概率论与数理统计习题 三解析【哈工大版】
习 题 三
1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。
解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以
11()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-=
2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个
数X 的分布列。
解 从a b +个球中任取r 个球共有r
a b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有k r k
b a C C -，所以X 的分布列为
()k r k
b a
r
a b
C C P X k C -+==，max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+ ， 此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。
3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1
(1,2,3)1
i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。
解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。则
1231111(0)()23424
P X P A A A ===
??=， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++
123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++
1111211136
23423423424
=
??+??+??=， 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++
123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++
12111312311
23423423424
=
??+???+??=， 1231236
(3)()23424
P X P A A A ===??=.
即X 的分布列为
0123
1611624242424
X
P
. 4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为1
2
，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率分布。
解 (0)P X P ==(第一个路口即为红灯)12
=
, (1)P X P ==(第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯)111224
=?=， 依此类推，得X 的分布列为
123
1111248
8
X
P
.
5．将一枚硬币连掷n 次，以X 表示这n 次中出现正面的次数，求X 的分
布列。
解 X 为n 重贝努里试验中成功出现的次数，故1
~(,)2
X B n ，X 的分布列为
1()2n
k n P X k C ??== ???
0,1,,k n = 6．一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布，求（1）每分钟恰有8次呼叫的概率；（2）每分钟的呼叫次数大于10的概率。 解 设X 为每分钟接到的呼叫次数，则~(4)X P
（1）84448444(8)0.29778!!!k k k k q P X e e e k k ∞∞---=====-=∑∑
（2）4
114(10)0.00284.!
k k P X e k ∞
-=>==∑
7．某商店每月销售某种商品的数量服从参数为5的泊松分布，问在月初至少库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.99977以上。 解 设X 为该商品的销售量，N 为库存量，由题意
5
1150.99977()1()1()1!
k K N K N P X N P X N P X K e k ∞
∞
-=+=+≤≤=->=-==-∑∑
即
5
150.0002
3!
K K N e k ∞
-=+≤∑ 查泊松分布表知115N +=，故月初要库存14件以上，才能保证当月不脱销的概率在0.99977以上。
8．已知离散型随机变量X 的分布列为：(1)0.2,(2)0.3P X P X ====，
(3)0.5P X ==，试写出X 的分布函数。
解 X 的分布列为
123
0.20.30.5
X P
所以X 的分布函数为
0,1,0.2,12,()0.5,23,1, 3.
x x F x x x
=?≤
9．设随机变量X 的概率密度为
sin ,0,
()0,c x x f x π<
求：（1）常数C ；（2）使()()P X a P X a >=<成立的a .
解 （1）00
1()sin cos 2f x dx c xdx c x c π
π
+∞-∞
=
==-=?
?，1
2
c =
； （2）1111()sin cos cos 2222
a
a P X a xdx x a π
π>=
=-=+?， 0
01111()sin cos cos ,2222
a a
P X a xdx x a <==-=-? 可见 cos 0a =， 2
a π
∴=
。
10．设随机变量X 的分布函数为
()arctan F x A B x =+，x -∞<+∞，
求：（1）系数A 与B ；（2）(11)P X -<≤；（3）X 的概率密度。 解 （1）由分布函数的性质
0()2
1()2F A B F A B ππ?
=-∞=-?????=+∞=+?
??
于是 12
A =，1
B π=，所以X 的分布函数为
11
()arctan 2F x x π
=+ x -∞<<+∞
， （2）11111
(11)(1)(1)()24242
P X F F ππππ-<≤=--=+?--?=；
（3）X 的概率密度为
21
()()(1)
f x F x x π'==+， x -∞<<+∞
. 11．已知随机变量X 的概率密度为
||1
()2
x f x e -=，x -∞<<+∞.
求X 的分布函数. 解
001,0,2()()11,0,2
2x u
x x x u e du x F x f u du e dx e du x -∞
-∞
--∞?≤??==??+>????
??
1,0,2
11,0.2
x
x e x e x -?≤??=??->??
12．设随机变量X 的概率密度为
,01,
()2,12,0,x x f x x x ≤
=-≤
其他.
求X 的分布函数.
解 ()f x 的图形为 X 的分布函数为 ()()x F x f u du -∞
=
?
101
0,
0,,01,(2),12,1,
2.x
x
x udu x xdx u du x x
22
0,
0,,01,2
21,12,21,
2.x x x x x x x
≥?
13
13．设电子管寿命X 的概率密度为
2100
,100,
()0,100.x x
f x x ?>?=??≤?
若一架收音机上装有三个这种管子，求（1）使用的最初150小时内，至少有两个电了管被烧坏的概率；（2）在使用的最初150小时内烧坏的电子管数Y 的分布列；（3）Y 的分布函数。
解 Y 为在使用的最初150小时内烧坏的电子管数，~(3,)Y B p ，其中 150
2
1001001
(150)3
p P X dx x =≤=
=?， （1）所求概率为23
23121(2)(2)(3)333P Y P Y P Y C ????≥==+==?+ ?
?????
727
=
； （2）Y 的分布列为33
12()33k
k
k P Y k C -????
== ? ?
????
，0,1,2,3,k =
即
01238126127
27
27
27
Y
P
. （3）Y 的分布函数为
0,0,8,012720
(),
12,2726,23,271, 3.
x x F x x x x
14．设随机变量X 的概率密度为 2,01,
()0,.
x x f x <
?其他
现对X 进行n 次独立重复观测，以n V 表示观测值不大于0.1的观测次数，试求随机变量n V 的概率分布。 解 ~(,)n V B n p ，其中 0.10
(0.1)20.01p P X xdx =≤==?
