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六年级+分数裂项

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项

一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b

=-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3)

n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)

n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+

分数裂项计算

教学目标

知识点拨

裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

【例 1】 111111223344556++++=????? 。【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算

【关键词】美国长岛，小学数学竞赛【解析】原式111111115122356166??????=-+-++-=-= ? ? ??????? 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：

111113355779+++????，计算过程就要变为： 111111113355779192

??+++=-? ???????．【答案】56

【巩固】 111 (101111125960)

+++??? 【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算

【解析】原式111111111()()......()101111125960106012

=-+-++-=-= 【答案】112

例题精讲

【巩固】 2222109985443

++++=???? 【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】原式111111112910894534??=?-+-++-+- ???112310??=?- ???715

= 【答案】715

【例 2】 111111212312100

++++++++++ 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单

的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的

代入有112(11)11122==+??，112(12)21223

==+?+?，……，原式22221200992(1)1122334100101101101101

=++++=?-==???? 【答案】991101

【例 3】 111113355799101

++++=???? 【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算

【解析】 111111111150(113355799101233599101101++++=?-+-++-=????…）【答案】50101

【巩固】计算：1111251335572325???++++= ???????

【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算

【关键词】2009年，迎春杯，初赛，六年级

【解析】原式11111125123352325??=??-+-++- ???11251225??=??- ???2524225

=?12= 【答案】12 【巩固】 2512512512512514881212162000200420042008

+++++????? 【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算

【关键词】2008年，台湾，小学数学竞赛，初赛

【解析】原式2511111116122334500501501502??=

?+++++ ???????? 251111111111622334

501502??=?-+-+-++

- ??? 2515015012115165023232

=?== 【答案】211532

【巩固】计算：

3245671255771111161622222929

++++++=?????? 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】原式1111111111111255771111161622222929=-+-+-+-+-+-+12

= 【答案】12

【例 4】计算：11111111()1288244880120168224288

+++++++?= 【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，101中学

【解析】原式11111282446681618

=++++?????（） 1111111128224461618

=?-+-++-?（） 1164218

=-?（） 4289= 【答案】4289

【巩固】 11111111612203042567290

+++++++=_______ 【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，第六届，走美杯，初赛，六年级【解析】根据裂项性质进行拆分为：

11111111612203042567290

+++++++ 1111111123344556677889910112==2105

=+++++++????????- 【答案】25

【巩固】 11111113610152128

+++++= 【考点】分数裂项【难度】6星【题型】计算【关键词】2008年，第6届，走美杯，6年级，决赛

【解析】原式111111212312341234567

=+++++++++++++++++ 2221233478=++++??? 111111122233478??=+-+-++- ??? 1218??=?- ???74

= 【答案】74

【巩固】计算：

1111111112612203042567290

--------＝【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛

【解析】原式111111111()223344556677889910

=-+++++++???????? 1111111()22334910

=--+-++- 111()2210

=-- 110= 【答案】

110

【巩固】 11111104088154238

++++= 。【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】原式11111255881111141417=++++????? 111111111113255881111141417??=?-+-+-+-+- ???

1115321734

??=?-= ??? 【答案】534

【例 5】计算：

1111135357579200120032005

++++???????? 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试

【解析】原式11111114133535572001200320032005????????=-+-++- ? ? ????????????????? 11110040034132003200512048045

??=?-= ????? 【答案】100400312048045

【例 6】 7 4.50.161111181315356313 3.75 3.23

?+???+++= ???

-? 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【关键词】2007年，仁华学校

【解析】原式79161111118290113355779133 1.2540.83

-?+??=?+++ ???????

-??? 71111111461123357913123

+??=??-+-+???+- ???- 4631824429=???23=36

【答案】2336

【例 7】计算：11111123420261220420

+++++ 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】第五届，小数报，初赛【解析】原式()1111112320261220420??=+++

+++++++ ??? 11111210122334452021

=++++++????? 11111112101223342021

=+-+-+-++- 12021012102121

=+-= 【答案】2021021

【巩固】计算：11111200820092010201120121854108180270

++++= 。【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算

【解析】原式1111120082009201020112012366991212151518

=+++++++++????? 1111111201059122356??=?+?-+-++- ??? 510050

54= 【答案】510050

【巩固】计算：

1122426153577

++++= ____。【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算

【答案】

1011

【巩固】计算：1111111315356399143195

++++++ 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：232113=-=?，2154135=-=?，……，

21951411315=-=?，所以原式11111111335577991111131315

=++++++??????? 11111111121323521315??????=?-+?-++?- ? ? ??????? 1112115??=?- ???715

= 【答案】715

【巩固】计算：15111929970198992612203097029900

+++++++= ．【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【关键词】2008年，四中

【解析】原式1111111126129900????????=-+-+-++- ? ? ? ?????????

