数学建构,从教师本身做起

数学建构，从教师本身做起

——平面几何教学新议

广州七中杜厚生

建构主义的学习理论认为，知识的获得要经过学习者在自己已有的知识系统上重新建构的过程。相同的信息对不同的个体产生的作用是不一样的，就像水渗不进岩石，水能渗进沙地，但沙水是分离的；水能渗进泥土，结果是“一塌糊涂”；水渗进植物后，被有机地、和谐地结合了。建构主义的学习方法，已被国际数学教育委员会所肯定和向世界各国推荐。国际数学教育委员会主席弗兰登塔尔说：“让学生经历数学化的过程，这是数学教学的第一原则。”。在中国，教育部最近颁布的《数学课程标准（试验稿）》中指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”

要让学生学会建构、完成建构，首先要求教师本身的建构。不能想象缺乏思考、没有创新的老师能指导各类学生完成和完善建构。数学具有两重性，“一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看，数学象是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门实验的科学（波利亚）”。与数学的两重性对应，数学的学习也有两种方式，推理的方式和直觉猜测并动手实验的方式，但我们的课堂上，多年来推崇证明，反对猜测，而正是猜测激发了学生最大的学习兴趣，让他们也体会创造的乐趣，享受成功的喜悦。猜测的应用，使每一位学生都有了建构的机会。在当前教育改革的实践中，每一位教师都应该重新认识自己，重新认识学生，重新认识自己任教的学科。

平面几何是数学中最为奇特的一门学科，它强调严谨，但从来没有真正严谨过（20世纪以来，不断有新的公理体系提出）；它重逻辑、重证明，却又不给“量变引起质变”规律一席之地（几何定理不包含退化状态）；它以千年不变的内容显示了它的权威地位，却又对现代科学毫无建树；它是世界公认的难学而无用的科目，但它在培养学生的逻辑思维、灵活性、敏捷性方面的作用，任何学科难以替代。苏步青、陈省身、杨振宁这些世界一流的科学家，都深情地感谢平面几何在他们成长过程中的作用。清朝的康熙皇帝喜爱几何，美国的加菲尔德总统在1876年巧妙地证明了勾股定理，他的证明至今还常常被引用，江泽民总书记给澳门中学生出题，求证五点共圆。许多国家在中学废弃了平面几何（美国的中学教师，已经没有多少人了解平面几何），但近年来，世界各国又纷纷重开平面几何。平面几何大成于欧几里德，中国引进平面几何不过三百多年，但近百年来，中国却成了欧几里德最忠实的追随者，历经改朝换代，学科更迭，平面几何的地位从未动摇过。中国有全世界最为严谨、难度最高的平面几何教材，但同时也是最缺乏活力的教材，千年不变的内容，百年不变的教法，今天是变革的时候了，每一位中学教师，都应当运用新知识、新材料，重新建构自己的知识体系，让这门古老的学科焕发新的生命力，为21世纪的教育发挥新的作用。下面我们将从方方面面，从大变到小变地来看看重新建构几何知识体系的可能性。

一．平面几何体系的重新建构——认识机器证明

今天教平面几何，不可不了解机器证明，它可能带来平面几何教学翻天覆地的变化，将来的平面几何教学再不是旧模样，甚至连一点影子都难再寻。

机器证明的荣誉属于中国科学院院士吴文俊教授，1977年发表《初等几何判定问题与机械化证明》，世称“吴方法”，引起了世界性的震动。这个成就，使他在1978年获全国科学大会重大科技成果奖，中国科学院科技成果一等奖；2001年，更荣获国家科学技术一等奖，奖金500万元（同获殊荣的是水稻专家袁隆平教授）。但机器证明的完美实现，得力于中国科学院张景中院士，他在1992年访问美国时，与周咸清和张小山合作，在WINDOWS系统下，成功完成了具有可读性的几何定理机器证明软件，被誉为“使机器能像处理算术一样处理几何的必由之路上的一个里程碑。”张景中院士的成果绝对是里程碑式的，他提出的原理和方法都不复杂，中学教师看得懂，中学生也看得懂。他首先改造了几何公理体系，提出了三组共11条公理（欧几里德有5条公设和9条公理，希尔伯特公理体系是5组21条，中国现行几何教材是9条公理），并用面积方法导出了共边定理、共角定理、勾股差定理等多个定理，创造了20种消点算法，就完全能够证明平面几何的绝大部分命题（特别是几何难题），还能推导出新的命题和定理。张景中方法获得世界赞誉的首先是机器证明的可读性，机器给出的证明和人的证明可以完全一致，机器还能生成图形以及图形的变化过程，能人所不能。而在我们中学教师看来，最高兴的是他的方法可以在课堂讲授，中学生完全可以接受。他通过共边定理和共角定理这两把利刃完美地体现了几何的机智性、简洁性与和谐性，给几何证题提供了全新的思路，大大精简了几何定理体系，通过消点算法，让几何的证明不再困难，变得象解算术题一样容易。著名计算机专家王浩教授说“要使每位中学教师都懂得吴方法。”张景中主持的平面几何智能教育平台已经投放市场（同时还有立体几何、解析几何、三角函数、高中代数机器证明软件）。机器证明平面几何的教学进入中学课程已经为时不远了（已经有中学开设了机器证明几何定理的实验课），我们的每一位同行，你有了解的需要吗？你有紧迫感吗？

