幂函数第一课时
§2.3幂函数（1）
【学习目标】 ：
通过具体实例了解幂函数的概念、图象和性质，并能进行简单的应用. 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性． 【教学重难点】 ：
重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的概念和一些性质． 难点：画五个具体幂函数的图象. 【知识要点】 ：
1：幂函数的定义：_____________________________________________ 2：幂函数及其性质（)(R x x y ∈=?
） 函数 性质 x y =
2x y =
3x y =
2
1x y =
1-=x y
定义域 值域 奇偶性 单调性
特殊点 图像分布
3：根据上述5个函数的图像，你能归纳出幂函数?
=x y 的图像特征吗？ 重点研究在哪个象限？
（1）、所有幂函数都在___________有定义，并且图像都通过点_____________ （2）（2）、当0>?则幂函数图像通过原点，并且在区间),0[+∞上是____________ 特别地，当1>a 时，幂函数的图像在第一象限内_______________ 当10< 在第一象限内,当x 从右边趋向于原点时，图像在y 轴右方无限地逼近______轴 当x 趋向于∞+时，图像在x 轴上方无限地逼近______轴 （4)、幂函数的图像，在第一象限内，直线的x=1右侧，图像由下至上，指数由______到______ y 轴和直线x=1之间，图像由上至下，指数由______到_______ 【练习】 1．在函数220 3 1,3,,y y x y x x y x x = ==-=中，幂函数的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．函数2-=x y 在区间]2,2 1[上的最大值是（ ） 3．若函数x a x f = )(在),0(+∞上为增函数，则a 的取值范围是（ ） 4.．幂函数2 5-=x y 的定义域为（ ） A ．(0,+∞) B ．[0,+∞) C ．R D ．(-∞，0)U (0,+∞) 5．若幂函数()a f x x =在()0,+∞上是增函数，则 ( ) A ．a >0 B ．a <0 C ．a =0 D ．不能确定 6．若112 2 1.1,0.9a b -==，那么下列不等式成立的是 ( ) A ．a B ．1 C ．b D ．1 7．若幂函数()1m f x x -=在(0，+∞)上是减函数，则 ( ) A ．m >1 B ．m <1 C ．m =l D ．不能确定 8．使x 2＞x 3成立的x 的取值范围是（ ） A 、x ＜1且x ≠0 B 、0＜x ＜1 C 、x ＞1 D 、x ＜1 9．若2 1) 1(－＋a ＜2 1) 23(－－a ，则a 的取值范围是_______________； 10.设()()12+-=m x m x f ，如果()f x 是正比例函数，则m=____ ,如果()f x 是反比例函数，则m=______,如果f(x)是幂函数，则m=____． 11．函数2 ()3 x f x x +=+的对称中心是_______，在区间上是_______函数（填“增”或“减”）. 12．已知函数1 m m 22 x )m 2m ()x (f -++=，m 为何值时，)x (f 是（ ） （1）正比例函数 （2）反比例函数 （3）二次函数 （4）幂函数 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）几种常见对数 2、对数的性质与运算法则 （1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1 log 0a =，②l o g 1a a =，③l o g N a a N =，④l o g N a a N =。 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质: a y x =有下列性质： （1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． （2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 一、选择题（每小题 4分，共 计40分） 1．下列各式中成立的一项是 （） A ．71 7 7)(m n m n =B ． 3 3 39=C ．4 343 3)(y x y x +=+D ．31243)3(-=- 2．化简)3 1 ()3)((65 613 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （） A ．a 9- B ．a - C ．a 6 D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确．．． 的是 （） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 1 ) 2()5(--+-=x x y （） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 一、指数函数 1．形如(0,0)x y a a a =>≠的函数叫做指数函数，其中自变量是x ，函数定义域是R ，值域是(0,)+∞． 2.指数函数(0,0)x y a a a =>≠恒经过点(0,1)． 3.当1a >时，函数x y a =单调性为在R 上时增函数； 当01a <<时，函数x y a =单调性是在R 上是减函数． 二、对数函数 1． 对数定义： 一般地，如果a （10≠>a a 且）的b 次幂等于N , 即N a b =，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作 b N a =log ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 着重理解对数式与指数式之间的相互转化关系，理解，b a N =与log a b N =所表示的是,,a b N 三个量之间的同一个关系。 2. 对数的性质： （1）零和负数没有对数；（2）log 10a =；（3）log 1a a = 这三条性质是后面学习对数函数的基础和准备，必须熟练掌握和真正理解。 3. 两种特殊的对数是：①常用对数：以10作底 10log N 简记为lg N ②自然对数：以e 作底（为无理数），e = 28…… ， log e N 简记为ln N ． 4.对数恒等式（1）log b a a b =；（2）log a N a N = 要明确,,a b N 在对数式与指数式中各自的含义，在指数式b a N =中，a 是底数，b 是指数，N 是幂；在对数式log a b N =中，a 是对数的底数，N 是真数，b 是以a 为底N 的对数，虽然,,a b N 在对数式与指数式中的名称不同，但对数式与指数式有密切的联系：求 对数log a N 就是求b a N =中的指数，也就是确定a 的多少次幂等于N 。 三、幂函数 1．幂函数的概念：一般地，我们把形如y x α =的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是 分数指数幂 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）5 1a = （2）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4y x = （2）)0(2>=m m m 3、求下列各式的值 （1）2 325= （2）32 254- ?? ??? = 4、解下列方程 （1）13 1 8 x - = （2）151243 =-x 分数指数幂（第 9份）答案 1 2、33 2 22 ,x y m 3、（1）125 （2） 8125 4、（1）512 （2）16 指数函数（第 10份） 1、下列函数是指数函数的是 （ 填序号） （1）x y 4= （2）4 x y = （3）x y )4(-= （4）2 4x y =。 2、函数)1,0(12≠>=-a a a y x 的图象必过定点 。 3、若指数函数x a y )12(+=在R 上是增函数，求实数a 的取值范围 。 4、如果指数函数x a x f )1()(-=是R 上的单调减函数，那么a 取值范围是 （ ） A 、2a C 、21< 5、下列关系中，正确的是 （ ） A 、51 31 )21()21(> B 、2.01.022> C 、2 .01.022--> D 、11 5311()()22 - - > 6、比较下列各组数大小： （1）0.5 3.1 2.3 3.1 （2）0.3 23-?? ? ?? 