标准差和标准偏差

标准差和标准偏差

1）首先给出计算公式

标准差：σ=（1）

标准偏差：s =（2）方差就是标准偏差的平方

这下大家就困惑了，这两个公式分别表示什么意义？他们分别在什么情况下用？这两个公式是怎么来的？

2）公式由来

标准差又叫均方差、标准方差，这个大家都不陌生，它是各数据偏离平均数的距离的平均数，是距离均差平方和平均后的方根，用σ表示。。说白了就是表示数据分本离散度的一个值。计算公式也很好理解，从一开始接触我们用的看的都是这个公式。

那么第二个公式，怎么来的呢？其实标准偏差从样本估计中来的。比如我们有一批数据，共10000个点，他们服从正太分布，很容易计算出它的均值和标准差。在这里我们叫做样本均值和样本标准差。表示如下： 样本均值：1

1n i i X X n ==∑ 样本方差：2211()n n

i i s X X n ==-∑ 这两个公式就是大家常用的公式。那么现在我们认为，我们想用采集到的这10000个样本估计数据的真实分布，想要求出其均值μ和方差2σ。

对于均值μ，我们容易通过期望获得：

但是对于方差，我们知道

2

1

2

()

n

i

i

X X

σ

=

-

∑

是服从卡分分布2

1

n

χ

-

的（这一点请查阅卡分分布的

定义）。因此有下面的公式：

这个公式的第一个等号后面是利用期望的性质，试图构造卡分分布来求解。第二个等号后面是利用卡分分布的均值计算出来的。请自行查阅卡方分布的定义和性质。

这么一来，我们就能看出，X是μ的无偏估计，而2

n

s则不是2σ的无偏估计。但是我们

可以通过对样本方差进行重新构造，从而是2

n

s就是2σ的无偏估计。我们定义：这样我们重新来求解方差的期望：

这样一来，2s就是2σ的无偏估计，这也就是这个公式的由来。

3）这两个公式的应用。

在实际中，公式（2）用的更多。因为当样本容量比较小的时候，公式（1）会过小的估计实际标准差；如果样本容量较大，公式（1）和公式（2）很接近。这时候公式（1）叫做渐近无偏估计，当然还是比不上公式（2）的无偏估计喽。

看了上面这段话，你可能还不知道该用哪个。其实是这样的：如果我们想求一批数据的标准差，那么自然就用公式（1）。如果我们是利用现在的样本估计真实的分布，那么就用公式（2）。

4）在EXCEL中，方差是VAR(),标准偏差是STDEV()，函数里解释是基于样本，分母是除的N-1，其实就是公式（2）。还有个VARP()和STDEVP(),基于样本总体，分母是N，也就是说你关注的就是这批数据。

在Excel透视表中

标准偏差为=STDEVA()

总体标准偏差为=STDEVPA()

变异系数又称“标准差率”，是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量。当进行两个或多个资料变异程度的比较时，如果度量单位与平均数相同，可以直接利用标准差来比较。如果单位和（或）平均数不同时，比较其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与平均数的比值（相对值）来比较。

标准差与平均数的比值称为离散系数或变异系数，记为C.V。变异系数可以消除单位和（或）平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。

标准变异系数是一组数据的变异指标与其平均指标之比，它是一个相对变异指标。

变异系数有全距系数、平均差系数和标准差系数等。常用的是标准差系数，用CV(Coefficient of Variance)表示。

CV(Coefficient of Variance):标准差与均值的比率。

用公式表示为：CV＝σ/μ

作用：反映单位均值上的离散程度，常用在两个总体均值不等的离散程度的比较上。若两个总体的均值相等，则比较标准差系数与比较标准差是等价的。

一组数据的标准差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标，其作用主要是用于比较不同组别数据的离散程度。其计算公式为v=S/(X的平均值）

认识标准差和标准误

计算方法 怎么计算它的大小呢？由标准差的概念可知，标准差反映离散程度的大小，那么多次抽取样本，把这些样本的均值集中起来作为一个新样本，计算它们的标准差，就可以反映它们的离散程度，离散程度大，说明这些均值偏离总体均值“5”越远，也就是抽样误差越大，这就是标准误—standard error。这里的error就是“误差”的英文，所以标准误其实应叫做“标准误差”，我们可以理解为由“标准差”计算得出的“误差”。

到这里可能有的人会说，我实际中怎么可能这么多次抽样呢，书上的公式也不是这样算的啊。没错，实际中我们一般只会抽样一次，而教科书上给出的公式就是通过一次样本的数据来计算标准误，即用样本标准差除以样本量的平方根。至于为什么公式是这样，这个公式准不准，已有统计学家的前辈们研究过了，我们只要去用就行了。如果想了解其原理，可以去更做深一步的研究。 举例 标准误在统计学中的应用十分广泛，以最简单的t检验为例，虽然t检验是应用最广泛的统计学方法之一，但很少有人思考过t值的意义。以单样本t检验为例，我们发现t值公式的分母就是标准误，代表抽样误差，而分子是两均数的差值，也就是实际差异。 所以t值就是实际差异与抽样误差的比值，如果实际差异大，t值就大，抽样误差大，t值就小。当t值大于某个临界值（可查表得出）时，我们更相信两组数据真的有差异，而不是抽样误差，结果就比较可靠，比如我们论文中常用的P＜0.05，反之亦然。 需要注意的一点是，虽然我们用t检验来举例，教科书也把标准误放在t检验的章节，但不代表标准误是均数独有的，也可以是率或其他统计量，因此说标准误是“均数的标准差”是片面的，更合理的说法是“统计量的标准差”。 so，关于“标准差”和“标准误”的区别，你get了吗？ 扫码关注我们