11199122399100??=-+++ ??????

1111199122399100??=--+-++- ??? 1991100??=-- ??? 198

100= 【答案】198100

【例 8】 111123234789

+++?????? 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】首先分析出

()()()()()()()()11111111211211n n n n n n n n n n n n ??+--==-??-??+-??+-??+???? 原式11111111121223233467787889??????????=

?-+-++-+- ? ? ? ????????????????????? 1112128935144

??=?- ?????= 【答案】

35144

【巩固】计算：1111232349899100

+++?????? 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式11111111()21223233434989999100=?-+-++???+-??????? 111149494949()212991002990019800

=?-=?=?? 【答案】494919800

【巩固】计算：1111135246357202224

++++???????? 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】原式＝1135??＋1357??＋…+1192123??+1246??+…+1202224?? ＝14(113?－12123?)＋14(124?－12224?) ＝40483＋652112＝28160340032＋10465340032 ＝38625340032

【答案】38625340032

【巩固】 4444 (135357939597959799)

++++???????? 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】 11111111()()......()()133535579395959795979799

=-+-++-+-???????? 11139799=-??32009603

= 【答案】32009603

【巩固】 999897112323434599100101

++++???????? 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】 99123??＝1001123-??＝100123??－123?＝100123??－123

? 98234??＝1002234-??＝100234??－2234??＝100234??－134

? 97345??＝1003345-??＝100345??－3345??＝100345??－145

?…… 199100101??＝1009999100101-??＝10099100101??－9999100101??＝10099100101??－1100101

? 原式100100100100111...(...)123234345991001012334100101=++++-+++??????????? 1111151100()()2422101002101101

=??---= 【答案】5124101

【例 9】

11111123423453456678978910

+++???++??????????????? 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式111111131232342343457898910??=?-+-++- ??????????????? 11131238910??=?- ???????1192160

= 【答案】1192160

【巩固】 333 (1234234517181920)

+++????????? 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】原式11111113[(...)]3123234234345171819181920

=??-+-++-???????????? 1131920111391231819201819206840

??-=-==?????? 【答案】11396840

【例 10】计算：57191232348910

+++=?????? ．【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相

同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第n 个数恰好为n 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．

原式32343161232348910

+++=+++?????? 1111283212323489101232348910????=?++++?+++ ? ?????????????????

111111111132212232334899102334

910????=??-+-++-+?+++ ? ?????????????? 31111111122129102334

910????=?-+?-+-++- ? ??????? 3111122290210????=?-+?- ? ?????

7114605=-- 2315= 也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n +，所以

()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+?+?++?+?+?+，再将每一项的()()

212n n +?+与()()

312n n n ?+?+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．【答案】2315

【巩固】计算：5717191155234345891091011

?++++????????（

）【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【关键词】2009年，迎春杯，初赛，五年级

【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：571719234345891091011

++++????????．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．

观察可知523=+，734=+，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以

571719234345891091011

++++???????? 233491023434591011

+++=+++?????? 111111342445351011911

=++++++?????? 111111344510112435911????=+++++++ ? ??????????? 11111111111111111344510112243546810911????=-+-++-+?-+-+-++-+- ? ????? 11111113112210311????=-+?-+- ? ?????8128332533??=+?+ ???3155= 所以原式31115565155

=?=．（法二）上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为a nd +，其中d 为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将a 与nd 分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．

571719234345891091011

++++???????? 122132182192234345891091011

+?+?+?+?=++++???????? 122132182192234234345345891089109101191011

????=++++++++???????????????? 1111222223434589109101134459101011????=+++++++++ ? ????????????????? 1111111111111222334344591010113445

1011????=?-+-++-+?-+-++- ? ???????????

1111122231011311????=?-+?- ? ???????

11223413112220311422055=-+-=-=，所以原式31115565155

=?=．（法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：

571719234345891091011

++++???????? 51171117111911223342344528991029101011????????=?-+?-++?-+?- ? ? ? ????????????????? 5175197119171191223223422452291021011??????=?+-?+-?++-?-? ? ? ????????????

51111191

223344*********=?++++-?

