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江西省2012届高三考前适应性训练数学试卷理科20

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．一个几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是（）

A ．112

B ．80

C ．72

D ．64 2．已知实数0a >，则

220

()a

a x dx

π-?表示（）

A ．以a 为半径的球的体积的一半

B ．以a 为半径的球面面积的一半

C ．以a 为半径的圆的面积的一半

D ．由函数22

y a x =-，坐标轴及x a =所围成的图形

的面积 3．若四边形

1234A A A A 满足：4321=+A A A A ,（ 4121A A A A -）031=?A A ，，则该四边形

一定是（）

A ．矩形

B ．菱形

C ．正方形

D ．直角梯形

4．已知i z i -=+?)1(，那么复数z 对应的点位于复平面内的（） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

5．已知,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则“n α⊥”的一个充分不必要条件是（） A ．//αβ，n β⊥ B ．αβ⊥，

β C ．αβ⊥，//n β D ．//m α，n m ⊥

．若二项式21tan n

x ?+?

?的展开式的第四项是229，而第三项的二项式系数是15，则x 的取值为（）

A ．()3k k Z π∈

B ． ()

3k k Z ππ-∈

C ．

()

k k Z π

π+

∈ D ．

()

k k Z π

π±

∈

7．将7个“三好学生”名额分配给5个不同的学校，其中甲、乙两校各至少要有两个名额，则不同的分配方案种数有（）

A ．25

B ．35

C ．60

D ．120

8．已知函数()f x 的定义域为[)3-+∞，，且(6)2f =．()f x '为()f x 的导函

数，()f x '的图像如

右图所示．若正数,a b 满足(2)2f a b +<，则3

2b a +-的取值范围是（） A ．3(,)(3,)2-∞-+∞ B ．9(,3)

C ．9

(,)(3,)

2-∞-+∞

D ．3,32??

- ???

9．已知抛物线22y px =(0)p >与双曲线22

221x y a b -=(0,0)a b >>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x

⊥轴，若为双曲线的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是（）

A ．(0,)6π

B ．(,)64ππ

C ．(,)43ππ

D ．(,)

32ππ

10．设函数()f x 在其定义域()0,+∞上的取值恒不为0，且0,x y R >∈时，恒有

()()y f x yf x =．若1a b c >>>且a b c 、、成等差数列，则()()f a f c 与

[]2

()f b 的大小关系为（）

A ．

[]

()()()f a f c f b < B ．

[]

()()()f a f c f b = C ．

[]

()()()f a f c f b > D ．不确定

第Ⅱ卷（共100分）

二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）

11．曲线

ln(21)

y x

=-上的点到直线230

x y

-+=的最短距离是．

12．已知△ABC的面积是30，其内角A、B、C所对边的长分别为

a b c，且满足

cos

，1

c b

-=，

则a= ．

13．下图是某县参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A1、A2、…A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155内的人数）．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是．

14．下列命题：

①命题p：[]

1,1

x?∈-

，满足

x x a

++>

，使命题

p为真的实数a的取值范围为3

a<；

②代数式

sin sin sin

απαπα

????

++++

? ?

????的值与角α有关；

③将函数

)

32sin(3)(π

=x x f 的图象向左平移3π

个单位长度后得到的图象所对应的函数是奇函数；

④已知数列{}n a 满足：

1221,,()n n n a m a n a a a n N *

++===-∈，记n n a a a a S +?+++=321，则2011S m =；其中正确的命题的序号是（把所有正确的命题序号写在横线上）．

15．（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A ．（不等式选做题）不等式a x x <-+|12|的解集为φ，则实数a 的取值范围是．

B ．（坐标系与参数方程选做题）若直线340x y m ++=与曲线2

2cos 4sin 40ρρθρθ-++

=没有

公共点，则实数m

的取值范围是．

三．解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）

16．（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，

(cos ,(2cos ,sin cos )M x N x x x 其中,x R a ∈为常数，设函数

x f ?=)(．

（1）求函数()y f x =的表达式和最小正周期；

（2）若角C 为ABC ?的三个内角中的最大角且()y f C =的最小值为0，求a （3）在（2）的条件下，试画出[]()(0,)

y f x x π=∈的简图．

17．（本小题满分12分）设数列

{}()

n a n N ∈满足

010,2,

a a ==且对一切n N ∈2122

n n n a a a ++=-+．

（1）求数列

{}n a 的通项公式；

（2）设

n a n a a a Tn )2(1514131321++?+++=

，求n T 的取值范围．

18．（本小题满分12分）设不等式

4x y +≤确定的平面区域为U ，1x y +≤确定的平面区域为V ．（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U 内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V 的概率；（2）在区域U 内任取3个点，记这3个点在区域V 的个数为X ，求X 的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中PA ⊥平面ABCD ，且44PA PQ ==，底