平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差

平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差 说明6个基本统计量（平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差）的内涵，学生学习过程中可能产生的困难及主要原因、应对策略. 首先，结合简单实例认真把握这6个基本统计量的内涵。 一、平均数、众数、中位数是刻画一组数据的“平均水平”的数据代表。（八上《第八章数据的代表》）平均数分算术平均数和加权平均数，算术平均数是指n个数据的和的平均值，学生理解与计算都不成问题，只要注意细心运算就是其中的取标准值后的简便算法也都是在小学早已熟练的（公式： x=1/n(x1+x2+x3+……+xn)；而加权平均数是一组数据里的各个数据乘各自的“权”之后的平均数。此处理解“权”的概念可能产生很大困难，因为“权”的理解的确不易，若是照搬教材直接给出其定义，学生会迷惑成团，再进行应用更是不可思议。所以应对措施：讲好、用好加权平均数就要先举例、后分析、再给出定义，比如：某同学的一次考试各科成绩如下：语文110、数学105、英语106、物理95、化学90、政治86、历史98、地理66、生物89，你可以先让学生算算各科的平均数，再按中考计分法将语、数、英各取120%，物、化、政各取100%，史、地、生各取40%后的平均值算出，两个结果一比较，学生就会很容易发现不同的原因是加入了所谓的“权”，这样，不仅通俗易懂，而且对“权”内涵的理解和应用就不再困难。众数是一组数据中出现次数最多的数。其内涵很好理解和掌握，就是结合实际应用也顺理成章，如商店老板进货号多大的男鞋好？那当然是“众数”（调查数据最多的号）所代表的。 中位数顾名思义是一组数据中间位置的数，但考虑一组数可能有偶数个或奇数个，所以要注意强调取中位数的方法。教材上给出的内涵很好：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。如一组数据1.5,1.5,1.6,1.65,1.7,1.7,1.75,1.8的中位数

方差与标准差测试题及答案

1．数据8，10，9，11，12的方差是 （ ） A ．2 C. 10 D ．50 2．如果一组数据1x , 2x ,… n x 的方差是2，那么另一组数据13x , 23x ,… 3n x 的方差是 （ ）A. 2 B. 18 C. 12 D. 6 3．（2003?四川）某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班平均分和方差分别为甲=82分，乙=82分，S 甲2=245，S 乙2 =190，那么成绩较为整齐的是（ ） A ．甲班 B ．乙班 C ．两班一样整齐 D ．无法确定 4．若一组数据a 1，a 2，…，a n 的方差是5，则一组新数据2a 1，2a 2，…，2a n 的方差是（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．50 5.小明与小华本学期都参加了5次数学考试(总分均为100分)，数学老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定，在作统计分析时，老师需比较这两人5次数学成绩的( ). A.平均数; B.方差; C.众数; D.中位数. 二、填空题 1．（2006?浙江）甲、乙两台机器分别罐装每瓶质量为500克的矿泉水．从甲、乙罐装的矿 泉水中分别随机抽取了30瓶，测算得它们实际质量的方差是：S 甲2=4.8，S 乙2=3.6．那么 _________ 罐装的矿泉水质量比较稳定． 2．（2002?宁夏）已知一个样本1，4，2，5，3，那么这个样本的标准差是 _________ ． 3．已知一个样本1，2，3，x ，5，它的平均数是3，则这个样本的极差是 _________ ；方差是 ________ ． 4．（2007?贵阳）如图所示是甲、乙两地某十天的日平均气温统计图，则甲、乙两地这10 天的日平均气温的方差大小关系为：S 甲2 _________ S 乙2（用＞，=，＜填空）． 5. 如果一组数据 1x , 2x ,… n x 的平均数是x ，方差为2S ,那么 （1）新数据 1ax , 2ax ,… n ax 的平均数是 ，方差为 ； （2）新数据 1x b +, 2x b +,… n x b +的平均数是 ，方差为 ； （3）新数据 1ax b +, 2ax b +,… n ax b +的平均数是 ，方差为 .

标准偏差与相对标准偏差

标准偏差 标准偏差（也称标准离差或均方根差）是反映一组测量数据离散程度的统计指标。是指统计结果在某一个时段内误差上下波动的幅度。是正态分布的重要参数之一。是测量变动的统计测算法。它通常不用作独立的指标而与其它指标配合使用。 标准偏差在误差理论、质量管理、计量型抽样检验等领域中均得到了广泛的应用。因此, 标准偏差的计算十分重要, 它的准确与否对器具的不确定度、测量的不确定度以及所接收产品的质量有重要影响。然而在对标准偏差的计算中, 不少人不论测量次数多少, 均按贝塞尔公式计算。 样本标准差的表示公式 数学表达式： ?S-标准偏差（%） ?n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个 ?i-物料中某成分的各次测量值，1～n； 标准偏差的使用方法 z ?在价格变化剧烈时，该指标值通常很高。 ?如果价格保持平稳，这个指标值不高。 ?在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很 低。 标准偏差的计算步骤 标准偏差的计算步骤是： 步骤一、(每个样本数据－样本全部数据之平均值)2。

