二次函数图像与系数关系
一.选择题(共9小题)
1.(2013?义乌市)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标为(1,n),与y 轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),则下列结论:
①当x>3时,y<0;②3a+b>0;③﹣1≤a≤﹣;④3≤n≤4中,
正确的是()
A.①②B.③④C.①④D.①③
考点:二次函数图象与系数的关系.
专题:计算题;压轴题.
分析:①由抛物线的对称轴为直线x=1,一个交点A(﹣1,0),得到另一个交点坐标,利用图象即可对于选项①作出判断;
②根据抛物线开口方向判定a的符号,由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a,将其代入
(3a+b),并判定其符号;
③根据两根之积=﹣3,得到a=﹣,然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值
范围;
④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c,利用c的取值范围可以求得n的取值范围.解答:解:①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴直线是x=1,∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0),
∴根据图示知,当x>3时,y<0.
故①正确;
②根据图示知,抛物线开口方向向下,则a<0.
∵对称轴x=﹣=1,
∴b=﹣2a,
∴3a+b=3a﹣2a=a<0,即3a+b<0.
故②错误;
③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是(﹣1,0),(3,0),
∴﹣1×3=﹣3,
∴=﹣3,则a=﹣.
∵抛物线与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),
∴2≤c≤3,
∴﹣1≤﹣≤﹣,即﹣1≤a≤﹣.
故③正确;
④根据题意知,a=﹣,﹣=1,
∴b=﹣2a=,
∴n=a+b+c=c.
∵2≤c≤3,
∴≤c≤4,即≤n≤4.
故④错误.
综上所述,正确的说法有①③.
故选D.
点评:本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.
2.(2013?烟台)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0).下列说法:①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),(,y2)是抛物线上两点,则y1>y2.其中说法正确的是()
A.①②B.②③C.①②④D.②③④
考点:二次函数图象与系数的关系.
专题:压轴题.
分析:根据图象得出a>0,b=2a>0,c<0,即可判断①②;把x=2代入抛物线的解析式即可判断
③,求出点(﹣5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1),根据当x>﹣1时,y随x的
增大而增大即可判断④.
解答:解:∵二次函数的图象的开口向上,
∴a>0,
∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上,
∴c<0,
∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1,
∴﹣=﹣1,
∴b=2a>0,
∴abc<0,∴①正确;
2a﹣b=2a﹣2a=0,∴②正确;
∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0).
∴与x轴的另一个交点的坐标是(1,0),
∴把x=2代入y=ax2+bx+c得:y=4a+2b+c>0,∴③错误;
∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1,
∴点(﹣5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1),
根据当x>﹣1时,y随x的增大而增大,
∵<3,
∴y2<y1,∴④正确;
故选C.
点评:本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用,题目比较典型,主要考查学生的理解能力和辨析能力.
3.(2013?十堰)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(﹣1,0).下列结论:①ab<0,②b2>4a,③0<a+b+c<2,④0<b<1,⑤当x>﹣1时,y>0,其中正确结论的个数是()
A.5个B.4个C.3个D.2个
考点:二次函数图象与系数的关系.
专题:压轴题.
分析:由抛物线的对称轴在y轴右侧,可以判定a、b异号,由此确定①正确;
由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac>0,又抛物线过点(0,1),得出c=1,由此判定②正确;
由抛物线过点(﹣1,0),得出a﹣b+c=0,即a=b﹣1,由a<0得出b<1;由a<0,及ab<0,得出b>0,由此判定④正确;
由a﹣b+c=0,及b>0得出a+b+c=2b>0;由b<1,c=1,a<0,得出a+b+c<a+1+1<2,由此判定③正确;
由图象可知,当自变量x的取值范围在一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根之间时,函数值y >0,由此判定⑤错误.
解答:解:∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)过点(0,1)和(﹣1,0),
∴c=1,a﹣b+c=0.
①∵抛物线的对称轴在y轴右侧,∴x=﹣>0,
∴a与b异号,∴ab<0,正确;
②∵抛物线与x轴有两个不同的交点,∴b2﹣4ac>0,
∵c=1,∴b2﹣4a>0,b2>4a,正确;
④∵抛物线开口向下,∴a<0,
∵ab<0,∴b>0.
∵a﹣b+c=0,c=1,∴a=b﹣1,
∵a<0,∴b﹣1<0,b<1,
∴0<b<1,正确;
③∵a﹣b+c=0,∴a+c=b,
∴a+b+c=2b>0.
∵b<1,c=1,a<0,
∴a+b+c=a+b+1<a+1+1=a+2<0+2=2,
∴0<a+b+c<2,正确;
⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为(﹣1,0),设另一个交点为(x0,0),则x0>0,
由图可知,当x0>x>﹣1时,y>0,错误;
综上所述,正确的结论有①②③④.
故选B.
点评:本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系,不等式的性质,难度适中.二次函数y=ax2+bx+c (a≠0),a的符号由抛物线开口方向决定;b的符号由对称轴的位置及a的符号决定;c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定;抛物线与x轴的交点个数,决定了b2﹣4ac的符号,此外还要注意二次函数与方程之间的转换.
4.(2012?沙坪坝区模拟)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中,正确的是()
A.a bc<0 B.a+c<b C.b>2a D.4a>2b﹣c
考点:二次函数图象与系数的关系;二次函数与不等式(组).
专题:压轴题.
分析:由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及图象经过的点的情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答:
解:A、∵图象开口向下,∴a<0,∵与y轴交于正半轴,∴c>0,∵对称轴在y轴左侧,﹣
<0,∴b<0,∴abc>0,故本选项错误;
B、∵当x=﹣1时,对应的函数值y>0,即a﹣b+c>0,∴a+c>b,故本选项错误;
C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣>﹣1,又a<0,∴b>2a,故本选项正确;
D、∵当x=﹣2时,对应的函数值y<0,即4a﹣2b+c<0,∴4a<2b﹣c,故本选项错误.
故选C.
点评:本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与不等式的关系,难度中等.
5.(2013?鄂州)小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象中,观察得出了下面五条信息:①ab>0;②a+b+c<0;③b+2c>0;④a﹣2b+4c>0;⑤.
你认为其中正确信息的个数有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
考点:二次函数图象与系数的关系.
专题:压轴题.
分析:由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答:解:①如图,∵抛物线开口方向向下,∴a<0.
∵对称轴x=﹣=﹣,∴b=a<0,
∴ab>0.故①正确;
②如图,当x=1时,y<0,即a+b+c<0.
