2014-2015北邮概率论与随机过程期末

北京邮电大学2014—2015学年第2学期

3学时《概率论与随机过程》期末考试试题（A ）答案

考试注意事项：学生必须将答题内容做在试题答题纸上，做在试题纸上一律无效

一、 填空题（45分，每空3分）

1. 设,,A B C 是随机事件，A 与C 互不相容，1()2

P AB =,1()3P C =，则 (|)P AB C = . 34 2. 设随机变量X 的分布函数0 01() 01,2

1 1

x x F x x e x -

x y f x y x ?<<

()X f x = . 1

4. 设随机变量X 的概率分布为()(0,1,2,...)!

C P X k k k ===，则()

D X = . 1 5. 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则(())P X

E X >= . 1e -

6. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为6 01(,)0 x x y f x y ≤≤≤?=??

，其他 则(1)P X Y +≤= . 14 7. 设随机变量,X Y 相互独立，且~(3,4), ~(10,0.3)X N Y b ，则()E X Y += . 6

8. 设X 和Y 相互独立，X ～)2,1(N ，Y 的分布律为

则=≤<}1,1{Y X P . 0.4

9. 设二维随机变量(,)X Y 服从22(,,,,0)N μμσσ，则2()E XY = . 22()μμσ+

10. 将长度为1 m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为ρ= . -1

11. 已知随机过程(),(,)X t At B t =+∈-∞+∞，其中A ,B 独立同分布，且A ~N (0，1)，则X (t )的一维概

率密度(,)f x t =

.

22(1)(,),x t f x t x -+=-∞<<+∞

12.设{(),0}W t t ≥是参数为2σ(0σ>)的维纳过程，则(2)(1)W W 与的相关系数为

. 2

13.设{(),0}N t t ≥是参数为0λ>的泊松过程，则

{(2)2,(4)3|(1)1}P N N N ==== . 232e λλ-

14. 设{,0,1,2,}n X n =是齐次马氏链，{1, 2, 3}I =，一步转移概率矩阵为

00.50.50.500.50.50.50P ?? ?= ? ???

，则11lim ()n P n →∞= . 13 15. 设平稳过程{(),0}X t t ≥的功率谱密度21

()1X S ωω=+，则其自相关函数()X R τ= . ||12e τ-

二、 （15分）

某保险公司多年的统计表明：在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数。(1) 写出X 的概率分布；(2) 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户，且不多于30户的概率的近似值．

[附表]设)(x Φ是标准正态分布的分布函数

解 (1))2.0,100(~b X ，即

{}100,,1,0)8.0()2.0(100100 ===-k C k X P k k k . (5分)

(2)16)(,20)(==X D X E ， (4分)

927

.01)5.1()5.2()5.1()5.2(}1620301620162014{}3014{=-Φ+Φ=-Φ-Φ=-≤-≤-=≤≤X P X P (6分)

三、 （15分）

设二维随机变量(X,Y)具有概率密度

(1)求边缘概率密度(),()X Y f x f y .

(2) 求条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y .

(3)求条件概率(1|1)P Y X ≤≤.

解. (1)

,0()(,)0,0x X e x f x f x y dy x -+∞

-∞

?>=

=?≤?? ,0()(,)0,0y Y ye y f y f x y dy y -+∞-∞?>=

=?≤?? (5分)

(2) 当0x >，|,0(,)(|)()0,x y Y X e y x f x y f y x f x -?<<==??

其他，当0x ≤，不存在。 当0y >，|(|)X Y f x y =1/,0(,)0,

()y y x f x y f y <

P X Y e P Y X P X e ≤≤-≤≤==≤- (5分)

四、 （15分）

独立地重复掷一颗骰子，以X n 表示前n 次掷出的最小点数，则{},1n X n ≥是一齐次马尔可夫链，初始分布为11(),1,2,...,6,6

P X i i === 一步转移概率矩阵为 1 0 0 0 0 015 0 0 0 066114 0 0 0666.1113 0 0666611112 066666111111 666666?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???

, 0(,)0, y e x y f x y -?<<=??其他

（1）求123(3,3,3)P X X X ===,

（2）求2X 的分布律.