0.24 23-?? ? ?? （3） 2.52.3- 0.10.2- 7、函数x x f 10)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 函数x x f 1.0)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 8、求满足下列条件的实数x 的范围： （1）82>x （2）2.05 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 【巩固练习】 1．下列函数与 y x 有相同图象的一个函数是（ ） A ． y x 2 B ． y x 2 x C ． y a log a x (a 0且 a 1) D ． y log a a x 2．函数 y 3x 与 y 3 x 的图象关于下列那种图形对称（ ） A ． x 轴 B ． y 轴 C ．直线 y x D ．原点中心对称 3．（ 2015 年山东高考）若函数 f (x) 2x 1 是奇函数，则使 f （ x ）＞ 3 成立的 x 的取值范围为（ ） 2x a A ．（－ ∞，－ 1） B ．（－ 1， 0） C ．（ 0,1） D ．（ 1，+∞） 4．（ 2017 广西一模） 已知函数 f ( x) 2, 0 x 1 x (log 1 4x 1) f (log 3 x 1) 5 1, x 1 ，则不等式 log 2 4 的解集为（ ） 1 B ．[1，4] 1 D ．[1，+∞） A ． ( ,1) C ． ( ,4] 3 lg x 3 3 5．为了得到函数 y 的图象，只需把函数 y lg x 的图象上所有的点（ ） 10 A ．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度； B ．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度； C ．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度； D ．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度； 6．函数 y log 1 ( x 2 5x 6) 的定义域为（ ）； (x 2 ) A ． 1 , 2 3, B ． 1 ,1 1,2 3, 2 2 C ． 3 , 2 3, D ． 1, 3 3 , 2 3, 2 2 2 2 1 7．当 0 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①????????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）几种常见对数 2（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②l o g 1a a =，③l o g N a a N =，④l o g N a a N =。 （2）对数的重要公式： 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义、 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );、 3.指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,0 (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义、 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );、 3.指数函数的图象与性质 y=a x a>1 0 图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,0 指数、对数、幂函数知识归纳 知识要点梳理 知识点一：指数及指数幂的运算 1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. 2.n次方根的性质： (1)当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3.分数指数幂的意义： ； 注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： (1) (2) (3) 知识点二：指数函数及其性质 1.指数函数概念：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2. 函数 图象过定点，即当时， 变化对图象的影在第一象限内，从逆时针方向看图象， 看图象， 知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若，则叫做以为底的对数，记作，叫做底数，叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：. 2.几个重要的对数恒等式：，，. 3.常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即(其中…). 4.对数的运算性质 如果，那么①加法： ②减法：③数乘：④ ⑤⑥换底公式： 知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域. 2. 且 图象过定点，即当时， 上是增函数上是减函数 变化对图在第一象限内，从顺时针方向看图象， 看图象， 1.反函数的概念 设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数， 函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成. 2.反函数的性质 (1)原函数与反函数的图象关于直线对称. (2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域. (3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上. (4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数. 一、 幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地，函数 a y x =叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数 的情况)．3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： a y x =有下列性质： (1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b = log b a a N N b =?=（0a >，1a ≠，0N >）． 高一数学对数函数练习 一、选择题 1.函数y=(0.2)-x +1的反函数是( ) A.y=log 5x+1 B.y=klog x 5+1 C.y=log 5(x-1) D.y=log 5x-1 2.函数y=log 0.5(1-x)(x ＜1＝的反函数是( ). A.y=1+2-x (x ∈R) B.y=1-2-x (x ∈R) C.y=1+2x (x ∈R) D.y=1-2x (x ∈R) 3.当a ＞1时，函数y=log a x 和y=(1-a)x 的图像只可能是( ) 4.函数f(x)=lg(x 2 -3x+2)的定义域为F ，函数g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)定义域为G ，那么( ) A.F ∩G= B.F=G C.F G D.G F 5.已知0＜a ＜1,b ＞1，且ab ＞1，则下列不等式中成立的是( ) A.log b b 1 ＜log a b ＜log a b 1 B.log a b ＜log b b 1＜log a b 1 C.log a b ＜log a b 1＜log b b 1 D.log b b 1＜log a b 1＜log a b 6.函数f(x)=2log 2 1x 的值域是［-1，1］，则函数f -1 (x)的值域是( ) A.［ 2 2 ，2］ B.［-1，1］ C.［21，2］ D.(-∞， 2 2 ) ∪2，+∞) 7.函数f(x)=log 3 1 (5-4x-x 2 )的单调减区间为( ) A.