，
所以n V 的概率分布列为
()(0.01)(0.99),
,1k k n k n n P V k C k n -=== . 15．设随机变量~[1,6]X U ，求方程210x Xx ++=有实根的概率. 解 设A =‘方程有实根’，则
A 发生2
40X ?-≥ 即 ||2X ≥，因~[1,6]X U ，所以
A 发生2,X ?> 所以
624
()(2)0.8615
P A P X -=>=
==-.
16．设随机变量~[2,5]X U ，现对X 进行3次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率.
解 设Y 为三次观测中，观测值大于3的观测次数，则~(3,)Y B p ，其中 532
(3)523
p P X -=>==-， 所求概率为
2
3
23
21220
(2)(2)(3)33327
P Y P Y P Y C ??????≥==+==+=
? ? ???????. 17．设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （单位：分），服从参数为
1
5
的指数分布。若等待时间超过10分钟，则他就离开。设他一个月内要来银行5次，以Y 表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y 的分布列及
(1)P Y ≥。
解 由题意~(5,)Y B p ，其中 25
510
10
1(10)5x x
p P X e dx e e +∞
--+∞-=>==-=?
， 于是Y 的分布为
2255()()(1)0,1,2,3,4,5,k
k k
P Y k C e e k ---==-=
25(1)1(0)1(1)0.5167P Y P Y e -≥=-==--≈.
18．一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数()N t 服从参数为t λ的泊松分布。（1）求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作了8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率。 解 （1）设T 的分布函数为()T F t ，则 ()()1()T F t P T t P T t =≤=->
事件()T t >表示两次故障的间隔时间超过t ，也就是说在时间t 内没有发生故障，故()0N t =，于是
0()()1()1(()0)11,00!
t
t T t F t P T t P N t e e t λλλ--=->=-==-=->，
可见，T 的分布函数为
1,0,
()0,0.t T e t F t t λ-?->=?≤?
即T 服从参数为λ的指数分布。 （2）所求概率为
1688{16,8}(16)(16|8)(8)(8)P T T P T e P T T e P T P e
λ
λλ--->>>>>====>>.
19．设随机变量2~(108,3)X N 。求
（1）(101.1117.6)P X <<；（2）常数a ，使()0.90P X a <=； （3）常数a ，使(||)0.01P X a a ->=。
解 （1）117.6108101.1108
(101.1117.6)(
)()33
P X --<<=Φ-Φ (32)(23)(32)(23)1=Φ?-Φ-?=Φ?+Φ?-
0.99930.989310.9886=+-=； （2）108
0.90()()3
a P X a -=<=Φ，查表知
108
1.283
a -=，所以111.84a =； （3）0.01(||)1(||)1(02)P X a a P X a a P X a =->=--≤=-<≤
2108
1(
),3
a -=-Φ 所以 2108
(
)0.993
a -Φ=， 查正态分布表知
2108
2.333
a -=， 故 57.495a =。
20．设随机变量2
~(2,)X N σ，且(24)0.3P X <<=，求(0)P X <。
解 42
0.3(24)()(0)P X σ
-=<<=Φ-Φ，
所以 2
(
)0.8σ
Φ=， 02
2
2
(0)(
)()1()0.2P X σ
σ
σ
-<=Φ=Φ-
=-Φ=。
21．某地抽样结果表明，考生的外语成绩X （百分制）近似服从正态分布，平均成绩（即参数μ之值）为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。
解 967224
0.023(96)1
()1(
)
P X σσ
-=>=-Φ=-Φ
24
24
12
()0.977,
2,
1.σ
σ
σ
∴Φ===
所求概率为
8472
60
721212
(60
84)()
(
)
()
()
P X σ
σσσ
--<<=Φ-Φ=Φ-Φ- 12
2(
)120.841310.6826.σ
=Φ-=?-=
22．假设测量的随机误差2~(0,10)X N ，试求在100次重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α，并利用泊松分布求出α的近似值。 解 设Y 为误差的绝对值大于19.6的测量次数，则~(100,)Y B p ，其中
(||19.6)1(19.619.6)1(1.96)
p P
X P X =≥=--<≤=-Φ+Φ- 22(1.96)220.975=-Φ=
-?=，
所求概率为
100
1001003
(3)(0.05)(0.95),k
k k k P Y C α-==≥=∑
利用泊松定理
100
5
350.875!
k k e k α-=≈=∑.
23．在电源电压不超过200V ，在200240V -和超过240V 三种情况下，某种电子元件，损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2，假设电源电压X 服从正态分布2
(220,25)N ，试求：（1）该电子元件损坏的概率α；（2）该电子元件损坏时，电源电压在200-240V 的概率β。
解 设A =‘电子元件损坏’，i B =‘电源电压在第i 档’，1,2,3i =，则 （1）112233()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B α==++ (200)0.1(200240)0.001(240)0.2P X P X P X =≤?+<≤?+>?
200220240220200220
()0.1[()()]0.001252525---=Φ?+Φ-Φ? 240220
[1(
)]0.225
-+-Φ? 20202020
()0.1[()()]0.001[(1()]0.225252525
=Φ-?+Φ-Φ-?+-Φ?
(10.7881)0.1(20.78811)0.001(10.7881)0.2=-?+?-?+-?
