多元函数微积分初步
第四章 多元函数微积分初步
§4.1 偏导数与全微分
一. 主要内容： ㈠. 多元函数的概念
1. 二元函数的定义：
D
y x y x f z ∈=),(),(
)(f D 定义域：
2. 二元函数的几何意义：
二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线） ㈡. 二元函数的极限和连续： 1.
极限定义：设z=f(x,y)满足条件：
的某个领域内有定义。
在点),(100y x
可除外）（点),(00y x
A
y x f y y x x =→→),(lim 20
。极限存在，且等于
在则称A y x y x f z ),(),(00=
2.
连续定义：设z=f(x,y)满足条件：
的某个领域内有定义。
在点),(100y x
)
,(),(lim 2000
y x f y x f y y x x =→→
处连续。在则称),(),(00y x y x f z =
㈢.偏导数：
点
在定义),(),,(:00y x y x f
x
y x f y x x f y x f x x ?-?+='→?)
,(),(lim
),(00000
00
y
y x f y y x f y x f y y ?-?+='→?)
,(),(lim
),(00000
00
的偏导数。
处对在分别为函数y x y x y x f y x f y x f y x ,),(),(),(),,(000000''
处的偏导数记为：
内任意点在),(),(y x D y x f z =
x
x z x
z x
y x f y x f '=??=
??=
'),(),(
y
y z y
z y
y x f y x f '=??=
??=
'),(),(
㈣.全微分：
1.定义：z=f(x,y)
),(),(y x f y y x x f z -?+?+=?若
)(ρo y B x A +?+?=
）是比
（无关，、与、其中，ρo y x B A ??
较高阶的无穷小量。
2
2y x ?+?=
ρ
y B x A y x df dz ?+?==),(:则
),(y x f z =是 在点(x,y)处的全微分。
3.
全微分与偏导数的关系
.),(),(),,(D y x y x f y x f y x ∈''连续，定理：若
处可微且
在点则：),(),(y x y x f z =
dy
y x f dx y x f dz y x ),(),('+'=
㈤.复全函数的偏导数：
1.
),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===设：
[]),(),,(y x v y x u f z =∴ x
v v z x u u z x z ???
??+?????=??则：
y v v z y u
u z
y z
?????+?????=??
2.
)(),(),,(x v v x u u v u f y ===设
)]
(),([x v x u f y =∴
㈥.隐含数的偏导数：
dx
dv v
y dx
du u
y dx
dy ???+???=
1.
0),,(,0),,(≠'==z F y x f z z y x F 且设
z y z x F F y z
F F x z
''-=??''-=??,则
2. 0),(,0),(≠'==y F x f y y x F 且设
y x F F dx
dy '
'-
=则
㈦.二阶偏导数：
)
(
),(2
2
x
z
x x
z y x f xx
????
=
??=''
)
(
),(2
2
y
z
y y
z y x f yy
????
=
??=''
)
(
),(2
x z
y y x z y x f xy
????=???=''
)
(),(2
y
z
x x
y z y x f yx
????=
???=''
的连续函数时，为和结论：当y x y x f y x f yx xy
,),(),(''''),(),(y x f y x f yx xy
''=''则： ㈧.二元函数的无条件极值
1. 二元函数极值定义：
某一个邻域内有定义，
在设),(),(00y x y x z
[]),(),(),,(),(0000y x z y x z y x z y x z ≥≤或若
,)(),(),(00值或极小的一个极大是则称y x z y x z
值点。或极小的一个极大是称)(),(),(00y x z y x
☆ 极大值和极小值统称为极值，
极大值点和极小值点统称为极值点。
2.极值的必要条件：
)
,(),(),(0000y x y x y x f z 有极值，且在在点若=
两个一阶偏导数存在，则：
),(0
),(0000='='y x f y x f y x
★
，
的点使),(0),(),(1000000y x y x f y x f y x ='='
的驻点。称为)(,y x f z =
的必要条件，
定理的结论是极值存在
2
而非充分条件。
例：
12
2+-=x y z
??
?===+='=-='00
20200y x y z x z y x 解出驻点
1)0,0(=z
11),0(0,02
>+=≠=y y z y x 时，当 11)0,(0,02
<+-==≠x x z y x 时，当
∴驻点不一定是极值点。
3. 极值的充分条件：
的某个领域内
在设：函数),(),(00y x y x f y =
为驻点，有二阶偏导数，且),(00y x
[]
),(),(),(00002
00y x f y x f y x f p yy xx
xy
''?''-''=若：
??
