x ax a x = -+-1a >()f x 5a <12∈(0,)+∞1≠21212 ()() 1f x f x x x ->--()ln ,m f x x m R x =+ ∈m e =e ()f x ()'()3 x g x f x = -()() 0, 1f b f a b a b a ->><-m

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R，（1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在0处的导数等于0；（）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版

导数与三角函数压轴题归纳总结近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. （ii ）当0,2x π?? ∈ ???时,由（1）知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而

历年高考数学压轴题集锦

高考数学压轴题集锦 1．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OP OQ ?=，求直线PQ 的方程；（3）设AP AQ λ=（1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FM FQ λ=-. (14分) 2．已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。（1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。（2）证明)(x f 是偶函数。（3）试问方程01 log )(4=+x x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。 3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2 2 =-+y x 。（1）若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程；（2）过点F 的直线g （3）过轨迹E 上一点P 点P 的坐标及S

4.以椭圆2 22y a x +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点；（Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. 6 已知过函数f （x ）=12 3++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。（1）求a 、b 的值；（2）求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立；（3）令()()132 ++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有最大值1？ 7 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→ → ?PN PM 的等比中项。（1）求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；（2）若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方程。 8．已知数列{a n }满足a a a a b a a a a a a a n n n n n n +-=+=>=+设,2),0(322 11 （1）求数列{b n }的通项公式；（2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与 8 7 的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围；（Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程． 10. )(x f 对任意R x ∈都有.2 1)1()(= -+x f x f

高三数学导数压轴题

导数压轴一．解答题（共20小题） 1．已知函数f（x）＝e x（1+alnx），设f'（x）为f（x）的导函数．（1）设g（x）＝e﹣x f（x）+x2﹣x在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围；（2）若a＞2时，函数f（x）的零点为x0，函f′（x）的极小值点为x1，求证：x0＞x1． 2．设．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥0恒成立；（2）讨论关于x的方程根的个数． 3．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1（a∈R）．

（1）当a＝1时，判断g（x）＝e x f（x）的单调性；（2）若函数f（x）无零点，求a的取值范围． 4．已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在成立，求整数a的最小值．5．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+ax（a∈R）．

（Ⅰ）当a＝﹣e+1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a≥﹣1时，求证：f（x）＞0． 6．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax﹣1．（Ⅰ）若f（x）在定义域内单调递增，求实数a的范围；（Ⅱ）设函数g（x）＝xf（x）﹣e x+x3+x，若g（x）至多有一个极值点，求a的取值集合．7．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx﹣a（x﹣1）2（a∈R）．

（2）若对?x∈（0，+∞），f（x）≥0，求实数a的取值范围． 8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，我们把使f′（x）＝x的实数x叫做函数y＝f（x）的好点．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若0是函数f（x）的好点，求a；（Ⅱ）若函数f（x）不存在好点，求a的取值范围． 9．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）．

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。二、经典例题剖析考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案：学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数

历届高考数学压轴题汇总及答案

历届高考数学压轴题汇总及答案一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分）已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合 {}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3 a d π ==，求集合S ；（2）若12 a π = ，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数.

设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； (2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．

高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数

2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年：设函数2 ()1x f x e x ax =---。（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围 2019年：已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=．（I ）求,a b 的值；（II ）如果当0x >，且1x ≠时， ln ()1x k f x x x >+-，求k 的取值范围． 2019年：已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-．（Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若b ax x x f ++≥2 2 1)(，求b a )1(+的最大值．

2019：一卷：已知函数()f x ＝2 x ax b ++， ()g x ＝()x e cx d +，若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P (0， 2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值；（Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围． 2019一卷：设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >． 2015一卷：已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ， ()ln g x x =-．（Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m ， n 中的最小值，设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ，讨论()h x 零点的个数．

2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数与其应用(五)

