北京工业大学2008-2009学年第二学期高数

北京工业大学2008─2009学年第二学期

《高等数学》期中试卷参考答案

学号 姓名 成绩

一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确结果的字母写在括号内。

1．若函数),(y x f z =在点(0,0)

处不连续，则必有 【 C 】 （A ）

(,)(0,0)

lim (,)x y f x y →不存在 （B ）(,)f x y 在点(0,0)无定义

（C ）(,)f x y 在点(0,0)不可微 （D ）(0,0),(0,0)x y f f ''不存在

2．原点)0,0(是函数2

(,)f x y xy y =-的 【 C 】 （A ）极小值点 （B ）极大值点 （C ）驻点却不是极值点 （D ）非驻点

3．若函数(,)F x y 在平面单连通域D 内有连续偏导数，L 为D 内任意分段光滑封闭曲线， 且

(,)()0L

F x y ydx xdy +=?

，则 【 D 】

(A ) 0y x xF yF ''+= (B ) 0y x xF yF ''-=

（C ） 0x y xF yF ''+=

（D ）0x y

xF yF ''-= 4．设区域(){}1,22

≤+=

y x

y x D

，则二重积分()

2232D

x x y y dxdy --+=?? 【 A 】

(A) 2

π

-

(B) 0 (C)

2

π

(D) π 5．设L 是正方形区域2x y +≤的边界，则曲线积分

L

ds

x y

=+?

【 B 】 （A ）（B ） （C ）（D ）0

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上.

6．设函数2

2

(,)(,)

(,),f x y f x y f x y x y x y x y

??+-=--=??则

y x - ． 7．设),(y x z z =是由方程sin()ln z e z xy a -= 0a >为常数所确定的二元函数，则

=dz

cos()cos()

sin()sin()

z z yz xy xz xy dx dy e xy e xy +-- ．

8．旋转抛物面22z x y =+的切平面： 44810x y z -++= ，

平行与已知平面21x y z -+=.

9．将二次积分10

(,)y

e

e I dy

f x y dx =

??

交换积分次序后的形式为

ln 1

(,)e

x I dx f x y dy =??

．

10

．设曲面z ∑=

: 01z ≤≤()

则曲面积分∑

=??

43

π

．

三、计算下列各题：本大题共5小题，每小题8分，共40分. 解答应写出主要过程或演算步骤.

11．设()

2,sin ()x

z f xy y g ye =+，其中函数,f g 具有二阶连续偏导数，

求x z ??，y

x z ???2． 解：

21x z

f y

g ye x

?''=+?， 222111

122(2cos )x x z

y f y f xy f y g e g ye x y

?''''''''=++++??.

12．

计算二重积分

2

2

2

2

1

2

1

y x y x y

e

dy dx e

dy dx ----+?

? （要求画出二重

积分区域D 的草图）。 解：

2

2

2

2

1

2

1

y x y x y

e

dy dx e

dy dx

----+?

?=

2

2

2

2

1

2

x

y x

y D D e dxdy e dxdy ----+????

22

2

284

()8

x y r D

e

dxdy d rdr e e π

π

θ-----===

-???.

13．将三重积分???Ω

=dv z y x f I ),,(分别化为直角坐标、柱面坐标、球面坐

标下的三次积分，其中222:2x y z z Ω++≤。

解： 三重积分???

Ω

dv z y x f ),,(在直角坐标系下的累次积分为

111

1(,,)dx f x y z dz -?

??

，

在柱面坐标系下的累次积分为

21

10

1(cos ,sin ,)d rdr f r r z dz πθθθ?

??

，

在球面坐标系下的累次积分为 22cos 220

sin (sin cos ,sin sin ,cos )d d f r r r r dr π

π?θ???θ?θ??

??

.

14．计算曲线积分(sin )(cos )x x L

I e y x y dx e y x dy =

--++?