二. 平面几何知识结构和教学方法的重新建构

平面几何的直观性、多样性、变化性在中学各学科中是最丰富的，但几何语言的规范性、严格性和证明的严谨性，又使许多学生陷入困境，在机器证明未能进入中学课堂前，改革的途径就是直观化、实验化、向量化。在一些教材中，如项武义的《中学数学实验教材》，便将简易逻辑和实验几何引入了教材，而平面几何的向量化，也在数学界提了多年，终于在今年高中教材中，编入了向量几何。

都说几何难学，但大部分教师并不觉得难教。多年不变的内容，因循沿袭的教学模式，使许多教师自我感觉良好，驾轻就熟，不必备课都胸有成竹，重点、难点、思路、套路、规范性、严谨性张口就有，挥洒自如，但许多学生却越学越没有兴趣，成绩分化严重。对于传统教学中重计算、重逻辑，认为平面几何的作用就是培养逻辑思维的观点，许多学者是反对的，吴文俊在《几何问题求解及其现实意义》一文中说：“古代中国人就像笛卡尔一样不偏好几何定理证明，强调的是几何问题解答，且主要是面向应用。”数学教育家，华东师大的张奠宙教授说：“1.数学不等于逻辑，数学是生动的模型和思想；2.逻辑思维只是思维能力的一种，它到处有用，但范围有限；3.数学创造主要不是靠逻辑。著名数学家、菲尔兹奖获得者小平邦彦甚至说，我认为数学和逻辑没有关系。”新教材、新内容的出现，都是为了一个目的：把探索的乐趣、创造的喜悦还给学生，让平面几何从“培养逻辑思维能力”的层次提升到培养创造能力的层次。离开自己熟悉的路，我们必须重新建构自己的知识体系。北京市22中学“传奇教师”孙维刚就是一个极好的榜样，他担任北京市非重点中学22中一个实验班的班主任和数学科任老师6年，将全班40人全部送入大学，39人上本科线，38人上重点线，22人考上了北大和清华，创造了中学教育的奇迹。在他的班上，一年半学完全部初中数学，初三时基本学完高中数学，他的学生在高中时，一人获得国际数学奥林匹克竞赛金牌，两年高中数学联赛，8人次获一等奖，9人次获二等奖，6人获三等奖。他说：“在教学上发展智力素质，我们的主要做法有：1.总是站在系统的高度教学知识，八方联系，浑然一体，造成学生总是浮想联翩思潮如涌的思维状态；

2.着重向哲理观点的高度升华，高屋建瓴；

3.课堂上，造成学生超前思维向老师挑战的态势，在思维活动中训练思维；

4.题不在多而求精，一题多解，多解归一，多题归一；

5.从初一开始即进行问题研究，写论文；

6.各科都少留作业，数学不留硬性家庭作业，不收作业，保证学生每天睡眠9小时左右，6年如一。”做孙老师的学生是幸福的，但做我们的学生也是幸福的吗？

三．平面几何教学内容的重新建构

比起前两项，这是较低层次的建构，但也是我们最容易达到的建构。我们应该对教学内容不断思考和钻研，保持思维的敏锐性，让思维随时处于一触即发的状态，从旧内容中发现新意，达到教学上的不断创新。据说，法国学生请中国留学生吃饭，只有一盘蔬菜沙拉，法国学生骄傲地说：“这是我用18把刀做出来的。”中国留学生回请法国学生，端出了八菜一汤，中国留学生谦虚地说：“这是我用一把刀做出来的。”在平面几何的教学中，全等三角形就是这一把刀（还有一把同样著名的刀是勾股定理），我们是否总是只用一把刀？相似三角形比全等三角形更简便，适应范围更广，但我们的教材和我们的教学中，总将一些用相似形来解简洁得多的习题，放在了全等三角形单元和勾股定理单元中去做。而张景中共边定理和共角定理则令人叹为观止，只要一个条件：共边或共角，竟演化出了机器和人都可以应用的解题方法，将平面几何引进了新的境界。

