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二次函数图像与性质

二次函数的图像与性质

(一般式)

一、【课程要求】

1,掌握二次函数的图像与性质,能根据二次函数的表达式熟练的画出二次函数的草图根据

草图了解对应二次函数的性质。

2,根据二次函数一般式,能配成顶点式,找出顶点坐标,找出最值。 3,根据二次函数一般式,能利用公式熟练求出二次函数的顶点坐标及对称轴。

二、【重点难点】

1,二次函数的图像与性质

2,配顶点式及二次函数的最值问题。

三、【知识点归纳】

1.二次函数:形如 的函数叫做二次函数.

2.二次函数的图像性质:(1)二次函数的图像是 ;(2)二次函数

),,,0(2为常数c b a a c bx ax y ≠++=通过配方可得c b a a a

b a

c a b x a y ,,,0(44)2(2

2≠-++=为常数)

,其顶点坐标为 。

(3)当0>a 时,抛物线开口 ,并向上无限延伸;在对称轴左侧)2(a b

x -

<即 时,y 随x 的增大而减小;在对称轴右侧)2(a

b

x ->即时,y 随x 的增大而增大;当a b x 2-=时,

函数有 。

当0

b

x -<即时,y 随

着x 的增大而增大;在对称轴右侧)2(a

b

x ->即时,y 随着x 的增大而减小;,

2时a b x -=函数有 。

3.抛物线与坐标轴的交点:

(1)抛物线).,0(2c y c bx ax y 轴交于点与++=

(2)若方)0,)(0,(,,0212212x x x c bx ax y x x c bx ax 轴点交则抛物线有两根++==++

四、【例题解析】

(一),怎么判断a 、b 、c 正负

例1.已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示,则下列结论正确的是( ) A.0a > B. 0c < C.240b ac -< D.0a b c ++>

二次函数图像与性质

二次函数图像与性质

第(1)题 第(2)题

例2 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,有下列5个结论:

① 0>abc ;② c a b +<;③ 024>++c b a ;④ b c 32<;⑤ )(b am m b a +>+,(1≠m 的实数)其中正确的结论有( )

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个 (二),二次函数图像平移

例1. 抛物线

c bx x y ++=2

图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为

322--=x x y ,则b 、c 的值为( ) A. b=2, c=2 B. b=2,c=0 C . b= -2,c=-1 D. b= -3, c=2

例2. 若把函数y=x 的图象用E (x ,x )记,函数y=2x+1的图象用E (x ,2x+1)记,……则

E (x ,122+-x x )可以由E (x ,2x )怎样平移得到?

例3.如图,点A ,B 的坐标分别为(1, 4)和(4, 4),抛物线n m x a y +-=2)(的顶点在线

段AB 上运动,与x 轴交于C 、D 两点(C 在D 的左侧),点C 的横坐标最小值为3-,则点D 的横坐标最大值为( )

二次函数图像与性质

二次函数图像与性质

A .-3

B .1

C .5

D .8

OB OA ⊥,且2OB OA =

,点A 的坐标是(12)-,.

P ,使得ABP ABO S S =△△.

x 轴的交点如图所示,根据图中信息可得到m 的值

是 .

二次函数图像与性质

(四)二次函数与几何的综合题

二次函数图像与性质

例1.如图,抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (4,0)、B (2,2),连结OB 、AB . (1)求该抛物线的解析式;

(2)求证:△OAB 是等腰直角三角形;

(3)将△OAB 绕点O 按顺时针方向旋转135°得到△OA ′B ′,写出A ′B ′的中点P

的坐标,试判断点P 是否在此抛物线上,并说明理由.

例2.在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A )0,4(-,B )4,0(-,C )0,2(三点. (1)求抛物线的解析式。

(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点,点M 的横坐标为m ,△AMB 的面积为S .求

S 关于m 的函数关系式,并求出S 的最大值.

(3)若点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线x y -=上的动点,判断有几个位置能够使

得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q 的坐标.

二次函数图像与性质

第2题图

例2

四、【课堂练习】

(一)、选择题

1.抛物线()2

23y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平移过程正确的是( )

A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位

B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位

C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位

D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位

2.下列函数中,当x >0时y 值随x 值增大而减小的是( ). A .y = x 2

B .y = x -1

C . y = 3

4

x

D .y = 1

x

3.如图为抛物线2y ax bx c =++的图像,A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点,且OA =OC =1,

则下列关系中正确的是( )

A .a +b =-1

B . a -b =-1

C . b <2a

D . ac <0

二次函数图像与性质

4.二次函数223y x x =--的图象如图所示.当y <0 时,自变量x 的取值范围是( ).