解：（1）

123121323333(3,3,3)

(3)(3|3)(3|3) (4)

14 (3)654P X X X P X P X X P X X p p ==========??=分分

（2）记2X 的分布律为(2)q ，则

(2)(1)

1 0 0 0 0 015 0 0 0 066114 0 0 0666111111 1113666666 0 066661111

2 066666111111 6666661197531 3636363636=?? ? ? ? ? ? ???=? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???

=q q .36?? ??? (8分)

解法二：根据全概率公式，有

6

22111()(|)(),i P X j P X j X i P X i ======∑ (4分)

再逐一计算。 (4分)

五、 （10分）

设()X t 是平稳过程，定义()()cos()Y t X t t ω=+Θ，()X t 与Θ相互独立，~(0,2)U πΘ，ω为常数。试证明()Y t 是平稳过程.

证明：设平稳过程()X t 的均值函数为()X t μ，相关函数为()X R t 。

20()(())(()cos())

(())(cos())

1 ()cos()

d 0.2Y X t E Y t E X t t E X t E t t t π

μωωμωθθπ==+Θ=?+Θ=?+=? (4分)

20(,)(()())

(()())(cos()cos(()))

()cos()cos(())d 1

()cos().

2Y X X R t t E Y t Y t E X t X t E t t R t t R π

τττωωττωθωτθθ

τωτ+=+=+?+Θ++Θ=?+++=??(5分) ()Y t 的均值函数是常数，相关函数只与τ有关，故()Y t 是平稳过程。

(1分)

2012北京邮电大学概率论与随机过程试题

北邮人： 一、填空题 1. 设事件,A B 满足()0.7,()0.3P A P AB ==, 则()P AB = 2. 袋中有10个球，其中1个红球，10个人不放回地依次抽取，每次抽取一个，问最后一个人取到红球的概率是 3. 设平面区域D 由1,0,x y y x ===围成，平面区域1D 由21,0,x y y x ===围成。现向D 内依次随机地投掷质点，问第3次投掷的质点首次落在1D 内的概率是 4. 设随机变量(1,2),(2,4)X N Y N 且相互独立，求23X Y +-的概率密度函数()f x = 5. 设平稳过程{(),0}X t t ≤≤+∞的功率谱密度为28()+14X S ωω= +，则其自相关函数为 6.设一灯管的使用寿命X 服从均值为1/λ的指数分布，现已知该灯管用了10小时还没有坏，该灯管恰好还能再用10小时的概率为 7.设电话总机在(0,]t 内接受到电话呼叫次数()N t 是强度（每分钟）为0λ>的泊松过程，(0)0N =， 则2分钟收到3次呼叫的概率 8.设随机过程(),0X t tY t =≥，其中Y 服从正态分布，即(1,4)Y N ，求103()E tX t dt ??= ??? ? 二、设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 , 0(,)0, 其他 y e x y f x y -?<<=??

(1) 求边缘概率密度(),()X Y f x f y ，(2) 求条件概率密度|(|)Y X f y x ， |(|)X Y f x y ，(3)求条件概率(1|1),{1}P Y X P X Y ≤≤+<. 三、在某交通路口设置了一个车辆计数器，记录南行北行的车辆总数。设X(t)和Y(t)分别表示在[0,t]内南行和北行的车辆数，它们是强度分别为1λ和2λ的possion 过程，且相互独立。如果在t(>0)时记录的车辆总 数为n ，求其中南行车辆有k(0

《概率论与随机过程》第1章习题

《概率论与随机过程》第一章习题 1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录 抽取的次数。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选 举的结果。 （6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 （7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 （8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次 品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察 装球的情况。 （10） 测量一汽车通过给定点的速度。 （11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1） A 发生，B 与C 不发生。 （2） A 与B 都发生，而C 不发生。 （3） A ，B ，C 都发生。 （4） A ，B ，C 中至少有一个发生。 （5） A ，B ，C 都不发生。 （6） A ，B ，C 中至多于一个发生。 （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。 （8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，??????≤<=121x x A ，? ?????<≤=234 1x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，81)(=AC P ，求A ， B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？ （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？