步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。 步骤三、把步骤二的结果除以(n - 1)（“n”指样本数目）。 步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。 六个计算标准偏差的公式[1] 标准偏差的理论计算公式 设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i? X σ2 = l2? X …… σn = l n? X 我们定义标准偏差(也称标准差)σ为 （1） 由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式 由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值 来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。 于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即

方差与标准差

.方差与标准差

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§2、1 方差与标准差审核人：戴蔚 【目标导航】 1．经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性. 2．掌握方差和标准差的概念，卉计算方差和标准差，理解它们的统计意义. 3．经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验. 【要点梳理】 1．我们知道极差只能反映一组数据中两个之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感. 2．描述一组数据的离散程度可以采取许多方法，在统计中常采用先求这组数据的，再求这组数据与的差的的平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动性大小 3．设在一组数据X1，X2，X3，X4，……X N中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是（X1- ）2，（X2- ）2，（X3- ）2，……，（X n- ）2,,那么我们求它们的平均数，即用S2= . 4．一组数据方差的算术平方根叫做这组数据的。 5．方差是描述一组数据的特征数，可通过比较其大小判断波动的大小，方差说明数据越稳定，6．为什么要这样定义方差？ 7．为什么要除以数据的个数n? 8．标准差与方差的区别和联系？ 【问题探究】 知识点1.探究计算数据方差和标准差的必要性 例1.质检部门从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径进行了检测，结果如下（单位：mm）A厂：40.0 ，39.9 ，40.0 ，40.1 ，40.2 ，39.8 ，40.0 ，39.9 ，40.0 ，40.1 B厂：39.8 ，40.2 ，39.8 ，40.2 ，39.9 ，40.1 ，39.8 ，40.2 ，39.8 ，40.2 思考探索：1、请你算一算它们的平均数和极差？ 2、根据它们的平均数和极差，你能断定这两个厂生产的乒乓球直径同样标准吗？ 3、观察根据上面数据绘制成的下图，你能发现哪组数据较稳定吗？ 直径/mm 直径/mm

《标准差与标准误》word版

标准差 标准差（Standard Deviation），也称均方差（mean square error），是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。 标准差（Standard Deviation），在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion）上的测量。标准差定义为方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度。测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质： 为非负数值，与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。 标准计算公式 假设有一组数值X1,X2,X3,......Xn（皆为实数），其平均值为μ，公式如图1. 图1 标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如图2。 图2 简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。 例如，两组数的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。 标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。

极差.方差与标准差(知识点讲解)

极差.方差与标准差(知识点讲解) 极差、方差与标准差 一、本节知识导学 本节以自主探索为主，并初步体验：对图的观察和分析是科学研究的重要方法。通 过例题发现极差（最大值-最小值）的作用：用来表示数据高低起伏的变化大小；同时也 希望同学们通过深入思考发现极差的不足之处：极差只能反应一组数据中两个极端值之间 的差异情况，对其他数据的波动情况不敏感。因此有必要重新找一个对整组数据的波动情 况更敏感的指标, 构造方差前请同学们注意以下几个方面： 1．为什么要用“每次成绩” 和“平均成绩”相减。 2．为什么要“平方”。 3．为什么“求平均数”比“求和”更好。 同时请同学们意识到：比较两组数据的方差有一个前提条件是，两组数据要一样多。 对于方差的学习，重点在于方差公式的导出和对于方差概念的理解，而不是数字的计算， 应充分利用计算器和计算机去完成繁杂的计算。 对于方差与标准差之间除了计算公式不一样，数量单位也不一样但通过求算术平方根 运算又可以将他们联系在一起。 二、例题 1．不通过计算，比较图中（1）（2）两组数据的平均值和标准差 分析：平均值是反映一组数据的平均水平，标准差是反映一组数据与其平均值的离散 程度。本例不通过计算，从折线图来估算标准差，应先估算平均值的大小。 解：从图（1）（2）中可以看出，两组数据的平均值相等。（图（1）中数据与图（2）中前 10个数据相等, 且图（2）中后几个数据不影响平均值）。 图（1）的标准差比图（2）的标准差大。（因为图（1）中各数据与其平均值离散程 度大，图（2）中前10个数据与其平均值的离散程度与图（1）相同，而后几个数据与其 平均值的离散程度小。因此整体上说图（2）所有数据与其平均值的离散程度小于图（1）。） 2．求下列数据的方差（小数点后保留两位）：5，7，9，9，10，11，13，14。 分析：要求方差，必须先求平均数。 解：

八年级初二数学《极差、方差和规范差》知识点

欢迎阅读 页脚内容 八年级数学《极差、方差和标准差》知识点 极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标． 一、定义理解 1、极差 极差是用来反映一组数据变化范围的大小．我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差． 极差＝最大值－最小值 极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多的意义． 2 2S 表 s 23将个数据12x x ，方 例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下： 甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100 乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102 （1） 求甲、乙两队的平均分和极差？ （2）计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？ 解：（1）3.10010010110110410310296999710010 1）＝（＝甲+++++++++?x 甲队的极差＝104－96＝8； 甲队的极差＝104－95＝9 （2）61.5])3.100100()3.10099()3.100100[(10 12222＝甲-++-+-= S

欢迎阅读 页脚内容 甲队的标准差：37.261.5≈； 乙队的标准差：03.321.9≈ 所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些． 例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期： 甲组：25，23，28，22，27 乙组：27，24，24，27，23 （1）10盆花的花期最多相差几天？ （2）施用何种花肥，花的平均花期较长？ （3）施用哪种保花肥效果更好？ 分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组数据的平 得2甲S 1.2.0， 3.4. 5.． 6.x