????? 5111931

1231022055

=+--=

所以原式31

115565155

=?=．

（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：

(1)(2)

n n a n n n +=

++（2n =，3，……，9）如果将分子21n +分成2n 和1，就是上面的法二；如果将分子分成n 和1n +，就是上面的法一．

【答案】651

【巩固】计算：

34512

12452356346710111314

++++

???????????? 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先

将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：

原式2222

345121234523456345671011121314

=++++

???????????????? 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：23154=?+，24264=?+，25374=?+……

原式2222

345121234523456345671011121314=++++

???????????????? 15426437410144

1234523456345671011121314

?+?+?+?+=++++

???????????????? 1111234345456

1112134444123452345634567

1011121314??

=++++ ?

????????????

+++++ ?

??????????????????

1111111223343445111212131111111234234523453456

1011121311121314??=?-+-++- ?????????

+-+-++- ?

????????????????????

111112231213123411121314????=?-+- ? ?????????????

1111

12212132411121314=-+-

?????1771811121314+=-???11821114=-??11758308616

=-= 【答案】

75616

【例 11】 12349

223234234523410

+++++

????????? 【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算

【解析】原式12349

223234234523410=+++++

????????? 213141101

22323423410----=++++

?????? 1111111

12223232342349234910

=-+-+-++-

???????????

3628799

1234

910

3628800

????

【答案】

3628799

3628800

【例 12】 123456

121231234123451234561234567

+++++

????????????????????? 【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算

【解析】原式131********

121231234123451234561234567-----=+++++

????????????????????? 111111

121212312312341234567=+-+-+-

??????????????? 111

12121234567

=+-

???????? 115040=-5039

5040

【答案】5039

5040

【巩固】计算：2399

3!4!100!

+++= .

【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算

【解析】原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．

原式2399

1231234123100=+++

????????? 31411001

1231234123100---=+++

????????? 111111

12123123123412399123100=-+-++-

???????????????? 1112123100=-?????11

2100!=-

【答案】11

2100!-

【例 13】 23450

1(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250)++++

?++?++++?+++++++?+++ 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】原式＝213?＋336?＋4610?＋51015?＋…＋50

12251275?

＝（11-13）＋（13-16）＋（16-110）＋（11225-

11275

）＝12741275 【答案】1274

1275

【巩固】 234100

1(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)

++++

?++?++++?++++++?+++

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】 2111(12)112=-?++，311

(12)(123)12123

+?+++++，……，

10011

(1299)(12100)129912100

+++?+++++++++，所以原式1

112100=-+++

15049

150505050=-=

【答案】5049

5050

【巩固】 2310

1112(12)(123)(1239)(12310)

----

?++?++++++?++++（）【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算

【解析】原式23410

1()133********

=-++++????

11111

1111336610

4555??=--+-+-++- ???

11155?

?=-- ???

155=

【答案】1

【例 14】 222222111111

31517191111131

+++++=------ .

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】仁华学校

【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：22()()a b a b a b -=-?+，

原式111111

()()()()()()24466881010121214=+++++??????

1111111111111()244668810101212142=-+-+-+-+-+-? 1113()214214=-?= 【答案】3

【巩固】计算：222222111111

(1)(1)(1)(1)(1)(1)23454849

-?-?-?-??-?-=

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】 211113

1(1)(1)22222

-=-?+=?，2111241(1)(1)33333-=-?+=?，……所以，

原式1324485022334949=??????1502524949=?=

【答案】25

【巩固】计算：2222222235715

12233478

++++????

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】原式222222

222222222132438712233478

----=+++

+????

2222222

1111111

12233478=-

+-+-++

- 2118

=-63

64= 【答案】

6364

【巩固】计算：22222222223151711993119951

3151711993119951

++++++++++=----- ．

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】原式22222

22222111113151711993119951??????????

=++++++++++ ? ? ? ? ?-----??????????

222997244619941996??

=++++ ??????

1111

11997244619941996??=+-+-++- ???

199721996??=+- ???

997997

1996= 【答案】997

9971996

【巩固】计算：22222222

2222

13243598100213141991

++++++++=---- ．【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】 2221310213+=-，2222420318+=-，22235344115+=-，……由于104233

=，204288=，344

21515=，

可见原式2222

4444

2222213141991

=++++---- 11112984132435

98100??

=?+?++++ ???????

111111

1119641232435

98100??=+??-+-+-+

- ???

119621299100??=+?+-- ???

199

196329900

=+-?

4751

198

4950

= 【答案】4751

1984950

【巩固】计算：2222

1235013355799101

++++=???? ．

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为

221-，241-，261-，……，21001-，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，

所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．原式222

22212461004214161

1001??=?++++ ?----??

222211111111142141611001??