信息论基础》试卷(期末A卷

重庆邮电大学2007/2008学年2学期 《信息论基础》试卷（期末）（A卷）（半开卷） 一、填空题（本大题共10小空，每小空1分，共20分） 1.按信源发出符号所对应的随机变量之间的无统计依赖关系，可将离散信源分为有记忆信源和无记忆信源两大类。 2.一个八进制信源的最大熵为3bit/符号 3.有一信源X，其概率分布为 123 x x x X 111 P 244 ?? ?? ? = ?? ? ?? ?? ，其信源剩余度为94.64%；若对该信源进行十次扩展，则 每十个符号的平均信息量是 15bit。 4.若一连续消息通过放大器，该放大器输出的最大瞬间电压为b，最小瞬时电压为a。若消息从放大器中输出，则该信源的绝对熵是∞；其能在每个自由度熵的最大熵是log（b-a）bit/自由度；若放大器的最高频率为F，则单位时间内输出的最大信息量是 2Flog（b-a）bit/s. 5. 若某一信源X，其平均功率受限为16w，其概率密度函数是高斯分布时，差熵的最大值为1 log32e 2 π；与其 熵相等的非高斯分布信源的功率为16w ≥ 6、信源编码的主要目的是提高有效性，信道编码的主要目的是提高可靠性。 7、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为信源熵（或H(S)/logr= H r(S)）。 8、当R=C或（信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配。 9、根据是否允许失真，信源编码可分为无失真信源编码和限失真信源编码。 10、在下面空格中选择填入数学符号“,,, =≥≤?”或“?” （1）当X和Y相互独立时，H（XY）=H(X)+H(X/Y)。 （2）假设信道输入用X表示，信道输出用Y表示。在无噪有损信道中，H(X/Y)> 0, H(Y/X)=0,I(X;Y)

(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案

北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ；

信息论与编码期末试卷

上海大学2011～2012学年度冬季学期试卷（A卷） 课程名:信息论与编码课程号: 07276033学分: 4 应试人声明： 我保证遵守《上海大学学生手册》中的《上海大学考场规则》，如有考试违纪、作弊行为，愿意接受《上海大学学生考试违纪、作弊行为界定及处分规定》的纪律处分。 应试人应试人学号应试人所在院系 题号 1 2 3 4 得分——————————————————————————————————————一：填空题(每空2分，共40分) 1：掷一个正常的骰子，出现‘5’这一事件的自信息量为________,同时掷两个正常的骰子，‘点数之和为5’这一事件的自信息量为___________.（注明物理单位） 2：某信源包含16个不同的离散消息，则信源熵的最大值为___________,最小值为_____________. 3：信源X经过宥噪信道后，在接收端获得的平均信息量称为______________. 4：一个离散无记忆信源输出符号的概率分别为p(0)=0.5,p(1)=0.25,p(2)=0.25,则由60个符号构成的消息的平均自信息量为__________. 5：信源编码可提高信息传输的___有效___性，信道编码可提高信息传输的___可靠_性. 6:若某信道的信道矩阵为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 001 100 010 100 ，则该信道为具有____归并____性能的信道 7：根据香农第一定理（定长编码定理）若一个离散无记忆信源X的信源熵为H(X)，对其n个符号进行二元无失真编码时，其码字的平均长度必须大于____________ 8：若某二元序列是一阶马尔科夫链，P(0/0)=0.8，P(1/1)=0.7，则‘0’游程长度为4的概率为____________,若游程序列为312314，则原始的二元序列为_________. 9:若循环码的生成多项式为1 ) (2 3+ + =x x x g，则接收向量为（1111011）的伴随多项式为_______________ 10:对有32个符号的信源编4进制HUFFMAN码，第一次取_______个信源进行编码. 11:若一个线性分组码的所有码字为：00000,10101,01111,11010，则该码为（____,_____）,该码最多可以纠正_______位错误，共有________陪集. 12：码长为10的线性分组码若可以纠正2个差错,其监督吗至少有__5____位. 13：（7,4）汉明码的一致校验矩阵为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1,0,1,0,1, ,1 0,1,1,0,0, ,1 0,0,0,1,1, ,1 3 2 1 r r r ，则3 2 1 r r r 为__________. _______________________________________________________________ 草稿纸 成绩

