当前位置：文档库 › 一元二次不等式解法及集合运算练习题

一元二次不等式解法及集合运算练习题

必修5《一元二次不等式及其解法》练习卷

知识点：

1、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．

2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

判别式24b ac ?=-

二次函数2y ax bx c =++

()0a >的图象

一元二次方程

20ax bx c ++=

()0a >的根

有两个相异实数根有两个相等实数

根122b

x x a ==-

没有实数根

一元二次不等式的

解集

同步练习：

1、不等式2654x x +<的解集为（）

A ．41,,32????-∞-+∞ ? ?????U

B ．41,32??

- ???

C ．14,,23????-∞-+∞ ? ?????U

D ．14,23??

- ???

2、设集合{}12x x A =≤≤，{}0x x a B =-<，若A B ≠?I ，那么实数a 的取值范围是（）

A ．()1,+∞

B ．[)2,+∞

C ．(],2-∞

D ．[)1,+∞ 3、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（） A ．R

B ．()2,2-

C ．()(),22,-∞-+∞U

D ．[]2,2-

4、设一元二次不等式2

10ax bx ++>的解集为113x x ??

，则ab 的值是（）

A ．6-

B ．5-

C ．6

D ．5

5、不等式()221200x ax a a --<<的解集是（）

A ．()3,4a a -

B ．()4,3a a -

C ．()3,4-

D ．()2,6a a

6、不等式2

20ax bx ++>的解集是1123x x ??

，则a b -=（） A ．14- B ．14 C ．10- D ．10

7、不等式22269

319

1122x x x x -+++??

??≤

? ???

的解集是（）

A ．[]1,10-

B ．()[),110,-∞-+∞U

C ．R

D ．(][),110,-∞-+∞U 8、不等式()()120x x --≥的解集是（）

A ．{}12x x ≤≤

B ．{}12x x x ≥≤或

C ．{}12x x <<

D ．{}

12x x x ><或 9、不等式()20ax bx c a ++<≠的解集为?，那么（） A ．0a <，0?>

B ．0a <，0?≤

C ．0a >，0?≤

D ．0a >，0?≥

10、设()21f x x bx =++，且()()13f f -=，则()0f x >的解集是（） A ．()(),13,-∞-+∞U B ．R C ．{}

1x x ≠

D ．{}

1x x =

11、若01a <<，则不等式()10a x x a ?

?--> ??

?的解是（）

A ．1

a x a

B ．

x a a

<< C ．x a <或1x a

D ．1

x a

<或x a >

12、不等式()130x x ->的解集是（） A ．1,3??-∞ ???

B ．()1,00,3??-∞ ???U

C ．1,3??+∞ ???

D ．10,3?? ???

13、二次函数()2y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：

则不等式20ax bx c ++>的解集是____________________________．

14、若0a b >>，则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________________． 15、不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则不等式20ax bx c -+>的解集是________________________．

16、不等式2

230x x -->的解集是___________________________．

17、不等式2560x x -++≥的解集是______________________________．

18、()21680k x x --+<的解集是425x x x ??

<->????或，则k =_________．

19、已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<，则p q +=________． 20、不等式30x x +≥的解集为____________________． 21、求下列不等式的解集：

⑴ ()()410x x +--<； ⑵ 232x x -+>； ⑶ 24410x x -+>．

22、已知不等式220ax bx ++>的解集为1123x x ??