=?++++++++

?----??

11111504133557

99101??

=?+++++

???????

1111111

115014233557

99101????=

?+?-+-+-++

- ???????

11150142101????=

?+?- ???????150504101=?6312101= 【答案】6312101

【例 15】 56677889910

56677889910

+++++-+-+

????? 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】 56677889910111111113

()...()56677889910566791051010+++++-+-+=+-++++=+=?????

【答案】3

【巩固】 365791113

57612203042

++++++

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中

【解析】原式=36233445566736111111

(57233445566757233467)

+++++++++++=++++++++?????=4

【答案】4

【巩固】计算：132579101119

3457820212435

++++++++=

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】原式1325711111121

3457845373857

=++++++++++++111115=++++=

【答案】5

【巩固】 12379111725

3571220283042

+++++++

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】原式1231111112113

3573445475667

=++++++++++++

11112123131113366555777444????????

=++++++++++++ ? ? ? ?????????

334=

【答案】3

【巩固】 111112010263827

2330314151119120123124

+++++++++

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】原式11111111111111123303141317717430341431??????????

+++++++-+-+-+- ? ? ? ? ???????????

1111111

2337434

=++++++127=

【答案】1

【巩固】 354963779110531

16122030425688????-+-+--÷ ???????

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式5791113153718612203042568??

??=-+

-+-?-? ?????

?? 1111

1111782334

788????=+--+-

-?-? ???????

1111788288??

=-??-? ???

211110=-=

【答案】10

【巩固】计算：5791113151719

1612203042567290

-+-+-+-+

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】原式23344556677889910

123344556677889910++++++++=-+-+-+-+

???????? 11111111111111111()()()()()()()()23344556677889910=-+++-+++-+++-+++

113

12105

=-+=

【答案】3

【巩固】 11798175

451220153012

++++++

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】原式111111112111

453445355646=+++++++++++

1111

24523456

=?+?+?+?3=

【答案】3

【例 16】 22222222

122318191920122318191920

++++++??++

???? 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】原式1232341918192021919

...217362123431819201912020=++++++++++=+?+=

【答案】19

3620

【巩固】 11112007111

(......)(......)120072200620062200712008120062200520061

++++-+++???????

【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算

【解析】原式=2008111200711

(...)(...)200812007220062007120081200620061?+++-++?????

=2008111200711(...)(...)200812007220062007120081200620061?+++-++????? =1200820082008120072007(...)(...)200812007220062007120081200620061?+++-++????? =11111111111[(...)(...)]20081200722006200711200620061?++++++-++++ =11111111111[(...)(...)]20081200722006200711200620061?++++++-++++ =1111()2008200720072015028?+=

【答案】1

2015028

【例 17】计算：111111

23459899515299

+++++++=???

【考点】分数裂项【难度】5星【题型】计算

【解析】原式11

111111124

983599515299??????=+++-+++++

++ ? ? ??????? 【解析】 1111111

11224503549525498??????=+++-+

++?+++ ? ? ??????? 【解析】 11

111111124503549262749??????=+++-+

+++++ ? ? ??????? 【解析】 11

11111

111

2242435

2526284850

??????=++

-++

+?+

? ? ??????

? 【解析】 11

11111111

2424352513142450??????=++

+-++++++

+ ? ? ??????? 【解析】 11

111111111

2241235

111416

245025

??????=++

-++

+?+++

+- ? ? ?

?????? 【解析】 11

111111111

1235

1178

125025

??????=++

-++

++++

- ? ? ??????? 【解析】 1111111111224635810125025

??????=++-++?+++- ? ? ???????

【解析】 111111111

1246354565025

??????=++-+++++

- ? ? ??????? 【解析】 1149

1502550

=+-=

【答案】4950

【例 18】计算：24612335357357911

++++=??????? 【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算

【解析】原式315171

131

335357

35791113

----=

++++

????????

【解析】 111111133535791133535791113????

=+++-+

? ???????????????

【解析】 1

135791113

=-?????

【解析】 135134

135135

【答案】135134

135135

【例 19】计算：2

834

1222222133557

1719135357

171921??+++

+-+++= ?????????????

【考点】分数裂项【难度】5星【题型】计算

【解析】 34

1199

2222244221353571719211335355717191921

+=-+-++-

???????????? 【解析】 89

224

2213355717191921

=+++

????? 【解析】所以原式889122224

221335

1719133557

17191921??=

+++-++++- ???????????