面为直角梯形，

090,CDA BAD ∠=∠=2,1,AB CD AD ===,M N 分别是,PD PB 的中点．

（1）求证：MQ // 平面PCB ；

（2）求截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小；

（3）求点A 到平面MCN 的距离．

20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，12,F F 为其左、

右焦点，P 为椭圆C 上任一点，

12F PF ?的重心为G ，内心I ，且有21F F IG λ=（其中λ为实数）

（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）过焦点2

F 的直线与椭圆C 相交于点M 、N ，若

1F MN

?面积的最大值为3，求椭圆C 的方程．

21．（本小题满分14分）已知函数()f x 满足2(+2)=()f x f x ，当

()1

0,2()ln ()

2x f x x ax a ∈=+<-时，，当()4,2()

x f x ∈--时，的最大值为4-。

（1）求

()

0,2x ∈时函数()f x 的解析式；

（2）是否存在实数b 使得不等式()x b

f x x ->+对于()()0,11,2x ∈?时恒成立，

若存在，求出实数 b 的取值集合，若

不存在，说明理由．

参考答案

一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1～5、BABBA 6～10、DBADC

二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．

12． 5 13．8i <（或者7i ≤）（写到一个即可） 14． ① ④

15．A ．（不等式选做题）

2a ≤

B ．（坐标系与参数方程选做题） 010m m <>或

（考生注意：请在两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

三．解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．） 16．

解析：（1

）

2()2cos cos )cos 221y f x x x x x x a ==++

=++…………2分

2sin(2)1

6x a π

=+++ …………3分

∴2T π= …………4分

（2）由角C 为ABC ?的三个内角中的最大角可得：5132,3

666C C π

πππ??

≤

∈?

???…5分

∴()2sin(2)1

6y f C C a π

==+++的最小值为：2(1)101a a ?-++=?= …………8分（3）由（2）可知：()2sin(2)2

6y f x x π

==++ …………9分

图像（略） …………12分

17．解析：（1）由

2112n n n n a a a a +++-=-+可得：

∴数列{}1n n a a +-为等差数列，且首项 10202a a -=-=，公差为2 …………3分

∴

()()()110212212n n a a a a n n n

--=-+-=+-= …………4分

∴

()()()121321(22)

2462(1)2n n n n n a a a a a a a a n n n -+=+-+-++-=++++=

=+ …6分

（2）由（1）可知：

11111

(2)(1)(1)2(1)(1)(2)n n a n n n n n n n ??==-??++++++?? …………7分 ∴

1231111

345(2)n n T a a a n a =

+++++

1111111()()()212232334(1)(1)(2)n n n n ??=?-+-++-???????++?+??

111111212(1)(2)42(1)(2)4n n n n ??=?-=-

易知：

T 在n N *

∈时，单调递增，∴

6n T T ≥=

…………11分

∴

1164n T ≤< …………12分

18．

解析：（1）依题可知平面区域U 的整点为

()()()()()()0,0,0,1,0,2,1,0,2,0,1,1±±±±±±共有13个，…2分

平面区域V 的整点为()()()0,0,0,1,1,0±±共有5个， ∴

583

13.40143C C P C == ……4分（2）依题可得：平面区域U 的面积为：2

24ππ?=，平面区域V 的面积为：1

2222??=，在区域U 内任取1个点，则该点在区域V 内的概率为21

42ππ=

， …………5分

易知：X 的可能取值为0123，

，，， …………6分且()()3

013333

213211111(0)1(1)1228228P X C P X C ππππππππ--????????==??-===??-= ? ? ? ?????????，，

()2

333

32111111(2)1(3)1228228P X C P X C πππππππ-????????==??-===??-= ? ? ? ?????????，…10分

∴X 的分布列为：

…………11分

∴X 的数学期望：

()()()3

3332132132113

0123=

88882EX ππππππππ---=?

+?+?+?……12分

（或者：

1~(3,

)2X B π，故13

=322EX np

ππ=?=）

19．

解析（一）：

以A 为原点，以,,AD AB AP 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系O xyz -，

由2,1,

AB CD AD ===

44PA PQ =

=，,M N 分别是,PD PB 的中点，

可得：()()))

()()()0,0,0,0,2,0,

,,0,0,4,0,0,3,2,0,1,2A B C

P Q M N ?

??，

∴

)

()

1,0,0,2,4BC PB =

-=-

，

MQ ??

= ? ?

? ………2分设平面的PBC 的法向量为

()

0,,n x y z =

，

则有：())

()()00,,1,000,,0,2,40240n BC x y z y n PB x y z y z ?

⊥??-=

?-=???⊥??-=?-=?

令1z =

，则

)022,1

x y n ==?=

， ……………3分

∴

)

02,10

MQ n ???=?

= ? ???

，又MQ ?平面

PCB

∴MQ //平面PCB ……………4分

（2）设平面的MCN 的法向量为(),,n x y z = ，又()

1,2,2CM CN ??=-= ? ???