故②正确;
③如图,当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,
∴2a﹣2b+2c>0,即3b﹣2b+2c>0,
∴b+2c>0.
故③正确;
④如图,当x=﹣时,y>0,即a﹣b+c>0.
∴a﹣2b+4c>0,
故④正确;
⑤如图,对称轴x=﹣=﹣,则.故⑤正确.
综上所述,正确的结论是①②③④⑤,共5个.
故选D.
点评:本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.
6.(2013?德州)函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示,有以下结论:
①b2﹣4c>0;②b+c+1=0;③3b+c+6=0;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0.
其中正确的个数为()
A.1B.2C.3D.4
考点:二次函数图象与系数的关系.
专题:压轴题.
分析:由函数y=x2+bx+c与x轴无交点,可得b2﹣4c<0;当x=1时,y=1+b+c=1;当x=3时,y=9+3b+c=3;
当1<x<3时,二次函数值小于一次函数值,可得x2+bx+c<x,继而可求得答案.
解答:解:∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点,
∴b2﹣4c<0;
故①错误;
当x=1时,y=1+b+c=1,
故②错误;
∵当x=3时,y=9+3b+c=3,
∴3b+c+6=0;
③正确;
∵当1<x<3时,二次函数值小于一次函数值,
∴x2+bx+c<x,
∴x2+(b﹣1)x+c<0.
故④正确.
故选B.
点评:主要考查图象与二次函数系数之间的关系.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
7.(2012?天门)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①b﹣2a=0;②abc<0;③a﹣2b+4c<0;④8a+c>0.其中正确的有()
A.3个B.2个C.1个D.0个
考点:二次函数图象与系数的关系.
专题:压轴题.
分析:首先根据二次函数图象开口方向可得a>0,根据图象与y轴交点可得c<0,再根据二次函数的对称轴x=﹣,结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1,结合对称轴公式可判断出①的正
误;根据对称轴公式结合a的取值可判定出b<0,根据a、b、c的正负即可判断出②的正误;
利用a﹣b+c=0,求出a﹣2b+4c<0,再利用当x=4时,y>0,则16a+4b+c>0,由①知,b=﹣
2a,得出8a+c>0.
解答:解:根据图象可得:a>0,c<0,
对称轴:x=﹣>0,
①∵它与x轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0),
∴对称轴是x=1,
∴﹣=1,
∴b+2a=0,
故①错误;
②∵a>0,
∴b<0,
∵c<0,
∴abc>0,故②错误;
③∵a﹣b+c=0,
∴c=b﹣a,
∴a﹣2b+4c=a﹣2b+4(b﹣a)=2b﹣3a,
又由①得b=﹣2a,
∴a﹣2b+4c=﹣7a<0,
故此选项正确;
④根据图示知,当x=4时,y>0,
∴16a+4b+c>0,
由①知,b=﹣2a,
∴8a+c>0;
故④正确;
故正确为:③④两个.
故选:B.
点评:此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b 异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点,抛物线与y轴交于(0,c).
8.已知:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论中:①abc>0;②2a+b<0;③a+b≠m (am+b)(m≠1的实数);④(a+c)2<b2;⑤a>1,其中正确的是()
A.2个B.3个C.4个D.1个
考点:二次函数图象与系数的关系.
分析:由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及
抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答:解:①∵抛物线的开口向上,∴a>0,
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上,∴c<0,
∵对称轴为x=﹣>0,
∴a、b异号,即b<0,
又∵c<0,∴abc>0,
故本选项正确;
②∵对称轴为x=﹣>0,a>0,
﹣<1,
∴﹣b<2a,
∴2a+b>0;
故本选项错误;
③当x=1时,y1=a+b+c;
当x=m时,y2=m(am+b)+c,当m>1,y2>y1;当m<1,y2<y1,所以不能确定;
故本选项错误;
④当x=1时,a+b+c=0;
当x=﹣1时,a﹣b+c>0;
∴(a+b+c)(a﹣b+c)=0,即(a+c)2﹣b2=0,
∴(a+c)2=b2
故本选项错误;
⑤当x=﹣1时,a﹣b+c=2;
当x=1时,a+b+c=0,
∴a+c=1,
∴a=1+(﹣c)>1,即a>1;
故本选项正确;
综上所述,正确的是①⑤有2个.
故选:A.
点评:本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换;二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定:
(1)a由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则a>0;否则a<0;
(2)b由对称轴和a的符号确定:由对称轴公式x=﹣判断符号;
(3)c由抛物线与y轴的交点确定:交点在y轴正半轴,则c>0;否则c<0;
(4)b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定:2个交点,b2﹣4ac>0;1个交点,b2﹣4ac=0,没有交点,b2﹣4ac<0.
9.(2013?莒南县二模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:
①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数).
其中正确的结论有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
考点:二次函数图象与系数的关系.
专题:压轴题;数形结合.
分析:观察图象:开口向下得到a<0;对称轴在y轴的右侧得到a、b异号,则b>0;抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c>0,所以abc<0;当x=﹣1时图象在x轴下方得到y=a﹣b+c<0,即a+c<b;对称轴为直线x=1,可得x=2时图象在x轴上方,则y=4a+2b+c>0;利用对称轴
x=﹣=1得到a=﹣b,而a﹣b+c<0,则﹣b﹣b+c<0,所以2c<3b;开口向下,当x=1,
y有最大值a+b+c,得到a+b+c>am2+bm+c,即a+b>m(am+b)(m≠1).
解答:解:开口向下,a<0;对称轴在y轴的右侧,a、b异号,则b>0;抛物线与y轴的交点在x 轴的上方,c>0,则abc<0,所以①不正确;
当x=﹣1时图象在x轴下方,则y=a﹣b+c<0,即a+c<b,所以②不正确;
对称轴为直线x=1,则x=2时图象在x轴上方,则y=4a+2b+c>0,所以③正确;
x=﹣=1,则a=﹣b,而a﹣b+c<0,则﹣b﹣b+c<0,2c<3b,所以④正确;
开口向下,当x=1,y有最大值a+b+c;当x=m(m≠1)时,y=am2+bm+c,则a+b+c>am2+bm+c,即a+b>m(am+b)(m≠1),所以⑤正确.
故选B.
点评:本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,当a>0,开口向上,函数有最小值,a<0,开口向下,函数有最大值;对称轴为直线x=﹣,a与b同
号,对称轴在y轴的左侧,a与b异号,对称轴在y轴的右侧;当c>0,抛物线与y轴的交点在x轴的上方;当△=b2﹣4ac>0,抛物线与x轴有两个交点.