(-∞，-2) B.［-2，+∞］ C.(-5，-2) D.［-2，1］ 8.a=log 0.50.6，b=log 20.5，c=log 3 5，则( ) A.a ＜b ＜c B.b ＜a ＜c C.a ＜c ＜b D.c ＜a ＜b 二、填空题 1.将(6 1 )0 ，2，log22 1 ,log0.52 3 由小到大排顺序： 2.已知函数f(x)=(log 4 1 x)2 -log 4 1x+5,x ∈［2，4］，则当x= ，f(x) 有最大值 ；当x= 时，f(x)有最小值 . 3.函数y= ) x log 1(log 222 1+的定义域为 ，值域为 . 4.函数y=log 3 12 x+log 3 1x 的单调递减区间是 . 三、解答题 1.求函数y=log 2 1(x 2 -x-2)的单调递减区间. 2.求函数f(x)=log a (a x +1)(a ＞1且a ≠1)的反函数. 3.求函数f(x)=log 21 1 -+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x)的值域. 【素质优化训练】 一、 幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂：...()n n a a a a n N =∈ 零指数幂：0 1(0)a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,)p p a a p N a -= ≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是：0,,,1) m a a m n N n =>∈>且 负分数指数幂的意义是：10,,,1) m n m n a a m n N n a -= = >∈>且 2、幂函数的定义 一般地，函数a y x =叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数(我们只讨论a 是有理数 的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当11,,1,2,332a =时的图象见左图；当1 2,1,2a =--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： a y x =有下列性质： (1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b = log b a a N N b =?=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 教学目标 1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质． 2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程． 3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题． 教学重点与难点 重点是对数定义、对数的性质和运算法则．难点是对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导． 教学过程设计 师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍 生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+％）20=，所以20年后国民生产总值是原来的倍． 师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题． 师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍 师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程 =4． 我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题． 师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作 logaN=b， 其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式． 师：请同学谈谈对对数这个定义的认识． 生：对数式logaN实际上就是指数式中的指数b的一种新的记法． 生：对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算． （此刻并不奢望学生能说出什么深刻认识，只是给他们自己一个去思维认识对数这个定义的机会．） 师：他们说得都非常好．实际上ab=N这个式子涉及到了三个量a，b，N，由方程的观点可得“知二求一”．知道a，b可求N，即前面学过的指数运算；知道b（为自然数时），N可求a，即初中学过的开 记作logaN=b．因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为logaN，读作：以a为底N的对数．请同学注意这种运算的写法和读法． 师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识并记忆对数这个概念，请同学们填写下列表格．（打出幻灯） 式子 指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =， 当n 是偶数时，???<≥-==) 0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： : ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1 *>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 < 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； ！ （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为．底．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a a x =?=log ； ` ○ 3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 . b 对数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： 。 ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 一、 幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂：...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂：0 1(0)a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,)p p a a p N a -= ≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1)m n m n a a a m n N n =>∈>且 负分数指数幂的意义是：1(0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a -= = >∈>且 2、幂函数的定义 一般地，函数a y x =叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数(我们只讨论a 是有理数 的情况)． 》 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当11,,1,2,332a =时的图象见左图；当 1 2,1,2a =--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： a y x =有下列性质： (1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； : ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； | (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a . @ 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 天才在于勤奋 1 2.2对数与对数运算 2. 