在平面几何教学中，面积法和比例法，远远没有引起足够的注意，当我们重新认识它们时，创新往往就在其中。此外，每一页书，每一个定理，每一个例题，我们都可以问自己：“课本为什么这样安排？换一个角度又可以怎么看？怎么处理会更好？怎么才能使学生思维更活跃？”有时，一些不大的变革，效果却很明显。一位青年教师在讲等腰三角形性质一课时，先让学生观察猜想等腰三角形的性质，然后拿出几个剪好的等腰三角形问学生：“你能通过折纸的方法证明两底角相等，对角线相等吗？”马上课堂上就像开了锅，学生兴致之高，令老师几乎无法控制，在这里，各种辅助线的出现是一目了然的，而给出证明也就成了学生自觉的需求。另外，在证明三角形内角和定理时，通常用撕纸、折纸来引入，这已经是经典模式了，但类比到四边形、多边形时，撕纸、折纸都用不上。我们还可以用一条橡皮筋来引入：将一条橡皮筋在B 、C 两点用图钉固定，将BC 之间另一点A 往上拉，形成三角形ABC ，将A 点慢慢放松时，∠A 逐渐变大，∠B 与∠C 变小，恢复到原来位置时（A 、B 、C 成一条直线，即退化的三角形），∠A 变成180°，∠B 与∠C 变为0°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°。

将A 点慢慢放松时，∠A 的外角变为0°，∠B 与∠C 的外角分别变为180°，

BC 之间拉出两点，就成为四边形，拉出三点，就成为五边形，拉出n －2点，

n －2）×

D 点，四边形 180° 180° 180°

B A D C

°，∠B 与 0° 180° B (A) C B (A) C

橡皮筋模型可以看出运动变化，但要从特殊情况（退化图形）猜测结论，它不能代替证明。我们再看看多边形内角和、外角和的证明。平面几何教材中，是先证明内角和定理，再证明外角和定理，这就使人不禁想到：外角和是与边数无关的一个定值，而内角和却与边数相关，有没有先证外角和的方法呢？有些教师用角度旋转的方法来说明（如特级教师马明），但比较难理解，我们可以将教材的证明重新加以思考，不难得到新的思路。设n 边形内角和为x,外角和为y, 则x ＋y ＝n ×180°，图中以O 为顶点的所有角的和为y ' y y n y x y x '=∴?='+=+,180

+ ∵ 360,360=∴='y y ,

∴x ＝n ×180°- 2×180°=(n-2)×180° 这就是先证外角和，再证明内角和的方法。以O 为顶点的所有的角的和，正是n 边形的外角和，即n 边形的外角和是360°。（本文写完后，无意中看到一本书，是张景中写的《数学家的眼光》，其中提到：1980年，陈省身教授在北大的一次讲学中说：“人们常说三角形的内角和是180°，这是不对的，应当说，三角形的外角和是360°。”因为，这是更一般的规律。早在1944年，陈省身教授就从这个更一般的规律出发，推导了绕平面上任意封闭图形一圈，外角和即方向改变量的和总是360°，并进一步推导出曲面上方向改变量的和的公式，被称为高斯——比内——陈公式，由此发展出的“陈氏类”理论被誉为划时代的贡献，在理论物理上有重要应用。完全没想到，也完全不知道，关于外角和定理竟有这么精彩的故事。从1944年到1980年，再到2002年，几乎60年了，中国的数学教师和中学生竟然不知道这个故事！人教出版社的编辑们，中学数学教材的编写者们为什么要瞒着我们？）

平面几何蕴藏着最丰富的变化，需要我们“跳出三界外，不在五行中”，站在哲理的高度去重新认识它、发现它。张景中院士从两个最平凡的定理出发，改造了整个平面几何体系，我们当然无法做到，但使几何变得更有趣，教学过程更生动活泼，从证定理、背定理到重发现、重创造，却是教师的义务，我们必须做到。

四.新教学观的建构

随着世界经济的发展和人类科学技术的飞跃提高，教育改革受到了前所未有的高度重视。中国改革开放的巨大成就，带来了对人才的渴求，对学校教育也提出了更高的要求，素质教育和创新教育成为了学校教育改革的核心。中央十五大报告中指出：“培养同现代化相适应的数以亿计高素质的劳动者和数以千万计的专门人才”，江泽民同志指出：“创新是不断进步的灵魂，如果不能创新，一个民族就难以发展起来，难以屹立于世界民族之林。”以认知教育为主体的旧教育观（包括在此基础上进行的教育教学改革）必须改变：在学知识的同时，更重视学习认知的过程和结构；教师主导改为教师引导；学生记忆知识改为建构知识，在观念改变的同时，建构起符合培养新世纪人才的新教学观，做到《中国教育和改革发展纲要》提出的：“面向全体学生，全面提高学生的思想道德、文化科学、劳动技能和身体、心理素质，促进学生生动活泼地发展。”