二.填空题(共1小题)
10.(2013?柳林县一模)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的对称轴是直线x=1,其图象的一部分如图所示.对于下列说法:①abc<0;②当﹣1<x<3时,y>0;③3a+c<0;④a﹣b+c<0,其中正确的是①③④(把正确的序号都填上).
考点:二次函数图象与系数的关系.
分析:由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答:解:根据图象可得:a<0,b>0,c>0.
则abc<0,故①正确;
当﹣1<x<3时图象在x轴的上方,且有的点在x轴的下方,故②错误;
根据图示知,该抛物线的对称轴直线是x=1,即﹣=1,则b=﹣2a.那么当x=﹣1时,y=a﹣
b+c=a+2a+c=3a+c<0,故③正确;
当x=﹣1时,y=a﹣b+c一定在x轴的下方,因而a﹣b+c<0,故④正确.
故答案是:①③④.
点评:主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.
(2013?绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,给出下列结论:
①2a+b>0;②b>a>c;③若﹣1<m<n<1,则m+n<﹣;④3|a|+|c|<2|b|.
其中正确的结论是①③④(写出你认为正确的所有结论序号).
考点:二次函数图象与系数的关系.
专题:压轴题.
分析:分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a,b,c的符号,再利用特殊值法分析得出各选项.
解答:解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∴2a<0,
对称轴x=﹣>1,﹣b<2a,∴2a+b>0,故选项①正确;
∵﹣b<2a,∴b>﹣2a>0>a,
令抛物线解析式为y=﹣x2+bx﹣,
此时a=c,欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为和2,
则=﹣,
解得:b=,
∴抛物线y=﹣x2+x﹣,符合“开口向下,与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间,
对称轴在直线x=1右侧”的特点,而此时a=c,(其实a>c,a<c,a=c都有可能),
故②选项错误;
∵﹣1<m<n<1,﹣2<m+n<2,
∴抛物线对称轴为:x=﹣>1,>2,m+n,故选项③正确;
当x=1时,a+b+c>0,2a+b>0,3a+2b+c>0,
∴3a+c>﹣2b,∴﹣3a﹣c<2b,
二次函数图象与系数的关系 知识点 一、二次函数错误!未找到引用源。的图象与性质 二次函数错误!未找到引用源。图象可由抛物线错误!未找到引用源。平移个单位,再平移个单位而得到. 平移规律如下: (1)平移时与上、下、左、右平移的先后顺,既可以先左右移再上下移,也可以先上下移再左右移; (2)抛物线的移动主要看的移动,即在平移时只要抓住的位置变化就可以了; (3)平移规律:“上加下减,左加右减”. (4)抛物线错误!未找到引用源。经过反向平移也可以得到错误!未找到引用源。; (5)抛物线错误!未找到引用源。的对称轴是直线,顶点坐标是. 二次函数错误!未找到引用源。的性质列表如下: 函数 错误!未找到引 用源。的符号 错误!未找到引用源。错误! 未找到引用源。 错误!未找到引用源。错误! 未找到引用源。 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值
函数的增减性 二、错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的互相转化 1.通过、可以将错误!未找到引用源。化为错误!未找到引用源。. 2.利用可以将错误!未找到引用源。转化为错误!未找到引用源。.简记为“一提,二配,三计算”.即错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。. 因此,二次函数错误!未找到引用源。的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线,顶点坐标 是. 三、二次函数错误!未找到引用源。的图象及性质 函数 错误!未找到引用源。的符号错误!未找到引用源。错误!未找 到引用源。 错误!未找到引用源。错误!未找 到引用源。 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 拓展:对于抛物线错误!未找到引用源。. (1)若已知在直线错误!未找到引用源。的一侧,图象上升或下降,(能/不能)确定直线错误!未找到引用源。是该抛物线的对称轴. (2)若已知在直线错误!未找到引用源。的两侧,图象一侧上升而另一侧下降,则(能/不能)确定该直线
二次函数中各项系数a ,b ,c 与图像的关系 一、首先就y=ax 2+bx+c (a≠0)中的a ,b ,c 对图像的作用归纳如下: 1 a 的作用:决定开口方向:a > 0开口向上;a < 0开口向下; 决定张口的大小:∣a ∣越大,抛物线的张口越小. 2 b 的作用:b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关. b 与a 同号,说明02<- a b ,则对称轴在y 轴的左边; b 与a 异号,说明?b 2a >0,则对称轴在y 轴的右边; 特别的,b = 0,对称轴为y 轴. 3 c 的作用:c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标.抛物线与y 轴的交点(0,c ) c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴; c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴; 特别的,c = 0,抛物线过原点. 4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2?4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点 b 2?4a c >0 与x 轴两个交点 b 2?4a c =0 与x 轴一个交点 b 2?4a c <0 与x 轴没有交点 5 几种特殊情况:x=1时,y=a + b + c ; x= -1时,y=a - b + c . 当x = 1时,① 若y > 0,则a + b + c >0;② 若y < 时0,则a + b + c < 0 当x = -1时,① 若y > 0,则a - b + c >0;② 若y < 0,则a - b + c < 0. 扩:x=2, y=4a + 2b + c ;x= -2, y=4a -2b + c ; x=3, y=9a +3 b + c ;x= -3, y=9a -3b + c 。 一.选择题(共8小题) 1.已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象大致如图所示,则下列关系式中成立的是( ) A .a >0 B .b <0 C .c <0 D .b +2a >0 2.如果二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,那么下列不等式成立的是( ) A .a >0 B .b <0 C .ac <0 D .bc <0. 3.已知二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,有下列4个结论:① abc >0;②b <a +c ;③4a +2b +c >0;④b 2﹣4ac >0;其中正确的结论有 ( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4.二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,对于下列结论:①a <0; ②b <0;③c >0;④2a +b=0;⑤a ﹣b +c <0,其中正确的个数是( ) A .4个 B .3个 C .2个 D .1个 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 5.二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图,给出下列四个结论::①a <0; ②b >0;③b 2﹣4ac >0;④a +b +c <0;其中结论正确的个数有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 6.如图所示,抛物线y=ax 2+bx +c 的顶点为(﹣1,3),以下结论:①b 2﹣4ac <0;②4a ﹣2b +c <0;
二次函数图像与系数的关系 1. 如图,是二次函数图象的一部分,图象过点,对称轴为,给出四个结论:① ;②;③;④。其中正确结论的个数是()。 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 小轩从如图所示的二次函数()的图象中,观察得出了下面五条信息:①;② ;③;④;⑤。你认为其中正确信息的个数有()。 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 设二次函数,当时,,当时,,那么的取值范围是()。 A. B. C. D. 4. 如图,抛物线与轴交于点,顶点坐标为,与轴的交点在,之间 (包含端点),则下列结论:①当时,;②;③;④中,正确的是()。 A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ①③ 5. 已知二次函数的图象如图所示。下列结论:①;②;③;④ ,其中正确的个数有()。 A. B. C. D.