误差棒 标准差 标准误差

标准差(Standard Deviation) 和标准误差(Standard Error)本文摘自 Streiner DL.Maintaining standards: differences between the standard deviation and standarderror, and when to use each. Can J Psychiatry 1996; 41: 498–502. 标准差(Standard Deviation) 标准差，缩写为S.D., SD, 或者 s (就是为了把人给弄晕？)，是描述数据点在均值（mean）周围聚集程度的指标。 如果把单个数据点称为“X i,” 因此“X1” 是第一个值，“X2” 是第二个值，以此类推。均值称为“M”。初看上去Σ(X i-M)就可以作为描述数据点散布情况的指标，也就是把每个X i与M的偏差求和。换句话讲，是（单个数据点—数据点的平均）的总和。 看上去挺有逻辑性的，但是它有两个缺点。 第一个困难是：上述定义的结果永远是0。根据定义，高出均值的和永远等于低于均值的和，因此它们相互抵消。可以取差值的绝对值来解决（也就是说，忽略负值的符号），但是由于各种神秘兮兮的原因，统计学家不喜欢绝对值。另外一个剔除负号的方法是取平方，因为任何数的平方肯定是正的。所以，我们就有Σ(X i-M)2。 另外一个问题是当我们增加数据点后此等式的结果会随之增大。比如我们手头有25个值的样本，根据前面公式计算出SD是10。如果再加25个一模一样的样本，直觉上50个大样本的数据点分布情况应该不变。但是我们的公式会产生更大的SD值。好在我们可以通过除以数据点数量N来弥补这个漏洞。所以等式就变成Σ(X i-M)2/N. 根据墨菲定律，我们解决了两个问题，就会随之产生两个新问题。 第一个问题（或者我们应该称为第三个问题，这样能与前面的相衔接）是用平方表达偏差。假设我们测量自闭症儿童的IQ。也许会发现IQ均值是75, 散布程度是100 个IQ点平方。这IQ点平方又是什么东西？不过这容易处理：用结果的平方根替代，这样结果就与原来的测量单位一致。所以上面的例子中的散布程度就是10个IQ点，变得更加容易理解。 最后一个问题是目前的公式是一个有偏估计，也就是说，结果总是高于或者低于真实的值。解释稍微有点复杂，先要绕个弯。在多数情况下，我们做研究的时候，更感兴趣样本来自的总体（population）。比如，我们探查有年轻男性精神分裂症患者的家庭中的外现情绪（expressed emotion，EE)水平时，我们的兴趣点是所有满足此条件的家庭（总体），而不单单是哪些受研究的家庭。我们的工作便是从样本中估计出总体的均值（mean）和SD。因为研究使用的只是样本，所以

极差、方差与标准差-边讲边练(含答案)-

极差、方差与标准差 学习目标 1．理解极差、方差、标准差可以用来表示一组数据的波动情况，?知道三个统计量各自的长处与不足． 2．学会用极差、方差与标准差来处理数据． 3．会用计算器（计算机）求方差和标准差． 知识网络 背景材料 1．反映一组数据集中程度的指标有哪些？ 2．如何反映一组数据的离散程度？反映一组数据离散程度的量有哪些？ 3．什么是极差？什么是方差？什么是标准差？方差与标准差的关系是什么？ 预习反馈 1．极差是，它反映了．

2．方差是标准差的，如果一组数据的方差是3，那么它的标准差是． 知识要点详解 1．表示一组数据离散程度的指标 （1）极差 用一组数据中的最大数据减去最小的数据所得到的差来反映这组数据的变化范围，这个差就称为极差． （2）方差 ①定义 一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方和的平均数叫做这组数据的方差． ②方差的意义 方差是反映一组数据波动大小的量，它表示的是一组数据偏离平均值的情况上．方差越大，数据组的波动就越大． ③方差的计算公式 数据x1，x2，x3, …n的方差是 S2=1 （x1-x）2+（x2-x）2+（x3-x）2+…+（x） n 注意：①上面的计算公式是一般情况下计算方差的办法；

②当数据组中的数据个数比较少且绝对值比较小时，又可以采用下面的公式来计算方差： [（x122232+…2）x2] S2=1 n ③如果数据组中的每一个数比较接近于常数a时，?也可以采用下面的公式计算方差： 1 [（x`12`22`32+…`2）x`2]（其中x1`、x2`、x3`……`分别n 等于x1、x2、x3……，?x`是数据组x1`、x2`、x3`……`的平均数）（3）标准差 方差的算术平方根叫做标准差． 标准差和方差一样，也是反映一组数据波动大小的指标．同样，标准差越大，数据组的波动就越大． 触类旁通 1．求数据组9、10、11、12的方差．

标准差和标准偏差 (1)

标准差和标准偏差 1）首先给出计算公式 标准差：σ=（1） 标准偏差：s =（2）方差就是标准偏差的平方 这下大家就困惑了，这两个公式分别表示什么意义？他们分别在什么情况下用？这两个公式是怎么来的？ 2）公式由来 标准差又叫均方差、标准方差，这个大家都不陌生，它是各数据偏离平均数的距离的平均数，是距离均差平方和平均后的方根，用σ表示。。说白了就是表示数据分本离散度的一个值。计算公式也很好理解，从一开始接触我们用的看的都是这个公式。 那么第二个公式，怎么来的呢？其实标准偏差从样本估计中来的。比如我们有一批数据，共10000个点，他们服从正太分布，很容易计算出它的均值和标准差。在这里我们叫做样本均值和样本标准差。表示如下： 样本均值：1 1n i i X X n ==∑ 样本方差：2211()n n i i s X X n ==-∑ 这两个公式就是大家常用的公式。那么现在我们认为，我们想用采集到的这10000个样本估计数据的真实分布，想要求出其均值μ和方差2σ。 对于均值μ，我们容易通过期望获得：