0.0641=
（2）222()(|)0.005756
(|)0.08980.06410.0641
P B P A B P B A β==
==.
24．假设随机变量X 的绝对值不大于1；11
(1),(1)84
P X P X =-===，
在事件{11}X -<<出现的条件下，X 在(1,1)-内任意子区间上取值的概率与
该子区间的长度成正比。试求：（1）X 的分布函数；（2）X 取负值的概率P . 解1 设X 的分布函数为()F x ，则 当 1x <-时，()0F x =，且1
(1)8
F -=， 当 1x ≥时，()1F x =， 115(11)1848
P X -<<=--=， 当 11x -<<时，由题意
{1|11}(1)P X x X k x -<≤-<<=+， 而
1{11|11}2P X X k =-<<-<<=， 所以 1
2
k =
。于是 1
{1|11},2
x P X x X +-<≤-<<= 此时
(){1}(1)F x P X x F =-<≤+- 1{1,11}8
P X x X =-<≤-<<+
1{11}(1|11}8
P X P X x X =-<
x x ++=
?+=， 故X 的分布函数为
0,1,
57(),11,161, 1.
x x F x x x <-??+?
=-≤
（2）7
(0)(0)(0)16
P X F P X <=-==
.
解2 设X 的分布函数为()F x ，则 当 1x <-时，()0F x = 且 1(1)8
F -= 当 1x ≥时，()1F x =，
当11x -<<时，设,(1,1)x x x +?∈-，且0x ?>，由题意 (|11)P x X x x X k x <≤+?-<<=?， 即 (,11)
,(11)
P x X x x X k x P X <≤+?-<<=?-<<
由此得
5
()8
P x X x x k x <≤+?=?， 两边同除以x ?得
()()5
,8
F x x F x k x +?-=?
令0x ?→取极限得 5(),8
F x k '= 两边积分得
5
()8F x kx C =+， 由1(1)8F -=及103
lim ()4
x F x →-=得
1588
3548
k C k C ?=-+????=+??
解之得 71
,162
C k == 故 5757
()161616
x x F x +=
+=，11x -<< 综上所述，X 的分布函数为
0,1,57(),11,161, 1.
x x F x x x <-??+?
=-≤
（2）7
(0)(0)(0).16
P X F P X <=-==
25．已知离散型随机变量X 的分布列为
210131111115
6
515
30
X
P
-- 求2Y X =的分布列. 解 Y 的分布列为
1491
71115
30
530
Y
P
. 26．设随机变量X
的概率密度为
,0,
()0,0.
x X e x f x x -?≥=?
求X Y e =的概率密度()Y f y
解1 当0x >时函数x y e =单调增，反函数为()ln x h y y ==，于是X
Y e =的概率密度为
ln 211
,1,
,1,()(())|()|0, 1.0, 1.y Y X y e y y
y f y f h y h y y y -??≥?≥??'===????≤
解2 设Y 的分布函数为()Y F y ，则
,1,
()()()(ln ),
1
X
Y y F y P Y y P e y P X y y
≤≥? ln 0
,1,,1,y x y e dx y -
x y e y -
=?-≥??
ln 0,1,
0,1,11, 1.
1, 1.y
y y y e y y -
==??-≥-≥???
21
,1,()()0, 1.Y Y y y f y F y y ?≥?'==??
27．设随机变量X 的概率密度为
2
1
(),(1)
X f x x x π=-∞<<∞+
求随机变量1Y =()Y f y
解1
函数1y =3()(1)x h y y ==-，则
2
6
3(1)()(())|()|,.(1(1))
Y X y f y f h y h y y y π-'==-∞<<+∞+-
解2 设Y 的分布函数为()Y F y ，则
3()()(1)1)1((1))Y F y P Y y P y P y P X y =≤==-=-≤- 31{(1)}X F y =--， 所以
2
3
2
63(1)()((1))3(1),(1(1))
Y X y f y f y y y y π-=-?-=-∞<<+∞+-。
28．设~(0,1)X U ，求（1）X Y e =的概率密度；（2）2ln Y X =-的概率
密度。
解 X 的密度为 1,01,
()0,X x f x <
?其它.
（1）x y e =在(0,1)上单调增，反函数为()ln h y y =，所以Y 的密度为
1
,1,
()0,.Y y e y f y ?<
其他
（2）2ln y x =-在(0,1)上单调减，反函数为2
()y h y e
-=，所以Y 的密度为
2
1,0,
()20,0.y
Y e y f y y -?>?=??≤?
29．设~(0,1)X N ，求||Y X =的概率密度。
解1 函数||y x =在(,0)-∞上单调减，反函数为1()h y y =-， 在[0,)+∞上单调增，反函数为2()h y y =，
所以Y 的密度为 1122(())|()|(())|
()|,0,
()0,
0.
X X Y f h y h y f h y h y y f y y ''?+>=?
≤?
即
2
2,0,()0,0.y
Y y f y y ->=≤?
30．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证21X Y e -=-在区间(0,1)
上服从均匀分布。
[证] 只须证明Y 的分布函数为
0,0
(),01,1, 1.Y y F y y y y ≤??
=<
220,
0()(){1}{1},01,1,1X
x Y y F y P Y y P e
y P e y y y --≤??
=≤=-≤=≥-<
0,0,(2ln(1)),01,1, 1.y P X y y y ≤??=-≥-<
20,0,(ln(1)).01,0, 1.y P X y y y -
?≤???
