2017高考数学 三角函数大题综合训练
三角函数大题综合训练
一．解答题（共30小题）
1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=
（1）求角C的大小，
（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．
2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知
3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．
（I）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．
3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x．
（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合；
（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值．
4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab．
（1）求角C的值；
（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值．
5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．
（Ⅰ）求△ACD的面积；
（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．
6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．
7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．
8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．
（Ⅰ）证明：sinB=cosA；
（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．
9．（2015?新课标II）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．
（1）求；
（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．
10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．
（Ⅰ）证明：B﹣A=；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．
11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．
（Ⅰ）求C的大小
（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．
12．（2015?河西区二模）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．
13．（2015?浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．
（1）求tanC的值；
（2）若△ABC的面积为3，求b的值．
14．（2015?陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．
15．（2015?江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．
（1）求BC的长；
（2）求sin2C的值．
16．（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．
（Ⅰ）求a和sinC的值；
（Ⅱ）求cos（2A+）的值．
17．（2015?怀化一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．
（1）求角A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．
18．（2015?甘肃一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB ﹣ccosB．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若，且，求a和c的值．
19．（2015?衡水四模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin （x﹣A）+sinA（x∈R）在x=处取得最大值．
（1）当时，求函数f（x）的值域；
（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．
20．（2015?潍坊模拟）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．
（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量=
（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．
21．（2015?济南二模）已知向量=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），
函数f（x）=．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=，a=2，B=，求△ABC的面积S．
22．（2015?和平区校级三模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．
（1）求cosB的值；
（2）求sin2A+sinC的值．
23．（2015?洛阳三模）在锐角△ABC中，=
（1）求角A；
（2）若a=，求bc的取值范围．
24．（2015?河北区一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且
2cosAcosC+1=2sinAsinC．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．
25．（2015?云南一模）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且=（sinA+sinB+sinC，
sinC），=（sinB，sinB+sinC﹣sinA），若
（1）求A的大小；
（2）设为△ABC的面积，求的最大值及此时B的值．26．（2015?历下区校级四模）已知向量，，
若．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，
（A为锐角），2sinC=sinB，求A、c、b的值．
27．（2015?高安市校级模拟）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin （A+）+2cos（B+C）=0，
（1）求A的大小；
（2）若a=6，求b+c的取值范围．
28．（2015?威海一模）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，
sin（B﹣A）=cosC．
（Ⅰ）求A，B，C；
（Ⅱ）若S△ABC=3+，求a，c．
29．（2015?新津县校级模拟）已知向量
，函数f（x）=．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B）=1，b=，sinA=3sinC，求△ABC的面积．
30．（2015?和平区二模）在△ABC中，角A，B，C为三个内角，已知cosA=，cosB=，
BC=5．
（Ⅰ）求AC的长；
（Ⅱ）设D为AB的中点，求CD的长．
三角函数大题综合训练
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=
（1）求角C的大小，
（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C
的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．
【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，
∴由正弦定理化简已知等式得：=，
整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosC=﹣，
∵C为三角形内角，
∴C=；
（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，
∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，
∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），
∵S=absinC=ab≤，
∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，
则当a=b=时，△ABC的面积最大为．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知
3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．
（I）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（I）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简