则有：(

)(

)

,,1,2020,,2020n CM x y z x y z n CN x y z z ???⊥??-=?-+=? ? ??????

⊥??=?+=??

令1z =

，则)

1x y n ==?=

， …………6分又()0,0,4AP =

为平面ABCD 的法向量，

∴41cos ,242

n AP n AP n AP ?==

=??

，又截面MCN 与底面ABCD 所成二面角为锐二面角，

∴截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小为3π

…………8分

（3

）∵

(

)1,0

CA =-

，∴所求的距离

32d ………12分

解析（二）：

（1）AP E ED ED 取的中点，连结，则//CN ， ………………1分

////Q EP MQ ED MQ CN 依题有为的中点，所以，所以， ………………2分

又MQ ?平面PCB ，

平面PCB , ∴MQ //平面PCB ………………4分

（2）易证：//MEN ABCD 平面底面，

MCN MEN MCN ABCD 所以截面与平面所成的二面角即为平面与底面所成的二面角， PA ABCD PA MEN ⊥⊥因为平面，所以平面，

E E

F MN F QF QF MN ⊥⊥过做，垂足为，连结，则由三垂线定理可知，

由（1）可知,,

,M C N Q 四点共面

QFE MCN MEN

∠所以为截面与平面所成的二面角的平面角，………………6分

=1t MEN ME NE MN EF ?在中，，

所以：tan QFE ∠=，

所以：

3QFE π

∠=

………………8分

（3）EP Q MCN PA Q 因为的中点为，且平面与交于点，

3A MCN E MCN 所以点到平面的距离是点到平面的距离的倍，

MN QEF MCNQ QEF QF ⊥⊥由(2)知：平面，则平面平面且交线为，

EH QF H EH MCNQ EH E MCN ⊥⊥作，垂足为，则平面，故即为点到平面的距离。…10分

13R ==..322t EQF EF EQF EH A MCN π?∠在中，，故即：点到平面的距离为…12分

20．

解析：（1）()00,P x y 设

，c =00,33x y G ?? ???，I 的纵坐标为0

3y ，122F F c

=……1分

∴

()

120

120112211

3F PF y S F F y PF F F PF ?=

??=++ ……………2分

1232222c c a c a c e a ??=+?=?=

………………4分

（2）由（1）可设椭圆C 的方程为： 22

21(0)43x y c c c +=>，()()1122,,M x y N x y ，直线MN 的方程为：22

221

43x y x my c c c =++=，代入

可得：

()()2222231243690

my c y c m y mcy c ++=?++-=２

4 ………………6分

∴

222

269,4343mc c y y y y m m +=-=-

++11 ………………7分

∴

11221122F MN

S F F y y c ?=??-==1………9分

令21m t +=，则有1t ≥且2

1m t =-，

∴

()

[]

221

()196143(1)4396

m t

t g t t t t m t t +==

+++-+++， ………………11分

易证()g t 在

[)1,+∞单调递增，

∴

min

1()(1)16g t g ==

，∴1F MN S ?的最小值为2222

112311443x y c c ?=?=?+= …………13分

21．

解析：（1）由已知得：()=2(+2)=4(+4)f x f x f x ， ………………2分

()1

0,2()ln ()2x f x x ax a ∈=+<-因为时，，

()()()

4,2+40,2(+4)=ln(+4)++4x x f x x a x ∈--∈设时，则，所以

∴

()()

4,2()=4(+4)4ln(+4)+4+4x f x f x x a x ∈--=时, ………………4分

∴

()444

4x a

f x a a x x ++

+=?++，

12a <-

，∴1

442a -<--<-，

∴当144()0()x f x f x a ??

'∈---> ???，时，，为增函数

，当142()0()x f x f x a ??

'∈--< ???，-时，，为减函数， ∴111

()(4)4ln()4()4

max f x f a a a a =--=-+-=-，∴1a =-

∴当

()

0,2x ∈时，()ln f x x x =- ………………6分

（2）由（1）可得：()()0,11,2x ∈?

时，不等式()x b

f x x ->+恒成立，

即为ln x b

x -> ………………7分

①当()0,1x ∈

时，ln x b

b x x x ->?>

，令(),(0,1)g x x x x =∈

则

()1g x '==

令()ln 2h x x =--，则当()0,1x ∈

时，

()0h x x

-=<

∴()(1)0h x h >=

，∴

()0g x '=

>，

∴()(1)1g x g <=，故此时只需1b ≥即可； ………………10分

②当()1,2x ∈

时，ln x b

b x x x ->?<

，令(),(1,2)x x x x ?=-∈

则

()1x ?'=-=

令()ln 2h x x =--，则当()1,2x ∈

时，

()0h x x

-=>

∴()(1)0h x h >=

，∴

()0x ?'=

>，

∴()(1)1x ??<=，故此时只需1b ≤即可， ………………13分

综上所述：1b =，因此满足题中b 的取值集合为：{}1 …………14分