≤-<<=???
≥?? 120,0,(ln(1)),01,1,
1.X y F y y y -?≤???-<<=???
≥??12
2ln(1)0,
01,011,1y y e y y ---≤???=-<
0,0,,01,1, 1.y y y y ≤??
=<
31．设随机变量X 的概率密度为
22,0,
()0,.x
x f x ππ?<
其它
求sin Y X =的概率密度. 解1 函数sin y x =在(0,]2
π
上单调增，反函数为1()arcsin h y y =
在(
,)2
π
π上单调减，反函数为2()arcsin h y y π=-.
Y 的概率密度为：
()(arcsin )(arcsin Y f y f y f y π=-
222arcsin 22arcsin 01,0,
y y y πππ-?<
?其他.
01,0,
.y <<=?其他
解2 设Y 的分布函数为()Y F y ，则
()()(sin )(arcsin arcsin )Y F y P Y y P X y P X y X y π=≤=≤=≤>- (arcsin )1(arcsin )P X y P X y π=≤+-≤- (arcsin )1(arcsin )X X F y F y π=+-- 所以
()(arcsin )(arcsin Y f y f y f y π=+-
01,0
,y <<=?其他.
32．设随机变量X 的分布函数()F x 连续，且严格单调增加，求()Y F X =的概率密度.
解 设Y 的分布函数为()Y F y ，则
1()(){()}{()}Y F y P Y y P F X y P X F y y -=≤=≤=≤=， 当0y ≤时()0Y F y =，当1y ≥时()1Y F y =，故
0,0,(),01,1, 1.Y y F y y y y ≤??
=<
于是Y 的概率密度为 1,01,
()0,.
Y y f y <
2004图论复习题答案
图论复习题答案 一、判断题，对打，错打 1．无向完全图是正则图。 () 2．零图是平凡图。() 3．连通图的补图是连通图.() 4．非连通图的补图是非连通图。() 5．若连通无向简单图G中无圈，则每条边都是割边。() 6．若无向简单图G是（n，m）图，并且m=n-1，则G是树。() 7．任何树都至少有2片树叶。() 8．任何无向图G都至少有一个生成树。() 9．非平凡树是二分图。() 10．所有树叶的级均相同的二元树是完全二元树。() 11．任何一个位置二元树的树叶都对应唯一一个前缀码。() 12． K是欧拉图也是哈密顿图。() 3,3 13．二分图的对偶图是欧拉图。() 14．平面图的对偶图是连通图。() 页脚内容1
15．设G*是平面图G的对偶图，则G*的面数等于G的顶点数。() 二、填空题 1．无向完全图K6有15条边。 2．有三个顶点的所有互不同构的简单无向图有4个。 3．设树T中有2个3度顶点和3个4度顶点，其余的顶点都是树叶，则T中有10片树叶。 4．若连通无向图G是（n，m）图，T是G的生成树，则基本割集有n-1个，基本圈有m-n+1个。 5．设连通无向图G有k个奇顶点，要使G变成欧拉图，在G中至少要加k/2条边。 6．连通无向图G是（n，m）图，若G是平面图，则G有m-n+2个面。 三、解答题 1．有向图D如图1所示，利用D的邻接矩阵及其幂运算 求解下列问题： （1）D中长度等于3的通路和回路各有多少条。 （2）求D的可达性矩阵。 （3）求D的强分图。 解：（1） a b c d e 图1 页脚内容2
页脚内容3 M=????????????????000101000000001 010*******M 2=?? ? ? ??????? ?????010******* 000101000001000 M 3=????????????????10000 01000010000001010000M 4=??? ???? ? ??? ?????00010 01000 100000100000010 由M 3可知，D 中长度等于3的通路有5条，长度等于3的回路有3条。 （2） I+M+M 2+M 3+M 4=????????????? ???100000100000100 0001000001 +??????????? ?? ???000101000000001 010******* +??????????? ?? ???010000001000010 1000001000 +??? ???? ? ??? ?? ???100000100001000 0001010000 + ????????????????00010 01000100000100000010 =??? ???? ???? ?? ???21020 1301011111 020******* D 的可达性矩阵为 R=B （I+M+M 2+M 3+M 4）=??? ???? ? ????? ???110101********* 1101011011 b c d e 图1
哈工大电路原理基础课后习题