3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得到cosA的值，即可求解A．
（II）通过三角形的面积求出b、c的值，利用余弦定理以及正弦定理求解即可．
【解答】解：（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得
2cos2A+3cosA﹣2=0，﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0．
解得cosA=或cosA=﹣2（舍去）．﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
因为0＜A＜π，所以A=．﹣﹣﹣﹣（6分）
（II）由S=bcsinA=bc?=bc=5，得bc=20．
又b=5，所以c=4．﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故a=．﹣﹣﹣（10分）
又由正弦定理，得sinBsinC=sinA?sinA=?sin2A=×=．﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．
3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x．
（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合；
（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的
值．
【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】转化思想；综合法；解三角形．
【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的值域求得函数f（x）取得最大值时x的集合．
（Ⅱ）由条件求得cos（2C+）=﹣，C=，求出sinB的值，再根据sinA=sin（B+C）求得它的值．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x=cos2x﹣sinxcosx+（cos2x ﹣sin2x ）
=﹣sin2x+cos2x=+cos（2x+），
故函数取得最大值为，此时，2x+=2kπ时，即x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}．
（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=+cos（2C+）=﹣，
∴cos（2C+）=﹣，又A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，∴2C+=，∴C=．∵cosB=，∴sinB=，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+=．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的值域，同角三角函数的基本关系，属于中档题．
4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab．
（1）求角C的值；
（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值．
【考点】余弦定理；三角形的面积公式．
【专题】解三角形．
【分析】（1）利用余弦定理，可求角C的值；
（2）利用三角形的面积公式，可求a的值．
【解答】解：（1）∵c2=a2+b2﹣ab，∴cosC==，
∵0°＜C＜180°，∴C=60°；
（2）∵b=2，△ABC的面积，
∴=，
解得a=3．
【点评】本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，正确运用公式是关键．
5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．
（Ⅰ）求△ACD的面积；
（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．
【考点】余弦定理的应用；正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；
（Ⅱ）利用余弦定理求出AC，通过BC=2，利用正弦定理求解AB的长．
【解答】（共13分）
解：（Ⅰ）因为∠D=2∠B，，
所以．…（3分）
因为∠D∈（0，π），
所以．…（5分）
因为AD=1，CD=3，
所以△ACD的面积．…（7分）
（Ⅱ）在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD?DC?cosD=12．
所以．…（9分）
因为，，…（11分）
所以．
所以AB=4．…（13分）
【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查．
6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．
【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．
【专题】解三角形．
【分析】①利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得；
②利用正弦定理解之．
【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，
sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，
所以sinA+cosA=，结合平方关系sin2A+cos2A=1，
得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，
解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；
②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，
所以a=2c，又ac=2，所以c=1．
【点评】本题考查了利用三角函数知识解三角形，用到了两角和与差的正弦函数、同角三角函数的基本关系式、正弦定理等知识．
7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出．（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．
【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，
由正弦定理可得：＞0，
代入可得（bk）2=2ak?ck，
∴b2=2ac，
∵a=b，∴a=2c，
由余弦定理可得：cosB===．
（II）由（I）可得：b2=2ac，
∵B=90°，且a=，
∴a2+c2=2ac，解得a=c=．
∴S△ABC==1．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．
（Ⅰ）证明：sinB=cosA；
（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得=，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．
（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）
sinB=cosA，可得sin2B=，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形
内角和定理可求C．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．
∴=tanA，
∵由正弦定理：，又tanA=，
∴=，
∵sinA≠0，
∴sinB=cosA．得证．
（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，
∴sin2B=，
∵0＜B＜π，
∴sinB=，
∵B为钝角，
∴B=，
又∵cosA=sinB=，
∴A=，
∴C=π﹣A﹣B=，
综上，A=C=，B=．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．
9．（2015?新课标II）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．
（1）求；
（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．
【考点】正弦定理；三角形中的几何计算．
【专题】解三角形．
【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解
．
（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．
【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，
∵==2
∴BD=2DC，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC
在△ABD中，=，∴sin∠B=
在△ADC中，=，∴sin∠C=；
∴==．…6分
（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．
过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN，
∴==2，
∴AB=2AC，