但是对于方差，我们知道 2 1 2 () n i i X X σ = - ∑ 是服从卡分分布2 1 n χ - 的（这一点请查阅卡分分布的 定义）。因此有下面的公式： 这个公式的第一个等号后面是利用期望的性质，试图构造卡分分布来求解。第二个等号后面是利用卡分分布的均值计算出来的。请自行查阅卡方分布的定义和性质。 这么一来，我们就能看出，X是μ的无偏估计，而2 n s则不是2σ的无偏估计。但是我们 可以通过对样本方差进行重新构造，从而是2 n s就是2σ的无偏估计。我们定义：这样我们重新来求解方差的期望： 这样一来，2s就是2σ的无偏估计，这也就是这个公式的由来。 3）这两个公式的应用。 在实际中，公式（2）用的更多。因为当样本容量比较小的时候，公式（1）会过小的估计实际标准差；如果样本容量较大，公式（1）和公式（2）很接近。这时候公式（1）叫做渐近无偏估计，当然还是比不上公式（2）的无偏估计喽。 看了上面这段话，你可能还不知道该用哪个。其实是这样的：如果我们想求一批数据的标准差，那么自然就用公式（1）。如果我们是利用现在的样本估计真实的分布，那么就用公式（2）。 4）在EXCEL中，方差是VAR(),标准偏差是STDEV()，函数里解释是基于样本，分母是除的N-1，其实就是公式（2）。还有个VARP()和STDEVP(),基于样本总体，分母是N，也就是说你关注的就是这批数据。 在Excel透视表中 标准偏差为=STDEVA()

标准差和标准误区别及Excel中标准差公式的区别

标准差和标准误：两个容易混淆的概念 标准误其实就是标准差的一种，不过二者的含义有所区别： 标准差计算的是一组数据偏离其均值的波动幅度，不管这组数是总体数据还是样本数据。你看standard deviation，说的就是“偏离”，只是在翻译为中文时，失去了其英文涵义。 而标准误(/ σ)，衡量的是我们在用样本统计量去推断相应的总体参数（常见如均值、方差等）的时候，一种估计的精度。样本统计量本身就是随机变量，每一次抽样，都可以根据抽出的样本情况计算出一个不同的样本统计量值。理论上来讲，从既定的总体中按照既定的样本规模n，穷尽所有可能抽出的样本（不妨假设为NN），根据这些样本可以计算出NN个样本统计量值，把这些统计量值分组绘成直方图（X轴为分组的统计量数值，Y轴为落在某一分组区间内的频率），则这个直方图就反应了样本统计量的分布情况（即抽样分布）。既然是分布，当然就有均值和方差。如果所有可能的样本统计量值的平均值就是总体均值，这就是无偏估计。如果所有可能的样本统计量值的方差在所有用于估计总体参数的统计量里最小，这就是有效估计。因此，抽样分布的标准差（也就是标准误）越小，则用样本统计量去估计总体参数时，精度就越高。所以，你明白为什么叫标准误（standard error）了。一般意义上讲，standard error反映的是用样本统计量去估计总体参数的时候，可能发生的平均“差错”。 不妨这么理解吧，如果总体平均值是160，抽样误差是5，就是说用抽得的样本平均数去推断总体平均数时，平均差错可能在5左右；如果抽样误差是3，精度当然就比5要高啦。不同的总体、不同的样本规模，这个精度当然是不同的。如果总体的变异本身很小（也就是总体标准差小），样本规模越大，这种情况下精度当然就高啦。另外，根据大数定律，当样本规模大到一定程度的时候，不管总体是什么分布，样本平均数都会近似服从正态分布，这就为计算抽样误差（标准误）提供了理论依据。

计算全距 平均差 方差和标准差

计算全距、平均差、方差和标准差 一、全距 R（range） 全距是一组数据中的最大值（maximum）与该组数据中最小值（minimum）之差，又称极差。 R＝Xmax－Xmin 一般用于研究的预备阶段，用它检查数据的分布范围，以便确定如何进行统计分析 原始数据计算公式 三、四分位差(Quartile) 四分位差是第一个四分位数与第三个四分位数之差计算公式为 Q=Q 3-Q 1 四、方差与标准差 方差：又称为变异数、均方，是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，是表示一组数据离散程度的统计指标。 样本的方差用表示，总体的方差用表示。 标准差是方差的算术平方根。一般样本的标准差用 S 表示，总体的标准差用表示。 标准差和方差是描述数据离散程度的最常用的差异量。 分组数据方差与标准差的计算公式 方差与标准差的性质 ?方差是对一组数据中各种变异的总和的测量,具有可加性和可分解性特点。 ?标准差是一组数据方差的算术平方根，它不可以进行代数计算，但有以下特性： 总体方差、标准差或者方差、标准才差的合成 ?方差具有可加性的特点。当已知几个小组数据的方差或标准差时，可

