数学卷·届云南省昆明三中高一下学期期末考试
云南省昆明三中10-11学年下学期期末考试（数学）
本试卷分第I 卷（选择题，请答在机读卡上）和第II 卷两部分，满分共100分，考试用时120分钟。
第I 卷(选择题共36分)
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将你认为正确的答案填在答题卡上）
1.下列四个命题中错误的是 （ ） A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 确定一个平面 B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线 C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面
2.以下四个命题中正确的是 （ ）
①若a b >，则
11a
b <
②若22ac bc >，则a b > ③若
a b
>，则a b > ④若a b >，则22
a b >
A.②④
B.②③
C.①②
D. ①③
3.若,,l m n 是互不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，下列命题正确的是 （ ） A ．若//,,l n αβαβ??，则//l n B ．若,l αβα⊥?，则l β⊥ C. 若,l n m n ⊥⊥，则//l m D ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥
4.在等比数列
{}n a 中，55,551==S a ，则公比q 等于 （ ） A. 4 B. 2 C. 2- D. 2-或4 5 .已知等差数列
{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = （ ）
A ． – 4
B ．－6
C ．－8
D ．－10
6.一几何体的三视图如下，则它的体积是 （ ）
A. 333a π+
B. 3712a π
C. 331612a π+
D. 3
73
a π
7.正方体
1111
ABCD A B C D -中，二面角
1C AB C
--的平面角等于 （ ）
A. 0
30 B. 0
45 C . 0
60 D A. 0
90 8.如图，AB 是
O 的直径，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，
PA ⊥平面ABC ，则四面体P ABC -的四个面中，直角三角形的个
数有 （ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
9.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中AB 与CD 的位置关系为 （ ） A.相交 B.平行
C.异面而且垂直
D.异面但不垂直 10.已知等差数列
{}n a 中，3
9
a a =，公差0d <，则使前n 项和n
S
取最大的正整数n 是
A ．4或5
B ．5或6
C ．6或7
D 不存在
11. 已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，
SA =1，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为
A. 34
B.74
C.3
4 D.
134
12.已知不等式()1(
)16a
x y x y ++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为
A.3 B 5 C 7 D9
第 卷 (非选择题 共64分)
二、
填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在题中横线上）
13.已知一个球的表面积为2
36cm π，则这个球的体积为 3
cm 。 14、周长为L 的矩形的面积的最大值为___ ____. 15. 将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
23
456
78910
按照以上排列的规律，第n行(3)
n≥从左向右的第3个数为
16. 将边长为
1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D ABC
-中，给出下列三个命题：
①面DBC是等边三角形；②AC BD
⊥；③三棱锥D ABC
-的体积是
2
6.
其中正确命题的序号是________.（写出所有正确命题的序号）
三．解答题：（本大题共5小题，共52分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本题满分10分) 设1
x>，求
2
3
1
y x
x
=++
-的最小值
18. (本题满分10分) 如图，在直三棱柱111
ABC A B C
-
中，AC BC
⊥，点D是AB的中点. 求证：（1）1
AC BC
⊥
；（2）1
//
AC
平面1
B CD
.
19. (本题满分10分)已知数列{}n a 为等差数列，53=a ，137=a ，数列{}n b 的前n 项和
为
n S ，且有12-=n n b S
（1）求{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若n n n
b a
c =，{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .
20. (本题满分10分)已知
1111
ABCD A B C D -是底面为正方形的长方体，
1160
AD A ∠=，
14
AD =，点P 是
1
AD 上的动点．
（1）求证：不论点P 在1
AD 上的任何位置，平面
11
B PA 都垂直于平面
11
AA D
（2）当P 为
1
AD 的中点时，求异面直线
1
AA 与
1B P
所成角的余弦值；
21. (本题满分12分)
下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。
（1）请画出四棱锥S-ABCD 的直观图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；
（2）若SA ⊥面ABCD ，E 为AB 中点，求二面角E-SC-D 的大小； （3）求点D 到面SEC 的距离。
昆明三中2010——2011学年下学期期末考试
高一数学试卷参考答案
一、选择题：CBDCB ABADC AD
二、填空题：13. 36π3cm 14、162
L
. 15. 262n n -+ 16. ①②
18. (本题满分10分) 证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，
1CC ⊥
平面ABC ，
所以，
1CC AC ⊥，又AC BC ⊥，
1BC
CC C
=，
所以，AC ⊥平面11
BCC B ，
所以，
1AC BC ⊥. （或用三垂线定理） （2）设
1
BC 与
1B C
的交点为O ，连结OD ，
11
BCC B 为平行四边形，所以O 为
1B C
中点，
又D 是AB 的中点，所以OD 是三角形1
ABC 的中位线，1
//OD AC ，
又因为
1AC ?
平面
1B CD
，OD ?平面
1B CD ，所以
1//AC 平面
1B CD
19.解：（1）∵
{}n a 是等差数列，且53=a ，137=a ，设公差为d 。
∴??
?=+=+13
65
211d a d a ， 解得?
?
?==211d a
∴12)1(21-=-+=n n a n （*∈N n ） …3分
在
{}n b 中，∵12-=n n b S
当1=n 时，1211-=b b ，∴11=b 当2≥n 时，由1
2-=n n b S 及
1211-=--n n b S 可得
122--=n n n b b b ，∴12-=n n b b
∴{}n b 是首项为1公比为2的等比数列
∴
1
2-=n n b （*
∈N n ） …7分
（2）1
2)12(-?-==n n n n n b a c
1
22)12(25231-?-++?+?+=n n n T ①
E P
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C B
A
n
n n n n T 2)12(2)32(2523212132?-+?-++?+?+?=- ②
①-②得 n
n n n T 2)12(222222112?--?++?+?+=--
n
n n 2)12(21)
21(2211?----?+=-
n
n n 2)12()12(411?---+=-
n
n 2)32(3?---= ∴
3
2)32(+?-=n n n T （*
∈N n ） -----10分
20. 解：（1）不论点P 在1
AD 上的任何位置，都有平面
11
B PA 垂直于
平面
11
AA D .---2分
证明如下：由题意知，
1111
B A A D ⊥，
111B A A A
⊥
又
1111
AA A D A =
11B A ∴⊥
平面11
AA D
又11A B ?
平面
11
B PA ∴平面11B PA
⊥平面
11
AA D ．-----------------5分
（2）过点P 作
11
PE A D ⊥，垂足为E ，连结
1B E
（如图），则
1
PE AA ∥，
1B PE
∴∠是异面直线
1
AA 与
1B P
所成的角．----------------------7分
在
11
Rt AA D △中 ∵
1160
AD A ∠= ∴
1130
A AD ∠
=
∴
11111122A B A D AD ==
=, 1111
12A E A D ==，
1B E ∴==
11
2PE AA =
=
∴在1Rt B PE △
中，1B P ==
，
11cos PE B PE B P ∠=
==．分