6. 已知二次函数()的图象如图所示,有下列结论: ①;②;③;④。其中,正确结论的个数是()。 A. B. C. D. 7. 如图所示,二次函数的图象中,王刚同学观察得出了下面四条信息:(1) ;(2);(3);(4),其中错误的有()。 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 二次函数()的图象如图所示,若,,。则 ,,中,值小于的数有()。 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9. 如图,已知二次函数()的图象与轴交于点,对称轴为直线,与轴 的交点在和之间(包括这两点),下列结论:①当时,;②; ③;④。其中正确的结论是()。 A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 10. 已知二次函数()的图象如图所示,下列结论错误的是()。 A. B. C. (为任意实数) D.
二次函数的图像与系数的关系 1.已知二次函数y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的图象如图,有下列5个结论:①abc <0;②3a+c >0;③4a+2b+c >0;④2a+b=0;⑤b 2 >4ac.其中正确的结论的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.如图,二次函数y =ax 2 +bx +c (a ≠0)的大致图象,关于该二次函数下列说确的是( ) A. a >0,b <0,c >0 B. b 2 ﹣4ac <0 C. 当﹣1<x <2时,y >0 D. 当x >2时,y 随x 的增大而增大 3.如图,二次函数 图象,过点A (3,0),二次函数图象的对称轴是直线 x=1,下列结论正确的是( ) A. 2a+b=0 B. ac>0 C. D. 4.已知函数y=mx 2 -6x+1(m 是常数),若该函数的图象与x 轴只有一个交点,则m 的值为( ) A. 9 B. 0 C. 9或0 D. 9或1 5.如图,二次函数2 y ax bx c =++的图象的对称轴是直线1x =,则下列理论:①0a <, 0b <②20a b ->,③0a b c ++>,④0a b c -+<,⑤当1x >时, y 随x 的增大
而减小,其中正确的是(). A. ①②③ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ①③④ 6.已知y=ax+b的图象如图所示,则y=ax2+bx的图象有可能是() A. B. C. D. 7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论: ①4a+b=0; ②9a+c<3b; ③25a+5b+c=0; ④当x>2时,y随x的增大而减小. 其中正确的结论有() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8.如下图,已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-1,下列结论中①ab>0,②a+b+c>0,?③当-2<x<0时,y<0.正确的个数是()
教学设计—— 二次函数的系数与图像 长葛六中刘晓金 目标:1、通过观察二次函数的图像的形成过程,导出二次函数的图像与系数的关系。 2、理解和探索相关二次函数的图像之间的关系。 3、会用学习的知识判断相关二次函数的图像之间的关系。 4、运用相关知识解决平移、对称、翻转图像的抛物线解析式。 重点:1、探索和总结二次函数的图像与系数之间的关系。 2、运用相关知识解决问题。 难点:运用相关知识解决问题。 学法:1、通过观察发现相关知识。 2、通过合作探索知识的运用。 教法:运用课件对知识由浅入深地进行展示,不断引导学生观察、探索、总结和应用。 教学过程 一、课堂导入 1、导言:不同的二次函数,图像也不相同,即使有时形状相同,在坐标系中的位置也不尽相同。你知道这是为什么吗?本节我们就一起来探讨一下。 (展示幻灯片1) 2、展示本节教学主要过程。 (展示幻灯片2) 二、师生互动过程 1、a的符号与抛物线开口方向
①、学生在练习本上画出y=x2,y=-x2的草图,观察抛物线的开口方向。 ②、(展示幻灯片3) ③、学生对着幻灯片,检查自己的发现。 ④、总结出:a>0时抛物线开口方向向上,a<0时抛物线开口方向向下。 ⑤、练习在抛物线y=(k-1)x2+x+1中k 时开口向上,k 时开口向下。 2、a的绝对值与图像开口的大小 ①、导言:我们知道二次函数的图像虽然是抛物线,但是形状却不尽相同,这究竟是为什么呢? ②、(展示幻灯片4)引导学生认真观察不同函数图像的形状(开口大小)与什么相关联? ③、引导学生总结出:a的绝对值相等,抛物线开口方向不同,大小相同。 ④、练习k取时,抛物线y=(k+3)x2-x+6可以由抛物线y=2x2变化而来。 3、C与图像和y轴的交点位置 ①、(展示幻灯片5) ②、通过引导学生,使学生总结出:C=0时抛物线与y轴相交于原点;C >0时抛物线与y轴相交于X轴上方;C<0时抛物线与y轴相交于x轴下方。 (C的值决定抛物线与y轴相交的位置) 4、a.b与对称轴的位置 ①、学生写出y=x2, y=x2+2x, y=x2-2x, y=-x2+2x, y=-x2-2x 中各个式子中a、b的值,并计算出ab 的值。 ②、(展示幻灯片6) ③、引导学生探讨幻灯片中各个图像的形成过程,总结出:ab=0时对称轴与y 轴重合;ab>0时对称轴在y轴的左边;ab<0时对称轴在y轴的右边。
二次函数图像与系数的关系 1.如图,是二次函数图象的一部分,图象过点,对称轴为,给出四个结论:① ;②;③;④。其中正确结论的个数是()。 A.个 B.个 C.个 D.个 2.小轩从如图所示的二次函数()的图象中,观察得出了下面五条信息:①;② ;③;④;⑤。你认为其中正确信息的个数有()。 A.个 B.个 C.个 D.个 3.设二次函数,当时,,当时,,那么的取值范围是()。 A. B. C. D. 4.如图,抛物线与轴交于点,顶点坐标为,与轴的交点在,之间 (包含端点),则下列结论:①当时,;②;③;④中,正确的是()。 A.①② B.③④ C.①④ D.①③ 5.已知二次函数的图象如图所示。下列结论:①;②;③;④ ,其中正确的个数有()。 A. B. C. D.