?，求a 、b 的值．

23、已知集合{

90x x A =-≤，{

}

430x x x B =-+>，求A B U ，A B I ．

集合的运算

一、知识点：

1．交集：由所有属于集合A 属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集。

即：=B A I 。

2．并集：由所有属于集合A 属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集。

即：=B A Y 。

3．性质：=A A I ，=φI A ，=B A I ； =A A Y ，=φY A ，=B A Y ； A I （A C U ）= ，A Y （A C U ）= ；

（A C U ）I （B C U ）= ，（A C U ）Y （B C U ）= 。 4．全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的，这个集合就可以

看作一个全集，全集通常用U 表示。

5．补集：设S 是一个集合，A 是S 的子集，由S 中所有 A 元素组成的集合，

叫做S 中子集A 的补集。即：=A C S 。 6．Card （A ∪B ）= 。二、例题讲解：

例1、已知全集U ＝R ，A ＝｛x ｜｜x －1｜≥1｝．B ＝｛x ｜2

--x x ≥0｝，求： (1)A ∩B ； (2)(

A )∩(

B )．

例2、已知集合M ＝{y |y ＝x 2

＋1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．(0，1)，(1，2) B ．{(0，1)，(1，2)} C ．{y |y ＝1或y ＝2} D ．．{y |y ≥1} 例3、已知集合A 、B 是全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集，A ∩B ＝{2}，（U

A ）∩（

B ）

＝{1，9}，（

A ）∩

B ＝{4，6，8}，求A ，B ．

例4．已知集合}02|{2≤-+=x x x A ，B={x|2

}0|{2>++=c bx x x C ，且满足φ=??C B A )(，R C B A =??)(，则b_________，

c_________。

练习：已知A ＝{x|x 2

－ax ＋a 2

－19＝0}，B ＝{x|x 2

－5x ＋8＝2}，C ＝{x|x 2

＋2x －8＝0}，（1）若A ∩B ＝A ∪B ，求a 的值；（2）若?A ∩B ，A ∩C ＝?，求a 的值．

例5．已知A ＝｛x ｜｜x －1｜＜b ，b ＞0}，B ＝｛x ｜｜x －3｜＞4｝，且A ∩B ＝?，求b 的取值范围．

练习：已知集合A ＝｛x ｜x 2

－x －2≤0｝，B ＝｛x ｜a ＜x ＜a ＋3｝且满足A ∩B ＝?，则实数a 的取值范围是_______．

例6．已知集合A ＝{x|－2≤x ＜－1或x ＞1}，B ＝{x|x 2

＋ax ＋b ≤0}，且A ∩B ＝{x|1＜x ≤3}，A ∪B ＝{x|x ≥－2}，试求a ，b 的值．

例7．已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋6＜0}，B ＝{x|x 2－4ax ＋3a 2

＜0}且A ?B ，求实数a 的取值范围．

本题考查含参数的一元二次不等式的解法，集合的交、并运算及分类讨论的能力．

思考题：已知集合2

{|54A x x x =-+≤0},2

{|22B x x ax a =-++≤0},且B A ?，求实数a 的取值范围.

专项训练一、选择题

1．已知全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h}，A ＝{c ，d ，e}，B ＝{a ，c ，f}，那么集合{b ，g ，h}等于（）

