内A
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暨南大学考试答卷参考答案与评分标准
得分 评阅人 一、单选与填空题 (每小题2分, 共28分)
(一)单选题
答题须知:本题答案必须写在如下表格中,否则不给分。
小题号 1 2 3 4 5 6 7 答案
B
B
C
B
D
C
A
1.函数1
(1)1
x x
a y a a +=>-是( ).(B ) (A )偶函数 (B )奇函数 (C )非奇非偶函数 (D )奇偶函数
2. 极限=-+-∞→1
7272lim n n n
n n ( ).(B )
(A )1 (B )-1 (C )0 (D )2
3.曲线x x y -=23上点M 处的切线斜率为11,则M 的坐标是( ).(C)
教
师
填
写 2010- 2011 学年度第__ 1___学期
课程名称:高等数学Ⅰ(经管类内招生3学分) 授课教师姓名:余晖,邱青,刘双乾
考试时间: 2011 年 _ 1 月 __17_ 日 课程类别
必修[√] 选修[ ]
考试方式 开卷[ ] 闭卷[ √ ]
试卷类别(A 、B) [ A ] 共 8 页 考
生 填 写
学院(校) 专业 班(级)
姓名 学号 内招[√] 外招[ ]
题 号 一 二 三 四 五 六 总 分 得 分
经管类高等数学I (内招生3学分) 考生学号: 考生姓名:
第 2 页 共 8 页
(A )(2,15) (B )(3,1) (C )(2,10) (D )(-2,10) 4.已知)(x f 在],[b a 上连续,则( )一定存在.(B)
(A ))(lim x f a
x →; (B ))(lim x f a
x +
→; (C ))(lim x f a
x -→; (D ))(lim x f b
x +
→. 5.201
sin
lim
().sin 5x x x x →= (D ) (A )1
5
(B )1
(C )∞ (D )0
6.31002().x y e x ==函数在处的边际函数值及弹性函数值分别为 (C) (A )6100,6e (B)6100,3e (C) 6300,6e (D)6300,3e
7.曲线5
41
2
--=
x x y 的铅直渐近线与水平渐近线是( ).(A ) (A)一条水平的,两条垂直的. (B)两条水平的,一条垂直的. (C)两条水平的,没有垂直的. (D)一条垂直的,没有水平的.
(二)填空题
答题须知:本题答案必须写在如下表格中,否则不给分。
小题号
1 2 3 4 5 6 7
答案 [-1,1] [1/10,10]
x=0
不存在
6
高阶
33
1.设)(x f y =的定义域为[0,1],则()2
1x f -的定义域为 .[-1,1]
2.函数
221lg 1lg y u u x y x x =-==-与能构成复合函数,则的取值区间是 .
[1/10,10]
3.1
()11f x x
=+的可去间断点是x = . (x =0)
4.2
0____________.0
x
x x y x xe
x ?≤=?>?在=0处的导数(不存在)
5.设???
?
???>+=<+=0,61sin 0,0,5sin 1
)(x x x x a x x x x f 在其定义域内连续,则a = .(6)
6.若y=f (x )是可微函数,则当0x y dy x ?→?-?时,是关于的_______无穷小.(高阶)
7.在[0,1]中,对函数3()2________.f x x x ξ=+应用拉格朗日定理,其中值为(33
) 得分 评阅人 二、计算题(每小题6分,共48分)
1. 求极限()
x
x x cos ln 1
2
3sin 1lim +→.
解 (
)
()
()
2220011
1
1
ln 1sin 3lim
ln 1sin 3lim
sin 32
ln cos ln cos ln cos ln cos 0
lim 1sin 3lim x x x x
x
x
x
x x x x x
e
e
e
→→++→→+=== 3分
22
001(3)lim sin 3lim ln cos ln cos x x x x x x →→=,18cos sin 18lim 0-=-=→x x
x x 5分 ()
18cos ln 12
3sin 1lim -→=+∴e x x
x 6分
2.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数y 的导数
dx
dy . 解 方程两边对x 求导得 1分 0='++'y x y y e y 4分
)0(≠++-=∴
y
y e x e
x y dx dy 6分 3. 求103
lim()1
x x x x -→∞+
解:10310(1)13
111lim()lim(1)11
x x x x x x x -+-→∞→∞+-=-++=
(10)
(1)13
11lim (1)lim(1)11
x x x x x --+-→∞→∞
??=--
?++??
3分
经管类高等数学I (内招生3学分) 考生学号: 考生姓名:
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(10)
(1)13
11lim(1)lim(1)11
x x x x x --+-→∞→∞
?
?=--
?++??