6.已知二次函数()的图象如图所示,有下列结论: ①;②;③;④。其中,正确结论的个数是()。 A. B. C. D. 7.如图所示,二次函数的图象中,王刚同学观察得出了下面四条信息:(1) ;(2);(3);(4),其中错误的有()。 A.个 B.个 C.个 D.个 8.二次函数()的图象如图所示,若,,。则 ,,中,值小于的数有()。 A.个 B.个 C.个 D.个 9.如图,已知二次函数()的图象与轴交于点,对称轴为直线,与轴 的交点在和之间(包括这两点),下列结论:①当时,;②; ③;④。其中正确的结论是()。 A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 10.已知二次函数()的图象如图所示,下列结论错误的是()。 A. B. C. (为任意实数) D.
11. 已知二次函数()的图象如图所示,对称轴为。下列结论中,正确的是 ()。 A. B. C. D. 12. 如图,二次函数()的图象经过点和,下列结论中正确的是()。 A. B. C. D. 13. 如图,二次函数的图象与轴正半轴相交,其顶点的坐标为,下列结论: ①;② ;③;④。其中错误的是()。 A.① B.② C.③ D.④ 14. 如图,抛物线()过点和点,且顶点在第四象限,设, 则的取值范围是()。 A. B. C. D. 15. 已知二次函数的图象如图,则下列叙述正确的是()。 A. B. C. D.将该函数图象向左平移个单位后所得到抛物线的解析式为
二次函数图像与系数关系 一.选择题(共9小题) 1.(2013?义乌市)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标为(1,n),与y 轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),则下列结论: ①当x>3时,y<0;②3a+b>0;③﹣1≤a≤﹣;④3≤n≤4中, 正确的是() A.①②B.③④C.①④D.①③ 考点:二次函数图象与系数的关系. 专题:计算题;压轴题. 分析:①由抛物线的对称轴为直线x=1,一个交点A(﹣1,0),得到另一个交点坐标,利用图象即可对于选项①作出判断; ②根据抛物线开口方向判定a的符号,由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a,将其代入 (3a+b),并判定其符号; ③根据两根之积=﹣3,得到a=﹣,然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值 范围; ④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c,利用c的取值范围可以求得n的取值范围.解答:解:①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴直线是x=1,∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0), ∴根据图示知,当x>3时,y<0. 故①正确; ②根据图示知,抛物线开口方向向下,则a<0. ∵对称轴x=﹣=1, ∴b=﹣2a, ∴3a+b=3a﹣2a=a<0,即3a+b<0. 故②错误; ③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是(﹣1,0),(3,0), ∴﹣1×3=﹣3, ∴=﹣3,则a=﹣. ∵抛物线与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点), ∴2≤c≤3, ∴﹣1≤﹣≤﹣,即﹣1≤a≤﹣. 故③正确;
④根据题意知,a=﹣,﹣=1, ∴b=﹣2a=, ∴n=a+b+c=c. ∵2≤c≤3, ∴≤c≤4,即≤n≤4. 故④错误. 综上所述,正确的说法有①③. 故选D. 点评:本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定. 2.(2013?烟台)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0).下列说法:①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),(,y2)是抛物线上两点,则y1>y2.其中说法正确的是() A.①②B.②③C.①②④D.②③④ 考点:二次函数图象与系数的关系. 专题:压轴题. 分析:根据图象得出a>0,b=2a>0,c<0,即可判断①②;把x=2代入抛物线的解析式即可判断 ③,求出点(﹣5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1),根据当x>﹣1时,y随x的 增大而增大即可判断④. 解答:解:∵二次函数的图象的开口向上, ∴a>0, ∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上, ∴c<0, ∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1, ∴﹣=﹣1, ∴b=2a>0,
二次函数系数a、b、c与图像的关系 知识要点 二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定: (1)a由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则a>0;否则a<0. (2)b由对称轴和a的符号确定:由对称轴公式x=判断符号. (3)c由抛物线与y轴的交点确定:交点在y轴正半轴,则c>0;否则c<0. (4)b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定:2个交点,b2-4ac>0;1个交点,b2-4ac=0;没有交点,b2-4ac <0. (5)当x=1时,可确定a+b+c的符号,当x=-1时,可确定a-b+c的符号. (6)由对称轴公式x=,可确定2a+b的符号. 一.选择题(共9小题) 1.(2014?威海)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列说法: ①c=0;②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1;③当x=1时,y=2a;④am2+bm+a>0 (m≠﹣1). 其中正确的个数是() A.1B.2C.3D.4 2.(2014?仙游县二模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下 结论:①a+b+c<0;②a﹣b+c<0;③b+2a<0;④abc>0.其中所有正确结论的序号 是() A.③④B.②③C.①④D.①②③3.(2014?南阳二模)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于此二次函数的下 列四个结论: ①a<0;②c>0;③b2﹣4ac>0;④<0中,正确的结论有() A.1个B.2个C.3个D.4个 4.(2014?襄城区模拟)函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图,有以下结论: ①b2﹣4c<0;②c﹣b+1=0;③3b+c+6=0;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0. 其中正确结论的个数为() A.1B.2C.3D.4 5.(2014?宜城市模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1, 且过点(﹣3,0)下列说法: ①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),(2,y2)是抛物线上的两点, 则y1>y2. 其中说法正确的是()