??>''?<''<为极小值。时，为极大值。时，且当：),(0),(),(0),(000000000y x f y x f y x f y x f p xx
xx
不是极值。
当：),(,000y x f p ?>
不能确定。当：?=,0p
求二元极值的方法：
一阶偏导数等于零，
求一阶偏导数，令两个
1
解出驻点。
判断驻点是否是
根据极值的充分条件，
求出,2p
极值点。
极值。若驻点是极值点，求出
3
二倍角公式：(含万能公式) ①θ
θθθθ2
12cos sin 22sin
tg tg +=
=
②θ
θθθθθθ2
2
2
2
2
211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=
-=-=-=
③θ
θθ
2
122tg tg tg -=
④2
2cos 11sin
2
2
2
θ
θ
θθ-=
+=
tg tg ⑤2
2cos 1cos
2
θ
θ+=
多元函数微分学知识点梳理
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
多元函数微积分复习题
多元函数微积分复习题
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：
多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 （ B ) （A) 充分而不必要条件; (B ） 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件； (D) 既不必要也不充分条件． 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (Ａ） 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (Ｃ） 必要而且充分条件; (D ） 既不必要也不充分条件. 3.函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B )． (A) 充分而不必要条件; (Ｂ) 必要而不充分条件; (Ｃ) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. ４．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ). A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=； B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在， 则. 22z x ??=22z y ??. 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ). Ａ. 可微（指全微分存在）?可导(指偏导数存在)?连续; Ｂ. 可微?可导?连续; C ． 可微?可导, 或可微?连续， 但可导不一定连续; Ｄ. 可导?连续， 但可导不一定可微. 6．向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ) (A) 3 (B ） 3-
多元函数微积分复习题
多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). C A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( ). C A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2
多元函数微积分复习试题
多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. … 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ). A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. ] 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ). A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2
考研数学三-多元函数微积分学(一).doc
考研数学三-多元函数微积分学(一) (总分：100.00，做题时间：90分钟) 一、Section Ⅰ Use of Eng(总题数：1，分数：10.00) The mass media is a big part of our culture, yet it can also be a helper, adviser and teacher to our young generation. The mass media affects the lives of our young by acting as a (an) (1) for a number of institutions and social contacts. In this way, it (2) a variety of functions in human life. The time spent in front of the television screen is usually at the (3) of leisure: there is less time for games, amusement and rest. (4) by what is happening on the screen, children not only imitate what they see but directly (5) themselves with different characters. Americans have been concerned about the (6) of violence in the media and its (7) harm to children and adolescents for at least forty years. During this period, new media (8) , such as video games, cable television, music videos, and the Internet. As they continue to gain popularity, these media, (9) television, (10) public concern and research attention. Another large societal concern on our young generation (11) by the media, is body image. (12) forces can influence body image positively or negatively. (13) one, societaland cultural norms and mass media marketing (14) our concepts of beauty. In the mass media, the images of (15) beauty fill magazines and newspapers, (16) from our televisions and entertain us (17) the movies. Even in advertising, the mass media (18) on accepted cultural values of thinness and fitness for commercial gain. Young adults are presented with a (19) defined standard of attractiveness, a(n) (20) that carries unrealistic physical expectations. （分数：10.00） (1).[A] alternative [B] preference [C] substitute [D] representative（分数：0.50） A. B. C. D. (2).[A] accomplishes [B] fulfills [C] provides [D] suffices（分数：0.50） A. B. C. D. (3).[A] risk [B] mercy [C] height [D] expense（分数：0.50） A. B. C. D. (4).[A] Absorbed [B] Attracted [C] Aroused [D] Addicted（分数：0.50） A. B. C. D. (5).[A] identify [B] recognize [C] unify [D] equate（分数：0.50） A. B. C.
