雅礼中学届高考数学文科模拟卷(一)
雅礼中学2012届高考模拟卷(一)
数学(文科)
分值:150分 时量:120分钟
一、选择题:本大题共9个小题,每小题5分,共45分. 1.已知复数12z i =-+,则z i ?的虚部为 ( ) A ．－1 B ．i - C ．1 D ．i 2.若{1,3,1},{0,1}A B =-=,则A
B =
( )
A ．{1}
B ．{0,1,3,1}-
C ．{0,1,3}-
D ．{0,1,3}
3.已知向量,a b 满足||1,||2,1a b a b ==?=,则a 与b 的夹角为 ( )
A ．
3π
B ．
34
π C ．
4π D ．6π 4.设0,0a b >>,若1是a 与b 的等比中项,则11
a b
+的最小值为 ( )
A ．8
B ．4
C ．1
D ．2
5.已知ABC ?中,a b c 、、分别是
,,A B C 的对边,4,30a b A ===,则
B ∠等于 ( )
A. 30
B. 30或150
C. 60
D. 60或120 6.右边程序执行后输出的结果是S = ( )
A ．1250
B ．1275
C ．1225
D ．1326
7.如图是一正方体1111ABCD A B C D -被两个截面截去两个角后所得的几何体,其中M N 、分别为棱
11A B 、11A D 的中点,则该几何体的正视图为( )
8.设函数2
()ln 1(0)2
f x x
x x =-
+>,则函数(
)y f x = ( )
B ．在区间(0,1)内有零点,在区间(1,2)内无零点
C ．在区间(0,1),(1,2)内均无零点
D ．在区间(0,1)内无零点,在区间(1,2)内有零点
9.设抛物线28y x =-的焦点为F ,准线为,l P 为抛物线上一点,,PA l A ⊥为垂足,如果直线AF 的斜
,那么||PF = ( ) A
．
B
．
C ．16
D ．8
二、填空题:本大题共7个小题,考生作答6个小题,每小题5分,共30分,把答案填写在题中的横线上.
(一)选做题(请在第10、11两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分) 10.极坐标系中,直线l 的方程为sin 4ρθ=,则点(2,)6
π到直线l 的距离为 .
11.关于优选法有如下一些说法:①若目标函数为单峰函数,则最佳点与好点在差点的同侧;②黄金分割法是最常用的单因素单峰目标函数的优选法之一;③用0.618法确定试点时,n 次试验后的精度为0.618n n δ=;④分数法一旦用
1
n n
F F -确定了第一个试点,后续试点可以用“加两头,减中间”的方法来确定.这些说法中正确的序号是 .
(二)必做题(12?16题)
12.
则第n 个图案中有白色地面砖的块数是 .
13.王先生订了一份《潇湘晨报》,送报人在早上6:30～7:30之间把报纸送到他家,王先生离开家去上班的时间在早上7:00～8:00之间,则王先生在离开家之前能得到报纸的概率是 .
14.设,x y 满足约束条件24,1,22,x y x y x y +≥??
-≥??-≤?
则目标函数z x y =+的最小值为 .
15.已知圆22:(4)1C x y +-=,直线:3460l x y +-=:
(1)圆C 与直线l 的位置关系为 ;
(2)当点P 在直线:3460l x y +-=上运动时,过点P 作圆C 的切线,切点为A B 、,记四边形PACB 的面积是()f p .则()f p 的最小值为 ;
…
第1个 第2个 第3个
(1)若等差数列{}n a 的首项为20,公差为1,则6b = ; (2)当k b 是数列{}n b 的最大项时,k = .
三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
设函数()2sin()(0,)3
f x x x R ωωπ=+>∈,且以π为最小正周期. (Ⅰ)设()2
f π的值; (Ⅱ)已知10(
),(,)26132f α
αππ-=∈π,求sin()4
απ
-的值.
18.(本小题满分12分)
已知某单位有50名职工,现要从中抽取10名职工,将全体职工随机按1～50编号,并按编号顺序平均分成10组进行系统抽样.
(Ⅰ)若第1组抽出的号码为3,写出从编号40～50中所抽出的职工号码; (Ⅱ)分别统计这10名职工的体重(单位:公斤),获得体重数据的茎叶图如 图所示,求该样本的中位数; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从体重不轻于70公斤,又不重于80公斤的职工中 抽取2人,求体重为78公斤的职工没有被抽取到的概率.
19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 是正三角形,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥平面,ABCD F 为PD 的中点. (Ⅰ)求证:AF ⊥平面PCD ;
(Ⅱ)求直线PB 与平面ABF 所成角的正切值. 8 1 7 0 3 6 8 9
6 2 5
7 5 9
20.(本小题满分13分)
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v (单位:千米/小时)是车流密度x (单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当
20200x ≤≤时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数. (Ⅰ)当0200
x ≤≤时,求函数()v x 的表达式; (Ⅱ)当车流密度x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小
时)()()f x x v x =?可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时).
21.(本小题满分13分）
已知椭圆222:1x C y m +=的左、右焦点分别为12F F 、,(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设直线:(0)l y x t t =+>与椭圆C 交于,A B 两点.若原点O 在以线段AB 为直径的圆内,求实数
t 的取值范围.
22.(本小题满分13分)
已知函数()ln 3(,0)f x a x ax a R a =--∈≠. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)求证:*ln 2ln3ln 4
ln 1
(2,)234n n n N n n
???<≥∈.
