第2章水静力学

第二章 水静力学

目的要求：掌握静水压强的有关概念；作用在平面、曲面上静水总压力的计算方法。 难点：压力体的绘制 全部内容均为重点

水静力学研究液体平衡时的规律及其实际应用，静止时0=τ，只有p 存在。 §2-1 静水压强及其特性 一、定义

P ?—面积ω?上的静水压力 （N ）

平均静水压强ω??=P

p

a 点的静水压强)(/lim 20a P m N d dp

P p ω

ωω=

??=→?

二、静水压强的特性

1、第一特性：静水压强的方向垂直指向被作用面。

2、第二特性：作用于同一点上各方向的静水压强大小相等。

y

z

p ⊿⊿

⊿z

x x p p y

n

p x

z y n

A

C

B 0

证：取图示微分四面体， 四个面上的平均静水压强分别为n z y x p p p p ,,,，则

????????

??????????s

p y x p z x p z y p n z y x 212121 ????

??

??

??????????z y x Z z y x Y z y x X 61

61

61ρρρ 沿x 方向力的平衡方程： 061

),cos(21=???+?-??z y x X x n s p z y p n x ρ 06

1

2121=???+??-??z y x X z y p z y p n x ρ 03

1

=?+-x X p p n x ρ 取微分四面体无限缩至o 点的极限

n x p p =

同理n z y x n z n y p p p p p p p p ===∴==

故任意点压强仅是空间坐标的函数而与受压面方位无关。 ),,(z y x p p =

§2-2 重力作用下静水压强的分布规律 一、水静力学的基本方程

质量力只有重力：g Z Y X -===,0,0

C p

z C z p dz gdz dp =+

→'+-=→-=-=γ

γγρ

或 2

1

p z p z +

=+——重力作用下水静力学的基

表面力 质量力

h p p p

z p h z γγ

γ

+=→+

=+

+00

——水静力学基本方程的常用表达式

说明：（1）当 2121z z p p >< ，位置较低点压强恒大于位置较高点压强。

液面压强

0p 由γh 产生的压强

（3） p 随h 作线性增大。 （4）常用a a p h p p ,γ+=为大气压强， 取p a =1个工程大气压=98kN/m 2。

（5）h p p ?+=γ12

二、等压面

1、定义：在同一种连续的静止液体中压强相等的点组成的面

2、等压面方程：0=dp 0=++Zdz Ydy Xdx

3、特性：（1）平衡液体中等压面即是等势面。C W dW dp =→==0ρ （2）等压面与质量力正交

证明：作用在等压面上的单位质量力k Z j Y i X f ρρ

ρρ++=沿微小位移k dz j dy i dx s d ρρρρ++=移动所做功0=++=?Zdz Ydy Xdx s d f ρρ，即f ρ与s d ρ

垂直。

只有重力作用的静止液体，就局部范围而言，等压面必是水平面。 4、举例

三、绝对压强、相对压强、真空值

1、绝对压强：以设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强p

'。 2、相对压强：以当地大气压强作为零点计量的压强p （可 正可负）。

（2）任一点压强由两部分组成 相互独立

3

3

11

2

2

油

水

z h P z γ=P/h γ

A B

A A 0

A

B B B

=P/二者关系：相差一个当地大气压p a ，p ' =p +p a 或p =p '-p a 如图：若0p 为相对压强，a A A p rh p p rh p p ++=+=10/