令AC=x，则AB=2x，
∵∠BAD=∠DAC，
∴cos∠BAD=cos∠DAC，
∴由余弦定理可得：=，
∴x=1，
∴AC=1，
∴BD的长为，AC的长为1．
【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．
10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．
（Ⅰ）证明：B﹣A=；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；
（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得．
【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，
∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）
又B为钝角，∴+A∈（，π），
∴B=+A，∴B﹣A=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，
∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）
=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A
=﹣2（sinA﹣）2+，
∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，
∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤
∴sinA+sinC的取值范围为（，]
【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．
11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．
（Ⅰ）求C的大小
（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．
【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正切函数．
【专题】函数的性质及应用；解三角形．
【分析】（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=
﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=，结合C 的范围即可求C的值．
（Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣（tanA+tanB）的值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0，
所以p≤﹣2，或p≥．
由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．
所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，
从而tan（A+B）==﹣=﹣．
所以tanC=﹣tan（A+B）=，
所以C=60°．
（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，
解得B=45°，或B=135°（舍去）．
于是，A=180°﹣B﹣C=75°．
则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．
所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．
【点评】本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．
12．（2015?河西区二模）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．
【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数．
【专题】解三角形．
【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．
【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，
∴a2+c2﹣b2=﹣ac，
∴cosB==﹣，
又B为三角形的内角，
则B=120°；
（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，
∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）
+2sinAsinC=+2×=，
∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，
则C=15°或C=45°．
【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
13．（2015?浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．
（1）求tanC的值；
（2）若△ABC的面积为3，求b的值．
【考点】余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．
（2）由=×=3，可得c，即可得出b．
【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc ﹣c2，
又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，
∴a2=b2﹣=，即a=．
∴cosC===．
∵C∈（0，π），
∴sinC==．
∴tanC==2．
（2）∵=×=3，
解得c=2．
∴=3．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．（2015?陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．
【考点】余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；
（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，
所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，
所以tanA=，可得A=；
（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．
【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．
15．（2015?江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．
（1）求BC的长；
（2）求sin2C的值．
【考点】余弦定理的应用；二倍角的正弦．
【专题】解三角形．
【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可．
（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．
【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，
所以BC=．
（2）由正弦定理可得：，则sinC===，
∵AB＜BC，∴C为锐角，
则cosC===．
因此sin2C=2sinCcosC=2×=．
【点评】本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．
16．（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．
（Ⅰ）求a和sinC的值；
（Ⅱ）求cos（2A+）的值．
【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．
【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；（Ⅱ）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+），然后直接求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，
可得：，
可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，
，解得sinC=；
（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣
sin2Asin==．
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力．
17．（2015?怀化一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．
（1）求角A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．
【考点】正弦定理；余弦定理的应用．
【专题】计算题．
【分析】（1）把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0，得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；