A ．A ∪

B B ．A ∩B

C ．（U A ）∪（U B ）

D ．（U A ）∩（U B ）

2．已知集合P={a ，b ，c ，d ，e}，集合Q P ，且)(Q P a ?∈，)(Q P b ??，则满

足上述条件的集合Q 的个数为（）

3．已知集合M 有3个真子集，集合N 有7个真子集，那么M ∪N 的元素个数为（）

A.有5个元素 B .至多有5个元素 C.至少有5个元素 D.元素个数不能确定

4．集合A={（x ，y ）|y=a|x|}，B={（x ，y ）|y=x+a}，C=A ∩B ，且集合C 为单元素

集合，则实数a 的取值范围为（）

A .|a|≤1 B.|a|>1 >1 >0或a<0

5．集合M={（x ，y ）|x>0，y>0}，N={（x ，y ）|x+y>0，xy>0}，则（）

C. M N

D. φ=?N M

6．设全集I={1，2，3，4，5}，}2,1{=?B C A I ，则集合B A C I ?的个数为（）

7．设U ＝{1，2，3，4，5}，若A ∩B ＝{2}，（

A ）∩

B ＝{4}，（

A ）∩（

B ）＝{1，5}，则

下列结论正确的是（） A ．3?A 且3?B B ．3?A 且3∈B C ．3?B 且3∈A D ．3∈A 且3∈B

8．已知集合M ＝{（x ，y ）|x ＋y ＝3}，N ＝{（x ，y ）|x －y ＝5}，那么集合M ∩N 为（）

A ．x ＝4，y ＝－1

B ．（4，－1）

C ．{4，－1}

D ．{（4，－1）}

9．设集合A ＝{x|－1

－5x ＋6<0}，B ＝{x|x<2

}，若A B ，则实数a 的范围为（） A ．［6，＋∞)

B ．（6，＋∞）

C ．（－∞，－1）

D ．（－1，＋∞）

11．已知集合A ＝{－1，1}，B ＝{x|mx ＝1}，且A ∪B ＝A ，则m 的值为（）

A ．1

B ．－1

C ．1或－1

D ．1或－1或0

12．若集合P ＝{x|3

A ．（1，9）

B ．［1，9］

C ．（6，9）

D ．［6，9) 三、填空题：

13．高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有__________人．

14．已知A ＝｛x |x 2

－2x －8＜0｝，B ＝｛x |x －a ＜0｝，A ∩B ＝φ．则a 的范围是________ 15．设T ＝{（x ，y ）|ax ＋y －3＝0}，S ＝{（x ，y ）|x －y －b ＝0}，若S ∩T ＝{（2，1）}，则a

＝_______，b ＝_______．

16．已知A ＝{x|x 2

＋（p ＋2）x ＋1＝0}，B ＝{x|x>0}，若A ∩B ＝?，则实数p 的取值范围为__________．

四、解答题：

17．已知全集U ＝{x|－4≤x ≤4，x ∈Z }，A ＝{－1，a 2＋1，a 2－3}，B ＝{a －3，a －1，a ＋1}，且A ∩B ＝{－2}，求

U （A ∪B ）．

18．已知U ＝{x|x 2

－3x ＋2≥0}，A ＝{x||x －2|＞1}，B ＝{x|2

--x x ≥0}，求A ∩B ，A ∪B ，（ U

A ）∪

B ，A ∩（

B ）．

19．设{}2|120A x x x =--= ，{}2|20B x x ax b =-+= ，B ≠? ，且A B A =∪ 求a ，b 的值。

20．已知集合A ＝{x|－x 2

＋3x ＋10≥0}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ?A ，求实数m 的取值范围．

21*．集合A={（x,y ）022=+-+y mx x },集合B={（x,y ）01=+-y x ,且02≤≤x }，又A φ≠?B ，求实数m 的取值范围．

二元二次方程组-解法-例题

二元二次方程的解法二次方程组的基本思想和方法方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因法和技巧是解二元二次方程组的关键。型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。程组的解法元法（即代入法）二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；元二次方程，求得一个未知数的值；的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。与系数的关系二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。注意二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。（2）要防止漏解和增解的错误。

程组的解法中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二型方程组，所得的解都是原方程组的解。中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。析：例1．解方程组观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。 1)得y=8-x..............(3) 把(3)代入(2)，整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6. (3)，得y1=6. 把x2=6代入(3)，得y2=2. 所以原方程组的解是。

如何解一元二次不等式

如何解一元二次不等式，例如：x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路解：对于高中“解一元二次不等式”这一块，通常有以下两种解决办法： ①运用“分类讨论”解题思想； ②运用“数形结合”解题思想。以下分别详细探讨。例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。解法①：原不等式可化为： (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。两部分的乘积大于等于零，等价于以下两个不等式组：（1）x -- 4 ≥ 0 或（2）x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”）解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”） ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。解法②：原不等式可化为： [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方，