，其中L 是从点

(2,0)A

沿着曲线y =O (0,0)的一段圆弧。

解： 补线oA ：0,0,(02)y dy x ==≤≤后设所围区域为D ，应用Green 公式 D

L oA

oA

I +=

-=-?????

2

2D

d xdx σ=+???11

2

4222

ππ=+=+.

15．设曲面∑是旋转抛物面225()z x y =-+上15z ≤≤部分的外侧，计算曲面积分：[tan()][sin()]I x xy dydz y xy dzdx zdxdy ∑

=

++++??。

解： 补加平面1∑：221,0,(4)z dz x y ==+≤取下侧，1∑+∑构成闭合

曲面取外侧，设所围区域为Ω。应用Gauss 公式则有

1

I Ω

∑=

-??

??

2[3sec ()cos ]xy

D y xy x xy dv dxdy Ω

=+++?????，其中22:(4)xy D x y +≤

由Ω关于x 轴对称，得

2

sec ()0y yx dv Ω

=???； Ω关于y 轴对称，得cos()0x xy dv Ω

=???,

2

22

50

1

2

2

2

220

34346(4)43(4)(4)428.

r I dxdydz d rdr

dz r rdr r d r π

πθπ

πππππ-Ω

=+=+=-+=---+=??????

??

四、 解答题: 本大题共2小题，每小题10分，共20分.要求写出详细的解答过程.

16．分别利用定积分、二重积分、三重积分计算旋转抛物面22z x y =+和平面

2z a =所围成的空间区域Ω的体积（要求画出空间区域Ω体积的草图）。

解：设Ω的体积为V

Ω在xoy 平面投影222:xy D x y a +≤

利用定积分计算 2

2

240

2

a a V y dz zdz a π

π

π===

?

?，

利用二重积分计算 22

2

224

3

40

()2

xy a

D V a a x y dxdy a d r dr a π

π

ππθ=?-

+=-=????，

利用三重积分计算 2

2

240

2

a

a r V dV d rdr dz a π

π

θΩ

==

=

??????.

17.一本长方形的书，每页所印文字部分要占150平方厘米，上、下空白处各要留1.5厘米宽，左、右空白处各要留1厘米宽，应用拉格朗日乘数法求每页纸长、宽各为多少时，耗纸最省？

解：设每页所印文字部分宽xcm ，长为ycm ，则每页纸宽为(2)x cm +，长为(3)y cm +，每页纸面积为

(2)(3)326S x y xy x y =++=+++，且1500xy -=

构造Lagrange 函数

(,,)(326)(150)F x y xy x y xy λλ=++++-

令30201500x y F y y F x x F xy λλλ?'=++=??

'=++=??

'=-=??

， 得1015x y =??

=?，212

318

x y +=??+=?；

由实际意义知S 最小值存在。故当每页纸宽为12cm ，长为18cm 时耗纸最省.

高等数学下册期末考试试题及答案

高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】 考试日期：2009年 一、A 填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= -4 ． 2、设ln()z x xy =，则 32 z x y ?=?? -1/（y*y ） ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2x+4y+z-14=0 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? 1.414 ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 解：两边同时对x 求导并移项。 2、求由曲面2 2 22z x y =+及2 2 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 条件收敛 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222 x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．

高等数学[下册]期末考试试题和答案解析

高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．

2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．

北京工业大学实验学院高等数学(工)-1综合测试题一

北京工业大学实验学院 高等数学（工）－1综合测试题一 一、填空题（共5个小题，每小题3 分，共15分） 1、2401lim sin 3x x x →＝ 。 2 、2 0x ?＝ 。 3 、若112,n x x +== lim →∞n n x ＝ 。 4、若22()22

高等数学下册期末考试

高等数学 A( 下册 ) 期末考试试题 大题一二三四五六七 小题 1 2 3 4 5 得分 一、填空题：（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分，把答案直接填在题中 横线上） 1 、已知向量、满足，，，则． 2 、设，则． 3 、曲面在点处的切平面方程为． 4 、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则 的傅里叶级数 在处收敛于，在处收敛于． 5 、设为连接与两点的直线段，则． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题 纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分） 1 、求曲线在点处的切线及法平面方程． 2 、求由曲面及所围成的立体体积． 3 、判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4 、设，其中具有二阶连续偏导数，求．

