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2019年湖北省武汉市中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）实数2019的相反数是（）

A．2019B．﹣2019C．D．

2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A．x＞0B．x≥﹣1C．x≥1D．x≤1

3．（3分）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）

A．3个球都是黑球B．3个球都是白球

C．三个球中有黑球D．3个球中有白球

4．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

5．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（）

A．B．

C．D．

6．（3分）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用t 表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y与x的对应关系的是（）

A．B．

C．D．

7．（3分）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数解的概率为（）

A．B．C．D．

8．（3分）已知反比例函数y的图象分别位于第二、第四象限，A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在该图象上，下列命题：①过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．若△ACO的面积为3，则k＝﹣6；②若x1＜0＜x2，则y1＞y2；③若x1+x2＝0，则y1+y2＝0，其中真命题个数是（）

A．0B．1C．2D．3

9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB 的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（）

A．B．C．D．

10．（3分）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（）

A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2C．2a2﹣a D．2a2+a

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）计算的结果是．

12．（3分）武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：℃），分别是25、20、18、

23、27，这组数据的中位数是．

13．（3分）计算的结果是．

14．（3分）如图，在?ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为．

15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是．

16．（3分）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：P A+PC＝PE．

问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）计算：（2x2）3﹣x2?x4．

18．（8分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F．

19．（8分）为弘扬中华传统文化，某校开展“双剧进课堂”的活动，该校童威随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：

（1）这次共抽取名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？

20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．

（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．

（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC．

（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB．

21．（8分）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点．

（1）如图1，求证：AB2＝4AD?BC；

（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．

22．（10分）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：

注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）

（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

②该商品进价是元/件；当售价是元/件时，周销售利润最大，最大利润

是元．

（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．

23．（10分）在△ABC中，∠ABC＝90°，n，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．

①如图2，若n＝1，求证：．

②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）

24．（12分）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2

（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？

（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线yx+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．

①若AP＝AQ，求点P的横坐标；

②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．

（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．

2019年湖北省武汉市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）实数2019的相反数是（）

A．2019B．﹣2019C．D．

【解答】解：实数2019的相反数是：﹣2009．

故选：B．

2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A．x＞0B．x≥﹣1C．x≥1D．x≤1

【解答】解：由题意，得

x﹣1≥0，

解得x≥1，

故选：C．

3．（3分）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）

A．3个球都是黑球B．3个球都是白球

C．三个球中有黑球D．3个球中有白球

【解答】解：A、3个球都是黑球是随机事件；

B、3个球都是白球是不可能事件；

C、三个球中有黑球是必然事件；

D、3个球中有白球是随机事件；

故选：B．

4．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

【解答】解：四个汉字中，可以看作轴对称图形的是，

故选：D．

5．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（）

A．B．

C．D．

【解答】解：从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形，如图

所示：．

故选：A．

A．B．

C．D．

【解答】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，t表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，

∴y随t的增大而减小，符合一次函数图象，

故选：A．

7．（3分）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数解的概率为（）

A．B．C．D．

【解答】解：画树状图得：

由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中使ac≤4的有6种结果，

∴关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数解的概率为，

故选：C．

A．0B．1C．2D．3

【解答】解：过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．

∵△ACO的面积为3，

∴|k|＝6，

∵反比例函数y的图象分别位于第二、第四象限，

∴k＜0，

∴k＝﹣6，正确，是真命题；

②∵反比例函数y的图象分别位于第二、第四象限，

∴在所在的每一个象限y随着x的增大而增大，

若x1＜0＜x2，则y1＞0＞y2，正确，是真命题；

③当A、B两点关于原点对称时，x1+x2＝0，则y1+y2＝0，正确，是真命题，

真命题有3个，

故选：D．

A．B．C．D．

【解答】解：如图，连接EB．设OA＝r．

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∵E是△ACB的内心，

∴∠AEB＝135°，

∵∠ACD＝∠BCD，

∴，

∴AD＝DBr，

∴∠ADB＝90°，

易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，

∵∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α

∴．

故选：A．

A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2C．2a2﹣a D．2a2+a

【解答】解：∵2+22＝23﹣2；

2+22+23＝24﹣2；

2+22+23+24＝25﹣2；

…

∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，

∴250+251+252+…+299+2100

＝（2+22+23+...+2100）﹣（2+22+23+ (249)

＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）

＝2101﹣250，

∵250＝a，

∴2101＝（250）2?2＝2a2，

∴原式＝2a2﹣a．

故选：C．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）计算的结果是4．

【解答】解：4，

故答案为：4．

12．（3分）武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：℃），分别是25、20、18、

23、27，这组数据的中位数是23℃．

【解答】解：将数据重新排列为18、20、23、25、27，

所以这组数据的中位数为23℃，

故答案为：23℃．

13．（3分）计算的结果是．

【解答】解：原式

．

故答案为：

14．（3分）如图，在?ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为21°．

【解答】解：设∠ADE＝x，

∵AE＝EF，∠ADF＝90°，

∴∠DAE＝∠ADE＝x，DEAF＝AE＝EF，

∵AE＝EF＝CD，

∴DE＝CD，

∴∠DCE＝∠DEC＝2x，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE＝∠BCA＝x，

∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，

∴2x＝63°﹣x，

解得：x＝21°，

即∠ADE＝21°；

故答案为：21°．

15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是x1＝﹣2，x2＝5．

【解答】解：关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，

把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c，因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），