参考答案
一、选择题 A B C D D B B A D 二、填空题
10. 3 11. ①②④ 12. 4n+2 13. 7/8 14. 2 15.(1) 相离 ;(2) 3 . 16.(1) 50 ;(2) 1006 . 三、解答题
17.【解】(Ⅰ)因为2T ω
π
=
=π,所以ω=2…………………………………………………………2分 所以()2sin(2)3
f x x π=+………………………………………………………………………3分
()2sin(2)2sin()2sin 2
2333
f πππππ
=?
+=π+=-=………………………………………6分 (Ⅱ)因为10()2sin 2613f ααπ-==,所以5
sin 13α=…………………………………………………7分
又因为(,)2απ∈π,于是12
cos 13α=-……………………………………………………………9分
所以sin()sin cos cos sin 444αααπππ-=-=12分
因为40>35,所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准,需要改进.……12分 18.【解】(Ⅰ)由系统抽样的方法可知,当第1组抽取的号码为3时,则其所有抽取的号码为
3,8,13,18,23,28,33,38,43,48;所以从编号40～50中抽出的职工号码为43,48.……………2分
(Ⅱ)由茎叶图可知,10名职工体重的中位数为
7073
71.52
+=……………………………………6分 (Ⅲ)从体重不轻于70公斤,又不重于80公斤的职工中抽取2人,共有10种不同的取法如下:
………………………………………………………………………………………………………9分 又事件A={体重为78公斤的职工没有抽取到},则事件A 的发生包含了4个基本事件,见以上带方框的事件.………………………………………………………………………………………10分
所以由古典概型得43
()1()1105
P A P A =-=-=………………………………………………12分
19.【解】(Ⅰ)证明:如图右,由PAD 是正三角形,F 为PD 中点, 所以AF PD ⊥, 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ,且AD =面PAD 面ABCD ;
又底面ABCD 为正方形,即CD AD ⊥
所以CD ⊥平面PAD ,而AF ?平面PAD ,
所以CD AF ⊥,且CD PD D =,
(Ⅱ)由(Ⅰ)证明可知,CD ⊥平面PAD ,所以AB ⊥平面PAD
所以AB PD ⊥,
又由(Ⅰ)知AF PD ⊥,且AF AB A =,
所以PD ⊥平面ABF ,即PBF ∠为直线PB 与平面ABF 所成的角…………………………9分
且2AB =,
易知1AF PF ==,Rt BAF ?中
,BF =
所以tan PF PBF BF ∠=
即求.……………………………………………………………12分 20.【解】(Ⅰ)由题意:当020x ≤≤时,()60v x =;且(200)0v =,…………………………………2分
当20200x ≤≤时,设()v x ax b =+
则有2000,2060,a b a b +=??+=?,解得1,3
200.
3a b ?=-????=??……………………………………………………………4分
故函数()v x 的表达式为60,
020,()1(200),202003
x v x x x ≤≤??
=?-≤≤??……………………………………6分
(Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得60,020,()1(200),202003
x x f x x x x ≤
=?-≤≤??………………………………………7分
当020x ≤≤时,()f x 为增函数故当,20x =时,其最大值为60×20=1200; …………………8分
当20200x ≤≤时,211(200)10000
()(200)[
]3323
x x f x x x +-=-≤=
当且仅当200x x =-,即100x =时,等号成. …………………………………………………11分
所以,当100x =时,()f x 在区间[20,200]上取得最大值10000
.3
综上,当100x =时,()f x 在区间[0,200]上取得最大值10000
33333
≈.………………………12分
即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时. …………13分 21.【解】(Ⅰ)依题意,可知1m >,
且e =
, 所以2222
222
11112a b b e a a m -===-=-
, 所以2
2m =,即椭圆C 的方程为2212
x y +=.…………………………………………………5分
(Ⅱ)设1122(,),(,)A x y B x y ,则原点O 在以线段AB 为直径的圆内
等价于说
2
AOB π
<∠<π(,,A O B 三点不共线)
也就等价于说0OA OB ?<,即12120x x y y +<…① …………………………………………7分
联立2
2
22
y x t
x y =+??+=?,得22342(1)0x tx t ++-=, 所以22
1624(1)0t t ?=-->,即203t <<……②
且21212422
,33
t t x x x x --+==
…………………………………………………………………10分 于是22
121212122()()()3
t y y x t x t x x t t x x -?=++=+++=
代入①式得,22222
033
t t --+<,即243t <适合②式 (12)
分
又0t >,所以解得0t <<
. …………………………………………………………13分 22.【解】(Ⅰ)由于(1)
()(0)a x f x x x
-'=>,…………………………………………………………2分 ①当0a >时,易知,当01x <<时,()0f x '>,当1x >时,()0f x '<;
所以()f x 的单调递增区间为(0,1),递减区间为(1,)+∞;……………………………………4分 ②当0a <时,同理可知()f x 的单调递减区间为(0,1),递增区间为(1,)+∞;…………………6分 (Ⅱ)要证
*ln 2ln3ln 4
ln 1
(2,)234n n n N n n ???<≥∈成立; 即证*ln 2ln3ln 4ln 1234(1)(2,)n n n n N ???
?-≥∈成立;
所以只需证*ln 21,ln32,,ln 1(2,)n n n n N <<<-≥∈
即证即证*
ln 1(2,)n n n n N <-≥∈……(※),
而由(Ⅰ)中,当1a =时,()ln 3f x x x =--有最大值(1)4f =-;
所以()ln 34f x x x =--<-,即ln 1(0)x x x <->……………………………………………12分 所以以上(※)式成立,原不等式得证. …………………………………………………………13分