5 、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部． 三、（本题满分 9 分）抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． （本题满分 10 分） 计算曲线积分， 其中为常数，为由点至原点的上半圆周． 四、（本题满分 10 分） 求幂级数的收敛域及和函数． 五、（本题满分 10 分） 计算曲面积分， 其中为曲面的上侧． 六、（本题满分 6 分） 设为连续函数，，，其中是由曲 面与所围成的闭区域，求． ------------------------------------- 备注：①考试时间为 2 小时； ②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。 高等数学 A( 下册 ) 期末考试试题【 A 卷】 参考解答与评分标准 2009 年 6 月

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)YM

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答 案） 一、解答题 1．已知过去几年产量和利润的数据如下： 解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f (x )=ax +b ，求[] 621()i i i u y ax b ==-+∑的最小值，即求解方程组 6662111661 1,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y =====?+=????+=??∑∑∑∑∑ 把(x i ,y i )代入方程组，得 29834402240034026320a b a b +=??+=? 解得 a =0.884, b =-5.894 即 y =0.884x -5.894, 当x =120时，y =100.186(310元). 2．求下列伯努利方程的通解： 2(1)(cos sin );y y y x x '+=- 解：令121z y y --==，则有

d d (12)(12)(cos sin )sin cos d d z z z x x z x x x x +-=--?-=- (1)d (1)d e (sin cos )e d e e (sin cos )d e sin x x x x x z x x x c x x x c c x ----????=-+???? ??=-+=-???? 1e sin x c x y ?=- 即为原方程通解. 411(2)(12)33 y y x y '+=-. 解：令3d 21d z z y z x x -=?-=-. d d e 21e (21)e d x x x z x c x x c -????==--+-+???? ? 3(e 21)1x y c x ?--= 即为原方程通解. 3．证明：22 d d x x y y x y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数． 证：22x P x y =+，22 y Q x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且． ()2 222??-==??+P Q xy y x x y ，(x ,y )∈G 因此22 d d x x y y x y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分． 由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++??==+??++?? 知()()221ln ,2 u x y x y =+． 4．应用格林公式计算下列积分： (1)()()d d 24356+-++-?x y x y x y Γ， 其中 L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界； (2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x x L x y x y x xy x y x x y ++--?，其中L 为正向星形线()22 23330x y a a +=>；

2012年北京工业大学数学建模初赛试题

2012年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛 A 题：GPS 定位问题 GPS 是英文 Global Positioning System 的缩写，即全球定位系统。GPS 的空间部分是由24颗卫星组成（21颗工作卫星，3颗备用卫星），它位于距地表20200公里的上空均匀分布在6个轨道面上（每个轨道面4颗），轨道倾角为55°。卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到4颗以上的卫星。图A.1给出GPS 卫星的示意图。 图A.1：GPS 卫星的图片 图A.2：车载型GPS 信号接收机 GPS 的用户设备部分是GPS 信号接收机，它的作用是接收GPS 卫星所发出的信号，利用这些信号进行导航定位等工作，图A.2为一款GPS 信号接收机。 GPS 信号接收机能收到GPS 卫星发来的信息，信息由GPS 卫星所在的空间位置和GPS 信号到达地面接收机的时间组成。卫星所在的空间位置由卫星的轨道参数确定，为简化问题，这里假定它是准确值。GPS 信号到达接收机的时间是由卫星上的时钟（铯原子钟）和地面接收机上的时钟（低成本钟）决定，所以有误差。由GPS 卫星上的原子钟与地面GPS 标准时间之 间的误差称为钟差，钟差是未知的。 设()i i i C B A ,,为第i 颗卫星在地心空间直角坐标系上的坐标，i t 为GPS 信号到达接收机的时间。所谓地心空间直角坐标系就是将坐标系的原点O 与地球质心重合，Z 轴指向地球北极，X 轴指向经度原点E ，Y 轴垂直于XOZ 平面构 成右手坐标系，如图A.3所示。 图A.3：地心空间直角坐标系