所以抛物线y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c与x轴的两交点坐标为（﹣2，0），（5，0），所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝5．

故答案为x1＝﹣2，x2＝5．

16．（3分）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：P A+PC＝PE．

问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是2．

【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，

在△ABG和△ADP中

，

∴△ABG≌△ADP（SAS），

∴AG＝AP，∠BAG＝∠DAP，

∵∠GAP＝∠BAD＝60°，

∴△AGP是等边三角形，

∴∠AGC＝60°＝∠APG，

∴∠APE＝60°，

∴∠EPC＝60°，

连接EC，延长BC到F，使CF＝P A，连接EF，

∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，

∴∠EAC＝60°，∠EPC＝60°，

∵AE＝AC，

∴△ACE是等边三角形，

∴AE＝EC＝AC，

∵∠P AE+∠APE+∠AEP＝180°，∠ECF+∠ACE+∠ACB＝180°，∠ACE＝∠APE＝60°，∠AED＝∠ACB，

∴∠P AE＝∠ECF，

在△APE和△ECF中

∴△APE≌△ECF（SAS），

∴PE＝PF，

∴P A+PC＝PE；

（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．

∵△MGD和△OME是等边三角形

∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME

在△GMO和△DME中

∴△GMO≌△DME（SAS），

∴OG＝DE

∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO

∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，

∴∠NMD＝135°，

∴∠DMF＝45°，

∵MG．

∴MF＝DF＝4，

∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，

∴ND2，

∴MO+NO+GO最小值为2，

故答案为2，

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）计算：（2x2）3﹣x2?x4．

【解答】解：（2x2）3﹣x2?x4

＝8x6﹣x6

＝7x6．

18．（8分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F．

【解答】解：∵CE∥DF，

∴∠ACE＝∠D，

∵∠A＝∠1，

∴180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣∠D﹣∠1，

又∵∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠A，∠F＝180°﹣∠D﹣∠1，

∴∠E＝∠F．

（1）这次共抽取50名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为72°；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？

【解答】解：（1）这次共抽取：12÷24%＝50（人），

D类所对应的扇形圆心角的大小360°72°，

故答案为50，72°；

（2）A类学生：50﹣23﹣12﹣10＝5（人），

条形统计图补充如下

该校表示“喜欢”的B类的学生大约有1500690（人），

答：该校表示“喜欢”的B类的学生大约有690人；

（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．

（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC．

（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB．

【解答】解：（1）如图所示，线段AF即为所求；

（2）如图所示，点G即为所求；

（3）如图所示，线段EM即为所求．

21．（8分）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点．

（1）如图1，求证：AB2＝4AD?BC；

（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接OC、OD，如图1所示：

∵AM和BN是它的两条切线，

∴AM⊥AB，BN⊥AB，

∴AM∥BN，

∴∠ADE+∠BCE＝180°

∵DC切⊙O于E，

∴∠ODE∠ADE，∠OCE∠BCE，

∴∠ODE+∠OCE＝90°，

∴∠DOC＝90°，

∴∠AOD+∠COB＝90°，

∵∠AOD+∠ADO＝90°，

∴∠AOD＝∠OCB，

∵∠OAD＝∠OBC＝90°，

∴△AOD∽△BCO，

∴，

∴OA2＝AD?BC，

∴（AB）2＝AD?BC，

∴AB2＝4AD?BC；

（2）解：连接OD，OC，如图2所示：

∵∠ADE＝2∠OFC，

∴∠ADO＝∠OFC，

∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，

∴∠OFC＝∠FOC，

∴CF＝OC，

∴CD垂直平分OF，

∴OD＝DF，

在△COD和△CFD中，，

∴△COD≌△CFD（SSS），

∴∠CDO＝∠CDF，

∵∠ODA+∠CDO+∠CDF＝180°，

∴∠ODA＝60°＝∠BOC，

∴∠BOE＝120°，

在Rt△DAO，ADOA，

Rt△BOC中，BCOB，

∴AD：BC＝1：3，

∵AD＝1，

∴BC＝3，OB，

∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE＝233π．

注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）

（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

②该商品进价是40元/件；当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是

1800元．

【解答】解：（1）①依题意设y＝kx+b，

则有

解得：

所以y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+200；

②该商品进价是50﹣1000÷100＝40，

设每周获得利润w＝ax2+bx+c：

则有，

解得：，

∴w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，

∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；

故答案为：40，70，1800；

（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+200）＝﹣2x2+（280+2m）x﹣8000﹣200m，∵对称轴x，

∴①当65时（舍），②当65时，x＝65时，w求最大值1400，

解得：m＝5．

①如图2，若n＝1，求证：．

②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）

【解答】（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点H．

∵AM⊥CN，

∴∠AHC＝90°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠BAM+∠AMB＝90°，∠BCN+∠CMH＝90°，

∵∠AMB＝∠CMH，

∴∠BAM＝∠BCN，

∵BA＝BC，∠ABM＝∠CBN＝90°，

∴△ABM≌△CBN（ASA），

∴BM＝BN．

（2）①证明：如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．

∵BP⊥AM，

∴∠BPM＝∠ABM＝90°，

∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠CBH+∠BMP＝90°，