两个等边三角形

两个等边三角形

一．解答题（共17小题）

1．已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．

求证：（1）AE=DB；

（2）△CMN为等边三角形．

2．如图，已知△DAC和△ECB是两个大小不同的等边三角形，点A、C、B在同一直线上，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．

（1）试说明：△ACE≌△DCB；

（2）连接MN，则MN∥AB，请说明理由．

3．如图所示，AB上有一点C，分别以AC、BC为边在AB同一侧作等边三角形ACD和△CBE，连接AE、BD，分别交CD、CE于P、Q两点．求证：△CPQ是等边三角形．

4．如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．

求证：DB=DE．

5．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，△EBC可以看作是△DAC经过什么图形变换得到的？说明理由．

6．在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60°

①求证：△BDE是等边三角形；

②若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想；

③在②的条件下当CE=4时，求四边形ABDC的面积．

7．已知，如图，点C在线段AB上，在AB的同旁作等边△ADC和等边△BCE，连接AE、BD交CD、CE于M、N，

（1）求证：AE=BD；

（2）求证：△CMN为等边三角形；

（3）如果把△BEC绕着C点旋转任意角度，上述结论中哪些成立？试说明理由．

8．如图，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N．

（1）证明：△ACE≌△DCB．

（2）在两组线段：①CM与CN；②AC与DN中，有相等的线段吗？（只须写出结论，不须证明）

9．已知如图△ABC和△DCE都为等边三角形，AE交CD于点N，BD交AC于点M．

①求证：AE=BD．

②连接MN，图中还有等边三角形吗？如有，请证明．

10．如图，点B、C、E不在同一条直线上，∠BCE=150°，以BC、CE为边作等边三角形，连接BD、AE．

（1）试说明BD=AE；

（2）△ACE能否由△BCD绕C点按顺时针方向旋转而得到？若能，指出旋转度数；若不能，请说明理由．

11．如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD=CE．

12．如图，已知等边三角形ABC在BC的延长线上取一点E，以CE为边作等边三角形DCE（△ABC与△DCE在同一侧）连接AE、BD．点M是BD的中点，点N是AE的中点．

（1）在图中找出两对可以通过旋转而相互得到的三角形，并指出旋转中心及旋转角度数

（2）△CMN是什么三角形？为什么？

13．严先生能言善辨，他说，他能证明图中的直角等于钝角．请你仔细审阅他的证明过程，指出错误所在．

如图，分别作AB、CD的垂直平分线ME、NE，两线相交于点E．连接AE、BE、CE和DE，那么根据垂直平分线的性质，得到AE=BE，CE=DE．又可得AC=BD，所以△EAC≌△EBD，由此得∠EAC=∠EBD．

另一方面，在△EAB中，从AE=BE，得到∠EAB=∠EBA，将以上两式相减，最后得到∠BAC=∠ABD．即：直角等于钝角！

14．如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD．

15．如图，△ABC是等边三角形，D为AB边上的一点，连接CD，以CD为一边在点A的一侧作等边△CDE，连接AE，设DE与AC相交于点F

（1）写出图中所有的相似三角形；

（2）AE与BC的位置关系是什么，证明你的结论；

（3）若BC=6，CE=4，求AC的长．

16．阅读下面的情景对话，然后解答问题：

老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．

小华：等边三角形一定是奇异三角形！

小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？

问题（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的猜想：“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确？

问题（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；问题（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，且AD=BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE=AD，CB=CE．

①求证：△ACE是奇异三角形；

②当△ACE是直角三角形时，求∠DBC的度数．