5分 =10e - 6分 4.4()3,().x f x f x -'=设求
解:4
(4)
3()3
4
4
x x x f x x ---?=?≥则 (4)431
(4)lim 4x x f x -
---→-'=-(4)43ln 3lim 1x x ---→-==ln 3- 2分 (4)431
(4)lim 4
x x f x +-+→-'=-(4)43ln 3lim 1x x -
-→==ln 3 4分 (4)(4),(4)f f f +-'''≠不存在
4(4)3ln 3()3
ln 344
x x x f x x ---?>'=?-
4. 22lim (11)x x x →+∞
+--
解:
22
lim (11)x x x →+∞
+--=
22222
2
(11)(11)
lim
(11)
x x x x x x x →+∞
+--++-++- 2分
2
2
2
lim
lim (11)
x x x x →+∞
→+∞
=++- 5分
=0 6分
6.21ln(2)
lim 4arctan x x x x
→+- 解:21ln(2)lim 4arctan x x x x
→+-=21
1
1
lim lim ln(2)1ln11lim 4arctan 4arctan1x x x x x x π→→→+-+== (代入每处2分)
7.设23
2
23,2,d y
x t y t t dx
=+=+求
解1:222
22223,22,/333t t x t t t x t y t y y x t t t
+'''''==+==
=+,232433x dy dx t t '=--/x
x t dy y x dt ''''= ----------2-----------2------------------------2---------------------
232
24
333t t t --
=
=452499t t =--
解2:222
22223,22,/333t t x t t t x t y t y y x t t t
+'''''==+==
=+,232433x dy dx t t '=--/x
x t dy y x dt ''''= 1
21
2
3
3
3
(3),2(3)2(3)
t x y t t x x =-=+=-+-
123322
(3)(3)33y x x --'=-+- 3分
45
33212
[()(3)()(3)]333
y x x --''=--+--
45
3
32[(3)2(3)]9
y x x --''=--+- 6分
以上两种作法可以通过t 与x 的相互变换形成统一的答案。
8.求,(arccos )dy y f x x =若
(arccos )(arccos )x y f x x x x '''=?解:=(arccos )(arccos )x f x x x x ''=? 3分
(arccos )arccos (arccos )x x x x x x x '''=+=2
11arccos ()21x x x
x
+-?
-
1arccos 21x x x
=-
-
1(arccos )(arccos )(arccos )arccos 21x x y f x x x x f x x x x ??
''''=?=?- ? ?-?? 5分
1(arccos )arccos 21x dy f x x x dx
x ??
'=?- ? ?-??
6分 得分
评阅人
三、判断与分析题(10分)
经管类高等数学I (内招生3学分) 考生学号: 考生姓名:
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判定曲线-x y =xe 的单调性、极值、凹向及拐点
解:
()x x y x e x e --'''=+=(1)x x x y e xe e x ---'=-=-, ()(1)(1)x x y e x e x --''''=-+-
(1)(2)x x x y e x e e x ---''=---=-,0y ''=令,得x=2 3分
(,1)1(1,2)2(2,)
(1)0(2)0x x x
y e x y e x y ---∞+∞'=-+--
''=---+
??? 8分
1x =为极大值,1(1)f e =为极大值.,22
(2,)e
拐点为,单调区间,凹凸区间如图。10分
得分 评阅人 四、应用题(9分)
已知某产品的销售价格p (单位:元/件)是销量q (单位:件)的函数p q
=-4
002
,而总成本为C q q ()=+1001500(单位:元),假设生产的产品全部售出,求产量为多少
时,利润最大?最大利润是多少?
解:由已知条件可得总收益函数 2
()400(0)2
q R q pq q q ==-
> 1分
利润函数 )1500100(2
400)()()(2
+--=-=q q q q C q R q L 3分 15002
3002
--=q q
求导得 '=-L q q ()300,令'
=L q ()0得q =300, 5分 而()10L q ''=-<,它是唯一的极大值点,因此是最大值点. 7分
此时最大利润为 L ()300300300300
2
1500435002
=?--=
即产量为300件时利润最大.最大利润是43500元. 9分
得分 评阅人 五、证明题(5分)
证明:2
11(0)2
x x x e x x --+>>->
证明:设()1x F x e x -=-+,0(0)100F e -=-+=,1
()1x x
x e F x e
e
--'=-=, 1分 1
()10,(0),()(0,)()(0)x x
x e F x e
x F x F x F e
--'=-=>>∴+∞∴>在上是单调增加的,,2分
1(0)x e x x -∴>-> 3分
设2()12x
x G x x e -=-+-,200(0)1002
G e -=-+-=,()1()0,(0)x G x x e F x x -'=-++=>>
5分
()(0,)()(0)G x G x G ∴+∞∴>在上是单调增加的,
2
12
x x x e -∴-+> 6分
得分 评阅人 六、附加题(5分,加分后以100分封顶)
设)(x f 在区间],[b a 上连续,在区间),(b a 内0)(<''x f ,证明对一切),(b a x ∈,都有 a
b a f b f a x a f x f -->--)
()()()(.
证明 设a
b a f b f a x a f x f x F -----=
)
()()()()(,
2
)
())
()(())(()(a x a f x f a x x f x F ----'=
', 2分 又设))()(())(()(a f x f a x x f x g ---'=,则0))(()(<-''='a x x f x g , 于是)(x g 单调减少,则),(b a x ∈时,0)()(=b g x F , 即有
经管类高等数学I (内招生3学分) 考生学号: 考生姓名:
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a b a f b f a x a f x f -->--)
()()()( 5分