2019-2020 年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（五） 46.已知函数f ( x)x2ax 4 （ aＲ）的两个零点为x1, x2 , 设 x1 x2. （Ⅰ）当 a0 时，证明：2x1 0．（Ⅱ）若函数g (x)x2| f ( x) |在区间 (, 2)和(2,) 上均单调递增，求 a 的取值范围. 47.设函数 f ( x)2 R ）．x ax ln x （a （Ⅰ）若 a 1时,求函数 f (x)的单调区间；（Ⅱ）设函数 f ( x) 在[1 , ] 有两个零点，求实数 a 的取值范围． e e 48.已知函数 f ( x) ln( ax b) x ，g (x)x2ax ln x ．（Ⅰ）若 b 1,F ( x) f ( x) g (x) ，问：是否存在这样的负实数 a ，使得 F ( x) 在x1处存在切线且该切线与直线y 1 x 1平行，若存在，求a的值；若不存在，请说明理 23 由．（Ⅱ）已知 a 0 ，若在定义域内恒有 f (x) ln( ax b) x 0 ，求 a(a b) 的最大值．

49.设函数 f ( x) x ln x b(x 1 )2(b R)，曲线y f x在1,0处的切线与直线 2 y3x 平行．证明：（Ⅰ）函数 f ( x) 在 [1,) 上单调递增；（Ⅱ）当 0 x 1 时， f x1. 50.已知 f（ x） =a（ x-ln x）+2 x 1 ， a∈ R. x 2（I ）讨论 f（ x）的单调性；（II ）当 a=1 时，证明f（ x）＞ f’（ x） + 3 对于任意的x∈ [1,2] 恒成立。 2 2 51.已知函数f（x） =x +ax﹣ lnx， a∈ R．（1）若函数f（x）在 [1， 2]上是减函数，求实数 a 的取值范围；（2）令 g（ x） =f（ x）﹣ x2，是否存在实数a，当 x∈（ 0， e] （ e 是自然常数）时，函数g （x）的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由；（3）当 x∈（ 0， e]时，证明： e2x2－5 x＞ (x+1)ln x．2

高考数学理科导数大题目专项训练及答案

高一兴趣导数大题目专项训练班级姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1 |()|()2 f x g x >+； 2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知 2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）． (1)求()()()F x h x x ?=-的极值； (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明；（III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小； ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. （I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；（II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由． 5．若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- （1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间；（2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.

高中数学经典高考难题集锦解析版

2015年10月18日姚杰的高中数学组卷一．解答题（共10小题） 1．（2012?宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x 轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．（1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程．2．（2010?江苏模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值． 3．（2013?越秀区校级模拟）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程． 4．（2013?柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 5．（2009?福建）（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标．（2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数）试判断他们的公共点个数；（3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1． 6．（2009?东城区一模）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A （﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；（Ⅱ）当时，求直线l的方程；（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由． 7．（2009?天河区校级模拟）已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C 外切，圆D与y 轴交于A、B两点，定点P的坐标为（﹣3，0）．（1）若点D（0，3），求∠APB的正切值；（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，说明理由． 8．（2007?海南）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P （0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．

高考理科数学全国卷三导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- （1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a . 考点分析综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。具体而言，第1问，给定参数a 的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点，把ln(1)x +前面的系数化为1，判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增)，对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减)，因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围，所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。

-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用

2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（四） 23.已知函数()32 23log 32 a f x x x x = -+（0a >且1a ≠）．（Ⅰ）若()f x 为定义域上的增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）令a e =，设函数()()3 24ln 63 g x f x x x x =--+，且()()120g x g x +=，求证：122x x +≥ 24.已知函数()2x f x e x ax =--. (1)R x ∈时，证明：1->x e x ； (2)当2a =时，直线1y kx =+和曲线()y f x =切于点()(),1A m n m <，求实数k 的值； (3)当10<x f 恒成立，求实数a 的取值范围. 25.已知函数()ln a f x a x x x =-+-(a 为常数)有两个不同的极值点. (1)求实数a 的取值范围； (2)记()f x 的两个不同的极值点分别为12,x x ，若不等式()()()2 1212f x f x x x l +>+恒成立，求实数l 的取值范围.

26.已知函数()1ln f x ax x =--（a ∈R ）. （1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若1x ?>，()2xf x ax ax a <-+恒成立，求a 的最大整数值. 27.已知函数()()()()2 21,2ln 1f x x x g x a x a R =-+=-∈. （1）求函数()()()h x f x g x =-的极值；（2）当0a >时，若存在实数,k m 使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，求实数a 的取值范围. 28.设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+. （1）求()y f x =的表达式；（2）若直线()01x t t =-<<，把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值.

