高一 第8讲 不等式的证明和 三角不等式(1)

三角不等式： |x +y |≤|x |+|y | |x ?y |≤|x |+|y|

?|x ?y |≤|x |?|y |≤|x ?y | ?|x +y|≤|x |?|y|≤|x +y |

不等式的证明

1. 掌握用比较法、基本不等式法、分析法和综合法证明不等式的基本思路；

高一 8 三角不等式和不等式的证明

三角不等式

1、 写出不等式|x +y |≤|x |+|y | 等号成立的充要条件是_____________一个充分非必要条件是

_____________；一个必要非充分条件是__________________;

2、 写出不等式|x |?|y |≤|x ?y | 等号成立的充要条件是_____________

3、 写出不等式|x |?|y |≤|x ?y | 等号成立的充要条件是_____________

4、 写出不等式|x ?y |≤|x |+|y|等号成立的充要条件是_____________

5、 函数y =|x ?13|+|x ?19|的最小值是______

6、 函数y =|x ?13|?|x +19|的最小值是______最大值是______

7、 若a 和b 是任意非零实数；则

|3a+2b |+|3a?2b||a|的最小值为______________.

8、设a、 b、 ε∈R ,ε>0 ,|x?a|<ε

6 ,|y?b|<ε

4

，求证：|3x+2y?3a?2b|<ε。

9、已知ε>0 ，则“|x?a|<ε,| y?a|<ε“是“|x?y|<2ε”的____________条件。

10、若|2x?5|+|2x?10|≥a对所有实数a都成立，则a的取值范围是____

11、若|2x?5|+|2x?10|

12、若|2x?5|?|2x?10|≥a对所有实数a都成立，则a的取值范围是____

13、若|2x?5|?|2x?10|≤a对所有实数a都成立，则a的取值范围是____

【1的代换】

例：已知x+2y=1,x,y∈R+，求S=1

x +x

y

的最小值；

1、 正数a,b,c 满足a +b +c ＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

2、 已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=,求证：1111118a b c ??????---≥ ???????????

3、 正数a,b,c ，求证：(1+a +a 2)(1+b +b 2)(1+c +c 2)≥27abc

【公式法】

4、 已知a 、b 、c 、d 为任意实数，求证：(a 2 +b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2

5、 已知a 、b 、x,y 为正数，且a ≠b,

a x +

b y =1 ，求证：x +y ≥(√a +√b )2

6、 设5a >

7、 已知 c >1，a =√c +1?√c,b =√c ?√c ?1，判断大小 a______b .

8、已知a,b,c是实数，试比较a2+b2+c2与 ab+bc+ca 的大小．

9、已知a、b、c 为正数，求证：3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2≥3(ab+bc+ac)

10、设x、y∈R ，比较x2+y2+1与x+y+xy大小

11、已知x+y+z=1，求证2221 3

x y z

++≥.

12、求证：.

【分析法】

13、已知a、b 为正数，求证：√(1+x)(1+y)≥1+√xy.

14、已知a>b>c 为正数，求证：1

a?b +1

b?c

≥4

(a?c)

.

221 a b ab a b

+≥++-

【均值不等式法】

15、 已知任意a 、b 、c ∈R +，为了使得不等式ma x {a +1b ,b +1c ,c +1a }≥λ 对一切a 、b 、c 恒成立，求实数 λ 的最大值；

16、,a b R +∈，111,,22a c b b a c

+++这三个数（ ） A ．均大于2 B ．均不大于2 C ．不能都小于2 D ．不能都大于2

17、()()()(),,0,2,2,2,2a b c a b b c c a ∈---（ ）

A ．均大于1

B ．均小于1

C ．不能都大于1

D ．不能都小于1

18、,,,6b c c a a b a b c R

a b c

++++∈++≥设求证

19、设,,,a b x y R ∈，且22221,1a b x y +=+=，求证：1ax by +≤.

【作差比较法】

20、已知0>>b a ，0>m ，试比较

m a m b ++与a

b 的大小.

21、若d c b a ,,,都是正数，且,a b >，则四个数d

b d a

c a c b b a a b ++++,,,的大小顺序是：_____________

22、已知R b a ∈, 且1=+b a 求证：()()225

2222≥+++b a

23、已知,x y R ∈，比较22x y +与()225x y --的大小.

24、 设c b a >>，求证：a a c c b ab ca bc 222222++<++

25、3322,,,a b R a b a b a b ab +∈≠+>+已知求证

26、,a b R

+∈+≥+若求证

【学霸养成】

27、若a >b >0 ，则2

1a +1

b 、 a 、b 、√ab 、a+b 2、√a 2+b 2

2

按从小到大顺序排列是

_______________________.

28、设1,,0<

4

1.

29、已知a 、b 、c 、d 为正数，求证：(ab +cd )(ad +bc )≥4abcd

30、

正数a,b 满足a +b =1，求证：(1+1a )(1+1b )≥9.

31、若正数a b 满足ab =a +b +3， 则 ab 的取值范围是_________________.

32、若关于x 的不等式04

9)1(220822＜m x m mx x x +++++-的解集为R ，求实数m 的取值范围．

34、已知对任意x R ∈，总有222321

x tx x x +--<<-+恒成立, 求实数 t 的取值范围。

35、已知0a >，使不等式43x x a -+-<在实数集R 上的解集不是空集，求a 的取值范围．

36、

已知238xy <<，49x y <<，求45x y 取值范围.

3745x <-的解集是_____________________.

3845x ≥-的解集是_____________________.

39、已知a R ∈，不等式

31x x a

-≥+的解集为P ，且2P -?，则a 的取值范围是 ( )

40、关于x的不等式组

2

2

20

2(25)50

x x

x k x k

?-->

?

+++<

?

的整数解的集合为{}2-，求实数k的取值范围.

41、已知不等式a≤3

4

x2?3x+4≤b的解集为[a,b]，则 b=___________，a+b=__________.