那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解，如本题，用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为：(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。体会：以上三种解法，都是死板板地去解；至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。下面看“数形结合”法。解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和(4，0)，显然，当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，图像在x 轴的上方；当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，x2 -- 2x -- 8 ≥ 0，即：不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方，即：x2 -- 2x -- 8 ≤ 0，∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为：[ -- 2，4 ]。领悟：对于ax2 + bx + c ＞0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”；对于ax2 + bx + c ＜0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 ＞0。在实数范围内左边无法进行因式分解。配方得：(x + 1)2 + 2 ＞0。无论x 取任何实数，(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。用“数形结合”考虑， ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0， ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 ＞0的解集为x ∈R。

2015高考数学一轮题组训练：7-2一元二次不等式及其解法

第2讲一元二次不等式及其解法基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．(2014·长春调研)已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(?R P )∩Q ＝________. 解析依题意，得P ＝{x |－1≤x ≤2}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则(?R P )∩Q ＝(2,3]．答案 (2,3] 2．(2014·沈阳质检)不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4. 答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞) 3．(2013·南通二模)已知f (x )＝????? x 2 ，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0，则不等式f (x )2，因此x <0. 综上，f (x )

2019-2020年高中数学一元二次不等式组解法教案新人教A版必修1

2019-2020年高中数学一元二次不等式组解法教案新人教A版必修1 一、学习目标 1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。 2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。二、例题第一阶梯例1什么是一元二次不等式的一般式？【解】一元二次不等式的一般式是： ax2+bx+c(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0) 【评注】 1.一元二次不等式的一般式中，严格要求a＞0，这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。 2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一，当a1＜0时，将不等式乘－1就化成了“a＞0”。例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？【点拨】用函数的观点来回答。【解】二次不等式、二次方程和二次函数的联系是：设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L，则不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解集分别是抛物线L在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的

横坐标。【评注】二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。【解】一元二次不等式的解集表：【评注】 1.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。 2.二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）。例4、写出一元二次不等式的解法步骤。【解】一元二次不等式的解法步骤是： 1.化为一般式ax2+bx+c＞0 (a＞0)或ax2+bx+c＜0 (a＞0)。这步可简记为“使a＞0”。 2.计算△=b2－4ac，判别与求根：解对应的二次方程ax2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。

完整版一元二次不等式及其解法教学设计

元二次不等式及其解法设计思想】新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。教材分析】本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5 第三章《不等式》第二节一元次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。学情分析】学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。教学目标】知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法；过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力；情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。教学重点】一元二次不等式的解法。教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。教学策略】探究式教学方法创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价）课前准备】教具：“几何画板”及PPT 课件. 粉笔：用于板书示范. 第1 页共4 页

一元二次不等式及其解法练习题.doc

一元二次不等式及其解法练习班级：姓名：座号： 1 比较大小：（1）2 6+ （2）2 21)-；（3 ；（4）当0a b >>时，12log a _______12 log b . 2. 用不等号“>”或“<”填空：（1）,____a b c d a c b d >><>? （4）2211 0___a b a b >>?. 3. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（）. A ．220x a << B ．22x ax a >> C ．20x ax << D ．22x a ax >> 4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11 a b <，③33a b >，④lg lg a b >，其中成立的是 . 5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系为 . 6.比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小. 7. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（）. A ．()()f x g x > B ．()()f x g x = C ．()()f x g x < D ．随x 值变化而变化 8.（1）已知1260,1536,a a b a b b <<<<-求及的取值范围. （2）已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围. 9. 已知22 ππ αβ-≤<≤，则2αβ-的范围是（）. A ．(,0)2 π - B ．[,0]2π - C ．(,0]2π- D ．[,0)2 π - 10.求下列不等式的解集. （1）2230x x +->；（2）2230x x -+-> （3）2230x x -+-≤.