《概率论与随机过程》第1章习题

《概率论与随机过程》第一章习题 1.写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。 （4）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （5）一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。 （6）甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 （7）一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 （8）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （9）有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。 （10）测量一汽车通过给定点的速度。 （11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 （1）A发生，B与C不发生。 （2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C都发生。 （4）A，B，C中至少有一个发生。 （5）A，B，C都不发生。 （6）A，B，C中至多于一个发生。 （7）A，B，C中至多于二个发生。 （8）A，B，C中至少有二个发生。

3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，?????? ≤<=121x x A ，? ?????<≤=2341x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，1)(=AC P ，求A ，B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算） （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少 8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求 第4只次品管子在下列情况发现的概率。 （1） 在第5次测试发现。 （2） 在第10次测试发现。 9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一 事件。根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)/(A B P 及)(B A P ?。 10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概 率。 （1） 二只都是正品。 （2） 二只都是次品。 （3） 一只是正品，一只是次品。 （4） 第二次取出的是次品。 11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率

信息论与编码期末考试题----学生复习用

《信息论基础》参考答案 一、填空题 1、信源编码的主要目的是提高有效性，信道编码的主要目的是提高可靠性。 2、信源的剩余度主要来自两个方面，一是信源符号间的相关性，二是信源符号的统计不均匀性。 3、三进制信源的最小熵为0，最大熵为32log bit/符号。 4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为信源熵（或H(S)/logr= H r (S)）。 5、当R=C 或（信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配。 6、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为恒参信道和随参信道。 7、根据是否允许失真，信源编码可分为无失真信源编码和限失真信源编码。 8、若连续信源输出信号的平均功率为2σ，则输出信号幅度的概率密度是高斯分布或正态分布或()22 212x f x e σπσ -= 时，信源 具有最大熵，其值为值21 log 22 e πσ。 9、在下面空格中选择填入数学符号“,,,=≥≤?”或“?” （1）当X 和Y 相互独立时，H （XY ）=H(X)+H(X/Y)=H(Y)+H(X)。 （2）()() 1222H X X H X =≥()()12333 H X X X H X = （3）假设信道输入用X 表示，信道输出用Y 表示。在无噪有损信道中，H(X/Y)> 0, H(Y/X)=0,I(X;Y)

--北邮概率论研究生试题答案定稿

北京邮电大学２012——201３学年第1学期 《概率论与随机过程试题》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容(包括填空题）做在试题答题纸上,做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号,班内序号! 一. 单项选择题和填空题：(每空3分,共３0分) 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 ．Ａ (Ａ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （Ｂ)若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C)若12n A n =∈?A,,,，则 1 n n A ∞=∈A ; (D)若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间,P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c (A)若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-; （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ,则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C)若A B C ∈∈∈F,F,F,,则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++; （D)若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/,1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑． 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到B ｏrel 可测空间(),R B 上的实可测函数,

表达式为100 0()k A k f kI ω==∑,其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=,则fdP Ω=? ;若 已知100 100!1 !(100)()!2 k k k P A -= ，则2f dP Ω=? . 0 2 10(),2550 2525k k kP A =+=∑ ４. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度 2,01,0, (,)0,x y x f x y <<<? =??? 其他，20(1())E X t dt π ω=? 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程，令1 ()()X t W t =，则相 关函数2 (1,2)2 X R σ= . ７． 设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为 0.50.500.50.500.20.30.5P ?? ?= ? ???