2. 1对数与对数运算（1） 【使用说明】: 1.课前认真研读课本，完成自主研读学习单设计的问题.. 2.课堂内限时完成合作探究学习单，书写规范. 3.找出疑问和不能独立解决的问题，通过合作探究，教师指导等方式解决. 4.课后认真完成反馈巩固学习单. 【学习目标】 1. 理解对数的概念； 2. 能够说明对数与指数的关系； 3. 掌握对数式与指数式的相互转化. ※自主研读学习单※ 复习1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭. （1）取4次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺？ 复习2：假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产是2002年的2倍？（只列式） 上述都是已知底数和幂的值求指数，就是我们要学习的对数，你能给出对数的定义吗？ 新知： 一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）. 记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数 1.我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lgN 2．在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作lnN 请将复习1和2中的式子转化为对数形式： 反思： （1）指数与对数间的关系？ 0,1a a >≠时，x a N =? . （2）在对数式N a x log = 中，底数a 和真数Ｎ的取值范围是什么？（3）log 1a =_______ ， log a a =_______ （4）在指数式和对数式中都含有a ，x ，N 这三个量，那么这三个量在两个式中各有什么异同点？ 指数函数、对数函数、幂函数专题 1．函数()3(02)x f x x =<≤值域为（ ） A ．(0)+∞， B ．(19]， C ．(01)， D ．[9)+∞， 2．给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()() ()1()() f x f y f x y f x f y ++=-．下列 函数中不满足其中任何一个等式的是（ ） A ．()3x f x = B ．()sin f x x = C ．2()log f x x = D ．()tan f x x = 3．以下四个数中的最大者是（ ） A ．（ln2）2 B ．ln （ln2） C ．ln 2 D ．ln2 4．若A=}82 2|{2<≤∈-x Z x ，B=}1|log ||{2>∈x R x ，则)(C R B A I 的元素个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．设2 ()lg( )1f x a x =+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞U 6．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2 ()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假： 命题甲：(2)f x +是偶函数； 命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ） A ．①③ B ．①② C ．③ D ．② 7．函数y=1 21 2+-x x 是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．设,,a b c 均为正数，且11222 112log ,log ,log ,22b c a a b c ???? === ? ?????则（ ） A.a b c << B.c b a << C.c a b << D.b a c << 对数函数的运算、性质以及幂函数图像性质 一、对数函数的运算 1、对数的定义： 如果a x =N （a >0，a ≠1）那么数x 叫做以a 为底N 的对数。 记作: x=lo g a N ，其中i a 叫做对数的底数，N 叫做真数， x=lo g a N 叫做对数式． 常用对数：log 10N=lgN 自然对数：log e N=lnN 2、指数式和对数式的联系： 指数 对数 x a N =?(a>log 0a 1)a N x =≠且 3、对数的运算性质 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： log log log a a a MN M N =+；log log log a a a M M N N =- log log ()n a a M n M n R =∈ 语言表达: 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数n 倍 给出四个等式: 1)lg(lg10)0;2)lg(ln )0; 3)e ==2 若lgx=10,则x=10;4)若lnx=2,则x=e 4、对数换底公式 log log log m a m N N a = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 两个推论: 设 a, b > 0且均不为1,则 1)log log 1a b b a ?=；2)log log m n a a n b b m = 二、对数函数图像与性质 三、幂函数图像及性质 1.幂函数的定义 形如 y = x a 的函数叫做幂函数，其中 a 是常数且 a ∈ R 2.幂函数的定义域： 是使 x a 有意义的实数的集合。随a 的不同而不同 指、对数函数,幂函数 指数、对数以及指数函数与对数函数，是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛中，都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质，熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系，对学习好高中函数知识，意义重大。 一、指数概念与对数概念： 指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘a·a……a(n个)=a n导出乘方，这里的n为正整数。从初中开始，首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念。 欧拉指出：“对数源出于指数”。一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N，就是a b=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：log a N=b 其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 a b=N与b=logaN是一对等价的式子，这里a是给定的不等于1的正常数。当给出b求N时，是指数运算，当给出N求b时，是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。 二、指数运算与对数运算的性质 1．指数运算性质主要有3条： a x·a y=a x+y,(a x)y=a xy,(ab)x=a x· b x（a>0,a≠1,b>0,b≠1） 2．对数运算法则（性质）也有3条： （1）log a(MN)=logaM+logaN （2）logaM/N=logaM-logaN（3）logaM n=nlogaM(n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 3．指数运算与对数运算的关系： X=a logax；m logan=n logam 4．负数和零没有对数；1的对数是零，即log a1=0；底的对数是1，即log a a=1 5．对数换底公式及其推论： 换底公式：logaN=logbN/logba 推论1：loga m N n=(n/m)logaN 推论2：指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
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