高一数学二元二次方程组解法

方程 22260x xy y x y +++++= 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项．我们看下面的两个方程组： 224310,210; x y x y x y ?-++-=?--=? 222220,560. x y x xy y ?+=??-+=?? 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．例1 解方程组 22440,220.x y x y ?+-=?--=? 分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．解：由②,得 x ＝2y ＋2， ③ 把③代入①,整理,得 8y 2＋8y ＝0，即 y (y ＋1)＝0． ①

解得 y 1＝0，y 2＝－1．把y 1＝0代入③, 得 x 1＝2；把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0．所以原方程组的解是 112,0x y =??=?， 22 0,1.x y =??=-? 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解．例2 解方程组 7,12.x y xy +=??=? 解法一：由①，得 7.x y =- ③ 把③代入②，整理，得 27120y y -+= 解这个方程，得 123,4y y ==．把13y =代入③，得14x =；把24y =代入③，得23x =．所以原方程的解是 114,3x y =??=?， 223,4. x y =??=? 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y ．这个方程组的,x y 是一元二次方程 27120z z --= 的两个根，解这个方程，得 3z =，或4z =．所以原方程组的解是 114,3;x y =?? =? 223,4. x y =??=? 练习： ①

一元二次不等式及其解法(教学反思

专题一元二次不等式及其解法教学反思一元二次不等式及其解法的复习重点是1：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2：一元二次不等式及其解法。由于是复习课，根据我们学生的实际情况，我是这样安排复习的：一、我先给学生展示高考考纲及考情，再检测学生对一元二次不等式的概念及“三个二次”之间关系的理解，引导学生梳理相关知识点。这一环节反映出学生基础知识掌握的比较熟悉。（五六分钟）二、为了检测学生对本节知识的应用情况，我要求学生完成，有三位学生主动板演，让其他学生批改，在引导学生一元二次元二次不等式的方法步骤，以次调动学生的学习积极性，也体现了先学后讲的课堂模式。这一环节只有一位没有完整的写出解题过程，后来有地四个同学补充完成。总体来说学生完成的还可以（大约12多分钟）。三、为了让学生明确本节知识在高考中的考察形式及出题难度，我选了两个热点题，启发引导学生对问题的分析及其解答。从学生分析问题的思维过程反映出一部分学生能较熟练地运用知识，而剩下的学生对基础知识的理解不到位对知识逆用不熟悉，思考问题的角度单一，思维方法不灵活。另外运算能力还有待提高。还有由于时间关系，没能检查学生完成资料课时作业的对应联系。（大约15分钟）通过本节课，有几个方面以后上课必须要注意： 1、教学内容安排要合理。每一节的教学内容要适合学生的实际情况，不能好多，也不太少了。 2、课堂突发情况的调控能力还要提高。 3、调动学生学习积极性还需要学习更多好的方法。 4、有效课堂必须是完整的课堂，无论是课前复习，新课导学，典型例题、当堂练习、学习小结还是当堂检测都应该完整完成。今后的课堂一定要向着这个目标努力。 5、在今后的复习中要进一步提高学生的数学运算能力。培养学生良好的思维能力，注重培养学生的发散思维。

一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题

一元二次不等式及其解法 1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式. 当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为. 2.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式. (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________. (3)一元二次不等式的解：

(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为 f （x ） g （x ）的形式. (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f （x ） g （x ）＞0 ? f (x )g (x )＞0； f （x ） g （x ）＜0 ? f (x )g (x )＜0； f （x ）g （x ）≥0 ? ?????f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0； f （x ） g （x ）≤0 ? ?????f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0. (2014·课标Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2 －2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A.[－2，－1] B.[－1，2) C.[－1，1] D.[1，2) 解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1].故选A . 设f (x )＝x 2 ＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( ) A.{x |x ∈R } B.{x |x ≠1，x ∈R } C.{x |x ≥1} D.{x |x ≤1} 解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ，由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ，解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2 －2x ＋1>0，x 的取值范围是x ≠1.故选B. 已知－12<1 x <2，则x 的取值范围是( )