多元函数微分学复习题及答案
多元函数微分学复习题 及答案 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=?????110 00，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???? ?22 2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22
多元函数微分法及其应用
第八章多元函数微分法及其应用 （讲授法18学时） 上册研究了一元函数微分法，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。 多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。 一、教学目标与基本要求 1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 二、教学内容及学时分配： 第一节多元函数的基本概念2课时 第二节偏导数2学时 第三节全微分2学时 第四节多元复合函数的求导法则2学时 第五节隐函数的求导公式2学时 第六节多元函数微分学的几何应用2学时 第七节方向导数与梯度2学时 第八节多元函数的极值及其求法2学时 三、教学内容的重点及难点： 重点： 1．多元函数的极限与连续； 2．偏导数的定义；全微分的定义 3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则 4．方向导数与梯度的定义 5．多元函数的极值与最值的求法 难点： 1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系； 2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数； 3．由方程组确定的隐函数的求导法则； 4．梯度的模及方向的意义； 5．条件极值的求法
第六章多元函数微积分复习概要
第六章多元函数微积分复习要点 一、基本概念及相关定理 1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数 A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于 000(,)P x y 时的极限.记作0 lim (,)x x y y f x y A →→=,或00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或 lim (,)f x y A ρ→=,或 (,)f x y A →,0ρ→.其中 ， ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义，如果对任意 0(,)()P x y U P ∈，都有 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=（或 0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,) P x y 处连续. 3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义. （1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导 数定义为00000 (,)(,)lim x f x x y f x y x ? →+?-?，记作 00 x x y y z x ==??，或 00 x x y y f x ==??， 或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即 x x y y z x ==??=00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ? →+?-?. （2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对 y 的偏导
多元函数微分学及其应用归纳总结
第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？
例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）
多元函数微分学复习(精简版)
高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y
多元函数微积分练习题
练习题 一 多元函数微分学部分练习题 1 求函数y x y x z -+ += 11的定义域. 2已知xy y x xy y x f 5),(2 2 -+=-，求),(y x f . 3计算下列极限 （1） 22) 0,1(),() ln(lim y x e x y y x ++→ （2） 442 2),(),(lim y x y x y x ++∞∞→ （3） 2 43lim ) 0,0(),(-+→xy xy y x （4） x y x xy 1) 1,0(),()1(lim +→ （5）2222)1,2(),(2lim y x y x xy y x ++→ （6）2222)0,0(),() (2sin lim y x y x y x ++→ 4 证明极限 y x y x y x +-→)0,0(),(lim 不存在. 5 指出函数2 2),(y x y x y x f -+= 的间断点. 6计算下列函数的偏导数 （1）)ln(2y x z = （2）x xy z )1(-= （3）),(2 y x f x z = （4）)(xy x z ?= （5）y xy y x z 234 4+-+= （6）)ln(22y x z += （7）)3cos(22y x e z y x += （8）y xy z )1(+= （9）2 221 z y x u ++= （10）? = 220 sin y x dt t z 7 计算下列函数的二阶偏导数 （1）2 43y xy x z -+= （2）)ln(xy y z = （3）y e z xy sin = （4）),(2 y x f x z = （5）2 (,)z f xy x =
多元函数微积分复习题
多元函数微积分复习题 、单项选择题 1 ?函数f x,y 在点X o , y o 处连续是函数在该点可微分的 （B ） （A ） 充分而不必要条件； （B ） 必要而不充分条件； （C ） 必要而且充分条件； （D ） 既不必要也不充分条件? 2 ?设函数f x,y 在点x o ,y o 处连续是函数在该点可偏导的 （D ） （A ） 充分而不必要条件； （B ） 必要而不充分条件； （C ） 必要而且充分条件； （D ） 既不必要也不充分条件? 3.函数f x, y 在点x o ,y o 处偏导数存在是函数在该点可微分的 （B ）. （A ） 充分而不必要条件； （B ） 必要而不充分条件； （C ） 必要而且充分条件； （D ） 既不必要也不充分条件? 4 .对于二元函数z = f （x, y ）,下列结论正确的是（）.C A. 若 Ijm =A )则必有 Iim f (X ) y) = A 且有 Iim f (X ) y) = A; X % X r X Q y >y o y 泌 B. 若在（X 0,y °）处'z 和2?z 都存在,则在点（x °, y °）处z =f （x,y ）可微; CX Cy C. 若在（x 0,y 0）处和2?z 存在且连续,则在点（x 0, y 0）处z =f （x,y ）可微; CX Cy 5. 二元函数Z r f （X,y ）在点（X 0,y °）处满足关系（）.C A. 可微（指全微分存在）二可导（指偏导数存在）=连续； B. 可微=可导=连续； C. 可微二?可导，或可微=连续，但可导不一定连续； D. 可导=连续，但可导不一定可微. J 4 科? 6. 向量a =3,7-2, b = 1,2,-1 ,则 aLb = （ A ） （A ） 3 （B ） -3 （C ） -2 （D ） 2 D.若 -2 三和 :X -2 -2 :Z α ■y √2 Z
