贵州省毕节市梁才学校2021-2021学年高二数学上学期期中试题 文

贵州省2021-2021学年高二数学上学期期中试题 文

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素书写，字体工整、笔迹清楚．

4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．直线3+-=x y 的倾斜角是 A ．45° B ．60° C．120° D ． 135°

2．已知圆的方程为2

2

2610x y x y +--+=，那么圆心坐标为

A ．（1，3）

B ．（1，3-）

C ．（1-，3）

D ．（1-，3-） 3．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：

组别 [0，10] （10，20]

（20，

30]

（30，40] （40，50] （50，60] （60，70]

频数

12

14

24

15

16

13

6

则样本数据在（10，40]上的频率为

A ．0.26

B ．0.50

C ．0.53

D ．0.65

4．如果直线a 平行于平面α，则

A ．平面α内有且只有一条直线与a 平行

B ．平面α内有无数条直线与a 平行

C ．平面α内不存在与a 垂直的直线

D ．平面α内有且仅有一条与a 垂直的直线

5．设,a b R ∈, 则a b >是22a b >的 A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分也非必要条件 6．如果直线013=++y ax 与直线223x y +=互相垂直， 那么a 的值等于

A ．3-

B ．3

C ．31

-

D ．3

1 7．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．

2 B ．

23 C ．58 D ．3

5

8．双曲线2

2

412mx y -=的一条渐近线的方程为320x y -=，则m =

A ．3

B ．3

C ．4

D ．16

9．几何体的三视图如图所示，则它的体积是 A ．83

π

-

B ．

283

π

-

C ．82π-

D ．23

π 10．点)2,4(-P 与圆422=+y x 上任一点连线的中点轨迹方程是 A ．1)1()2(22=++-y x B ．4)1()2(22=++-y x C ．4)2()4(22=-++y x D ．1)1()2(22=-++y x

11．已知12,F F 是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左，右焦点，直线23

b

y =与该椭圆交于

B C ，，若2B F C ? 是直角三角形，则该椭圆的离心率为

A ．

3 B ．5 C ．5 D ．5或5

12．已知圆()()2

2

1:231C x y -+-=,圆()()22

2:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,

P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为 A ．17 B ．171- C ．524- D ．622-

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人，现

采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 ． 14．若“]4

,

0[π

∈?x ，tan x m <”是真命题，则实数m 的取值范围是 ．

15．若中心在原点的椭圆与双曲线22221x y -=有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则

该椭圆的标准方程为 ．

16．如图，点P 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1（线段BC 1）上运动，给出下列四个说法：

① 直线AD 与直线B 1P 为异面直线； ② 恒有A 1P ∥面ACD 1；

③ 三棱锥A －D 1PC 的体积为定值；

④ 当长方体各棱长都相等时，面PDB 1⊥面ACD 1．

其中所有正确说法的序号是 ．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）

某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图：

（1）请先求出频率分布表中①处应填写的数据，

并完成如图所示的频率分布直方图；

（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3，4，5组

中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3组应抽取

多少名学生进入第二轮面试；

（3）根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数．

组号 分组 频率

第1组 )160[165，

0.05 第2组 )165[170，

0.35 第3组 )170[175，

①

第4组 )175[180，

0.20 第5组 ]180[185，

0.10

18．（本题满分12分）

已知圆2

2

:2430C x y x y ++-+=．

（1）已知直线l :x y a +=与圆C 相切，求直线l 的方程； （2）求经过原点且被圆C 截得的线段长为2的直线方程．

19．（本题满分12分）

假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元）有如下的统计资料：

使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

若由资料知y 对x 呈线性相关关系． （1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据最小二乘法求出线性回归方程y bx a =+的回归系数,a b ．

（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

参考公式：

20．（本题满分12分）

如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AC =BC ，D 、E 、 F 分别为棱AB 、BC 、

A 1C 1的中点。

（1）证明：//EF 平面A 1CD ； （2）证明：平面A 1CD ⊥平面ABB 1 A 1

()