以计算几个小组联合在一起的总的方差或标准差。 ?需要注意的是，只有在应用同一种观测手段，测量的是同一种特质，只是样本不同的数据时，才能计算合成方差或标准差。 方差和标准差的优点： 方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标，其值越大，离散程度越大。 应用方差和标准差表示一组数据的离散程度，须注意必须是同一类数据（即同一种测量工具的测量结果），而且被比较样本的水平比较接近。 优点： ?反应灵敏。每个数据发生变化，方差与标准差也随之变化 ?有一定计算公式的严密确定 ?容易计算 ?受抽样变动的影响小 ?简单明了 ?方差具有可加性（区分变异源，组间/组内） 五、差异系数（coefficient of variation） 差异系数指标准差与其算术平均数的百分比，它是没有单位的相对数。用CV表示。 何种情况下运用差异系数： ?两个或两个以上样本所测特质不同，即所使用的观测工具不同，如何比较两者的离散程度？ ?即使使用同一种观测量具，但样本水平相差较大，如何比较其离散程度？ 差异系数的作用 ?比较不同单位资料的差异程度 ?比较单位相同而平均数相差较大的两组资料的差异程度 ?可判断特殊差异情况

《方差与标准差》教案

2.2 方差与标准差（教案） 学习目标： 1、了解方差的定义和计算公式。 2. 理解方差概念的产生和形成的过程。 3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。 4. 经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验。 学习重、难点 重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。掌握其求法， 难点：理解方差公式，应用方差对数据波动情况的比较、判断。 学习过程 一、情景创设： 乒乓球的标准直径为40mm ，质检部门从A 、B 两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径了进行检测。结果如下（单位：mm ）： A 厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1； B 厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，40.2，39.8，40.2. 你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢? （1） 请你算一算它们的平均数和极差。 （2） 是否由此就断定两厂生产的乒乓球直径同样标准？ 今天我们一起来探索这个问题。 探索活动 通过计算发现极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感。让我们一起来做下列的数学活动 算一算 把所有差相加，把所有差取绝对值相加，把这些差的平方相加。 想一想 你认为哪种方法更能明显反映数据的波动情况？ 二、新知讲授： 讲授新知： （一）方差 定义：设有n 个数据n x x x ，，， 21，各数据与它们的平均数的差的平方分别是 2221)()(x x x x --，，…，， ， 2)(x x n -我们用它们的平均数，即用 ])()()[(1222212x x x x x x n x n -++-+-= 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差（variance ），记作2s 。 意义：用来衡量一批数据的波动大小 在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大， 越不稳定 归纳：（1）研究离散程度可用2S （2）方差应用更广泛衡量一组数据的波动大小 （3）方差主要应用在平均数相等或接近时

极差方差标准差

20.2 数据的波动程度 20.2.1极差 教学目标 1、理解极差的定义，知道极差是用来反映数据波动范围的一个量 2、会求一组数据的极差 重点、难点和难点的突破方法 1、重点：会求一组数据的极差 2、难点：本节课内容较容易接受，不存在难点。 例习题的意图分析 教材P151引例的意图 （1）、主要目的是用来引入极差概念的 （2）、可以说明极差在统计学家族的角色——反映数据波动范围的量 （3）、交待了求一组数据极差的方法。 课堂引入： 引入问题可以仍然采用教材上的“乌鲁木齐和广州的气温情”为了更加形象直观一些的反映极差的意义，可以画出温度折线图，这样极差之所以用来反映数据波动范围就不言而喻了。 例习题分析 本节课在教材中没有相应的例题，教材P152习题分析 问题1 可由极差计算公式直接得出，由于差值较大，结合本题背景可以说明该村贫富差距较大。问题 2 涉及前一个学期统计知识首先应回忆复习已学知识。问题3答案并不唯一，合理即可。 随堂练习： 1、一组数据：473、865、368、774、539、474的极差是，一组数据1736、1350、-2114、-1736的极差是 . 2、一组数据 3、-1、0、2、X的极差是5，且X为自然数，则X= . 3、下列几个常见统计量中能够反映一组数据波动范围的是（） A.平均数 B.中位数 C.众数 D.极差 4、一组数据X 1、X 2 …X n 的极差是8，则另一组数据2X 1 +1、2X 2 +1 (2) n +1 的极差是（） A. 8 B.16 C.9 D.17 答案：1. 497、3850 2. 4 3. D 4.B 七、课后练习： 1、已知样本9.9、10.3、10.3、9.9、10.1，则样本极差是（） A. 0.4 B.16 C.0.2 D.无法确定 在一次数学考试中，第一小组14名学生的成绩与全组平均分的差是2、3、-5、 10、12、8、2、-1、4、-10、-2、5、5、-5，那么这个小组的平均成绩是（） A. 87 B. 83 C. 85 D无法确定 3、已知一组数据2.1、1.9、1.8、X、2.2的平均数为2，则极差是。 4、若10个数的平均数是3，极差是4，则将这10个数都扩大10倍，则这组数据的平均数是，极差是。

方差和标准差 知识讲解

方差和标准差——知识讲解 责编：杜少波 【学习目标】 1. 了解方差和标准差的概念，会计算简单数据的方差，体会它们刻画数据离散程度的意义； 2. 知道可以通过样本的方差来推断总体的方差.能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测； 3. 能综合运用统计知识解决一些简单的实际问题. 【要点梳理】 要点一、方差和标准差 1.方差 在一组数据12,,n x x x …，中，设它们的平均数是x ，各数据与平均数的差的平方的平均数()[] 222212 )(...)(1 x x x x x x n S n -++-+-= 叫做这组数据的方差. 方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定. 要点诠释： （1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况. 方差越大，稳定性越差；反之，则稳定性越好． （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的2 k 倍. 2.标准差 一般地，一组数据的方差的算术平方根 称为这组数据的标准差. 要点诠释： （1）标准差的数量单位与原数据一致. （2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定. 要点二、方差和标准差的联系与区别 联系：方差和标准差都是用来衡量一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况. 区别：方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标. 在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小. 方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同. 【典型例题】 类型一、方差和标准差 1. 一组数据－2，－1，0，1，2的方差是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