（2）由A的度数求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sinA的值，求出bc的值，记作①；由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，把bc的值代入求出b+c的值，记作②，联立①②即可求出b与c的值．
【解答】解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC﹣
sinCcosA，
∵C为三角形的内角，∴sinC≠0，
∴sinA﹣cosA=1，
整理得：2sin（A﹣）=1，即sin（A﹣）=，
∴A﹣=或A﹣=，
解得：A=或A=π（舍去），
则A=；
（2）∵a=2，sinA=，cosA=，△ABC的面积为，
∴bcsinA=bc=，即bc=4①；
∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：4=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12，
整理得：b+c=4②，
联立①②解得：b=c=2．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
18．（2015?甘肃一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB ﹣ccosB．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若，且，求a和c的值．
【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．
【专题】计算题；转化思想．
【分析】（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．
（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根据完全平方式易得a=c=．
【解答】解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB，
故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，
可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
即sin（B+C）=3sinAcosB，
可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，
因此．（6分）
（II）解：由，可得accosB=2，
，
由b2=a2+c2﹣2accosB，
可得a2+c2=12，
所以（a﹣c）2=0，即a=c，
所以．（13分）
【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．
19．（2015?衡水四模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin （x﹣A）+sinA（x∈R）在x=处取得最大值．
（1）当时，求函数f（x）的值域；
（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．
【专题】解三角形．
【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣A），由于函数在
处取得最大值．令，其中k∈z，解得A的值，
（1）由于A为三角形内角，可得A的值，再由x的范围可得函数的值域；
（2）由正弦定理求得b+c=13，再由余弦定理求得bc的值，由△ABC的面积等于，
算出即可．
【解答】解：∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA
=2cosxsinxcosA﹣2cosxcosxsinA+sinA
=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin（2x﹣A）
又∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在处取得最大值．
∴，其中k∈z，
即，其中k∈z，
（1）∵A∈（0，π），∴A=
∵，∴2x﹣A
∴，即函数f（x）的值域为：
（2）由正弦定理得到，则sinB+sinC=sinA，
即，∴b+c=13
由余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA
即49=169﹣3bc，∴bc=40
故△ABC的面积为：S=．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正、余弦定理的应用，正弦函数的值域，属于中档题．
20．（2015?潍坊模拟）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．
（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量=
（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．
【考点】正弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．
【专题】解三角形．
【分析】（I）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为．令
，k∈z，求得x的范围，结合，可得f（x）的递增区间．
（Ⅱ）由f（C）=2，求得，结合C的范围求得C的值．根据向量=（1，
sinA）与向量=（2，sinB）共线，可得，故有=①，再由余弦定理得9=a2+b2
﹣ab ②，由①②求得a、b的值．
【解答】解：（I）
∵==．
令，
解得，即，
∵，∴f（x）的递增区间为．
（Ⅱ）由，得．
三角函数综合练习题
三角函数综合 1、若点P 在 3 2π 的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（ ） A ．)3,1( B ．)1,3(- C ．)3,1(-- D ．)3,1(- 2、已知=- =-ααααcos sin ,4 5 cos sin 则（ ） A ． 47 B ．169- C ．32 9 - D ． 32 9 3、下列函数中，最小正周期为2 π 的是（ ） A ．)32sin(π-=x y B ．)3 2tan(π -=x y C ． ) 6 2cos(π +=x y D ．)6 4tan(π +=x y 4、等于则)2cos(),,0(,3 1 cos θππθθ+∈=（ ） A ．924- B ．924 C ．9 7- D ．9 7 5、若α是三角形的内角，且2 1 sin =α，则α等于（ ） A ． 30 B ． 30或 150 C ． 60 D ． 120或 60 6、下列函数中，最小值为－1的是（ ） A ．1sin 2-=x y B ．cos 1y x =- C ． x y sin 21-= D ．x y cos 2+= 7、设)4 tan(,41)4tan(,52)tan(π απββα+=-= +则的值是（ ） A ． 1813 B ． 22 13 C ． 22 3 D ．6 1 8、 300cos 的值是( ) A ． 2 1 B ．2 1- C ． 2 3 D ．2 3- 9、将函数x y 4sin =的图象向左平移 12 π 个单位，得到)4sin(?+=x y 的图象，则?等于( ) A ．12 π - B ．3 π- C ． 3 π D ． 12 π 10、 50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( ) A ．3 B ． 3 3 C ．3 3- D ．3- 11、化简x y x x y x cos )cos(sin )sin(+++等于( ) A ．)2cos(y x + B ．y cos C ．)2sin(y x + D ．y sin 12、若θθθ则,0cos sin >在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四 象限 13、函数是x x y 2cos 2sin 2=( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为4π的奇函数 D 周期为4 π的偶函数 14、设m M 和分别表示函数1cos 3 1 -= x y 的最大值和最小值，则等于m M +
高中三角函数综合题及答案
三角函数习题 1．在ABC ?中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ． (Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>u r r 且m n ?u r r 的最大值是5,求k 的值 2．在ABC ?中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向 量 (2sin ,m B =r ,2cos 2,2cos 12B n B ??=- ???r ,且//m n r r ? (I)求锐角B 的大小; (II)如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值 3．已知??? ? ??-=23,23a ,)4cos ,4(sin x x ππ=,x f ?=)(? (1)求)(x f 的单调递减区间? (2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]3 4,0[∈x 时,)(x g y =的最大值? 4．设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =?+ (I)求函数()f x 的最大值与最小正周期; (II)求使不等式3()2 f x ≥成立的x 的取值集合? 5 ．已知函数2π()2sin 24f x x x ??=+ ???，ππ42x ??∈???? ，． （1）求)(x f 的最大值和最小值； （2）2)(<-m x f 在ππ42x ??∈???? ，上恒成立，求实数m 的取值范围．