二次函数图象特征与系数关系专题 一、知识要点: 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)系数符号的确定 3、C 由抛物线与y 轴的交点确定:交点在 y 轴的丿正半轴, 则 d 负半轴, 则"O 4、 b2-4ac 的符号由抛物线与 X 轴(或坐标轴)的交点个数确定: 。个交点,b 2-4ac?O ; y = O 时,方程有两个不相等 实数根 ① 与X 轴的交点个数1个交点,b 2-4ac=O ; y =O 时,方程有两个相等实 数根 没有交点,b 2-4ac O; y =O 时,方程无实数根 3个交点,b 2 - 4ac a O ; ② 与坐标轴交点个数 2个交点,b 2 - 4ac = O ; 1 个交点,b 2-4ac O; 5、 根据函数图象的具体情况取特殊值,确定代数式符号: 常见①x=1时,a +b +c 的符号;②x=-1时,a -b+ C 的符号;③x=2时,4a+2b+c 的符号;④ x=-2 时,4a-2b+c 的符号; ......... . K 6、 由对称轴公式X=- 一,可确定2a+b 的符号或对称轴有具体数值是确定相关代数式的符 2a 号;如:X=- =-时,可确定4a-3b 的符号;有时与相关成立的等式或不等式结合,确 2a 3 定运算后代数式的符号。 二、专题练习 ①b 2-4ac >O :② abc >O :③ 8a+c >O ;④ 9a+3b+c V O 2 3、 如图3,二次函数y=ax +bx+c 的图象中,根据图中信息,下列结论正确是( ) 1、a 由抛物线开口方向确定 开口向上=a a O 开口向下=a γ O K 2、b 由对称轴X=-和a 的符号确定 2a So, IaY 0, b 2a Y O 」 a ■ 0, a 0, 2 1.如图1 ,是二次函数y=ax +bx+c ( a ≠0的图象,根据图中信息,下列结论正确是( ) ① a b C >O ; ② b< a+ c ;③2a+b=O :④a +b 学习必备欢迎下载 二次函数图像与系数关系 一.选择题(共9小题) 1.(2013?义乌市)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标为(1,n),与y 轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),则下列结论: ①当x>3时,y<0;②3a+b>0;③﹣1≤a≤﹣;④3≤n≤4中, 正确的是() =,然后根据 n=a+b+c=c =1 . ﹣﹣﹣ ﹣,﹣ 2a= n=a+b+c= ≤≤ 2.(2013?烟台)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0).下列说法:①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),(,y2)是抛物线上两点,则y1>y2.其中说法正确的是() = 3.(2013?十堰)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(﹣1,0).下列结论:①ab<0,②b2>4a,③0<a+b+c<2,④0<b<1,⑤当x>﹣1时,y>0,其中正确结论的个数是() > 4.(2012?沙坪坝区模拟)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中,正确的是() ﹣ ﹣ 5.(2013?鄂州)小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象中,观察得出了下面五条信息:①ab>0;②a+b+c<0;③b+2c>0;④a﹣2b+4c>0;⑤. 你认为其中正确信息的个数有() =,∴b= 时,a b+c ﹣﹣,则 6.(2013?德州)函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示,有以下结论: ①b2﹣4c>0;②b+c+1=0;③3b+c+6=0;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0. 二次函数中各项系数 a ,b, c 与图像的关系 一、首先就y=ax 2 +bx+c (a 工0)中的a ,b ,c 对图像的作用归纳如下: a 的作用:决定开口方向:a > 0开口向上;a < 0开口向下; 决定张口的大小:l a I 越大,抛物线的张口越小. b 的作用:b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关. b 与a 同号,说明 _L .. o ,则对称轴在y 轴的左边; 2a b 与a 异号,说明 b -> 0 '口 ,则对称轴在y 轴的右边; 特别的,b = 0,对称轴为y 轴. c 的作用:c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标.抛物线与y 轴的交点(0,c ) c > 0抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴; c < 0抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴; 特别的,c = 0 ,抛物线过原点. ■ . 2 a,b,c 共同决定判别式 b 2 - 4ac > 0 b 2 - 4ac = 0 b 2 - 4ac < 0 * = b ~4ac 的符号进而决定图象与X 轴的交点 与X 轴两个交点 与X 轴一个交点 与X 轴没有交点 x=1 时,y=a + b + c ; x= -1 时,y=a - b + c . 当 x = 1 时,①若 y > 0,贝U a + b + c >0 ; ? 若 y < 时 0,贝U a + b + c < 0 当 x = -1 时,①若 y > 0,贝U a - b + c >0 ;②若 y < 0,贝U a - b + 扩:x=2, y=4a + 2b + c ; x= -2, y=4a -2b + c ; x=3, y=9a +3 b + c 一.选择题(共8小题) 1 .已知二次函数y=ax +bx+c 的图象大致如图所示,贝U 下列关系式中成立的是 A. a >0 B . b v 0 C. c v 0D . b+2a > 0 2.如果二次函数y=a£ +bx+c (a ^ 0)的图象如图所示,那么下列不等式成立 几种特殊情况: c < 0 . ;x= -3, y=9a -3b + c 。 ) C. ac v 0 D . bc v 0. 3.已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ^0)的图象如图所示,有下列4个结论:①abc >0;②b v a+c ; ③4a+2b+c >0;④b 2- 4ac >0;其中正确的结论有( ) A B C D 一、二次函数图像与系数a 、b 、c 、关系 1、二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图2所示,则点c M b a ?? ??? ,在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 2、如图,若a <0,b >0,c <0,则抛物线y=ax 2 +bx +c 的大致图象为( ) 3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列说法不正确的是( ) A 、2 40b ac -> B 、0a > C 、0c > D 、02b a - < 4、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示,则下列关于a ,b ,c 间关系的判断正确的是( ) A 、ab <0 B 、bc <0 C 、a +b +c >0 D 、a -b +c <0 5、 二次函数 c bx ax y ++=2,图象如图所示,则反比例函数x ab y =的图象的两个分支分别在第 象限。 6、已知反比例函数 k y = 的图象如图所示,则二次函数2 22k x kx y +-=的图象大致为( ) 7、二次函数y=ax 2 与一次函数y=ax +a 在同一坐标系中的图象大致为( ) 8、函数y=ax 2 +bx +c 和y=ax +b 在同一坐标系中,如图所示,则正确的是( ) 9、在同一直角坐标系内,二次函数y=ax 2 +(a +c )x +c 与一次函数y=ax +c 的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( ) 10、二次函数y=ax 2 +bx +c 与一次函数y=ax +c 在同一坐标系中的图象大致是图中的( ) 二次函数的图象与各项系数之间的关系 技巧讲解 1. 二次项系数a :a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. 二次函数2y ax bx c =++中,a 为二次项系数,显然0a ≠. ① 当0a >时,抛物线开口向上; ② 当0a <时,抛物线开口向下; ③a 的值越大,函数图象越靠近y 轴,开口越小,反之a 的值越小,函数图象越远离y 轴,开口越大;一次函数图象有类似特点。 2. 一次项系数b :①在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置. ②ab 的符号的判定:对称轴a b x 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0 ①当0b >时,02b a ->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧; ②当0b =时,02b a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴; ③当0b <时, 02b a -<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧. 