05-06概率论与随机过程试题(A卷)

05-06概率论与随机过程试题（A ） 一、选择题 1．设0

2． 设随机变量X 的密度函数为, 0 1, ()0, .ax x f x <

《概率论与随机过程》课程自学内容小结

大学2015～2016学年秋季学期本科生 课程自学报告 课程名称：《概率论与随机过程》 课程编号：07275061 报告题目：大数定律和中心极限定理在彩票选号的应用学生： 学号： 任课教师： 成绩： 评阅日期：

随机序列在通信加密的应用 2015年10月10日 摘 要：大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，较多文献给出了不同条件下存在的大数定律和中心极限订婚礼，并利用大数定律与中心极限定理得到较多模型的收敛性。但对于他们的适用围以及在实际生活中的应用涉及较少。本文通过介绍大数定律与中心极限定理，给出了其在彩票选号方面的应用，使得数学理论与实际相结合，能够让读者对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有更深刻的理解。 1. 引言 在大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，起源于十七世纪，发展到现在，已经深入到了社会和科学的许多领域。从十七世纪到现在，很多国家对这两个公式有了多方面的研究。长期以来，在大批概率论统计工作者的不懈努力下，概率统计的理论更加完善，应用更加广泛，如其在金融保险业的应用，在现代数学中占有重要的地位。 本文主要通过对大数定律与中心极限定理的分析理解，研究探讨了其在彩票选号中的应用，并给出了案例分析，目的旨在给出大数定律与中心极限定理应用对实际生活的影响，也对大数定律与中心极限定理产生更深刻的理解。 2. 自学容小结与分析 2.1 随机变量的特征函数 在对随机变量的分析过程中，单单由数字特征无法确定其分布函数，所以引入特征函数。特征函数反映随机变量的本质特征，可唯一的确定随机变量的分布函数、随机变量X 的特征函数定义为： 定义1 ][)()(juX jux e E dx e x p ju C ==? +∞ ∞ - (1) 性质1 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积。 性质1意味着在傅立叶变换之后，时域的卷积变成频域的相乘，这是求卷积的简便方法。类比可知求独立随机变量之和的分布的卷积，可化为乘法运算，这样就简便了计算，提高了运算效率。 性质2 求矩公式：0)(|) ()(][=-=u n u x n n n du C d j X E (2) 性质3 级数展开式：!)(][!|)()()(0 00n ju X E n u du u C d u C n n n n n n n n X ∑∑∞ ==∞ === (3) 2.2 大数定律与中心极限定理 定义2 大数定律：设随机变量相互独立，且具有相同的μ=)(k X E 和,...2,1,)(2 ==k X D k σ, 则0∈>?,有

北邮信息论200806级期中考试试题及答案

北京邮电大学 06级《信息论》期中考试试题答案 （2008.11.15） 姓名班级学号分数 注意：要求将试卷和答题纸一起上交 一、(25分)已知基于字符表{“blank”, B, I, M, O, P, S, T}的一段文本如下： OTTOS MOPS TOBT MIT OTTOS MOP BIS OTTO MOPPOT （其中的blank表示空格） (1) 统计文本中出现各字符的频度，并近似看作各字符的概率进行二元Huffman 编码，给出每个字符对应的码字（要求：码长方差最小）；(9分) (2) 求平均码长及码长方差；(4+4=8分) (3) 求编码速率和编码效率。(4+4=8分) 解： 11 10 8 4 4 4 2 20 14 18 1 16 8 18 27 45 码字 1 1 1 1 00 10 010 110 0110 0111 1110 1111 O T “blank” M P S B I O T M P S B I “blank” （3+4=7分，每错一个码字扣0.5分）(2) 平均码长及码长方差为：

8.245/)2244(445/)48(345/)1011(2=+++?++?++?=- l 码元/信源符号(4分) 693 .08.245/42245/44245/3445/3845/21045/21122222222 22=-??+??+?+?+?+?=-=∑i i i l l p σ（4分） 3）编码速率8.22log '==l R 比特/信源符号（4分） 编码效率() 2.753298.32%2.8 log 2 H X L η- = ==（4分） 二、（25分）一马氏源具有状态集合{}1,2,...,N ，状态转移图如下图所示 … … p 其中0,0,1p q p q >>+=。 （1）当N=3时，写出状态转移概率矩阵，并求平稳分布。（3+6=9分） （2）对任意N 值，写出状态转移概率矩阵，并求平稳分布。（3+6=9分） （3）对任意N 值，求马氏源的符号熵。（7分） 答： （1） N=3,状态转移概率矩阵为： 000q p q p q p ?? ? ? ?? ? （3分） 由()() 1231231230001 q p q p q p πππππππππ?? ? = ? ?? ? ++= （3分） 得平稳分布为：22 122 2 2222 22 3222 (1)1(1) 11q p p pq q p p pq p p p pq q p p p p p pq q p p πππ-==++-+-==++-+== ++-+（各1分共3分）