知识讲解一元二次不等式及其解法基础

一元二次不等式及其编稿：张希勇审稿：李霞【学习目标】 1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想； 2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系； 3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题. 【要点梳理】要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：250xx ??.一元二次不等式的一般形式：20axbxc ???(0)a ?或20axbxc ???(0)a ?. 设一元二次方程20(0)axbxca ????的两根为12xx 、且12xx ?，则不等式20axbxc ???的解集为??21xxxxx ??或，不等式20axbxc ???的解集为??21xxxx ?? 要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ?成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系对于一元二次方程20(0)axbxca ????的两根为12xx 、且12xx ?，设ac b42???，它的解按照0??，0??，0??可分三种情况，相应地，二次函数2yaxbxc ???(0)a ?的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20axbxc ???(0)a ?或20axbxc ???(0)a ?的解集.

要点诠释：（1）一元二次方程20(0)axbxca????的两根12xx、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线?y cbxax??2与x轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0??????三种情况，得到一元二次不等式20axbxc???与20axbxc ???的解集. 要点三、解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；（2）写出相应的方程20axbxc???(0)a?，计算判别式?： ①0??时，求出两根12xx、，且12xx?（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0??时，求根abxx221???； ③0??时，方程无解（3）根据不等式，写出解集. 用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程

二元二次方程组的解法,分式方程的解法,无理方程的解法教案

个性化教学辅导教案学科：数学任课教师：谭盛德授课时间：2013 年 8 月 2 日(星期五 ) 16 : 00 ~ 18 : 00 姓名郭海杰年级高一性别男教学课题简单的二元二次方程组的解法教学目标 1. 会用代入解简单的二元二次方程组 2．会用平方法解无理方程 3．熟悉分式方程的解法重点难点重点：二元二次方程组的解法，分式方程，无理方程的解法难点：二元二次方程组的解法，分式方程，无理方程的解法课前检查作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议_______________________________ 第 4次课第四讲简单的二元二次方程组的解法在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组．高中新课标必修2中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法．含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组．一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．【例1】解方程组22 20 (1)30 (2) x y x y -=??-+=? 分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得2y x =，代入方程(2)消去y ．解：由(1)得：2y x = (3) 将(3)代入(2)得：22(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或把1x =代入(3)得：22y =；把1x =-代入(3)得：22y =-． ∴原方程组的解是：111111 22 x x y y ==-????==-??或．说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤： ①由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程(3)； ②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程；

一元二次不等式及其解法教学讲义

一元二次不等式及其解法教学讲义 ZHI SHI SHU LI 知识梳理) 1．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋ bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． (2)计算相应的判别式. (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．三个二次之间的关系判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根 x1，x2 (x10 (a>0)的解集{x|x>x2或 x0)的解集 {x| x10(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)． 2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次项系数中含有参数，应先对二次项

系数为0的情况进行分析，检验此时是否符合条件． 3．二次不等式解集的“边界值”是相应二次方程的根． 4．简单分式不等式的解法 (1)f (x )g (x ) >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； (2)f (x ) g (x )≥0(≤0)?? ???? f (x )· g (x )≥0(≤0)g (x )≠0. 5．简单的指数与对数不等式的解法 (1)若a >1，a f (x )>a g (x )?f (x )>g (x )；若0a g (x )?f (x )1，log a f (x )>log a g (x )?f (x )>g (x )>0；若0 log a g (x )?02} [解析] 由(x －1)(2－x )≥0可知(x －2)(x －1)≤0，所以不等式的解集为{x |1≤x ≤2}．故选A ． 2．不等式1－x 2＋x ≥0的解集为( B ) A ．[－2,1] B ．(－2,1] C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－2]∪(1，＋∞) [解析] 原不等式化为????? (1－x )(2＋x )≥0， 2＋x ≠0，即? ???? (x －1)(x ＋2)≤0 x ＋2≠0，所以－20的解集是(－12，1 3)，则a ＋b 的值是( D ) A ．10 B ．－10 C ．14 D ．－14 [解析] 由题意知－12，1 3 是ax 2＋bx ＋2＝0的两根，则a ＝－12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－14.