1

若p 0为绝对压强，a A A

p h p p h p p -+=+=1010/

γγ

若开口（不封闭）1/

1

h p p h p a A A γγ+==

以后无特殊说明，指相对压强。

3、真空值：当液体中某一点的绝对压强小于当地大气压强时，则称该点存在真空。真空值

p p p p a v ='-=

（该点绝对压强小于当地大气压强的数值） 四、静水压强分布图

根据静水压强的两个特性绘制压强随水深变化的几何图形， 称为静水压强分布图。一般要求绘制相对压强分布图。 1、公式 h p h

p p γγ=+=0

2、原则：（1）按比例用线段长度表示某点静水压强的大小。 （2）用箭头表示静水压强的方向（垂直指向被作用面） （3）直线方程，两点可连线。

3、举例：

五、测压管高度、测压管水头、真空度

1、测压管高度

A A h p γ= γ

A

A p h =

——测压管高度

γh

B

h

A

A

1

h P 0

γ23γ

γ

3

21h 1h 5

4

10

P 2

γ

A

A p z +

——测压管水头（z A 为位置高度）

γ

γ

B

B A

A p z p z +

=+

=常数

压强表示方法：1个工程大气压=98kN/m 2=10m 水柱=736mm 水银柱 2、真空度：真空值的液柱高表示

γ

γ

p p p h a v

v '

-=

=

容器中A 点的压强时，可在与A 点相同高度的器壁上开一小孔，并安装一根上端开口的玻璃管。根据管内液面上升的高度h ，就可测出A 点的绝对压强或相对压强。由静水压强基本方程可得

h p p Aabs γ+=0 或 h p A γ=

测得A 点压强后，再通过基本方程就可求得容器中任一点的静水压强。为保证量测精度，测压管内径d 不宜太小，一般取d>10mm ，这样可消除毛细现象影响。测压管的

缺点是不能量测较大压强。当压强超过0.2at(工程大气压)时，则需要长度2m 以上的测压管，使用很不方便。所以量测较大压强时，一般采用U 形水银测压计。 二、水银测压计

水银测压计的构造也很简单，是将装有水银的U 形管安装在需要量测压强的器壁上，管子一端与大气相通，如图2-3-2所示。根据等压面条件，n —n 为等压面，则1、2两点压强相等，即12p p =。从图中还可看出，1、2两点的相对压强分别为

所以

或

在测压计上量得m h 和z 值，即可求得A 点压强，并可推算其他各点压强。 三、水银差压计

用水银差压计可测出液体中两点的压强差。图2-3-3所示水银差压计，U 形管内装有水银，使用时将U 形管两端分别与欲测点相接，待水银柱面稳定后即可施测。其关系推导如下。

由图知

根据等压面原理，12p p =。于是得A 、B 两点压差为

若预测两点位于同一高程上，则A B z z =，式(2-3-2)有如下形式，即

四、真空测压计

水流在通过建筑物的某些部位时，有可能会产生真空。量测真空压强的设备称为真空测压计，如图2-3-4所示，容器中液面压强小于大气压强，即0a p p <。从容器外接一玻璃管插入水箱水面以下，在大气压强作用下，管内液面上升一高度v h ，如图2-3-4(a )所示，则A 点绝对压强为

所以容器内液面压强(绝对压强)为

v a h p p γ-=0

由上式得液面的真空值

则真空度为

v v

h p =γ

（2－3－5）

由图2-3-4可以看出，真空度即为测压管液面在自由液面以上的上升高度。

如果需要量测较大真空值，可采用U 形水银真空计，如图2-3-4(b )所示。若容器内B 点压强小于大气压强，按上述分析方法，可得B 点的真空值

总之，液柱式测压计具有构造简单，量测精度较高等优点，是实验室中的常备仪器。其缺点是量测范围小，携带不方便等。此外，还有金属测压计以及电测仪器等，本书不再作介绍。

§2-4 作用在平面上的静水总压力 一、图解法（适用于矩形平面）

1、大小

小长条面积h

p

bdh

dγ

ω=

=（∵dh无限小）

hbdh

pd

dPγ

ω=

=

??Ω=

=

=

=H b

b

H

hdh

b

dP

P

2

2

1

γ

γ

结论：P=压强分布图的面积×平面宽

2、方向：由平行力系合成原理，合力与各分力方向一致，垂直指向被作用面。

3、作用点（压力中心）：通过压强分布图的形心作用在受压面的纵对称轴上。利用图解法求作用点位置常采用合力矩定理。

合力矩定理：合力对某一轴（点）之矩等于各分力对该轴（点）之矩的代数和。

图示：

2

1

1

1

λ

=

=e

lb

h

Pγ

3

)

(

2

1

2

1

2

2

λ

λ=

-

=e

b

h

h

Pγ

b

h

h

P

P

Pλ)

(

2

1

2

1

2

1

+

=

+

=γ

2

2

1

1

e

P

e

P

Px+

=

??