3. 常数项c :c 决定了抛物线与y 轴交点的位置. ⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 4.特殊形式 (1)当x=1时,可以求出a+b+c 的值; 若x=1时,y>0,则a+b+c>0; 若x=1时,y<0,则a+b+c<0; 若x=1时,y=0,则a+b+c=0; (2)当x=-1时,可以求出a-b+c 的值; 若x=-1时,y>0,则a-b+c>0; 若x=-1时,y<0,则a-b+c<0; 若x=-1时,y=0,则a-b+c=0; (3)根的别式b 2-4ac ,可以用来判断抛物线与x 轴的交点个数,当b 2-4ac>0时,方程2y ax bx c =++=0有两个根,也就是说y=0时,函数在x 轴上可以找到2个对应的自变量值,即断抛物线与x 轴有2个交点;同理b 2-4ac=0,二次函数图象与x 轴有一个交点;b 2-4ac <0时,抛物线与x 轴没有交点。 二次函数图象与系数的关系最全总结 二次函数是初中数学的重点也是难点内容之一,它的图象是一条抛物线,其形状、开口方向、位置等与表达式中的系数的关系非常密切。所以,二次函数图象与a、b、c的关系是非常重要的一个知识点,今天,小培就为大家总结一下二次函数图像与系数的关系变化。 1. a决定抛物线的开口方向及大小 具体内容: ?a>0,抛物线开口向上 ?a<0,抛物线开口向下 ?|a|越大,抛物线的开口越小 ?|a|越小,抛物线的开口越大 我们知道抛物线平移前后形状及开口方向不变,只是位置发生改变,那么只要两个二次函数的a相同,那么就可以由其中一个二次函数通过平移得到另一个二次函数. 图象:抛物线开口向上,a>0,抛物线开口向下,a<0,开口大的抛物线的|a|小于开口小的抛物线的|a|. 图象示例: 2. a、b共同决定抛物线对称轴的位置 对称轴 的位置 具体内容: ?b=0时,对称轴为y轴 ?b/a>0,对称轴在y轴左侧(即a、b同号,则对称轴在y轴左侧,简记为“左同”) ?b/a<0,对称轴在y轴右侧(即a、b异号,则对称轴在y轴右侧,简记为“右异”) 上述当b≠0时,a、b的符号及对称轴与y轴的位置可简记为“左同右异” 图象:对称轴在y轴,则b=0,对称轴在y轴左侧,根据“左同右异”判断a、b同号,对称轴在y轴右侧,根据“左同右异”判断a、b异号. 图象示例: 3. c决定抛物线与y轴交点的位置 具体内容: ?c=0,抛物线过原点 ?c>0,抛物线与y轴交于正半轴 ?c<0,抛物线与y轴交于负半轴 可根据c是抛物线与y轴交点的纵坐标来理解记忆这一点内容图象示例: 4. b2-4ac决定抛物线与x轴的交点的个数 具体内容: 2021年齐齐哈尔中考数学复习专题训练 二次函数图象与系数的关系 参考答案与试题解析 1.(2018?齐齐哈尔)抛物线C1:y1=mx2﹣4mx+2n﹣1与平行于x轴的直线交于A、B两点,且A点坐标为(﹣1,2),请结合图象分析以下结论:①对称轴为直线x=2;②抛物线与y轴交点坐标为(0,﹣1);③m>;④若抛物线C2:y2=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点,则a的取值范围是≤a<2;⑤不等式mx2﹣4mx+2n>0的解作为函数C1的自变量的取值时,对应的函数值均为正数,其中正确结论的个数有() A.2个B.3个C.4个D.5个 【分析】①利用抛物线对称轴方程可判定;②与y轴相交设x=0,问题可解;③当抛物线过A(﹣1,2)时,代入可以的到2n=3﹣5m,函数关系式中只含有参数m,由抛物线与x轴有两个公共点,则由一元二次方程根的判别式可求;④求出线段AB端点坐标,画图象研究临界点问题可解;⑤把不等式问题转化为函数图象问题,答案易得. 【解答】解:抛物线对称轴为直线x=﹣故①正确; 当x=0时,y=2n﹣1故②错误; 把A点坐标(﹣1,2)代入抛物线解析式 得:2=m+4m+2n﹣1 整理得:2n=3﹣5m 代入y1=mx2﹣4mx+2n﹣1 整理得:y1=mx2﹣4mx+2﹣5m 由图象可知,抛物线交y轴于负半轴, 则:2﹣5m<0 即m>故③正确; 由抛物线的对称性,点B坐标为(5,2) 当y2=ax2的图象分别过点A、B时,其与线段分别有两个和有唯一一个公共点 此时,a的值分别为a=2、a= a的取值范围是≤a<2;故④正确; 不等式mx2﹣4mx+2n>0的解可以看做是,抛物线y1=mx2﹣4mx+2n﹣1位于直线y=﹣1上方的部分,由图象可知,其此时x的取值范围使y1=mx2﹣4mx+2n﹣1函数图象分别位于x轴上下方故⑤错误; 故选:B. 【点评】本题为二次函数综合性问题,考查了二次函数对称轴、与坐标轴交点、对称性、抛物线与x轴交点个数判定、与抛物线有关的临界点问题以及从函数的观点研究不等式.2.(2019?齐齐哈尔)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(﹣3,0),其对称轴为直线x=﹣,结合图象分析下列结论: ①abc>0; ②3a+c>0; ③当x<0时,y随x的增大而增大; ④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=﹣,x2=; ⑤<0; 二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系 一、首先就y=ax 2+bx+c (a≠0)中的a ,b ,c 对图像的作用归纳如下: 1 a 的作用:决定开口方向:a > 0开口向上;a < 0开口向下; 决定张口的大小:∣a ∣越大,抛物线的张口越小. 2 b 的作用:b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关. b 与a 同号,说明02<-a b ,则对称轴在y 轴的左边; b 与a 异号,说明 ,则对称轴在y 轴的右边; 特别的,b = 0,对称轴为y 轴. 3 c 的作用:c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标.抛物线与y 轴的交点(0,c ) c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴; c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴; 特别的,c = 0,抛物线过原点. 4 a,b,c 共同决定判别式 的符号进而决定图象与x 轴的交点 与x 轴两个交点 与x 轴一个交点 与x 轴没有交点 5 几种特殊情况:x=1时,y=a + b + c ; x= -1时,y=a - b + c . 当x = 1时,① 若y > 0,则a + b + c >0;② 若y < 时0,则a + b + c < 0 当x = -1时,① 若y > 0,则a - b + c >0;② 若y < 0,则a - b + c < 0. 扩:x=2, y=4a + 2b + c ;x= -2, y=4a -2b + c ; x=3, y=9a +3 b + c ;x= -3, y=9a -3b + c 。 反之,给我们相应的二次函数图象,我们可以得到其系数a,b,c 以及它们组合成的一些关系结构(例如对称轴 ; 判别式 ……等等)的符号 二、经典例题讲解 例1 已知二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图,则a 、b 、c 满足( ) A .a < 0,b < 0,c > 0 ; B .a < 0,b < 0,c < 0 ; C . a < 0,b > 0,c > 0 ; D .a > 0,b < 0,c > 0 ; 例2(2015呼和浩特)如图,四个二次函数的图像中分别对应的是: ①2χγa =②2χγb =③2χγc =④2χγd =,则a , b , c , d 的大小关系是 . A .a > b > c > d B .a > b > d > c C .b > a > c > d D .b > a > d > c 例3已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图,其对称轴 x=-1,给出下列结果 ①b 2>4ac ;②abc >0;③2a+b=0;④a+b+c >0;⑤4a-2b+c <0,则正确的结论是( ) A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤ 二次函数的图像与系数 的关系 Revised by Petrel at 2021 二次函数的图像与系数的关系 1.已知二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图,有下列5个结论:①abc<0; ②3a+c>0;③4a+2b+c>0;④2a+b=0;⑤b 2 >4ac.其中正确的结论的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 2.