6．在锐角△ABC 中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,已知.3tan )(222bc A a c b =-+ (I)求角A; (II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值? 7．在锐角ABC ?中，已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(tanA －tanB)＝1＋tanA·tan B ． (1)若a 2－ab ＝c 2－b 2，求A ． B ．C 的大小； (2)已知向量m ρ＝(sinA ，cosA)，n ρ＝(cosB ，sinB)，求｜3m ρ－2n ρ｜的取值范围． 三角函数习题答案 1.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ． 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C ) ∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵01,∴t =1时,m n ?u r r 取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k = 2 3. ? 2.【解析】:(1) //m n r r 2sinB(2cos 2B 2-1)=-3cos2B
(完整版)高中数学三角函数历年高考题汇编(附答案)
三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ）
高中数学必修4三角函数综合测试题
必修4三角函数综合测试题及答案详解 一、选择题 1．下列说法中，正确的是( ) A ．第二象限的角是钝角 B ．第三象限的角必大于第二象限的角 C ．－831°是第二象限角 D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角 2．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π 6的值为( ) A ．0 B.3 3 C ．1 D. 3 3．若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ 2的终边在( ) A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、三象限或x 轴上 D ．第二、四象限或x 轴上 4．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( ) A ．T ＝2，θ＝π 2 B ．T ＝1，θ＝π C ．T ＝2，θ＝π D ．T ＝1，θ＝π 2 5．若sin ? ???? π2－x ＝－32，且π 7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到y ＝sin ? ?? ?? x －π6的图象，则φ＝( ) A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π6 8．若tan θ＝2，则2sin θ－cos θ sin θ＋2cos θ的值为( ) A ．0 B ．1 C.34 D.54 9．函数f (x )＝tan x 1＋cos x 的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 10．函数f (x )＝x －cos x 在(0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点 D ．有无穷多个零点 三角函数大题综合训练 1.已知函数 ()2sin()cos f x x x π=-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ?? -???? 上的最大值和最小值. 2.设函数f (x )=cos(2x + 3 π)+sin 2 x .（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.（2）设A ,B ,C 为?ABC 的三个内角，若cos B =31， 1 ()24 c f =-，且C 为锐角，求sin A . 3.已知函数2()sin cos cos 2.222 x x x f x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ω?ω?π++>>∈的形式， 并指出()f x 的周期； （Ⅱ）求函数17()[,]12 f x π π在上的最大值和最小值 4.已知函数 ()2sin cos 442x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ? ?=+ ?? ?，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 5.已知函数()cos(2)2sin()sin()3 4 4 f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()f x 在 区间[,]122 ππ-上的值域 6.设2()6cos 2f x x x =-．（Ⅰ）求()f x 的最大值及最小正周期；Ⅱ）若锐角α 满足 ()3f α=-4 tan 5 α的值． 7.已知0α βπ<<4，为()cos 2f x x π? ?=+ ?8??的最小正周期，1tan 14αβ????=+- ? ????? ，， a (cos 2)α=， b ，且m =·a b ．求22cos sin 2() cos sin ααβαα ++-的值． 8.设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2()π2－x 满足f ()－π3＝f (0)．求函数f (x )在[] π4，11π 24上的最大值和最小值． 3 三角函数大题压轴题练习 1. 已知函数 f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 （Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域 12 2 解：（1）Q f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + (sin x - cos x )(sin x + cos x ) 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + sin 2 x - cos 2 x 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x - cos 2x 2 2 = sin(2x - ∴周 周 6 T = 2 = 2 k 由2x - = k + (k ∈ Z ), 周 x = + (k ∈ Z ) 6 2 2 3 ∴函数图象的对称轴方程为 x = k + ∈ Z ) 3 5 （2）Q x ∈[- , ],∴ 2x - ∈[- , ] 12 2 6 3 6 因为 f (x ) = sin(2x - ) 在区间[- , ] 上单调递增，在区间[ , ] 上单调 递减， 6 12 3 3 2 所以 当 x = 时， f (x ) 取最大值 1 3 1 又 Q f (- ) = - < f ( ) = ，当 x = - 时， f (x ) 取最小值- 12 2 2 2 12 2 所以 函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域为[- 12 2 ,1] 2 2. 已知函数 f (x ) = sin 2 x + 3 sin x sin ?x + π ? （> 0 ）的最小正周期为π ． 2 ? ? ? （Ⅰ）求的值； 3 3 ) (k 《三角函数》单元测试题 一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，把正确答案的代号填在括号内.） 1、ο 600sin 的值是（ ） )(A ;21 )(B ;23 )(C ;23- )(D ; 21- 2、下列说法中正确的是( ) A ．第一象限角都是锐角 B ．三角形的内角必是第一、二象限的角 C ．不相等的角终边一定不相同 D ．},90180|{},90360|{Z k k Z k k ∈?+??==∈?±??=ββαα 3、已知cos θ＝cos30°，则θ等于（ ） A. 30° B. k ·360°＋30°(k ∈Z) C. k ·360°±30°(k ∈Z) D. k ·180°＋30°(k ∈Z) 4、若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（ ） 5、已知21 tan -=α，则α ααα2 2cos sin cos sin 2-的值是( ) A ．3 4 - B ．3 C ．34 D ．3- 6．若函数x y 2sin =的图象向左平移 4 π 个单位得到)(x f y =的图象，则( ) A ．x x f 2cos )(= B ．x x f 2sin )(= C ．x x f 2cos )(-= D ．x x f 2sin )(-= 7、9．若?++?90cos()180sin(αa -=+)α，则)360sin(2)270cos(αα-?+-?的值是( ) A ．32a - B ．23a - C ．32a D ．