高等数学期末复习--多元函数微分学
高等数学期末复习 第九章 多元函数微分学 一、内容要求 1、会求简单二元函数定义域 2、会求多二元函数表达式和值 3、会求简单二元函数的极限 4、掌握二元函数偏导数定义，性质，能确识别二元函数偏导数定义形式，得出偏导数正确表达 5、会求二元函数偏导数值：求偏导函数，代入点求值 6、会求二元函数微分值：求偏导函数，代入点求微分表达式 7、会按一元函数求导法则求直接函数的偏导数 8、会由轮换对称性确定多元函数对称元导数 9、会用链式规则求抽象形式多元函数的偏导数 10、会求多元函数全微分 11、会求多元隐函数的偏导数 12、会求二元函数驻点，判定二元函数极值的存在性 13、能观察出简单多元函数极值情况 14、能应用多元函数求极值方法解决简单应用问题 15、会求空间曲面的切平面、法线方程 16、会求空间曲线的切线、法平面方程 17、会求多元函数的方向导数 18、会求多元函数的梯度 二、例题习题 1、二元函数x y z arcsin =的定义域是( ) A.|}||||),{(x y y x ≤ B. }0|||||),{(≠≤x x y y x C. }0|||||),{(≠>x x y y x D. }0|||||),{(≠≥x x y y x 解：使函数x y z arcsin =有意义，只要||1,0y x x ≤≠，即||||,0y x x ≤≠，所以，选B. （内容要求1） 2、函数22 1 (,)ln()=++ +f x y x y x y 的定义域为 ； 解：使函数22 1(,)ln()=++ +f x y x y x y 有意义，只要22 0,0x y x y +>+≠，所以填22{(,)|0,0}x y x y x y +>+≠（内容要求1）
多元函数微积分
多元函数微积分 第 1 节：多元函数 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续 性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。 教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 一、 区域 讨论一元函数时，经常用到邻域和区间的概念。由于讨论多元函数的需要，我们首先把邻域和区间概念加以推广，同时还要涉及其它一些概念。 1． 邻域 设),(000y x p 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数。与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即 ),(0δP U =}{0δ 2．二元函数的几何表示 三、二元函数的极限与连续性 1. 二元函数的极限 2. 二元函数的连续性 第 2 节：偏导数 教学目的：学习偏导数的定义，学会求多元函数的偏导数和多阶偏导数。 教学重点：偏导数的定义，判断二元函数偏导数的存在性，计算二元、多元函数的偏导数。 教学难点：判断二元函数偏导数的存在性，计算多元函数的偏导数。 教学内容： 一、 导数的定义及其计算法 在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引入了导数概念。对于多元函数同样需要讨论它的变化率。但多元函数的自变量不止一个，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多。在这一节里，我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率。以二元函数),(y x f z =为例，如果只有自变量x 变化，而自变量y 固定（即看作常量） ，这时它就是 x 的一元函数，这函数对x 的导数，就称为二元函数z 对于x 的偏导数，即有如下定义： 定义 设函数 z =f ),(y x 在点),(00y x 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在 0x 处有增量x ?时，相应地函数有增量 ),(),(0000y x f y x x f -?+, 如果 0 lim →?x x y x f y x x f ?-?+) ,(),(0000 (1) 存在，则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数，记作 0y y x x x z ==?? , 0y y x x x f ==?? , 0 0y y x x x z == 或 x f ),(00y x 例如，极限（1）可以表示为 多元函数微积分复习题一、单项选择题 1．函数 f x, y 在点00 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) x, y (A)充分而不必要条件 ;(B)必要而不充分条件 ; (C)必要而且充分条件 ;(D)既不必要也不充分条件. 2 ．设函数 f x, y在点x0, y0处连续是函数在该点可偏导的（D) (A)充分而不必要条件 ;(B)必要而不充分条件; (C)必要而且充分条件 ;(D)既不必要也不充分条件. 3．函数f x, y在点x0, y0处偏导数存在是函数在该点可微分的( B ). (A)充分而不必要条件 ;(B)必要而不充分条件 ; (C)必要而且充分条件 ;(D)既不必要也不充分条件 . 4 ．对于二元函数z f (x, y) ,下列结论正确的是 ( C ). A. 若lim A ,则必有 lim f (x, y) A 且有 lim f (x, y)A; x x0x x y y 00 y y0 B. 若在( x0, y0)处z 和 z 都存在 ,则在点 (x0 , y0 ) 处 z f ( x, y) 可微; x y C. 若在( x0, y0)处z 和 z 存在且连续 , 则在点( x0, y0)处z f (x, y) 可微; x y 2z2z2z 2 z D. 若2和2都存在 ,则.2 y 2 . x y x 5．二元函数z f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处满足关系( C ). A.可微 ( 指全微分存在 ) 可导 ( 指偏导数存在 ) 连续 ; B.可微可导连续 ; C.可微可导 , 或可微连续 , 但可导不一定连续 ; D. 可导 连续 , 但可导不一定可微 . r 3, 1, 2 , r 1 ，则 r r （ A ） 6. 向量 a b 1, 2, a gb (A) 3 (B) 3 (C) 2 (D) 2 5．