《概率论与随机过程》第1章习题答案

《概率论与随机过程》第一章习题答案 1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 解： ? ??????=n n n n S 100 , ,1,0 ，其中n 为小班人数。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 解：{}18,,4,3 =S 。 （3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录 抽取的次数。 解： {}10,,4,3 =S 。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 解： { } ,11,10=S 。 （5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选 举的结果。 解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB 表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。 （6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。 （7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。 （8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次 品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正品。 （9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察 装球的情况。 解： {}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中，Aa 表示球a 放 在盒子A 中，余者类推。 （10） 测量一汽车通过给定点的速度。 解：{}0>=v v S （11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 解： (){}1,0,0,0,,=++>>>=z y x z y x z y x S 其中，z y x ,,分别表示第一段，第二段，第三段的 长度。# 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1） A 发生，B 与C 不发生。 解：C A （2） A 与B 都发生，而C 不发生。 解： C AB （3） A ，B ，C 都发生。 解： ABC （4） A ，B ，C 中至少有一个发生。 解： C B A ?? （5） A ，B ，C 都不发生。 解： C B A （6） A ，B ，C 中至多于一个发生。 解： A C C A ?? （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。 解： C B A ?? （8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 解： CA BC AB ??. # 3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 解： {}5=B A ； （2）B A ?。 解： { }10,9,8,7,6,5,4,3,1=?B A ； （3）B A 。 解：{}5,4,3,2=B A ；

信息论与编码期末考试题(全套)

(一) 一、判断题共10 小题,满分20 分、 1、当随机变量与相互独立时,条件熵等于信源熵、( ) 2、由于构成同一空间得基底不就是唯一得,所以不同得基底或生成矩阵有可能生成同一码集、( ) 3、一般情况下,用变长编码得到得平均码长比定长编码 大得多、( ) 4、只要信息传输率大于信道容量,总存在一种信道编译 码,可以以所要求得任意小得误差概率实现可靠得通 信、 ( ) 5、各码字得长度符合克拉夫特不等式,就是唯一可译码存在得充分与必要条件、() 6、连续信源与离散信源得熵都具有非负性、( ) 7、信源得消息通过信道传输后得误差或失真越大,信宿收到消息后对信源存在得不确 定性就越小,获得得信息量就越小、 8、汉明码就是一种线性分组码、( ) 9、率失真函数得最小值就是、( ) 10、必然事件与不可能事件得自信息量都就是、( ) 二、填空题共 6 小题,满分20 分、 1、码得检、纠错能力取决 于、 2、信源编码得目得就是 ;信道编码 得目得就是、 3、把信息组原封不动地搬到码字前位得码就叫 做、 4、香农信息论中得三大极限定理就 是、、、 5、设信道得输入与输出随机序列分别为与,则成立得 条件、 6、对于香农-费诺编码、原始香农-费诺编码与哈夫曼编码,编码方法惟一得就是、 7、某二元信源,其失真矩阵,则该信源得=、 三、本题共 4 小题,满分50 分、 1、某信源发送端有2种符号,;接收端有3种符号,转移概率矩阵为、 （1）计算接收端得平均不确定度; （2）计算由于噪声产生得不确定度; （3）计算信道容量以及最佳入口分布、 2、一阶马尔可夫信源得状态转移图如右图所示, 信源得符号集为、 (1)求信源平稳后得概率分布; (2)求此信源得熵; (3)近似地认为此信源为无记忆时,符号得概率分布为平 稳分布、求近似信源得熵并与进行比较、 4、设二元线性分组码得生成矩阵为、 (1)给出该码得一致校验矩阵,写出所有得陪集首与与之相 对应得伴随式; (2)若接收矢量,试计算出其对应得伴随式并按照最小距离 译码准则 试着对其译码、 (二) 一、填空题(共15分,每空1分) 1、信源编码得主要目得就是 ,信道编码得主要目得就是。 2、信源得剩余度主要来自两个方面,一就是 ,二就是。 3、三进制信源得最小熵为 ,最大熵为。 4、无失真信源编码得平均码长最小理论极限制为。 5、当时,信源与信道达到匹配。 6、根据信道特性就是否随时间变化,信道可以分为与。 7、根据就是否允许失真,信源编码可分为与。 8、若连续信源输出信号得平均功率为,则输出信号幅度得概 率密度就是时,信源具有最大熵,其值为值。 9、在下面空格中选择填入数学符号“”或“” (1)当X与Y相互独立时,H(XY) H(X)+H(X/Y) H(Y)+H(X)。 (2) (3)假设信道输入用X表示,信道输出用Y表示。在无噪有损 信道中,H(X/Y) 0, H(Y/X) 0,I(X;Y) H(X)。 三、(16分)已知信源 (1)用霍夫曼编码法编成二进制变长码;(6 分) (2)计算平均码长;(4分) (3)计算编码信息率;(2分)