标准差与标准误的区别

标准差与标准误的区别 在日常的统计分析中，标准差和标准误是一对十分重要的统计量，两者有区别也有联系。但是很多人却没有弄清其中的差异，经常性地进行一些错误的使用。对于标准差与标准误的区别，很多书上这样表达：标准差表示数据的离散程度，标准误表示抽样误差的大小。这样的解释可能对于许多人来说等于没有解释。 其实这两者的区别可以采用数据分布表达方式描述如下：如果样本服从均值为μ，标准差为δ的正态分布，即X～N(μ, δ2),那么样本均值服从均值为0，标准差为δ2/n的正态分布，即～ N(μ,δ2/n)。这里δ为标准差，δ/n1/2为标准误。明白了吧，用统计学的方法解释起来就是这么简单。 可是，实际使用中总体参数往往未知，多数情况下用样本统计量来表示。那么，关于这两者的区别可以这样表述：标准差是样本数据方差的平方根，它衡量的是样本数据的离散程度；标准误是样本均值的标准差，衡量的是样本均值的离散程度。而在实际的抽样中，习惯用样本均值来推断总体均值，那么样本均值的离散程度（标准误）越大，抽样误差就越大。所以用 标准误来衡量抽样误差的大小。 在此举一个例子。比如，某学校共有500名学生，现在要通过抽取样本量为30的一个样本，来推断学生的数学成绩。这时可以依据抽取的样本信息，计算出样本的均值与标准差。如果我们抽取的不是一个样本，而是10个样本，每个样本30人，那么每个样本都可以计算出均值，这样就会有10个均值。也就是形成了一个10个数字的数列，然后计算这10个数字的标准差，此时的标准差就是标准误。但是，在实际抽样中我们不可能抽取10个样本。所以，标准误就由样本标准差除以样本量来表示。当然，这样的结论也不是随心所欲，而是经过了统计学家的严密证明的。 在实际的应用中，标准差主要有两点作用，一是用来对样本进行标准化处理，即样本观察值减去样本均值，然后除以标准差，这样就变成了标准正态分布；而是通过标准差来确定异常值，常用的方法就是样本均值加减n倍的标准差。标准误的作用主要是用来做区间估计，常用的估计区间是均值加减n倍的标准误。

极差、方差与标准差及章小结

【模拟试题】（答题时间：80分钟） 一、填空题 1. 某出租车公司在“五一”长假期间平均每天的营业额为5万元，由此推断该出租车公司五月份的总营业额约为5×31＝155万元．根据所学的统计知识，你认为这样的推断是否合理？答：．（填“合理”或“不合理”） 2. 为了缓解旱情，我省发射增雨火箭，实施增雨作业．在一场降雨中，某县测得10个面 那么该县这10个区域的平均降雨量为mm． 3. 学校举行歌咏比赛，分两场举行，第一场8名参赛选手的平均成绩为88分，第二场4名参赛选手的平均成绩为94分，那么这12名选手的平均成绩是分． 4. 一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩是（单位：环）：7，8，9，8，6，8，10，7，这组数据的中位数是，众数是． 5. 有5名同学目测同一本教科书的宽度，产生的误差如下（单位：cm）： 0，2，－2，－1，1，那么这组数据的极差为cm． 6. 如图是双龙村的种植情况统计图．从图中可以看出，表示水稻种植面积的扇形的圆心角为． 7. 小明骑自行车的速度是15千米／时，步行的速度是5千米／时，如果小明先骑车2小时，然后步行了3小时，那么他的平均速度为千米／时． 8. 小张和小李练习射击，第一轮10枪打完后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小张和小李两人中新手是． 9. 甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次．他们的平均成绩均为7环，10次射击成绩的方差分别是S2甲＝3，S2乙＝1.2．那么成绩较为稳定的是．（填“甲”或“乙”）10. 数据l1，12，13，14，15的方差是，标准差是． 二、选择题 11. 数据13，19，35，97，96，26的极差为（） A. 6 B. 13 C. 83 D. 84 12. 有6个数，它们的平均数是12，如果在这组数中再添加一个数5，那么这7个数的平均数是（）

极差方差标准差(整理)

北京四中 撰稿：张扬责编：姚一民 数据的波动 一．基本知识点讲解： 1．极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差。 极差=数据中的最大数-数据中的最小数 2. 方差与标准差： S^2=[(x1-x的平均数)^2+(x2-x的平均数)^2+...+(xn-x的平均数)^2] 设在一组数据x1 x2 x3……x n中各数据与它们的平均数的差的平方分别是 (x1-)2, (x2-)2……(x n-)2,则他们的平均数： 方差可以用来衡量这组数据的波动的大小，一组数据的方差越大，就说明这组数据的波动也越大，这波动的大小是指偏离平均数的大小。 3. 标准差： 一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用S来表示，即： 标准差也只是来衡量一组数据波动大小的量，它虽然比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据的度量单位是一致的，所以有时用标准差比较方便。 4. 计算方差的三个公式 公式①是方差的定义，一组数据的每个数都减去它们的平均数的平方，再求这些平方的和，比较麻烦，因此可用公式②以使计算过程较为简单，当不是整数时尤为简单。

