巧解弹簧类的两体问题-精选资料

巧解弹簧类的两体问题

例1.两个滑块1和2，质量分别为m1和m2，用轻弹簧连接在一起，弹簧的原长为L0，劲度系数为k，整个系统放置在光滑水平轨道上。一开始用轻绳系住两物体，使弹簧处于压缩状态并处于静止。如图1所示，某一时刻剪断轻绳，求两物体相对于质心的运动。

解析：以地面为参照系，需要对两个物体列牛顿定律方程，同时借助两者之间的关联方程。通过解微分方程可以获得两物体相对于质心的运动方程。此处不再叙述。下面以质心组的思想分析该问题。根据系统的动量守恒，可以知道不管物体m1和m2如何运动，系统的总动量和一开始相等，即总动量为零。根据质心组思想，系统的质量归于一点，则该点处于静止状态。由质心组xc=■可知，质心距m1的距离L1=■。原题的场景即可等效为图2所示的L1=■的弹簧1系着m1和L2=■的弹簧2系着m2固定在同一点。相互关联的两个物体被等效为两个独立的运动场景。弹簧1的劲度系数为k1=■，弹簧2的劲度系数k2=■。根据简谐振动的知识，我们不难求解出两个物体的振动周期同为

T=2π■，所以两个物体相对于质心做周期相同的简谐振动。

拓展：该系统一开始m1获得一个瞬时速度v1，根据动量守恒可得：m1v1=（m1+m2）v，以质心为参照系，m1和m2同样是做周期相同的简谐振动。由运动的合成和分解可知，m1和m2的

对地运动是相对于质心的简谐振动和与质心一起的匀速运动合

成而来。

这样的思想渗透到平时的问题处理中，会起到省时省力的效果。

例2.如图3在光滑水平面上，有两物体A、B，A质量为2 kg，B质量为4 kg，两物体由弹簧相连，处于静止状态，现给A一个6 m/s的初速度，问两物体的最大、最小速度分别为多少？

解析：我们将A、B两物体的运动看成A、B两物体的质心的匀速运动和A、B两物体关于质心的振动的合成。也就是质心运动定理的拓展之一：如果一个质点系的质心原来是运动的，那么在无外力作用的条件下，这个质点系的质心将以原来的速度做匀速直线运动。

根据：mAvA=（mA+mB）v得：v=2 m/s

即两物体的质心以2 m/s的速度平动，而两个物体A、B以2 m/s为平衡速度振动。则可得到：

A的最大、最小速度在2 m/s的两侧，？驻v=4 m/s。即VAmax=6 m/s，VAmin=-2 m/s

B的最大、最小速度在2 m/s的两侧，？驻v=2 m/s。即VBmax=4 m/s，VBmin=0 m/s

我们只要根据动量守恒定律求得两者的共同速度之后，就可以根据简谐振动的对称性求的各个物体关于平衡速度的速度变

化量，进而求得各物体的最大、最小速度。并且可以轻易地画出

各个物体的v-t图像。并根据图像判断其他的问题。

例3.用轻弹簧相连的质量均为2 kg的A、B两物体都以v=6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长、质量4 kg 的物体C静止在前方，如图4所示，B和C碰撞后二者粘在一起运动，求：在以后的运动中A的速度有没有可能向左？

解析：通常判定A能否向左运动，我们都是假设A的速度为零时，根据动量守恒和能量守恒方程解出弹性势能的值，再作出判定。如果根据运动合成的观点，B和C碰撞，由动量守恒观点得：mBV■+mCV■=（mB+mC）v1，v1=2 m/s。B和C构成的整体M 与A相互作用，由动量守恒得：mAV■+Mv=（mA+M）v2，v2=3 m/s。即A以3 m/s为平衡速度做简谐振动。由此可知Δv=3 m/s，则A的最小速度即为0。即可迅速判定A不可能向左运动。