2 3a 8、圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为 （ ） A. 3 π B. 3 2π C. 3 D. 2 9、若x x f 2cos 3)(sin -=，则)(cos x f 等于( ) A ．x 2cos 3- B ．x 2sin 3- C ．x 2cos 3+ D ．x 2sin 3+ 10、已知tan(α＋β)=2 5，tan(α＋4π)=322, 那么tan(β－4π)的值是（ ） A ．15 B ．1 4 C ．1318 D ．1322 11已知函数>><+=ω?ω,0)sin()(A x A x f )2 ||,0π ?< 在一个周期内的图象如图 所示．若方程m x f =)(在区间],0[π上有两个不同的实数解21,x x ，则21x x +的值为（ ） A ． 3π B ．π32 C ．π34 D ．3π或π3 4 12．已知函数f (x )=f (??x ),且当)2 ,2(π π-∈x 时，f (x )=x +sin x ,设a =f (1),b =f (2),c =f (3),则（ ） 三角函数大题综合训练 1.已知函数 ()2sin()cos f x x x π=-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ?? -???? 上的最大值和最小值. 2.设函数f (x )=cos(2x + 3 π)+sin 2 x .（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.（2）设A ,B ,C 为?ABC 的三个内角，若cos B =31，1()24c f =-， 且C 为锐角，求sin A . [ 3.已知函数2()sin cos cos 2.222 x x x f x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ω?ω?π++>>∈的形式， 并指出()f x 的周期； （Ⅱ）求函数17()[,]12 f x π π在上的最大值和最小值 ! 4.已知函数 ()2sin cos 442x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ? ?=+ ??? ，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 5.已知函数()cos(2)2sin()sin()3 4 4 f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()f x 在 区间[,]122 ππ-上的值域 ; 6.设2()6cos 2f x x x =-．（Ⅰ）求()f x 的最大值及最小正周期；Ⅱ）若锐角α 满足 ()3f α=-4 tan 5 α的值． 7.已知0α βπ<<4，为()cos 2f x x π? ?=+ ?8??的最小正周期，1tan 14αβ????=+- ? ????? ，， a (cos 2)α=， b ，且m =·a b ．求22cos sin 2() cos sin ααβαα ++-的值． ) ） 8.设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2????π2－x 满足f ????－π3＝f (0)．求函数f (x )在??? ?π4，11π 24上的最大值和最小值． 三角函数及数列大题训练 1.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式；令n n b na =，求数列的前n 项和n S 2.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++ 求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。 4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 5.已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+. ⑴证明1{}2 n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：1231112 n a a a ++<…+. 6.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1A C B -+=，2a c =，求C 。 7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+= ，求C 8.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90° (1)若PB=1 2，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA 9.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边， 且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 10.已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列? ? ????-1 2 n n a 的前n 项和。 11. 在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。角A ，B ，C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。 12．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈π0,2 ?? ???? . (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 13．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知? =2，cosB=， b=3，求：（Ⅰ）a 和c 的值；（Ⅱ）cos （B ﹣C ）的值． A B C P 学友教育三角函数单元测试题 任课老师———————— 学生姓名———————— 得分————————— 一、 选择题（每小题给出了四个选项，只有一个正确选项，把正确选项的序号填入 下表。每小题3分，共45分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 （1）函数y=5sin6x 是 （A ）周期是 3 π的偶函数 （B ）周期是3π的偶函数 （C ）周期是3π的奇函数 （D ）周期是6π的奇函数 （2）α是第二象限的角，其终边上一点为P （x ，5 ），且cos α=x 4 2，则sin α= （A ）410 （B ）46 （C ）4 2 （D ）410- （3）函数()0sin ≠=a a x y α的最小正周期是 （A ）a π2 （B ） a π2 （C ）a π2 （D ）a π2 （4）已知5 4sin = α，且α是第二象限的角，则tg α= （A ）34- （B ） 4 3- （C ） 43 （D ） 34 （5）将函数y=sin3x 的图象作下列平移可得y=sin(3x+6 π)的图象 （A) 向右平移 6π 个单位 (B) 向左平移6π 个单位 （C ）向右平移 18π 个单位 （D ）向左平移18π 个单位 （6）设α是第二象限角，则=-??1csc sec sin 2ααα （A ）1 （B ）α2tg （C ）α2ctg （D ）1- （7）满足不等式2 14sin ??? ?? -πx 的x 的集合是 （A ）? ????? ∈++Z k k x k x ,121321252|ππππ （B ）? ????? ∈+-Z k k x k x ,1272122|ππππ （C ）?????? ∈+ +Z k k x k x ,65262|ππππ （D ）()? ?????∈++??????? ∈+Z k k x k x Z k k x k x ,12652|,622|ππππππ （8）把函数x y cos =的图象上所有的点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移4 π个单位长度，得到新的函数图象，那么这个新函数的解析式为 （A ）??? ??+ =42cos πx y （B ）??? ??+=42cos πx y （C ）x y 2sin = （D ）x y 2sin -= （9）设,22π βαπ -则βα-的范围是 （A ）()0,π- （B ）()ππ,- （C ）??? ??- 0,2π （D ）??? ??-2,2ππ （10）函数y=4)54sin(π -x 的最小正周期是 （A ）2π （B ）4π （C ）4π （D ）8 π （11）函数??? ?? + =32sin 4πx y 的图象 （A ）关于直线6π =x 对称 （B ）关于直线12π= x 对称 （C ）关于y 轴对称 （D ）关于原点对称 （12）函数2lg x tg y =的定义域为 （A ）Z k k k ∈??? ?? +,4,πππ （B ）Z k k k ∈??? ? ?+,24,4πππ （C ）()Z k k k ∈+,2,2πππ （D ）第一、第三象限角所成集合 （13）函数?? ? ??-=x y 225sin π 2019 年高考三角函数大题专项练习集（一） 1. 在平面四边形ABCD 中，∠ADC =90 °，∠A=45 °，AB=2 ，BD=5． （1）求cos∠ADB ； （2）若DC = 2 2 ，求BC． 2. 在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知c=2 且ccosA+bcosC=b. （1）判断△ ABC 的形状； （2）若C= ，求△ABC 的面积. 6 3. 