A .-1<x <3

B .x <-1

C . x >3

D .x <-1或x >3

二次函数图像与性质

5.已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中正确的是( )

二次函数图像与性质

A.a>0 B.b<0 C.c<0 D.a+b+c>0

6.若下列有一图形为二次函数y=2x2-8x+6的图形,则此图为( )

二次函数图像与性质

二次函数图像与性质

二次函数图像与性质

二次函数图像与性质

7.抛物线221

=-+的顶点坐标是( ).

y x x

A.(1,0)B.(-1,0)C.(-2,1)D.(2,-1)

8. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是()

A.a>0 B.当x>1时,y随x的增大而增大

C.c<0 D.3是方程ax2+bx+c=0的一个根

二次函数图像与性质

9.已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示.关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是( )

A.有最小值0,有最大值3 B.有最小值-1,有最大值0

C.有最小值-1,有最大值3 D.有最小值-1,无最大值

二次函数图像与性质

10. 如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:

(1)240b ac ->;(2)c >1;(3)2a -b <0;(4)a+b+c <0。你认为其中错误..

的有( ) A .2个

B .3个

C .4个

D .1个

二次函数图像与性质

(二),解答题

1.已知双曲线x

k

y =

与抛物线y=zx 2+bx+c 交于A(2,3)、B(m,2)、c(-3,n)三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式;

(2) 在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C,并求出△ABC 的面积, 2. 已知:二次函数y =x 2+bx -3的图像经过点P (-2,5). (1)求b 的值,并写出当1<x ≤3时y 的取值范围;

(2)设点P 1(m ,y 1)、P 2(m +1,y 2)、P 3(m +2,y 3)在这个二次函数的图像上.

①当m =4时,y 1、y 2、y 3能否作为同一个三角形的三边的长?请说明理由; ②当m 取不小于5的任意实数时,y 1、y 2、y 3一定能作为同一个三角形三边的长,请说明理由.

3.已知:关于x 的方程012)31(2=-+--a x a ax

(1)当a 取何值时,二次函数12)31(2-+--=a x a ax y 的对称轴是x=-2;

(2)求证:a 取任何实数时,方程012)31(2=-+--a x a ax 总有实数根.

四、【课后作业】

1. 若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为

2.在直角坐标系中,若解析式为5422+-=x x y 的图像沿着x 轴向左平移两个单位,再沿着y 轴向下平移一个单位,此时图像的解析式为( )

3.二次函数y =ax 2

+bx +c 的图象如图所示,反比例函数y = a

x

与正比例函数y =(b +c )

x 在同一坐标系中的大致图象可能是( ) 4.已知函数y=mx 2-6x +1(m 是常数).

⑴求证:不论m 为何值,该函数的图象都经过y 轴上的一个定点; ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点,求m 的值.

二次函数图像与性质

5.如图,两条抛物线12

121+-=x y 、12122--=x y 与分别经过点()0,2-,()0,2且平行于y 轴

的两条平行线围成的阴影部分的面积为( )A.8 B.6 C.10 D.4

二次函数图像与性质

6. 如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为 米

.

(4题图)

二次函数图像与性质

7.一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC.

(1)若m为常数,求抛物线的解析式。

(2)若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点?

(3)设抛物线交y轴正半轴于D点,问是否存在实数m,使得△BCD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

二次函数图像与性质

第6题图

8.已知抛物线:y=x2-2x+m-1 与x轴只有一个交点,且与y轴交于A点,如图,设它的顶点为B

(1)求m的值;

(2)过A作x轴的平行线,交抛物线于点C,求证是△ABC是等腰直角三角形;

(3)将此抛物线向下平移4个单位后,得到抛物线C',且与x 轴的左半轴交于E点,与y

轴交于F点,如图.请在抛物线C'上求点P,使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形.

y

二次函数图像与性质

9, 将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中,点O 为坐标原点

点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上,一条抛物线经过点A 、C 及点B (–3,0). (1),求该抛物线的解析式;

(2),若点P 是线段BC 上一动点,过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ,连接AP ,当

△APE 的面积最大时,求点P 的坐标;

(3),在第一象限内的该抛物线上是否存在点G ,使△AGC 的面积与(2)中△APE 的

最大面积相等?

二次函数图像与性质

二次函数图像与性质

10,已知二次函数c bx x y ++-=22

1

的图象经过A (2,0)、B (0,-6)两点。

(1)求这个二次函数的解析式

(2)设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ,连结BA 、BC ,求△ABC 的面积。

二次函数图像与性质

x

第10题