【解析】 921512133379

192113399399

-=-==

?? 【答案】379

399

分数裂项求和方法总结

分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求1(1) n n +型分数求和分析：因为111n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数）所以有裂项公式：111(1)1 n n n n =-++ （二）用裂项法求 1()n n k +型分数求和分析：1() n n k +型。（n,k 均为自然数）因为11111()[]()()() n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++ （三）用裂项法求() k n n k +型分数求和分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝() k n n k + 所以 () k n n k +＝11n n k -+

（四）用裂项法求2()(2) k n n k n k ++型分数求和分析： 2()(2) k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++ （五）用裂项法求1()(2)(3) n n k n k n k +++型分数求和分析：1()(2)(3) n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ （六）用裂项法求 3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和分析：3()(2)(3) k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 311()(2)(3)()(2)()(2)(3) k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 记忆方法： 1.看分数分子是否为1； 2.是1时，裂项之后需要整体×首尾之差分之一； 3.不是1时不用再乘； 4.裂项时首尾各领一队分之一相减。

六年级分数裂项

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有：裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。知识点拨教学目标分数裂项计算

六年级奥数训练第五周——分数裂项

第五周分数裂项专题简析：前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般地，形如1 a×(a+1)的分数可以拆成 1 a － 1 a+1 ；形如 1 a×（a+n）的分数可以拆成 1 n ×（ 1 a － 1 a+n ），形如a+b a×b 的分数可以拆成 1 a + 1 b 等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。

计算：11×2 +12×3 +13×4 +…..+ 199×100 原式=（1－12 ）+（12 －13 ）+（13 －14 ）+…..+ （199 －1100 ） =1－12 +12 －13 +13 －14 +…..+ 199 －1100 =1－1100 =99100 练习1 计算下面各题： 1. 14×5 +15×6 +16×7 +…..+ 139×40 2. 110×11 +111×12 +112×13 + 113×14 +114×15 3. 12 +16 +112 +120 + 130 +142 4. 1－16 +142 +156 +172

计算：12×4 +14×6 +16×8 +…..+ 148×50 原式=（22×4 +24×6 +26×8 +…..+ 248×50 ）×12 =【（12 －14 ）+（14 －16 ）+（16 －18 ）…..+ （148 －150 ）】×12 =【12 －150 】×12 =625 练习2 计算下面各题： 1. 13×5 +15×7 +17×9 +…..+ 197×99 2. 11×4 +14×7 +17×10 +…..+ 197×100 3. 11×5 +15×9 +19×13 +…..+ 133×37 4. 14 +128 +170 +1130 +1208

六年级分数巧算裂项拆分

思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求 1一型分数求和分析：因为n(n 1) 1 n(n 1) n(n 1) （n为自然数）所以有裂项公式: n（n 1）【例1】求丄 10 11 11 12 1的和。 59 60 【例2】咕右）'11 1 1 10 60 1 12 用裂项法求 1 1 k(n 计算 n(n k) 1 1 - [2 5 1 15 n(n 1) 59 60) 型分数求和: k) n n(n k)] 分析： n（n k）型。（n,k 均为自然数）因为 n(n k) 所以n(n k)k( ； n k 9 11 11 13 13 15 7) 1 1) 丄(1 2 7 1 (1 9) 1(1 却 2、11 1 1 1 1 1 , 1 1、1(丄丄 2(13 15 1 13) 1 用裂项法求 9 11 11 13 型分数求和: n（n k） n n k n(n k) n(n k) n(n k) 13 分析：型（n,k均为自然数）n（n k） k 所以一- n(n k) n n k

(1 1 3 97 99 3200 9603 自然数） n(n k)( n 2k)( n 3k) 3k (n(n k^(n 2k) 1139 20520 I (n k)(n 2k)(n 3k) 【例3】的和 97 99 98 99 (四) 1 3) (3 5 1 1 )( 5 1 7) 1 1 1 99 用裂项法求型分数求和: n （n k ）（n 2k ）分析: 2k n(n k)(n 2k) 【例4】计算： 4 4 4 4 1 3 5 3 5 7 93 95 97 95 97 99 (1I II 3 15) (315 517)…( 1 1 )( 1 1 ) 3 93 95 95 9/ V 95 97 97 99, 1 1 （n,k 均为自然数）【例5】 1 1 计算：1 2 3 4 2 3 4 5 1 17 18 19 20 3[(1 1 1 3[1 2 3 （丘 18 19 20] 1 17 18 19 1 18 19 20 )] （六）用裂项法求 3k n(n k)(n 2k)(n 3k) 型分数求和：分析: 3k n(n k)(n 2k)( n 3k) (n,k 2k n(n k)(n 2k) 1 1 n(n k) (n k)( n 2k) (五) 用裂项法求型分数求和分析: n(n k)(n 2k)(n 3k) (n,k 均为 n(n k)(n 2k)(n 3k)