?

?

?

?

+

+

=

2

1

2

1

2

3h

h

h

h

x

λ

B

A

A

5.5m

2.0m

油A

水

1.5m P=0G

B

二、解析法（适用于任意形状的平面）

首先复习材力知识 静矩=

ωωωc

y yd =?

惯性矩ωωω22

c c x y J

d y

J +==

?

1、大小

ωγhd dP = （d ω很小，近似认为各点压强相等） ωαγd y sin =

ω

ωγωαγωαγω

αγω

ω

c c c p h y y

d d y dP P ======???sin sin sin

p=形心点的压强?受压面的面积。 2、方向：垂直指向被作用面。 3、作用点：用合力矩定理

)

(sin sin sin sin 222ωαγαγωαγωαγω

ω

y J J d y d y ydP Py c x

D +====

=??

? ω

C C

C D y J y y +

= 说明各项意义，一般情况下D 在C 下方

实际工程中的受压面多是轴对称面，总压力P 的作用点必位于对称轴上，这就完全确定了D 的位置。

例题：如图所示，闸门宽1.2m ，铰在A 点，压力表G 的读数为-14700N/m 2

，在右侧箱中装有油，

其容重3

0/33.8m kN =γ，问在B 点加多大的水平力才能使闸门AB 平衡？

解：一、图解法

2

2/392005.5980014700/196005.3980014700m

N p m N p B A =?+-==?+-=左左左侧：

kN P 04.472.12196001=??=，m l 11=（距A ）

kN P 52.232.12)1960039200(21

1=??-='，m l 3

42=

右侧：2

/1666083302m N p B =?=右（压强分布图）

kN P 04.472.1219200=??= m l 4=

B

P 2

P 1

A

P

23

4

992.193/452.23104.470

?+?

=?+?=∑P M A 解得P =25.87KN

二、解析法：首先找出p =0的面 -14700 + γy = 0

y =1.5m

左侧：2

/294005.4980014700m N p c =?+-=

kN p P c 56.7022.1294001=??==ω

m l m

y J

y y c c c D 11.1211.311.32

2.1322.1121

313

=-==????+=+=ω

右侧：2

/833018330m N p c =?=

KN P 992.1922.183302=??=

m l m

y J

y y c c c D 33.133.12

2.1122.1121

123

==????+=+=ω

233.1992.1911.156.700

?+?=?=∑P M A

解得P =25.87kN

可用图解，也可用解析

思考题：一底边水平的等边三角形位于铅直面内，一侧挡水，今将该三角形分成静水总压力相等的两部分，求水平划分线的位置。

h

h b b bh h h b h '='??=''?'2

1

32212132 3

3

333222

2

121

21h h h h b

h b h b h b h ='='='=''