第一章习题 1.1 图示元件当时间t<２s时电流为2A,从a流向b；当t>２s时为3A，从b流向a。根据图示参考方向,写出电流的数学表达式。 １.２图示元件电压u=(5-9e-t/τ)V,τ>０。分别求出t＝0 和t→∞时电压u的代数值及其真实方向。 图题１．1图题1．２ 1．3 图示电路。设元件A消耗功率为10W，求;设元件B消耗功率为－10W，求；设元件C发出功率为-１０Ｗ，求。 图题1．3 1.4求图示电路电流。若只求,能否一步求得？ 1.５图示电路,已知部分电流值和部分电压值。 (１) 试求其余未知电流。若少已知一个电流，能否求出全部未知电流? (2) 试求其余未知电压u14、u15、u5２、u5３。若少已知一个电压，能否求出全部未知电压？ 1．6 图示电路,已知,,,。求各元件消耗的功率。 1.7 图示电路，已知,。求(a)、(ｂ)两电路各电源发出的功率和电阻吸收的功率。 1.８求图示电路电压。 1.9 求图示电路两个独立电源各自发出的功率。 1．１0求网络Ｎ吸收的功率和电流源发出的功率。 1．11 求图示电路两个独立电源各自发出的功率。
１.12 求图示电路两个受控源各自发出的功率。 1.13 图示电路，已知电流源发出的功率是12W，求r的值。 １.1４求图示电路受控源和独立源各自发出的功率。 1.１5图示电路为独立源、受控源和电阻组成的一端口。试求出其端口特性，即关系。 1.16 讨论图示电路中开关Ｓ开闭对电路中各元件的电压、电流和功率的影响,加深对独立源特性的理解。 第二章习题 2.1 图(a)电路,若使电流A，,求电阻;图(ｂ)电路,若使电压U=(2／3)V,求电阻R。 2.2 求图示电路的电压及电流。 2．3图示电路中要求，等效电阻。求和的值。 2.4求图示电路的电流I。
概率论与数理统计习题集及答案
* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。
哈工大集合与图论习题
集合与图论习题 第一章习题 ．画出具有个顶点地所有无向图(同构地只算一个). ．画出具有个顶点地所有有向图(同构地只算一个). ．画出具有个、个、个顶点地三次图. ．某次宴会上，许多人互相握手.证明：握过奇数次手地人数为偶数(注意，是偶数). ．证明：哥尼斯堡七桥问题无解. ．设与是图地两个不同顶点.若与间有两条不同地通道(迹)，则中是否有回路？ ．证明：一个连通地(，)图中≥. ．设是一个(，)图，δ()≥[]，试证是连通地. ．证明：在一个连通图中，两条最长地路有一个公共地顶点. ．在一个有个人地宴会上，每个人至少有个朋友(≤≤).试证：有不少于个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人地左、右均是他地朋友.b5E2R。 ．一个图是连通地，当且仅当将划分成两个非空子集和时，总有一条联结地一个顶点与地一个顶点地边. ．设是图.证明：若δ()≥ ，则包含长至少是δ()地回路. ．设是一个(，)图，证明： ()≥，则中有回路； ()若≥，则包含两个边不重地回路. ．证明：若图不是连通图，则是连通图. ．设是个(，)图，试证： ()δ()·δ()≤[()]([()])，若≡，，( ) () δ()·δ()≤[()]·[()]，若≡( ) ．证明：每一个自补图有或个顶点. ．构造一个有个顶点而没有三角形地三次图，其中≥. .给出一个个顶点地非哈密顿图地例子，使得每一对不邻接地顶点和，均有 ≥ ．试求中不同地哈密顿回路地个数. ．试证：图四中地图不是哈密顿图. ．完全偶图，为哈密顿图地充分必要条件是什么？
．菱形面体地表面上有无哈密顿回路？ ．设是一个(≥)个顶点地图.和是地两个不邻接地顶点，并且≥.证明：是哈密顿图当且仅当是哈密顿图. ．设是一个有个顶点地图.证明：若>δ()，则有长至少为δ()地路. ．证明具有奇数顶点地偶图不是哈密顿图. ．证明：若为奇数，则中有()个两两无公共边地哈密顿回路. ．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局.若他必须至少一次走过他所管辖范围内地每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少地路程.这个问题是我国数学家管梅谷于年首先提出地，国外称之为中国邮路问题.p1Ean。 ()试将中国邮路问题用图论述语描述出来. ()中国邮路问题、欧拉图问题及最短路问题之间有何联系. 第三章习题 ．分别画出具有、、个顶点地所有树(同构地只算一个). ．证明：每个非平凡树是偶图. ．设是一棵树且Δ()≥，证明：中至少有个度为地顶点. ．令是一个有个顶点，个支地森林，证明：有条边. ．设是一个个顶点地树.证明：若图地最小度δ()≥，则有一个同构于地子图. ．一棵树有个度为地顶点，个度为地顶点，…，个度为地顶点，则有多少个度为地顶点？ .设是一个连通图.试证：地子图是地某个生成树地子图，当且仅当 没有回路. ．证明：连通图地任一条边必是它地某个生成树地一条边. ．设是一个边带权连通图，地每条边均在地某个回路上.试证：若地边地权大于地任一其他边地权，则不在地任一最小生成树中.DXDiT。 . 设(，，)是一个边带权连通图，对任意∈，()≥.试证：地一个生成树是地最小生成树，当且仅当时地任一与地距离为地生成树′′满足条件：在中而不在′′中地边地权()不大于在′′中而不在中地边′地权(′).RTCrp。 .某镇有人，每天他们中地每个人把昨天听到地消息告诉他认识地人.已知任何 消息，只要镇上有人知道，都会经这种方式逐渐地为全镇上所有人知道.试证：可选出个居民代表使得只要同时向他们传达某一消息，经天就会为全镇居民知道.5PCzV。 个顶点地图中，最多有多少个割点？ ．证明：恰有两个顶点不是割点地连通图是一条路.