接近这组数据的平均数的一个常数。 二．例题解析： （1）应用公式① 例1. 计算数据9.9、9.7、10.3、9.8、9.8、10、10.1、10.4的方差与标准差。 解： 例2. 甲乙两组进行投篮比赛，每组选派10名队员参加，每人投10次，每次投中的人数如下： 甲组：7、6、8、8、5、9、7、7、6、7 乙组：6、7、8、4、10、9、7、6、6、7 求：甲、乙两组哪一组的投篮情况比较稳定 解：

∴甲乙两组的平均命中率相同，但甲组的投篮比较稳定，所以甲组的投篮情况较好。 （2）应用公式② 例3. 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，各次命中环数如下： 甲：4、7、10、9、5、6、8、6、8、8 乙：7、8、6、6、7、8、7、8、5、9 求甲、乙两人谁的射击成绩比较稳定 解： （3）应用公式③ 例4. 求以下数据的方差（精确到0.1） 10、13、9、11、8、10、11、12、8、14、10、9 解：设a=10，每个数都减去10，有

方差、标准差、均方差、均方误差的区别及意义

一、百度百科上方差是这样定义的： （variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。 看这么一段文字可能有些绕，那就先从公式入手， 对于一组随机变量或者统计数据，其期望值我们由E(X)表示，即随机变量或统计数据的均值， 然后对各个数据与均值的差的平方求和，最后对它们再求期望值就得到了方差公式。 这个公式描述了随机变量或统计数据与均值的偏离程度。 二、方差与标准差之间的关系就比较简单了

根号里的内容就是我们刚提到的 那么问题来了，既然有了方差来描述变量与均值的偏离程度，那又搞出来个标准差干什么呢？ 发现没有，方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的，虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度，但是处理结果是不符合我们的直观思维的。 举个例子：一个班级里有60个学生，平均成绩是70分，标准差是9，方差是81，成绩服从正态分布，那么我们通过方差不能直观的确定班级学生与均值到底偏离了多少分，通过标准差我们就很直观的得到学生成绩分布在[61,79]范围的概率为0.6826，即约等于下图中的34.2%*2 三、均方差、均方误差又是什么？ 标准差（Standard Deviation），中文环境中又常称均方差，但不同于均方误差（mean

squared error，均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数，也即误差平方和的平均数，计算公式形式上接近方差，它的开方叫均方根误差，均方根误差才和标准差形式上接近），标准差是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。 从上面定义我们可以得到以下几点： 1、均方差就是标准差，标准差就是均方差 2、均方误差不同于均方误差 3、均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数 举个例子：我们要测量房间里的温度，很遗憾我们的温度计精度不高，所以就需要测量5次，得到一组数据[x1,x2,x3,x4,x5],假设温度的真实值是x，数据与真实值的误差 e=x-xi 那么均方误差MSE= 总的来说，均方差是数据序列与均值的关系，而均方误差是数据序列与真实值之间的关系，所以我们只需要搞清楚真实值和均值之间的关系就行了。

标准差与标准误关系与区别

标准差与标准误关系与区别在日常的统计分析中，标准差和标准误是一对十分重要的统计量，两者有区别也有联系。但是很多人却没有弄清其中的差异，经常性地进行一些错误的使用。对于标准差与标准误的区别，很多书上这样表达：标准差表示数据的离散程度，标准误表示抽样误差的大小。这样的解释可能对于许多人来说等于没有解释。 其实这两者的区别可以采用数据分布表达方式描述如下：如果样本服从均值为μ，标准差为δ的正态分布，即X～N(μ, δ2),那么样本均值服从均值为0，标准差为δ2/n的正态分布，即～ N(μ,δ2/n)。这里δ为标准差，δ/n1/2为标准误。明白了吧，用统计学的方法解释起来就是这么简单。 可是，实际使用中总体参数往往未知，多数情况下用样本统计量来表示。那么，关于这两者的区别可以这样表述：标准差是样本数据方差的平方根，它衡量的是样本数据的离散程度；标准误是样本均值的标准差，衡量的是样本均值的离散程度。而在实际的抽样中，习惯用样本均值来推断总体均值，那么样本均值的离散程度（标准误）越大，抽样误差就越大。所以用标准误来衡量抽样误差的大小。 在此举一个例子。比如，某学校共有500名学生，现在要通过抽取样本量为30的一个样本，来推断学生的数学成绩。这时可以依据抽取的样本信息，计算出样本的均值与标准差。如果我们抽取的不是一个样本，而是10个样本，每个样本30人，那么每个样本都可以计算出均值，这样就会有10个均值。也就是形成了一个10个数字的数列，然后计算这10个数字的标准差，此时的标准差就是标准误。但是，在实际抽样中我们不可能抽取10个样本。所以，标准误就由样本标准差除以样本量来表示。当然，这样的结论也不是随心所欲，而是经过了统计学家的严密证明的。 在实际的应用中，标准差主要有两点作用，一是用来对样本进行标准化处理，即样本观察值减去样本均值，然后除以标准差，这样就变成了标准正态分布；而是通过标准差来确定异常值，常用的方法就是样本均值加减n倍的标准差。标准误的作用主要是用来做区间估计，常用的估计区间是均值加减n倍的标准误。