§2-5 作用在曲面上的静水总压力 一、原则

??==Z Z x x dp P dp P 22z x P P P +=

二、静水总压力的水平分力

x

c x x x x x h h

d dP P hd hd dP dP x

ωγωγωγαωγαω======??cos cos

借用前面积分形式（解释各项意义）

P 1

B

P 2P 1A

P

2、压力体的绘制和z P 的方向 其上为大气压

（1）压力体是由曲面本身、过曲面边缘的铅直面、自由液面（或自由液面的延长面）包围而成的体积。

（2）压力体不一定由实际水体构成，故分为实压力体和虚压力体。

实压力体：

虚压力体： 压力体和液

压力体和液 体处于曲面 体处于曲面 的同一侧

的两侧

实压力体

P z

曲面

周界面

A

周界面虚压力体曲面P z A

延展面

P=0

B

B

P 0<0

C

A

γ1

γ2

V 1

A B A

抵消部分

V 2

（3）z P 的作用线通过压力体的体积形心 3、举例

复杂柱面将曲 不同容重部分的 存在真空的情况 面分成几部分 压力体应单独计算 （1）首先确定自由液面

绘制，再叠加

v v p γγ+=

（2）再按原则绘制

四、静水总压力

大小：22z x P P P +=

方向x

z

P P tg =

α 作用点：通过x P 、z P 的交点K ，过K 点沿P 的方向延长交曲面得D 点，对于圆弧面，P 的延长线通过圆心。

例题：如图所示，在容器上部有一半球曲面（见图）试求该曲面上所受的液体总压力的垂直分力z P 的大小，容器中充满重度为 0.8×9800N/m 3

的油。

解：γγγγ1.02.01.021.0-=?-?=m m A p

B B A

A ↑

=-==∴=--=-=)(7531)3

2

(125.315.01.02.015.0320N r H r P m

H H

p p z m A 油油油油γππγγγγγ

思考：x P =？

课堂练习：

习 题 课

一、回答下列问题

1、什么是绝对压强？什么是相对压强？二者关系如何？

2、什么是真空，当存在真空时，真空值与相对压强存在何种关系？

3、已知相对压强，如何计算静止液体中某点的测压管水头？在静止液体中各点的测压管水头存在何种关系？

4、静水压强的重要特性是什么？

5、绘图

Z A P B /γ

Z B A

B Z

C P A /γp 0C

00P C /γ二、复习第二章主要内容 1、静水压强的特性

（1）方向垂直指向被作用面

（2）任一点沿各方向的静水压强大小相等。 2、重力作用下静水压强的基本公式：（1）c p

z =+

γ

（2）h p p γ+=0

3、等压面：会找出等压面。

4、绝对压强，相对压强、真空及真空值的概念。

5、压强单位的三种表示方法：应力单位、工程大气压、液柱高。

6、静水压强分布图和压力体的绘制。

7、作用于平面上的静水总压力（图解法：大小、方向、作用点 。解析法：大小、方向、作用点）

8、作用于曲面上的静水总压力： 方向、作用点

三、例题

标出图示容器内A 、B 、C

三点的位置高度、测压管高度和测 压管水头，C 点的相对压强为负值。

1、 如图所示，已测得A 球压 力表读数为0.25个工程大气压，测 压计内汞面之间充满酒精。 已知：h 1=20cm h 2=25cm h=70cm

L

L

G

H

θ

e

G

o

R=1m

B

A h 1

h 2

P 0气

3、一重量为G=19600N 的闸门，用无摩擦的铰O 联接在岸墩上，闸门宽b=8m ，H=1m ， θ=30。

，为保持闸门的平衡，试计算闸门的长度L=？

解：P= b H b H H 2sin 21γθγ=? θ

sin 3H

e p =

G=19600N θcos 2

L

e G = 00=∑M

θθcos 2

19600sin 3L H p ?=?

解得：m G

PH

L 16.6cos sin 32==θθ

第二章水静力学(1)

第二章水静力学 1、相对压强必为正值。( ) 2、图示为一盛水容器。当不计瓶重时, 作用于地面上的力等于水作用于瓶底的总压力。( ) 3、静水总压力的压力中心就是受力面面积的形心。( ) 4、二向曲面上的静水总压力的作用点就是静水总压力的水平分力与铅直分力的交点。( ) 5、一个任意形状的倾斜平面与水面的夹角为α。则该平面上的静水总压力P=ρgy D A sinα。(y D为压力中心D的 ) （） b，长度L及倾角α均相等，则二板上的静水总压力作 ( ) ( ) 8、静水压强仅是由质量力引起的。( ) 9、在一盛水容器的侧壁上开有两个小孔A、B，并安装一U 形水银压差计，如图所示。由于A、B两点静水压强不 ?h 的差值。( ) 10、物体在水中受到的浮力等于作用于物体表面的静水总压力。( ) 11、选择下列正确的等压面: ( ) (3) C ? C (4) D ? D ( ) (1) 淹没面积的中心；(2) 压力体的中心；(3) 总压力的作用点；(4) 受压面的形心。 13、平衡液体中的等压面必为( ) (1) 水平面；(2) 斜平面；(3) 旋转抛物面；(4) 与质量力相正交的面。 14、图示四个容器内的水深均为H，则容器底面静水压强最大的是( ) (1) a ; (2) b ; (3) c ; (4) d 。