概率论与数理统计习题及答案
习题二 3.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 故X 的分布律为 （2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 22 35 当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 (3) 4.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3. 故X 的分布律为 分布函数 5.（1） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=! k a k λ， 其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ， 试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率;
（2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+ 331212 33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++ (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ =0.243 7.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有 即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松近似 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则 故 1 3 p = 所以 4451210(4)C ()33243 P X === . 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3） (2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3） 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间 隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32 (0)e P X -== (2) 52 (1)1(0)1e P X P X - ≥=-==- 11.设P {X =k }=k k k p p --22) 1(C , k =0,1,2 P {Y =m }=m m m p p --44) 1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=5 9 ，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥= ，故4(1)9 P X <=. 而 2 (1)(0)(1)P X P X p <===-
图论1-3藏习题解答
学号：0441 姓名：张倩 习题1 4．证明图1-28中的两图是同构的 证明：将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图 作映射f : f(v i )?u i (1? i ? 10) 容易证明，对?v i v j ?E((a)),有f(v i v j )?u i u j ?E((b)) (1? i ? 10, 1?j? 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。 5.证明：四个顶点的非同构简单图有11个。 证明：设四个顶点中边的个数为m ，则有： m=0: m=1 ： m=2： m=3： (a) v 1 v 2 v 3 v v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 (b)
m=4： m=5： m=6： 因为四个顶点的简单图最多就是具有6条边，上面所列出的情形是在不同边的条件下的不同构的情形，则从上面穷举出的情况可以看出四个顶点的非同构简单图有11个。 11.证明：序列（7,6,5,4,3,3,2）和（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。 证明：由于7个顶点的简单图的最大度不会超过6，因此序列（7,6,5,4,3,3,2）不是图序列； （6,6,5,4,3,3,1）是图序列 ()1 1 123121,1,,1,,,=d d n d d d d d π++---是图序列 （5,4,3,2,2,0）是图序列，然而（5,4,3,2,2,0）不是图序列，所以（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。 12.证明：若δ≥2，则G 包含圈。 证明 只就连通图证明即可。设V(G)=｛v1,v2,…,vn｝,对于G 中的路v1v2…vk,若vk 与v1邻接，则构成一个圈。若vi1vi2…vin 是一条路，由于?? 2，因此，对vin ，存在点vik 与之邻接，则vik?vinvik 构成一个圈 。 17.证明：若G 不连通，则G 连通。 证明 对)(,_ G V v u ∈?,若u 与v 属于G 的不同连通分支，显然u 与v 在_ G 中连通；若u 与v 属于g 的同一连通分支，设w 为G 的另一个连通分支中的一个顶点，则u 与w ，v 与w 分别在_ G 中连通，因此，u 与v 在_ G 中连通。
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
哈工大图论习题
哈工大图论习题
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1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。 2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。 3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。 4．某次宴会上，许多人互相握手。证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。 5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。 6．设u与v是图G的两个不同顶点。若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？ 7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。 8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。 9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。 10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。 11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。 12．设G是图。证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。 13．设G是一个(p，q)图，证明： (a)q≥p，则G中有回路； (b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。 14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。 