在△ ABC 中，角A, B,C 的对边分别为a, b, c ，且2a b cosC c cosB . （1）求角C 的大小； （2）若c 2 ，△ABC 的面积为 3 ，求该三角形的周长. 4. ABC 的内角 （1）求C ； A, B,C 的对边分别为a,b, c .已知 a b sin A csin C bsin B ．（2）若ABC 的周长为 6 ，求ABC 的面积的最大值． 5. ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c ,已解 a b sin( A B) （1）求角A； c b sin A sin B （2）若a 3 ，c b1，求b 和c 的值 6. 已知函数 f x sin x cos x 3 cos2 x ．2 2 2 （1）求 f x 的最小正周期； （2）求 f x 在区间,0 上的最大值和最小值． 7. 在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别是a、b、c，且3a cos C2b 3c cos A . （1）求角 A 的大小； （2）若a=2，求△ ABC 面积的最大值. 2 8. 在锐角 △ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ， BC 边上的中线 AD m ，且满足 a 2 2bc 4m 2 . （1） 求 BAC 的大小； （2） 若 a 2，求 ABC 的周长的取值范围 . 9. 已知a (1 cosx,2 sin x ), b 2 (1 cosx,2 cos x ) . 2 （1） 若 f ( x) 2 sin x 1 a b ,求 4 f ( x) 的表达式； （2） 若函数 f ( x) 和函数 g ( x) 的图象关于原点对称，求函数 g( x) 的解析式； （3） 若 h( x) g( x) f ( x) 1 在 , 上是增函数，求实数 的取值范围 . 2 2 10. 已知 a ( 3 sin x, m cos x) ， b (cos x, m cos x) , 且 f ( x) a b （1） 求函数 f (x) 的解析式 ; （2） 当 x x 的值 . , 时, 6 3 f ( x) 的最小值是－ 4 , 求此时函数 f ( x) 的最大值 , 并求出相应的 11. △ABC 的内角为 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知 a b c ． （1） 求 sin A B sin Acos A cos A B 的最大值； cos C sin B sin B cos C （2） 若 b 2 ，当 △ABC 的面积最大时， △ ABC 的周长； 12. 如图 ,某大型景区有两条直线型观光路线 AE ， AF , EAF 120 ,点 D 位于 EAF 的 平分线上，且与顶点 A 相距 1 公里 .现准备过点 D 安装一直线型隔离网 BC ( B, C 分别在 AE 和 AF 上)，围出三角形区域 ABC ，且 AB 和 AC 都不超过 5 公里 .设 AB x ， AC y (单位：公里 ). （1） 求 x, y 的关系式； （2） 景区需要对两个三角形区域 ABD ， ACD 进行绿化 .经 测算， ABD 区城每平方公里的绿化费用是 ACD 区域的两 倍，试确定 x, y 的值 ,使得所需的总费用最少 . 2019-2020 年高考数学大题专题练习 —— 三角函数（一） 1. 【山东肥城】 已知函数 f ( x) 2sin 2 x 2sin 2 ( x) ， x R . （ 1）求函数 y f ( x) 的对称中心； 6 （ 2）已知在 △ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 f ( B 6 ) b c ， ABC 的外接圆半径为 3 ，求 △ABC 周长的最大值 . 2 2a 【解析】 f ( x) 1 cos2 x 1 cos2( x ) cos(2 x ) cos2 x 6 3 1 3 sin 2x cos 2x cos2x 2 2 3 sin 2x 1 cos2x sin(2 x 6 ) . 2 2 （1）令 2x k （ k Z ），则 x k （ k Z ）， 6 2 12 所以函数 y f ( x) 的对称中心为 ( k ,0) k Z ； 2 12 （2）由 f ( B ) b c ，得 sin( B ) b c ，即 3 sin B 1 cos B b c ， 2 6 2a 6 2a 2 2 2a 整理得 3a sin B a cos B b c ， 由正弦定理得： 3 sin A sin B sin A cos B sin B sin C ， 化简得 3 sin A sin B sin B cos Asin B ， 又因为 sin B 0 ， 所以 3 sin A cos A 1 ，即 sin( A 1 ， 6 ) 2 由 0 A ，得 A 5 ， 6 6 6 所以 A ，即 A 3 ， 6 6 又 ABC 的外接圆的半径为 3 ， 所以 a 2 3 sin A 3 ，由余弦定理得 三角函数综合测试题 一、选择题（每小题5分，共70分） 1． sin2100 = A ． 2 3 B ． - 2 3 C ． 2 1 D ． - 2 1 2．α是第四象限角，5 tan 12 α=- ，则sin α= A ．15 B ．15- C ．513 D ．513 - 3. )12 sin 12 (cos ππ - )12sin 12(cos π π+＝ A ．－ 23 B ．－21 C ． 2 1 D ．23 4． 已知sinθ＝5 3 ，sin2θ＜0，则tanθ等于 A ．－4 3 B ．4 3 C ．－4 3或4 3 D ．5 4 5．将函数sin()3y x π =- 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） ，再将所得的图象向左平移3 π 个单位，得到的图象对应的僻析式是 A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π =- C .1sin()26y x π=- D .sin(2)6 y x π =- 6. ()2 tan cot cos x x x += A ．tan x B ． sin x C . c o s x D . cot x 7.函数y = x x sin sin -的值域是 A. { 0 } B. [ -2 , 2 ] C. [ 0 , 2 ] D.[ -2 , 0 ] 8.已知sin αcos 8 1 = α,且)2,0(πα∈，则sin α+cos α的值为 A. 25 B. -25 C. ±25 D. 2 3 9. 2 (sin cos )1y x x =--是 A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数 10．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为 A ．)45,()2,4( πππ π B ．),4(ππ C ．)45,4(ππ D ．)2 3,45(),4(π πππ 11．已知，函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0＜θ＜π) 其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为 x 1，x 2，若| x 1－x 2|的最小值为π，则 A ．ω＝2，θ＝2 π B ．ω＝21，θ＝ 2π C ．ω＝2 1，θ＝4π D ．ω＝2，θ＝4π 12. 设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7 c π =，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c << 13．已知函数()sin(2)f x x ?=+的图象关于直线8 x π =对称，则?可能是 A . 2π B .4π- C .4 π D .34π 14． 函数f (x )＝ x x cos 2cos 1- A ．在??????20π ， 、??? ??ππ,2上递增，在??????23,ππ、??? ??ππ 2,23上递减 B ．在??????20π，、??? ??23ππ，上递增，在??? ??ππ,2、??? ??ππ 223， 上递减 C ．在?? ????ππ， 2、??? ?? ππ223，上递增，在?? ????20π，、??? ??23ππ， 上递减 D ．在????? ?23, ππ、??? ??ππ2,23上递增，在?? ????20π，、??? ??ππ,2上递减 二.填空题（每小题5分，共20分,） 15. 已知??? ? ?- ∈2, 2ππα，求使sin α=3 2 成立的α= 16．sin15°cos75°+cos15°sin105°=_________ 17.函数y=Asin(ωx+?)(ω＞0,|?|＜ 2 π ,x ∈R )的部分图象如图，则函数表达式为 三角函数专项训练 1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B． （1）证明a2+b2﹣c2＝ab； （2）求角C和边c． 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值． 3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣． （1）求cos2α的值； （2）求tan（α﹣β）的值． 4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB； （2）若DC＝2，求BC． 5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值． 