六年级奥数试题-分数裂项与分拆(教师版)

第十三讲分数裂项与分拆 1. “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 ①对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- ②对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有： 1111[]()(2)2()()(2) n n k n k k n n k n k n k =-?+?+?+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-?+?+?+?+?++?+?+

③对于分子不是1的情况我们有：?? ? ??+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ??=- ?++?? ()()()()() 21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()() 31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222h h n n k n k k n n k n k n k ??=-??+++++?? ()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k k n n k n k n k n k n k ??=-??++++++++?? ()()() 221111212122121n n n n n ??=+- ?-+-+?? 2. 裂差型裂项的三大关键特征： ①分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 ②分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” ③分母上几个因数间的差是一个定值。 3.复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以N 。N 取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。 4. “裂和”型运算

分数拆分(裂项法)

2008年10月4日六年级基本公式：()111n n+1n n 1-+＝；推广形式：()111n n+d d n n d ??-??+?? 1＝例1、计算：11111122334989999100+++++?????=（1－21）＋（21－31）＋（31－4 1）＋……＋（991－100 1）=1－1001=10099。例2、计算：1111112612203042+++++=7 6；例3、计算：1111111357911104088154238340+++++=20 336；例4、计算：=?+++?++?++?+200120002001200043433232212122222222 200120004000 注意：拆分未必拆成两个分数之差，有的时候，需要拆成两个分数之和；可以利用公式： 11m+n m n mn +＝例5、计算：1111(1)(1)(1(1)2233441010 -?-?-??-???? (1120) 提示：1n n 1(n 1)(n 1)1n n n n n n ?--+- ==???。解：原式＝1324359112233441010????????????……＝111210?＝1120 例6、计算：60 59605859586035343602423260131211+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ = 解答：因为()2 1211121-=-??=-+++n n n n n n n n ，所以 ()886 59212 112 592221160 59605859586035343602423260131211=+++?+=++++=+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ 【课堂练习】 1. 计算：111116425672-+++=9 8；

六年级分数-裂项法

知识要点和基本方法 1.2分数计算(裂项法) 分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快速、准确，关键是掌握运算技巧。对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维，培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力, 都有很大的帮助。公式: (1)平方差公式：a2 b2(a b) (a b) (2)等差数列求和公式: a i a2 a3 a n 1 a n 1 a1 2 a n n (3)分数的拆分公式: n(n 1) 1 n(n d) 裂项法：例1. 计算: 例2. 计算: 10X 11 1 2 3 _1 +11X 12 1 ..... +—— 3 4 99 1 +……+59X 60 1 100 例7. 例8. 例3. 1111 计算：2 + 6 + / + 20 1 1 + — + — +30 +42 例9. 例4. 计算: —1——+ -—— 10X 11 11X 12 1 +……+19X 20 例10. 例5. 1 1 计算2X 3 + 3X4 + 1 1 +6X7 +7X8 例11. 1 1 1 1 1 1 1 6 + ' —+— +— + 12 + 20 + 30 + 矗+56 + 72 1 1 1 1 1 1 + —+ + —- + —+ 3 15 35 63 99 143 1 1 1 1 1 4 4 7 7 10 10 13 13 2 2 2 2 2 3 15 35 63 99 1 丄丄丄 1 1 8 24 48 80 120 168 计算: 1 计算: 计算: 计算: 计算: 16 例6. 计算: 例12. 计算: 例13. 计算: 112 11 +丄+土+丄+丄+ 1 2 2 1 + — + 1 2 2 3 1 ----------- F 1 2 3 2 3 2 1 + Y +仝+丄 3 3 3 3 1 例14. 计算: 2X( 1 —丄)X 2丿 20052-------------- +……+ 12 3 4 「-亠) 20042 100 +……+ + 100 100 1 旦+……+ 100 1 100 X( 1 2 3 2005 1 1 1 —2) X ......... X( 1 ---------- ) 2003222

(完整word版)六年级奥数分数的速算与巧算

第一讲分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1 (1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．三、循环小数化分数

奥数裂项法(含答案)