15．设G是个(p，q)图，试证： (a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4) (b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4) 16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。 17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。 18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有 degu+degv≥9 19．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。 20．试证：图四中的图不是哈密顿图。 21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？ 22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？ 23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。u和v是G的两个不邻接的顶点，并且degu+degv ≥p。证明：G是哈密顿图当且仅当G+uv是哈密顿图。 24．设G是一个有p个顶点的图。证明：若p>2δ(G)，则有长至少为2δ(G)的路。 25．证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图。 26．证明：若p为奇数，则Kp中有(p-1)/2个两两无公共边的哈密顿回路。 28．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局。若他必须至少一次走过他所管辖范围内的每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少的路程。这个问题是我国数学家管梅谷于1962年首先提出的，国外称之为中国邮路问题。 (1)试将中国邮路问题用图论述语描述出来。 (2)中国邮路问题、欧拉图问题及最短路问题之间有何联系。
哈工大集合论习题课-第六章树及割集习题课(学生)
第六章 树及割集 习题课1 课堂例题 例1 设T 是一棵树，T 有3个度为3顶点，1个2度顶点，其余均是1度顶点。则 （1）求T 有几个1度顶点 （2）画出满足上述要求的不同构的两棵树。 分析：对于任一棵树T ，其顶点数p 和边数q 的关系是：1q p =-且 1 deg()2i p i v q ==∑，根据这些性质容易求解。 解：（1）设该树T 的顶点数为p ，边数为q ，并设树T 中有x 个1度顶点。于是 1 deg()33122i p i v x q ==?+?+=∑且31p x =++，1q p =-，得5x =。 （2）满足上述要求的两棵不同构的无向树，如图1所示。 图1 例2设G 是一棵树且()G k ?≥，证明G 中至少有k 个度为1顶点。 证：设T 中有p 个顶点，s 个树叶，则T 中其余p s -个顶点的度数均大于等于2，且至少有一个顶点的度大于等于k 。由握手定理可得： 1222()2(1)p i i q p deg v p s k s ==-=≥--++∑，有s k ≥。 所以T 中至少有k 个树叶 。 习题 例1 若无向图G 中有p 个顶点，1p -条边，则G 为树。这个命题正确吗为什么 解：不正确。3K 与平凡图构成的非连通图中有四个顶点三条边，显然它不是树。 例2设树T 中有2n 个度为1的顶点，有3n 个度为2的顶点，有n 个度为3的顶点，则这棵树有多少个顶点和多少条边
解：设T 有p 个顶点，q 条边，则123161q p n n n n =-=++-=-。由 deg()2v V v q ∈=∑有：1223322(61)122n n n q n n ?+?+?==-=-，解得：n =2。 故11,12q p ==。 例3证明恰有两个顶点度数为1的树必为一条通路。 证：设T 是一棵具有两个顶点度数为1的(,)p q 树，则1q p =-且 1 deg()2p i i v q ==∑2(1)p =-。 又T 除两个顶点度数为1外，其他顶点度均大于等于2，故 2 1 1 deg()2deg()2(1)p p i i i i v v p -===+=-∑∑，即 2 1 deg()2(2)p i i v p -==-∑。 因此2p -个分支点的度数都恰为2，即T 为一条通路。 例4 画出具有4、5、6、7个顶点的所有非同构的无向树。 解：4个顶点的非同构的无向树有两棵，如图21(),()a b 所示； 5个顶点的非同构的无向树有3棵，如图21(),(),()c d e 所示。 （a ） (b) (c) (d) (e) 图2 6个顶点的非同构的无向树有6棵，如图3所示。 图3 7个顶点的非同构的无向树有11棵，如图4所示。 所画出的树具有6条边，因而七个顶点的度数之和应为12。由于每个顶点的度数均大于等于1，因而可产生以下七种度数序列127(,,,)d d d L ： （1）1111116；（2）1111125；（3）1111134；（4）1111224； （5）1111233；
概率论与数理统计习题集及答案
概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤
（1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。
哈工大概率论与数理统计课后习题答案 一
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生；
哈工大威海校区2015春集合图论试题A
姓名: 班级: 学号: 遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范 哈尔滨工业大学（威海）2014 / 2015学年春季学期 集合论与图论 试题卷（A ） 考试形式（开、闭卷）：闭卷 答题时间：105（分钟）本卷面成绩占课程成绩 30 % 试卷说明： [1] 卷面总分100分，取卷面成绩的70%计入总分，平时成绩30%。 [2] 填空题请在答题卡内答题，其它处无效。 [3] 答卷时禁止拆开试卷钉，背面即为草稿纸。 一、填空题（每小题2分，共20分）
(1) 集合的（）表示方法可能产生悖论。 (2) 映射f左可逆的充分必要条件是：（）。 (3) 设R={(a, b),(c, d),(e, f)}是一个二元关系，则R的逆记为R-1，R-1=（）。 (4) n个顶点的完全图的边的个数是( )。 (5) 一个无向图的边数为20，那么所有顶点的度数和为（）。 (6) 设G是一个有p个顶点q条边的最大可平面图,则: q=( )。 (7) 一个图是树当且仅当G是连通的且p=（）。 (8) G是一个p个顶点q条边的最大平面图,则G的每个面都是( )形。 (9) 若G是偶数个顶点的圈，则G是（）色的。 (10) 当顶点数大于2时，树的连通度是（）。
二、简答题(每小题5分，共20分) 1.设集合X=｛a,b,c,d,e｝，E={a,b,c}是X的子集。写出E的特征函数。 2.R=｛（1，b），（2,c），（3,a），（4,d）｝是集合A=｛1，2，3，4｝到集合B=｛a,b,c,d｝的一个二元关系，画出R的关系矩阵和关系图。 3.举例说明什么是偏序关系？什么是偏序集？ 4.简述图的连通度、边连通度、最小度之间的关系。
概率论与数理统计习题解答
第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生；
（4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B
（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==