15、欧拉液体平衡微分方程( ) (1) 只适用于静止液体；(2) 只适用于相对平衡液体； (3) 不适用于理想液体；(4) 理想液体和实际液体均适用。 16、容器中盛有两种不同重度的静止液体，如图所示，作用在容器A B 壁面上的静水压强分布图应为( ) (1) a (2) d 17、液体某点的绝对压强为58 kP a，则该点的相对压强为( ) (1) 159.3 kP a；(2) 43.3 kP a；(3) -58 kP a(4) -43.3 kP a。 18、图示的容器a 中盛有重度为ρ1的液体，容器b中盛有密度为ρ1和ρ2的两种液体，则两个容器中曲面AB 上压力体及压力应为( ) (1) 压力体相同，且压力相等；(2) 压力体相同，但压力不相等； (3) 压力体不同，压力不相等； 1 m 时〔虚线位置〕，闸门上的静水总压力。( ) (3) 不变；(4) 无法确定。 3 m 水柱高，当地大气压为一个工程大气压，其相应的 绝对压强值等于( ) (1) 3 m 水柱高；(2) 7 m 水柱高； (3) －3 m 水柱高；(4) 以上答案都不对。 21、液体中，测管水头(z + p/ρg) 的能量意义是______________________。 22、液体中，位置高度z 的能量意义是_______________；压强高度p/ρg 的能量意义是_______________。 23、真空压强的最小值是__________________；真空压强的最大值是___________________。 24、比重为0.81 的物体放入比重为0.9 的液体中，则出露部分体积与总体积之比为__________________。

2第二章 流体静力学

第二章 流体静力学 2－1 设水管上安装一复式水银测压计，如图所示。试问测压管中1－2－3－4水平液面上的压强p 1、p 2、p 3、p 4中哪个最大？哪个最小？哪些相等？ 解：p 1

2－4 设有一盛水的密闭容器，连接一复式水银测压计，如图所示。已知各液面的高程 分别为1234523m 1.2m 2.5m 14m 30m ... ，，，，，?=?=?=?=?=水的密度ρ==1000 kg/m 3，ρHg =13.6×103kg/m 3。试求密闭容器内水面上压强p 0的相对压强值。 解：0Hg 1232Hg 3454()()()()p g g g g ρρρρ=?-?-?-?+?-?-?-? 33 (13.6109.8(2.3 1.2)9.810(2.5 1.2)?=???--??-+? 33313.6109.8(2.5 1.4)9.810(3.0 1.4)Pa 264.8010Pa ù创?-创-= ú? 2－5 设有一盛空气的密闭容器，在其两侧各接一测压装置，如图所示。已知h 1 =0.3m 。 试求容器内空气的绝对压强值和相对压强值，以及水银真空计左右两肢水银液面的高差h 2。（空气重量略去不计）。 解：（1）4340abs a 1(9.8109.8100.3)Pa 9.50610Pa p p h g ρ=-=?-??=? 3019.8100.3Pa 2940Pa p h g ρ=-=-??=- （2）3 023 Hg 2940m 2210m 22mm 13.6109.8 p h g ρ--===?=?? 2－6 设有两盛水的密闭容器，其间连以空气压差计，如图a 所示。已知点A 、点B 位于同一水平面，压差计左右两肢水面铅垂高差为h ，空气重量可略去不计，试以式表示点A 、点B 两点的压强差值。 若为了提高精度，将上述压差计倾斜放置某一角度θ=30°，如图b 所示。试以式表示压差计左右两肢水面距离l 。 解：（1）A B p gh p ρ-=，A B p p gh ρ-= （2）l h = θsin ，h h l 230 sin == 2－7 设有一被水充满的容器，其中点A 的压强由水银测压计读数h 来确定，如图所示。 若在工作中因不慎或换一相同的测压计，而使测压计向下移动一距离Δz ，如图中虚线所示。试问测压计读数是否有变化？若有变化，Δh 又为多大？ 解：由压强关系得： H g 1()A h h h p g g ρρ-+= (1) H g 32 1 ()() A h h z h h h h p g g ρρ+?-?-+++= (2) 由水银容积前后相等关系得： 3222h h h h h +?+=+ (3) 联立解上述三式可得 333Hg 2g 29.810(2g g)(213.6109.89.810)13.1 z z z h ρρρ???????=== -???-? ，测压计读数有变化。