信息论与编码期末考试题

（一） . 一、填空题 1、信源编码的主要目的是提高有效性，信道编码的主要目的是提高可靠性。 2、信源的剩余度主要来自两个方面，一是信源符号间的相关性，二是信源符号的统计不均匀性。 3、三进制信源的最小熵为0，最大熵为32log bit/符号。 4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为信源熵（或H(S)/logr= H r (S)）。 5、当R=C 或（信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配。 6、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为恒参信道和随参信道。 7、根据是否允许失真，信源编码可分为无失真信源编码和限失真信源编码。 8、若连续信源输出信号的平均功率为2σ，则输出信号幅度的概率密度是高斯分布或正态分布或()22 212x f x e σ πσ -=时，信源 具有最大熵，其值为值21 log 22e πσ。 9、在下面空格中选择填入数学符号“,,,=≥≤?”或“?” （1）当X 和Y 相互独立时，H （XY ）=H(X)+H(X/Y)=H(Y)+H(X)。 （2）()() 1222 H X X H X = ≥() () 12333 H X X X H X = （3）假设信道输入用X 表示，信道输出用Y 表示。在无噪有损信道中，H(X/Y)> 0, H(Y/X)=0,I(X;Y)

概率论与随机过程论文

随机过程论文 题目: 通信系统中随机过程的模型研究 姓名刘鲁鹏 学院电子工程学院 专业电子科学与技术 班级概率论与随机过程1班学号2014110632 本人签字 2014 年12月

通过幅度概率分布研究通信系统中的骚扰问题 摘要：通过目前学术界广泛关注的幅度概率分布(APD)检测方法与传统电磁兼容测量方法的比较,说明了幅度概率分布统计测量方法的优越性.并且采用统计测量方法来研究骚扰对数字通信系统的影响,以PAM二进制调制系统为例,推导出了骚扰的APD与通信系统误码概率之间的关系式,给出了骚扰的幅度概率分布测量结果与对应干扰下的数字通信系统的误码概率两者之间的联系.本文的研究结果对于制订电子设备的电磁辐射限值具有参考价值. 关键词：电磁兼容;幅度概率分布;数字通信系统;误码概率;测量检波器