奥数裂项法同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。（一）阅读思考例如1 3 1 4 1 12 -=，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式： 11 1 1 11 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n - += + + - + = +- + = + ()() ()() 即11 1 1 1 n n n n - + = + () 或 1 1 11 1 n n n n () + =- + 下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。【典型例题】例1. 计算： 1 19851986 1 19861987 1 19871988 1 19941995? + ? + ? ++ ? …… + ?+ ? + 1 19951996 1 19961997 1 1997 分析与解答： 1 19851986 1 1985 1 1986 1 19861987 1 1986 1 1987 1 19871988 1 1987 1 1988 1 19941995 1 1994 1 1995 ? =-? =-? =- ?=- …… 1 19951996 1 1995 1 1996 1 19961997 1 1996 1 1997 ? =- ? =- 上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。

1 198519861 198619871 198719881 199519961 19961997 11997?+ ?+ ?++ ?+ ?+ … =-+-+-++-+-+=119851198611986119871198711988119951199611996 119971199711985 …… 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。例2. 计算：1111211231 123100 +++++++ ++++…… 公式的变式 1122 1+++= ?-…n n n () 当n 分别取1，2，3，……，100时，就有 112121122 23 11232 34 112342 45 1121002 100101 = ?+=?++=?+++= ?+++= ?… 1111211231 12100212 223234299100 21001012112 1231341991001100101211212131314 199 1 100 1100 1101 211101 + ++ +++++++=?+?+?++?+ ?=??+?+?++?+ ?=?-+-+ -++ - + - =?- ……………()() ()

六年级+分数裂项

裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。【例 1】 111111223344556++++=????? 。【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】美国长岛，小学数学竞赛【解析】原式111111115122356166??????=-+-++-=-= ? ? ??????? 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为： 111113355779+++????，计算过程就要变为： 111111113355779192 ??+++=-? ???????．【答案】56 【巩固】 111 (101111125960) +++??? 【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】原式111111111()()......()101111125960106012 =-+-++-=-= 【答案】112 例题精讲

六年级数学思维训练——分数裂项

分数的速算与巧算—裂项知识导航分数裂项是整个奥数知识体系中的一个精华部分，将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 1.分数裂差型运算公式： (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，那么有

(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：，形式的，我们有：裂差型特征： (1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。 (2)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。 2.分数裂和型运算公式：（1）（2）裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 3.整数裂项运算公式： (1) (2) 精典例题1: 思路点拨观察分数特征，此题属于裂差型分母为4个连续自然数乘积，可直接运用公式。模仿练习1: 精典例题2: 思路点拨

如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2 的等差数列(该数列的第个数恰好为的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大 3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．模仿练习2: 精典例题3: 思路点拨观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式

分数裂项

分数裂项（一）“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法。常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。（1）对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- （2）对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2) n n n ?+?+，1(1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ （3）裂差型裂项的三大关键特征： 1，分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 2，分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” 3，分母上几个因数间的差是一个定值。（二）“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式： 11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简。

三、常用公式：（1） 2222(1)(21)1236n n n n ?+?+++++= ；（2） () 2223333(1)1231234 n n n n ?+++++=++++= ；（3） 2123421n n ++++++++= ；（4）平方差公式：()()22a b a b a b -=+-；（5）完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+；（6）等差数列：求和=(首项+末项)×项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+（项数-1）×公差（8）123456799111111111?= （去8数，重点记忆） 711131001??=（三个常用质数的乘积，重点记忆）（9）101ab abab ?= 10101ab ababab ?=

六年级分数裂项

六年级分数裂项 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。【例 1】 11111 1223344556 ++++=????? 。【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】美国长岛，小学数学竞赛【解析】原式111111115122356166 ???? ??=-+-+ +-=-= ? ? ????? ?? 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：1111 13355779 +++ ????，计算过程就要变为： 111111113355779192??+++=-? ???????．【答案】5 6 【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】原式111111111 ()()......()101111125960106012=-+-++-=-= 【答案】1 12 例题精讲

六年分数计算裂项法

分数计算一一裂项法【知识要点】正确、迅速、灵活、合理地进行整数、小数、分数四则混合运算，是小学生须掌握的技能、技巧之一，计算时必须做到： 1、拿到一题，首先要全面审题，确定运算顺序，这是运算的根本。 2、然后要全面观察题目的结构、特征，分析题中数与数的关系，灵活运算各种定律、性质使计算简便，这是运算的灵魂。 3、计算时要做到一步一回头，也就是及时检验，这是使你终生受益的习惯。【自主练习】 111 1 1 1_ -11 1 11 2 3 3 4 4 5r T 5 6 6 77 8十十?… 12 2 3 49 50 1111 +?-?++ 1995 19961996 19972007 20082008 ?丄?丄丄 12 20 30 42 56 72 90 7 13 21 31 43 57 73 91 —十-------- 十------- r ------------ r ----------- ~1~------ 十 ------- r ----------- 6 12 20 30 42 56 72 90