1

2

21

,n

i i

i n

i

i x y nx y

b a y bx

x

n x

==-=

=--∑∑

21．（本题满分12分）

已知椭圆C ：16422=+y x 和点M （2，1） （1）求椭圆C 的焦点坐标和离心率；

（2）设直线l :042=-+y x 与椭圆C 交于B A ,两点，求弦长||AB ； （3）求通过M 点且被这点平分的弦所在的直线方程．

22．（本题满分12分）

已知直线:10l x y -+=与焦点为F 的抛物线2:2C y px =(0p >)相切． （1）求抛物线C 的方程；

（2）过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值．

贵州省毕节梁才学校高2018级2021年秋期半期考试

数学试题（文科）参考答案

一、选择题

1－5 DACBD ； 6－10 ADBBA ； 11－12 DC ． 二、填空题

13．93； 14．),1(+∞； 15．x 2

2

＋y 2

＝1；

16．② ③ ④

三、解答题 17．【解析】

（1）由1(0.050.350.20.1)0.3-+++=, ………2分

频率分布直方图如图 ………4分 （2）第3组的人数为0.310030?=，

第4组人数为0.210020?=，

第5组人数为0.110010?=，共计60人， 用分层抽样抽取6人，则第3组应抽取人数为

30

6360

?=. ………7分 （3）平均数0.05162.50.35167.50.3172.50.2177.50.1182.5172.25?+?+?+?+?=

………10分

18．【解析】（1）由圆2

2

:2430C x y x y ++-+=可得2

2

:(1)(2)2C x y ++-=

∴圆心(1,2)C -到切线的距离等于圆半径2 ………2分

即

122

a

-+-=2 ……… 4分

∴1a =-或3a = ………5分 所求切线方程为：10x y ++=或30x y +-= ……… 6分 （2）当直线斜率不存在时，直线即为y 轴，此时，交点坐标为(0,1),(0,3)，线段长为2，符

合，故直线0x = ……… 8分 当直线斜率存在时，设直线方程为y kx =，即0kx y -=

由已知得，圆心到直线的距离为1，则

22

3

141

k k k --=?=-+ ………11分

直线方程为34y x =-， 综上，直线方程为0x =或3

4

y x =- ……… 12分

19．【解析】（1）作出散点图： ………2分 （2）由上表知，23456

45

x ++++=

=

2.2

3.8 5.5 6.5755

y ++++== ………4分

5

1

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.567112.3i i

i x y

==?+?+?+?+?=∑

5

22

2

2

2

2

1

2345690i

i x ==++++=∑ ，所以()

5

15

2

2

21

112.3545

1.239054i i

i i

i x y nx y

b x

n x

==--??=

=

=-?-∑∑

5 1.2340.08a y bx =-=-?=。 ………8分

（3）由（2）知 1.230.08y x =+， 将10x =代入 1.230.08y x =+，

得 1.23100.0812.38y =?+=

所以，估计使用年限为10年时，维修费用是12.38万元． ………12分 20．【解析】证明：（1）E D , 分别为AB ,BC 的中点，1//2DE AC ∴ ………2分

F 为11C A 的中点，1112

1

C A F A =

∴，而AC C A //11 AC F A 2

1

//1∴, F A DE 1//∴， ∴四边形DEF A 1是平行四边形 ………4分

EF D A //1∴，?EF 平面?D A CD A 11，平面CD A 1

//EF ∴平面CD A 1 ………6分 (2) ⊥A A 1 平面ABC ,?CD 平面ABC ,CD A A ⊥∴1 ………7分 BC AC = ,D 为AB 的中点，CD AB ⊥∴，

A A

B A A = 1⊥∴CD 平面11A ABB , ………10分

又因为?CD 平面CD A 1 ∴平面CD A 1⊥平面11A ABB ………12分

21．【解析】（1）由2

2

416x y += 得

22

1164x y +=

∴4,2,a b c ===………2分

∴

焦点坐标是0（）和（）

；

离心率e =………4分

（2）联立方程组22

240416x y x y +-=??

+=?，消y 得2

40x x -=，得1102x y =??=?，或2240

x y =??=?

则B A ,两点坐标分别为(0,2)和(4,0)

，弦长||AB == ………8分 （3）显然直线不与x 轴垂直，可设此直线方程为

1(2)y k x -=-，

交点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则22112

2

22416

416x y x y ?+=?+=?

∴12121212()()4()()0x x x x y y y y -++-+=

又 1212

y y k x x -=-，12

124,2

x x y y +=+=

∴12k =-

，

直线方程为：1

1(2)2

y x -=-- 即 042=-+y x ………12分

22．【解析】（1）∵直线:10l x y -+=与抛物线C 相切.

由2102x y y px

-+=??=?消去x 得，2220y py p -+=，从而2480p p ?=-=，解得2p =. ∴抛物线C 的方程为24y x =. ………4分 (2)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为1x ty =+，

A (11x y ，)，

B (22x y ，).

由2

1

4x ty y x

=+??

=?消去x 得，2440y ty --=， ∴124y y t +=，从而21242x x t +=+， ………8分

∴线段AB 的中点M 的坐标为(2

21 2t t +，

). 设点A 到直线l 的距离为A d ，点B 到直线l 的距离为B d ， 点M 到直线l 的距离为d ，则

2213

22124

A B d d d t t ?+===-+=-+??， ………10分

∴当12t =

时，可使A 、B 两点到直线l 的距离之和最小，距离的最小值为2

. ………12分