6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2） （Ⅰ）求cos A的值； （Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值 7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值． 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝ ． （Ⅰ）求b和sin A的值； （Ⅱ）求sin（2A+）的值． 9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C； （2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长． 10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B； （2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b． 11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x． （I）求f（x）的最小正周期； （II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣． 12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]． （1）若，求x的值； （2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a． （1）求sin C的值； （2）若a＝7，求△ABC的面积． 14．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值； （2）求f（x）的单调递增区间． 15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B； （2）若cos B＝，求cos C的值． 16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2． 三角函数大题综合训练 1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知= （1）求角C的大小， （2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值． 2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值． 3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x． （Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合； （Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值． 4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab． （1）求角C的值； （2）若b=2，△ABC的面积，求a的值． 5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=． （Ⅰ）求△ACD的面积； （Ⅱ）若BC=2，求AB的长． 6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin （A+B）=，ac=2，求sinA和c的值． 7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA； （Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小 （Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值． 三角函数综合测试题(含答案) 9. 2(sin cos )1 y x x =--是 A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数 10．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为 A ．)45,()2,4(ππππ B ．),4(ππ C ．)4 5,4(ππ D ．)2 3,45(),4(ππππ 11．已知，函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0＜θ＜π) 其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若| x 1－x 2|的最小值为π，则 A ．ω＝2，θ＝2π B ．ω＝21，θ＝2 π C ．ω＝2 1，θ＝4π D ．ω＝2，θ＝4π 12. 设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c << 13．已知函数()sin(2)f x x ?=+的图象关于直线8 x π=对 称，则?可能是 A .2 π B .4π - C .4 π D .34π 14． 函数f (x )＝ x x cos 2cos 1- A ．在??????20π， 、??? ??ππ,2上递增，在??????23,ππ、??? ??ππ2,23上递减 B ．在??????20π，、??? ??23ππ，上递增，在??? ??ππ,2、??? ??ππ223，上递减 C ．在??????ππ， 2、??? ??ππ223，上递增，在??????20π，、??? ? ?23ππ， 上递减 D ．在??????23,ππ、??? ??ππ2,23上递增，在??????20π，、??? ??ππ,2上递减 二.填空题（每小题5分，共20分,） 15. 已知?? ? ? ?-∈2,2ππα，求使sin α=3 2 成立的α= 16．sin15°cos75°+cos15°sin105°=_________ 17.函数y=Asin(ωx+?)(ω＞0,|?|＜ 三角函数综合测试题 学生： 用时: 分数 一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(本大题共18小题,每小题3分,共54分) 1. （ 08 全 国 一 6 ） 2(sin cos )1 y x x =--是 ( ） A.最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 Ｄ.最小正周期为π的奇函数 2.(0８全国一９）为得到函数πcos 3y x ?? =+ ?? ? 的图象,只需将函数sin y x =的图像( ） Ａ.向左平移 π6个长度单位?? B ．向右平移π 6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位??D.向右平移5π 6 个长度单位 3．（08全国二１）若 sin 0α<且tan 0α>是,则α 是 ( ) A.第一象限角?? B. 第二象限角 C ． 第三象限角 D. 第四象限角 4.(０８全国二1０）.函数 x x x f cos sin )(-=的最大值为 （ ） Ａ．1 Ｂ. 2 C.3 Ｄ．2 5.(０8安徽卷 8)函数sin(2)3 y x π =+图像的对称轴方程可能是 （ ) A ．6 x π =- ?? Ｂ.12 x π =- ? C ．6 x π = Ｄ.12 x π = 6.（08福建卷7)函数ｙ=co ｓｘ(x ∈R)的图象向左平移2 π 个单位后,得到函数ｙ=g （x ）的图象 , 则 g(x )的 解 析 式 为 （ ) A ．-sin ｘ B.si ｎx C.-ｃo ｓｘ D ．ｃｏｓx 7.（08广东卷5）已知函数2 ()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是 ( ) A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2 π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为 2 π 的偶函数 8.(０８海南卷11)函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 ( ) Ａ. －3，1?? B ． -２,２??Ｃ． －3， 3 2 D ． -2， 32 9．(０８湖北卷7）将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3 π 个单位长度得到图象Ｆ′，若Ｆ′的一条对称轴是直线,1 x π =则θ的一个可能取值是 ( ） Ａ. 512π Ｂ.512π- C ．11 12π Ｄ.11 12 π- 1０.（０8江西卷6）函数sin ()sin 2sin 2 x f x x x = +是 （ ) A.以4π为周期的偶函数 Ｂ．以2π为周期的奇函数 C.以2π为周期的偶函数 D ．以4π为周期的奇函数 11.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点,则 MN 的最大值为 （ ） A ．1 ?Ｃ D.2 1２.(０8山东卷１0 ）已知πcos sin 6αα? ?- += ?? ?则7πsin 6α??+ ?? ?的值是（ ） A.5 - ?B ．5? C ．45- D ．4 5 1 ３ .(0 ８ 陕 西 卷 1) sin330? 等于 （ ）三角函数大题综合训练
2020高考数学专项复习《三角函数大题压轴题练习》
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