在新的教学观中，突出强调了学生是学习的主体，学习是生存的需要，发展的需要，学习是生命的一部分，学生应当享受学习。但在突出生本观念的同时，也应当强调“师本”观念，课堂教学是教师生命的一部分，而且是最重要的一部分，不仅因为课堂教学是一个教师生命中最长的一个阶段，更重要的是课堂教学体现了教师的生存价值，体现了教师的创造性，体现了教师的理想和追求。叶澜在《让课堂焕发出生命活力》一文中指出：“每一堂课都是教师生命活动的构成。因此十分重要的是使每一个教师都要意识到这一点，课堂教学对他们而言，不只是为学生成长所做的付出，不只是别人交付任务的完成，他同时也是自己生命价值的体现和自身发展的组成。”，所以，应当提倡教师“享受教学”。

在新的教学观中，首先应当承认每一个学生都有自己的独特性，是唯一的“这一个”，学生之间存在差异。在教育部制定的《数学课程标准（试验稿）》中指出，数学教育的基本理念是：“——人人学有价值的数学，——人人都能获得必须的数学，——不同的人在数学上得到不同的发展。”关注每一个学生在数学上获得的进步，使每一个学生在数学学习中享受到创造的乐趣，给学生动手实践、自主探索与合作交流的机会，并且贯彻在课堂教学的全过程中，学生的差异不再是包袱，而是学生与教师的共同财富。

在新的教学观中，应当重新审视教案。合理的教案应当向学生提供充分从事数学活动的机会，能启发学生了解知识、方法和过程的结构，具有预见性、灵活性、师生互动性，包容差异，包容质疑。但即使准备了合理的甚至是优秀的教案，能否完成教案也不再是评价教学质量的主要标准，因为课堂是活的，每一节课都是唯一的、不可重现的，没有任何一份教案，可以在不同的时间、不同的班级获得相同的结果。课堂教学并不是写教案、背教案、引导

A 4 A n

学生完成教案的过程。德国教育家克拉夫斯基说：“衡量一个教学计划是否具有教学论质量的标准，不是看到实际进行的教学是否能够尽可能与计划一致，而是看这个计划是否能够使教师在教学中采取教学论上可以论证的、灵活的行动，使学生创造性地进行学习，借以为发展他们的自立能力做出贡献——即使是有限的贡献。”

在新的教学观中，教师是终生学习的专业人才，和每一个学生一样，教师必须学会认知（learning to know ），学会做事（learning to do ），学会合作（learning to live to together ），学会发展（learning to be ）（联合国教科文组织国际21世纪教育委员会的报告《教育——财富蕴含其中》）。每一个教师应当是了解学生、教育学生的专家，是本学科知识的专家，是掌握和熟练使用最新科技成果和教学手段的专家。这就是我们应当构建的新教学观。

一切学习过程都离不开建构理论，不管你承认不承认建构理论，或者意识不意识到建构过程的存在和影响。新教学观的确立也是一种学习，也离不开建构理论，它是在对旧教学观的批判中建构起来的。只是我们应该建构得更快些、更主动些，你不淘汰旧的教学观，你就将被新世纪的教育淘汰，这是确定无疑的。

参考文献：

张奠宙：《数学的明天》 （广西教育出版社）

孙熙椿：《平面几何定理的机器证明》 （广西教育出版社）

孙维刚：《孙维刚谈全班55%怎样考上北大，考上清华》 （北方妇女儿童出版社）

叶澜：《新基础教育探索性研究报告集》 （上海三联书店）

2002.4.24

附录：共边定理和共角定理

1.共边定理：两个三角形中有一条公共边，这两个三角形叫做共边三角形。共边三角形是处处存在的，它比全等三角形、相似三角形更为广泛。

若直线PQ 和直线AB 相交于点M ，则 Q M

PM S S QAB PAB =。 共边三角形有四种情况(PQ 在AB 的同旁与不在同旁，M 在AB 上与不在AB 上)，如下图：

２.共角定理：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形与共边

三角形一样，处处皆是。

若C B B A BC AB S S C B A ABC C B A ABC ''?''?='''∠∠'''相等或互为补角，则

与

B A B