哈工大年集合论与图论试卷
-- 本试卷满分90分 (计算机科学与技术学院0９级各专业) 一、填空（本题满分１0分,每空各1分) 1.设B A ,为集合,则A B B A = )\(成立的充分必要条件是什么？(A B ?) ２.设}2,1{},,,2,1{==Y n X ,则从X 到Y 的满射的个数为多少?（22-n ) ３．在集合}11,10,9,8,4,3,2{=A 上定义的整除关系“|”是A 上的偏序关系， 则 最大元是什么? ( 无 ） 4．设{,,}A a b c =，给出A 上的一个二元关系,使其同时不满足自反性、反自 反性、对称性、反对称和传递性的二元关系。({(,),(,),(,),(,)}R a a b c c b a c =） ５．设∑为一个有限字母表,∑上所有字(包括空字）之集记为*∑，则*∑是 否是可数集? （ 是 ) ６.含5个顶点、3条边的不同构的无向图个数为多少？ （ ４ ） 7.若G 是一个),(p p 连通图，则G 至少有多少个生成树? （ 3 ） 8. 如图所示图G ,回答下列问题： (１）图G 是否是偶图? ( 不是 ) (2）图G 是否是欧拉图? ( 不是 ） (3)图G 的色数为多少？ ( 4 ) 二、简答下列各题（本题满分40分） 1．设D C B A ,,,为任意集合，判断下列等式是否成立?若成立给出证明，若不 成立举出反例。(6分) (1))()()()(D B C A D C B A ??=? ； （2）()()()()A B C D A C B D ?=??。 解:（1）不成立。例如}{,a c B D A ====φ即可。 （2）成立。(,)x y ?∈()()A B C D ?，有,x A B y C D ∈∈，即 ,,,x A x B y C y D ∈∈∈∈。所以(,),(,)x y A C x y B D ∈?∈?,因此 (,)()()x y A C B D ∈??,从而()()A B C D ??()()A C B D ??。 反之,(,)x y ?∈()()A C B D ??，有,,,x A x B y C y D ∈∈∈∈。即 (,)x y ∈()()A B C D ?，从而()()A C B D ???()()A B C D ?。
概率论与数理统计课后习题答案
第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0 （2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?， 二、应用题 题0：（1996年全国数学联赛） 有n（n≥6）个人聚会，已知每个人至少认识其中的[n/2]个人，而对任意的[n/2]个人，或者其中有两个人相互认识，或者余下的n-[n/2]个人中有两个人相互认识。证明这n个人中必有3个人互相认识。 注：[n/2]表示不超过n/2的最大整数。 证明将n个人用n个顶点表示，如其中的两个人互相认识，就在相应的两个顶点之间连一条边，得图G。由条件可知，G是具有n个顶点的简单图，并且有 （1）对每个顶点x，) N G≥[n/2]； (x （2）对V的任一个子集S，只要S＝[n/2]，S中有两个顶点相邻或V-S中有 两个顶点相邻。 需要证明G中有三个顶点两两相邻。 反证，若G中不存在三个两两相邻的顶点。在G中取两个相邻的顶点x1和y1,记N G(x1)＝{y1,y2,……,y t}和N G(y1)={x1,x2,……,x k},则N G(x1)和N G(y1)不相交，并且N G(x1)（N G(y1)）中没有相邻的顶点对。 情况一；n=2r：此时[n/2]＝r，由（1）和上述假设，t=k=r且N G(y1)＝V-N G(x1)，但N G(x1)中没有相邻的顶点对，由（2），N G(y1)中有相邻的顶点对，矛盾。 情况二；n=2r+1: 此时[n/2]＝r，由于N G(x1)和N G(y1)不相交，t≥r,k≥r,所以r+1≥t,r+1≥k。若t=r+1,则k=r，即N G(y1)=r，N G(x1)＝V-N G(y1)，由（2），N G(x1)或N G(y1)中有相邻的顶点对，矛盾。故k≠r+1，同理t≠r+1。所以t=r,k=r。记w∈V- N G(x1) ∪N G(y1),由（2），w分别与N G(x1)和N G(y1)中一个顶点相邻，设wx i0∈E, wy j0∈E。若x i0y j0∈E，则w，x i0, y j0两两相邻，矛盾。若x i0y j0?E，则与x i0相邻的顶点只能是(N G(x1)-{y j0})∪{w},与y j0相邻的顶点只能是(N G(y1)-{x j0})∪{w}。但与w相邻的点至少是3，故N G(x1)∪N G(y1)中存在一个不同于x i0和y j0顶点z与w相邻，不妨设z∈N G(x1)，则z，w，x i0两两相邻，矛盾。 题1：已知图的结点集V={a,b,c,d}以及图G和图D的边集合分别为： E(G)={(a,a), (a,b), (b,c), (a,c)} E(D)={ 第六章树及割集 习题课1 课堂例题 例1设T是一棵树，T有3个度为3顶点，1个2度顶点，其余均是1度顶点。则 （1）求T有几个1度顶点？ （2）画出满足上述要求的不同构的两棵树。 分析：对于任一棵树T，其顶点数p和边数q的关系是：q P 1且 p deg（vj 2q，根据这些性质容易求解。 i 1 解：（1）设该树T的顶点数为p，边数为q，并设树T中有x个1 度顶点。于是 p deg（v）3312 x 2q 且p 3 1 x，q p 1，得x 5。 i 1 （2）满足上述要求的两棵不同构的无向树，如图1所示。 图1 例2设G是一棵树且（G）k，证明G中至少有k个度为1顶点。证：设T中有p个顶点，s个树叶，则T中其余p s个顶点的度数均大于等于2，且至少有一个顶点的度大于等于k。由握手定理可得： p 2q 2 p 2 deg（v i） 2（ p s 1） k s，有s k。 i 1 所以T中至少有k个树叶。 习题 例1若无向图G中有p个顶点，p 1条边，则G为树。这个命题正确吗？ 为什么？ 解：不正确。心与平凡图构成的非连通图中有四个顶点三条边，显然它不是树。 例2设树T中有2n个度为1的顶点，有3n个度为2的顶点，有n个度为 3的顶点，则这棵树有多少个顶点和多少条边？ 解：设T 有p 个顶点，q 条边，则q P 1 2 n 3n n 1 6n 1。由 deg(v) 2q 有：1 2n 2 3n 3 n 2q 2(6n 1) 12n 2，解得：n =2。 v V 故 q 11, p 12。 例3证明恰有两个顶点度数为1的树必为一条通路。 证：设T 是一棵具有两个顶点度数为 1的(p,q)树，则q p 1且 p deg(V i ) 2q 2(p 1)。 i 1 外，其他顶点度均大于等于2,故 p 2 deg(V i ) 2( p 1)，即 i 1 p 2 deg(V i ) 2( p 2)。 i 1 因此p 2个分支点的度数都恰为2，即T 为一条通路。 例4画出具有4、5、6、7个顶点的所有非同构的无向树。 解：4个顶点的非同构的无向树有两棵，如图 21(a),(b)所示; 5个顶点的非同构的无向树有3棵，如图21(c),(d),(e)所示。 (a ) (b) (c) (d) (e) 图2 6个顶点的非同构的无向树有6棵，如图3所示 图3 7个顶点的非同构的无向树有11棵，如图4所示。 所画出的树具有6条边，因而七个顶点的度数之和应为 12。由 于每个顶点的度数均大于等于 1，因而可产生以下七种度数序列 (d 1,d 2,L ,d 7): (1)1111116；(2)1111125;(3)1111134 ;(4)1111224 ；(5)1111233 ； （6） 1112223； （7） 1122222。 又T 除两个顶点度数为 p deg(v) i 1图论习题参考答案
哈工大集合论习题课第六章树及割集习题课
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