如图,二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的大致图象,关于该二次函数下列说法正确的 是( ) A.a >0,b <0,c >0 B.b 2﹣4ac <0 C.当﹣1<x <2时,y >0 D.当x >2时,y 随x 的增大而增大 3.如图,二次函数 图象,过点A (3,0),二次函数图象的对称轴 是直线x=1,下列结论正确的是() A.2a+b=0 B.ac>0 C. D. 4.已知函数y=mx 2-6x+1(m 是常数),若该函数的图象与x 轴只有一个交点,则m 的值为() A.9B.0C.9或0D.9或1 5.如图,二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴是直线1x =,则下列理论:①0a <,0b <②20a b ->,③0a b c ++>,④0a b c -+<,⑤当 1x >时,y 随x 的增大而减小,其中正确的是(). A.①②③B.②③④C.③④⑤D.①③④ 6.已知y=ax+b 的图象如图所示,则y=ax 2+bx 的图象有可能是( ) A. B. C. D. 7.二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为 直线x=2,下列结论: ①4a+b=0; ②9a+c<3b ; ③25a+5b+c=0; ④当x >2时,y 随x 的增大而减小. 二次函数图像与系数关系 1.(2013?烟台)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0).下列说法:①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),(,y2)是抛物线上两点,则y1>y2.其中说法正确的是() 3.(2013?鄂州)小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象中,观察得出了下面五条信息:①ab>0;②a+b+c<0;③b+2c>0;④a﹣2b+4c>0;⑤. 你认为其中正确信息的个数有() ③3b+c+6=0;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0.其中正确的个数为() 6.(2012?天门)已知二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示,它与x 轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①b ﹣2a=0;②abc <0;③a ﹣2b+4c <0;④8a+c >0.其中正确的有( ) ①abc >0;②b <a+c ;③4a+2b+c >0;④2c <3b ;⑤a+b >m (am+b )(m ≠1的实数). 其中正确的结论有( ) 8.(2013?柳林县一模)二次函数y=ax 2 +bx+c (a ,b ,c 是常数,a ≠0)图象的对称轴是直线x=1,其图象的一部分如图所示.对于下列说法:①abc <0;②当﹣1<x <3时,y > 0;③3a+c <0;④a ﹣b+c <0,其中正确的是 (把正确的序号都填上). 9(2013?绵阳)二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示,给出下列结论: ①2a+b >0;②b >a >c ;③若﹣1<m <n <1,则m+n <﹣;④3|a|+|c|<2|b|. 其中正确的结论是 (写出你认为正确的所有结论序号). 二次函数的图像与系数的关系 1.已知二次函数y=ax 2 +bx+c(a≠0)的图象如图,有下列5个结论:①abc<0;②3a+c> 0;③4a+2b+c>0;④2a+b=0;⑤b 2 >4ac 、其中正确的结论的有( ) A 、 1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4个 2.如图,二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的大致图象,关于该二次函数下列说法正确的就是( ) A 、 a >0,b <0,c >0 B 、 b 2﹣4ac <0 C 、 当﹣1<x <2时,y >0 D 、 当x >2时,y 随x 的增大而增大 3.如图,二次函数 图象,过点A (3,0),二次函数图象的对称轴就是直线x=1, 下列结论正确的就是( ) A 、 2a+b=0 B 、 ac>0 C 、 D 、 4.已知函数y=mx 2 -6x+1(m 就是常数),若该函数的图象与x 轴只有一个交点,则m 的值为( ) A 、 9 B 、 0 C 、 9或0 D 、 9或1 5.如图,二次函数2 y ax bx c =++的图象的对称轴就是直线1x =,则下列理论:①0a <, 0b <②20a b ->,③0a b c ++>,④0a b c -+<,⑤当1x >时, y 随x 的增大而减小,其中正确的就是( ). A、①②③ B、②③④ C、③④⑤ D、①③④ 6.已知y=ax+b的图象如图所示,则y=ax2+bx的图象有可能就是( ) A、B、C、D、 7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论: ①4a+b=0; ②9a+c<3b; ③25a+5b+c=0; ④当x>2时,y随x的增大而减小. 其中正确的结论有( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 8.如下图,已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴就是直线x=-1,下列结论中①ab>0,②a+b+c>0,?③当-2<x<0时,y<0.正确的个数就是( ) 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 二次函数中,作为二次项系数,显然. ⑴当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大; ⑵当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大. 总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴. ⑴在的前提下, 当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧; 当时,,即抛物线的对称轴就是轴; 当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧. ⑵在的前提下,结论刚好与上述相反,即 当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧; 当时,,即抛物线的对称轴就是轴; 当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧. 总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置. 的符号的判定:对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异” 总结: 3. 常数项 ⑴当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正; ⑵当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为; ⑶当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负. 总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置. 总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有四种情况,可以用一般式或顶点式表达1. 关于轴对称 关于轴对称后,得到的解析式是; 关于轴对称后,得到的解析式是; 2. 关于轴对称 关于轴对称后,得到的解析式是; 关于轴对称后,得到的解析式是; 3. 关于原点对称 关于原点对称后,得到的解析式是; 关于原点对称后,得到的解析式是; 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.二次函数图像与系数关系(含答案)
二次函数中各项系数a,b,c与图像的关系
二次函数的图像与系数abc的关系.
二次函数图像与系数的关系
二次函数图象与系数的关系最全总结
二次函数图象与系数的关系(解析版)
二次函数系数a、b、c与图像关系
二次函数的图像与系数的关系
二次函数图像与系数关系(含答案)
二次函数的图像与系数的关系
二次函数的图象与各项系数 之间的关系知识点