已知三点 M （1， 2， 1），A （2，1，1），B （2，1， 2） ，则 MA? AB = （ C ） (A) -1 ； (B) 1 ； (C) 0 ； (D) 2 ； 6．已知三点 M （0，1，1）， A （ 2， 2， 1），B （2，1，3） ，则 | MA AB |=（ B ） (A) 2; (B) 2 2 ; (C) 2 ; (D)-2; 7 ．设 D 为园域 x 2 y 2 2ax (a 0) , 化积分 F (x, y)d 为二次积分的正确方法 D 是_____D____. A. 2 a dx a B. 2 2a 2 a x 2 0 f ( x, y)dy dx f (x, y)dy a C. a 2 acos f ( cos , sin ) d d a D. 2 d 2a cos f ( cos , sin ) d 2 3 ln x 8．设 I dx 1 0 f (x, y)dy , 改变积分次序 , 则 I ______. B A. ln3 e y B. ln3 3 dy 0 f (x, y)dx 0 dy e y f ( x, y)dx C. ln3 dy 3 f ( x, y)dx D. 3 dy ln x f ( x, y)dx 1 9． 二次积分 2 d cos , sin ) d 可以写成 ___________. D f ( cos A. 1 y y 2 f (x, y)dx B. 1 dy 1 y 2 dy f ( x, y) dx 多元函数微分法及其应用-期末复习题-高等数学下册-(上海电机学院) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 21- B. 2 1 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 第六章多元函数微积分 6.1 空间解析几何基础知识 一、空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系。 即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。 空间直角坐标系共有八个卦限 空间的点有序数组（x,y,z） 特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0） 空间两点间距离公式： 特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0） 。 二、空间中常见图形的方程 1、球面 已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有 ， 称为球面方程。 特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。 2、平面 到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。 例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。【答疑编号11060101】 解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点， 根据题意有|MA|=|MB|， 化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。 x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。 3、柱面 定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。 这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。 柱面举例 4、二次曲面 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。（1）椭球面 椭球面与三个坐标面的交线： （2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。 6.2 多元函数的基本概念 一、准备知识 1、邻域 设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0, δ）, 。 2、区域 平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。 欢迎阅读 第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 2223 0x y →→45、设u x =arctan ，则?x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-14； （B ）14； （C ）-12； （D ）12 7、若)ln(y x z -=，则=??+??y z y x z x （ C ） （A ）y x +； （B ）y x -； （C ）21； （D ）2 1-． 8、设y x z arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ） （A ）22v u v u --； （B ）22v u u v --； （C ）22v u v u +-； （D ）22v u u v +-． 9、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) 10、设z 11（A （C 12(f x （A （C 1、极限2、极限3、函数z x y =+ln()的定义域为 ??????? 。答：x y +≥1 4、函数z x y =arcsin 的定义域为 ??????? 。答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++?? ?? 22，则f kx ky (,)= ??????? 。答：k f x y 2?(,) 第五章 一元函数积分学 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写 出cos t a == 邻边斜边，于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3：求不定积分sin x xdx ? 分析：如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去x （因为' 1u =） 解令,sin u x dv xdx ==，则du dx =，cos v x =-. 于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++???? 。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,u v ，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算： sin cos (cos cos )cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=--=-++???多元函数微积分复习试题.docx
多元函数微分法及其应用-期末复习题-高等数学下册-(上海电机学院)
第六章 多元函数微积分
(完整版)多元函数微分学复习习题及答案
微积分 总复习题及答案