二 1 」… J 1 4 4 7 7 10 97 100 1111 1 1 ----- + ------- + ------- + -------- + --------- + --------- 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15 11 31 5丄7丄9丄 3 15 35 63 99 2.2.2 ..???丄 21 77 165 1677 1 7 9 11 13 15 1 — 3 1 2 20 30 42 56 小结：求若干个分数之和的计算题，一般可以用通分的办法，但有些计算题，可以采用裂项的办法，即运用以下这些公式巧妙求出整个算式的和，称为裂项法。 1 9 11 1 3 15 --- ----- -------- "T - ---------- ---- -------- ~T~ ------------- 4 20 30 42 56

六年级分数裂项作业

分数裂项校区班级姓名本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。【例 1】 111111223344556 ++++=????? 。习题练习知识点拨学习目标

六年级奥数第三讲：分数计算技巧--分数裂项(二)

六年级奥数第三讲：分数运算技巧--分数裂项（二）【专题精析】在计算分子相同、分母为三个连续自然数乘积的一列分数求和时，根据裂项公式?? ????????)2()1(1)1(121211＋＋－＋＝）＋（）＋（n n n n n n n ，将每个加数分解成个分数之差，使前一个数的减数与后一个数的被减数能够抵消，达到化繁为简的目的。多个分母的裂项和上讲所讲的分母裂项一样，只不过分母变多了，要特别注意的是，多分母裂项，每次只能“降一阶”，比如分母有四项，那么裂项后变成两个三分母的项，然后再依次抵消。基本公式： ))2()(1)(1(21)2()(1k n k n k n n k k n k n n +?+-+??=+?+? 例如：4321??＋5431??＋……＋21 20191?? 840 6921 2013212121201201915414314313212121 20120191215414312143132121=?-??=?-?+??+?-?+?-??=?-??+??+?-??+?-??=）（））（）（）（）（练习：（1） 5049481543143213211??+??+??+??+?? （2） 10982765265425432??+??+??+??+??

很多时候，等差数列求和和分数裂项是可以相互转换，再进行计算的。比如：，就转换成了分数裂项。例如： 51 6451 13145115014131451 5045444342 50 50122441223312=-?=-+??+-?=?+??+?+?=?++??+?++?+=）（）（）（）（）（练习： 36 211432113211211+??+++??+++++++++ 【基础练习】 1、3212??＋4322??＋5432??＋……＋40 39382??。 2、21＋322?＋4323??＋54324???＋654325????＋7654326?????。）（）（5 14125422441143211-?=?=?+=+++50 ....43212.......543212432123212+++++++++++++++++

(完整版)小学六年级奥数裂项第一讲

小学六年级奥数裂项第一讲一、教学目标：1.掌握分数裂项的基本原理。 2 .掌握裂差和裂和的联系与区别二、重点难点：裂项的技巧去分数运算三、教学内容：知识梳理 1、常见的裂项一般是将一项拆分成两项或多项的和或差，使拆分后的项可前后抵消或凑整，这种题目看似结构复杂，但一般无需进行复杂的计算。一般裂项分为分数裂项和整数裂项，其中分数裂项是重要考点。 2、分数裂项的技巧分数裂项实质是异分母分数加减法的逆运算，关键是找分母上的数和分子上的数的和差倍关系。第一类：“裂差”型运算。当分母是两数相乘的形式，分子表示为分母上两数的差（基本型），则可以进行o b — a b a 1 1 a x b a x b a x b a b 两项的裂差非常重要，一定要掌握。第二类：“裂和”型运算。当分母是两数相乘形式，分子可表示分母上两数的和（基本型），则可以进行裂项和。 b + a b a 1 1 ------ =--------- H -------- = — -\— a x b a x b a x b a b

四、归纳总结 1、裂差型基本形式： b — a b a 11 ---------------------- —— — a x b a x b a x b a b 1 111 —()x —n(n + d) n n + d y d a 1 1 —------- =( -------------- )x a n(n + 1) n n + 1 2、裂项和基本形式： b + a b a 1 1 ------- = --------- H -------- = — ~\— a x b a x b a x b a b 3、裂项的实质和意义裂项的实质：实质是异分母分数的逆运算，关键是要找到分母上几个乘数和分子上数的和差倍关系；裂项的意义：裂差与裂和都是为了简便运算，摆脱繁琐的计算。

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