函数与导数经典例题高考压轴题含答案

函数与导数经典例题-高考压轴 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈．（Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 2. 已知函数21 ()32 f x x = +，()h x = （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值；（Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33 lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---；（Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1 ()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥L ． 3. 设函数ax x x a x f +-=2 2ln )(，0>a （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求所有实数a ，使2 )(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．注：e 为自然对数的底数． 4. 设2 1)(ax e x f x +=，其中a 为正实数. （Ⅰ）当3 4 = a 时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围. 5. 已知a ， b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…是自然对数的底数）。（I ）求实数b 的值；（II ）求函数f （x ）的单调区间；（III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m

导数文科高考数学真题

2012-2017导数专题 1．（2014大纲理）曲线1x y xe- =在点（1,1）处切线的斜率等于（ C ） A．2e B．e C．2 D．1 2.(2014新标2理) 设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （ D ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.(2013浙江文) 已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是(B) 4．（2012陕西文）设函数f（x）= 2 x +lnx 则（ D ） A．x= 1 2 为f(x)的极大值点B．x= 1 2 为f(x)的极小值点 C．x=2为f(x)的极大值点D．x=2为f(x)的极小值点 5.(2014新标2文) 函数() f x在 x x =处导数存在，若 :()0 p f x=： :q x x =是() f x的极值点，则A．p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C. p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】C 6．（2012广东理）曲线在点处的切线方程为___________________. 【答案】2x-y+1=0 7．（2013广东理）若曲线在点处的切线平行于轴，则【答案】-1 8．（2013广东文）若曲线在点处的切线平行于轴，则．【答案】 1 2 9．(2014广东文)曲线53 x y e =-+在点(0,2) -处的切线方程为. 【答案】5x+y+2=0 10．（2013江西文）若曲线y=xα+1（α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α=。 33 y x x =-+() 1,3 ln y kx x =+(1,)k x k= 2ln y ax x =-(1,)a x a=

2015高考数学压轴题大全

2015年高考数学压轴题大全高考数学压轴题大全 1.(本小题满分14分) 如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点. (1)求△APB的重心G的轨迹方程. (2)证明PFA=PFB. 解：(1)设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为：切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以△APB的重心G的坐标为，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： (2)方法1：因为由于P点在抛物线外，则同理有 AFP=PFB. 方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得AFP=PFB. ②当时，直线AF的方程：

直线BF的方程：所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB. 2.(本小题满分12分) 设A、B是椭圆上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. (Ⅰ)确定的取值范围，并求直线AB的方程; (Ⅱ)试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由. (此题不要求在答题卡上画图) 本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力. (Ⅰ)解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得① 设是方程①的两个不同的根， ② 且由N(1，3)是线段AB的中点，得解得k=-1，代入②得，的取值范围是(12，+). 于是，直线AB的方程为解法2：设则有依题意， ∵N(1，3)是AB的中点，

高考数学——导数大题精选

高考数学——导数大题精选 6.已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a,b,c 值。例2 求下列函数的导数： (1)y=(2x 2-1)(3x+1) (2)x x y sin 2= (3))1ln(2x x y ++= (4)1 1-+=x x e e y (5)x x x x y sin cos ++= (6)x x x y cos sin 2cos -= 1.设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围 2.设a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x >0）. （Ⅰ）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x >1时，恒有x >ln 2x －2a ln x ＋1. 3.设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，．（Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围 4.设函数2()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）求()f x 在区间3144??-???? ，的最大值和最小值 6.已知函数2221()()1 ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．

历年高考数学压轴题集锦精选

历年高考数学压轴题集锦 1．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点 A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点. （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OP OQ ?=u u u r u u u r ，求直线PQ 的方程；（3）设AP AQ λ=u u u r u u u r （1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明 FM FQ λ=-u u u u r u u u r . (14分) 2．已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f . （1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式. （2）证明)(x f 是偶函数. （3）试问方程01 log )(4 =+x x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由. 3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2 2=-+y x . （1）若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程；（2）过点F 的直线g 交轨迹E 于G （x 1，y 1）、H （x 2，y 2）两点，求证：x 1x 2 为定值；（3）过轨迹E 上一点P 及S 的最小值.