随着数字通信技术的飞速发展,各种电子设备大量涌现,这使得我们的电磁环境变得越来越复杂.如何保证通信系统在如此复杂的电磁环境下能够正常工作是通信技术发展面临的难题,因此电磁兼容性问题变得越来越重要.研究骚扰对通信系统的影响就是要求当骚扰通过通信系统之后,对接收机所产生的最终结果.现有标准中所采用的方法是直接测量这种最终结果,以表示干扰的大小.例如在话音通信中,接收者就是凭听觉来判断干扰的存在和强弱的.由于骚扰经准峰值检波器之后的电表指示与人耳的主观感觉一样,所以准峰值常用来评价骚扰对调幅通信系统的影响,在国际无线电干扰特别委员会(CISPR)出版物中规定的各种骚扰限值都是以准峰值表示的.但是现在面临的问题是准峰值无法反映出骚扰对数字通信系统的影响,如何解决这一问题,是目前CISPR关注的焦点.目前针对这一问题的解决方案主要有:①研究一种新型的加权评估检波器;②采用传统的有效值(RMS)检波器;③采用APD统计测量方法. 其中,方案①研究进展比较缓慢,很难找到一种新型的评估检波器,能像准峰值检波器对模拟通信系统的评估一样有效.RMS检波器只是在评估类似于高斯型噪声对数字通信系统方面得到了验证,对于脉冲型噪声的评估方面,仍显得无能为力.APD统计参量描述的是,骚扰的随机包络的统计特性,它与数字通信系统的误码率有着紧密的联系,而且可以用来建立脉冲干扰的统计模型.目前APD统计测量方法已经得到了CISPR的初步认可,CISPR已经投票通过了APD测量仪的标准草案,而关于APD限值标准则,正在征求各个产品分委会的意见. 本文分析了APD测量方法的理论基础及APD测量方法的优越性,推导了干扰的APD统计结果与二进制PAM调制系统误码率之间的关系,并通过实验数据说明了干扰APD测量结果对于预测通信系统性能的可行性. 1.APD统计测量基础 APD统计测量方法是建立在概率论和数理统计的基础之上的,统计测量最重要的一个目的是获得无线电骚扰的概率密度函数. CISPR给出的APD定义为:干扰幅度超过规定电平的时间概率,用下式表示为 式中:R是门限电平;T是测量总时间;tk是第k个幅度超过R的脉冲的持续时间应用概率论的知识可以把APD表示为 式中,P(R)是干扰包络的累积概率分布. 从式(1)中可以看出,APD与包络的概率密度函数有着直接的联系.以高斯白噪声为例,其概率密度函数满足正态分布为 式中,mx和σ2分别是随机变量x的均值和方差. 由式(1)可以得出高斯白噪声的APD分布为

信息论期末重点题

6.解释最小错误概率译码准则，最大似然译码准则和最小距离译码准则，说明三者的关答：最小错误概率译码准则下，将接收序列译为后验概率最大时所对应的码字。 最大似然译码准则下，将接收序列译为信道传递概率最大时所对应的码字。 最小距离译码准则下，将接收序列译为与其距离最小的码字。 三者关系为：输入为等概率分布时，最大似然译码准则等效于最小错误概率译码准则。在二元对称无记忆信道中，最小距离译码准则等效于最大似然译码准则。 1.设线性分组码的生成矩阵为，求： （1）此（n，k）码的n=？ k=？，写出此（n，k）码的所有码字。 （2）求其对应的一致校验矩阵H。 （3）确定最小码距，问此码能纠几位错？列出其能纠错的所有错误图样和对应的伴随式。（4）若接收码字为000110，用伴随式法求译码结果。 1.答：1）n=6，k=3，由C=mG可得所有码字为： 000000，001011，010110，011101，100101，101110，110011，111000 2）此码是系统码，由G知，，则 3）由H可知，其任意2列线性无关，而有3列线性相关，故有，能纠一位错。 错误图样E 伴随式 100000 101 010000 110 001000 011 000100 100 000010 010 000001 001 4）由知E＝010000，则 信息传输率为 则

6.设有一离散信道，其信道矩阵为，求： （1）最佳概率分布？（2）当，时，求平均互信息 信 道疑义度 （3 ）输入为等概率分布时，试写出一译码规则，使平均译码错误率最小，并求此 答：1）是准对称信道，因此其最佳输入概率分布为。 2）当， 时，有 则 3）此时可用最大似然译码准则，译码规则为 且有 四（15分）设离散无记忆信道输入集合为X={0，1}，输出集合为{0,E,1}，信道转移概率 矩阵为0 103/41/81/811/81/83/4E ?????????? ，输入先验分布为Q(0)= 1/4，Q(1) =3/4。 （1） 求信道容量C 及其最佳分布。 （2） 求采用最佳译码准则下的译码规则，并计算平均错误概率。 （3） 设发送的消息只有两种0000和1111，若接收的序列为0E10，请根据最大似然 准则给出译码结果，并计算此时的错误概率。 五（15分）设二元(5,2)线性分组码的生成矩阵为