第二章 流体静力学

一、 学习导引 1、流体静止的一般方程 （1） 流体静止微分方程 x p f x ??= ρ1，y p f y ??=ρ1，z p f z ??=ρ1 （2） 压强微分 )(dz f dy f dx f dp z y x ++=ρ （3） 等压面微分方程 0=++dz f dy f dx f z y x 2、液体的压强分布 重力场中，液体的位置水头与压强水头之和等于常数，即 C p z =+ γ 如果液面的压强为0p ，则液面下深度为h 处的压强为 h p p γ+=0 3、 固体壁面受到的静止液体的总压力 物体受到的大气压的合力为0。计算静止液体对物面的总压力时，只需考虑大气压强的作用。 （1） 平面壁 总压力：A h P c γ= 压力中心A y J y y c c c D + = 式中，坐标y 从液面起算；下标D 表示合力作用点；C 表示形心。 （2） 曲面壁 总压力：222z y x F F F F ++= 分力 ：x xc x A h F γ=，y yc y A h F γ=，V F z γ= 4、难点分析 （1）连通器内不同液体的压强传递 流体静力学基本方程式的两种表达形式为C p z =+ γ 和h p p γ+=0。需要注意的是这 两个公式只适用于同一液体，如果连通器里面由若干种液体，则要注意不同液体之间的压强传递关系。 （2）平面壁的压力中心 压力中心的坐标可按式A y J y y c c c D + =计算，面积惯性矩c J 可查表，计算一般较为复杂。求压力中心的目的是求合力矩，如果用积分法，计算往往还简便些。 （3）复杂曲面的压力体 压力体是这样一部分空间体积：即以受压曲面为底，过受压曲面的周界，向相对压强为零的面或其延伸面引铅垂投影线，并以这种投影线在相对压强为零的面或其延伸面上的投影面为顶所围成的空间体积。压力体内不一定有液体。正确绘制压力体，可以很方便地算出铅垂方向的总压力。 （4）旋转容器内液体的相对静止

第2章水静力学

第二章 水静力学 目的要求：掌握静水压强的有关概念；作用在平面、曲面上静水总压力的计算方法。 难点：压力体的绘制 全部内容均为重点 水静力学研究液体平衡时的规律及其实际应用，静止时0=τ，只有p 存在。 §2-1 静水压强及其特性 一、定义 P ?—面积ω?上的静水压力 （N ） 平均静水压强ω??=P p a 点的静水压强)(/lim 20a P m N d dp P p ω ωω= ??=→? 二、静水压强的特性 1、第一特性：静水压强的方向垂直指向被作用面。 2、第二特性：作用于同一点上各方向的静水压强大小相等。

y z p ⊿⊿ ⊿z x x p p y n p x z y n A C B 0 证：取图示微分四面体， 四个面上的平均静水压强分别为n z y x p p p p ,,,，则 ???????? ??????????s p y x p z x p z y p n z y x 212121 ???? ?? ?? ??????????z y x Z z y x Y z y x X 61 61 61ρρρ 沿x 方向力的平衡方程： 061 ),cos(21=???+?-??z y x X x n s p z y p n x ρ 06 1 2121=???+??-??z y x X z y p z y p n x ρ 03 1 =?+-x X p p n x ρ 取微分四面体无限缩至o 点的极限 n x p p = 同理n z y x n z n y p p p p p p p p ===∴== 故任意点压强仅是空间坐标的函数而与受压面方位无关。 ),,(z y x p p = §2-2 重力作用下静水压强的分布规律 一、水静力学的基本方程 质量力只有重力：g Z Y X -===,0,0 C p z C z p dz gdz dp =+ →'+-=→-=-=γ γγρ 或 2 1 p z p z + =+——重力作用下水静力学的基 表面力 质量力