表A.1给出了4颗卫星在空间中的位置，表A.2给出这4颗卫星的GPS信号到达四个地点处GPS接收机的时间。 表A.1：卫星在地心直角坐标系中的位置（单位：公里） 你所要完成的问题如下： 1. 建立相应的数学模型，确定出上述四个地点的经度与纬度，并地图标明它们所在的位置。 2. 在通常的情况下，地面的GPS接收机能收到5—8颗卫星的信号，对于多于4颗卫星的情况，你将如何修改你的数学模型，使得定位更准确？表A.3给出第5颗卫星的位置，表A.4给出5颗卫星的GPS信号到地点5的时间。请用你提出的方法计算出地点5的位置（经度、纬度，并在地图上标出）。 表A.3：第5颗卫星在地心直角坐标系中的位置（单位：公里） 注：地球半径近似为R = 6371 公里；光速为c = 299 792.458 公里/ 秒。

高等数学下册期末考试题及答案

高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??2 201 3 cos sin π π ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ；

高等数学(A)下期末试卷及答案

《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ）

(A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2

高等数学下册期末考试试题附标准答案75561

高等数学(下册)期末考试试题 考试日期：2012年 院（系）别 班级 学号姓名 成绩 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?=-4． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=??-(1/y2)． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2 (x-1)+4(y-2)+z-4=0． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于，在x π=处收敛于． 5、设L 为连接(1,0) 与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=?√2． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 故所求的体积为V dv Ω =???22 2620 20 2(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=?? (7) 3、判定级数 1 1 (1) ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????．

北京工业大学-高等数学A-2017-2018学年第一学期--期末考试试卷及答案

北京工业大学2017--2018学年第一学期考试试卷A 答案 课程名称： 高等数学 A 课程所在学院： 理学院 考试班级 学号 姓名 成绩 试卷说明： 1. 本次考试为闭卷考试。本试卷共计 页，共 大部分，请勿漏答； 2. 考试时间为 １２０ 分钟，请掌握好答题时间； 3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚； 4. 本试卷全部答案都写在试卷上； 5. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场； 6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！ 一、填空题（每题3分，共30分） 1 ．2 lim 2x x →=-1 2 2. 设2ln(1) ,0()sin ,0 x x f x x x b x +?>? =??+≤? 在0=x 处连续，则=b 1 3．()0,()1,f a f a '==则极限1lim ()n nf a n →∞ -= -1 4．已知sin3y x =, n 为自然数，则() n y =3sin(3)2 n x n π + 5． 设,sin cos t x te y t t ?=?? =+?? 则0 t dy dx == 1 6． 2 222 cos (cos )1cos x x x dx x π π- +=+? 2π 7． 设()f x '连续，则()sin cos xf x dx '=? (cos )f x c -+ 8.已知0 ()arcsin x g x tdt = ? , 则0g '（ ）= 0 9. 微分方程1 y y x x '- =的通解是y =()x c x + 10. 微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y =1x

北工大2013—14年第二学期高数1重修试卷

北京工业大学2013—2014学年第二学期 《高等数学(工)—1》重修考试试卷 考试说明：考试日期: 2014年5月17日、考试时间：95分钟、考试方式：闭卷 承诺： 本人已学习了《北京工业大学考场规则》和《北京工业大学学生违纪处分条例》，在考试过程中自觉遵守有关规定和纪律，服从监考教师管理，诚信考试，做到不违纪、不作弊、不替考，若有违反，愿接受相应处分。 承诺人： 学号： 班号： 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 注：本试卷共 三 大题，共 6 页，满分100分，考试时必须使用卷后附加的统一答题纸和草稿纸。 卷 面 成 绩 汇 总 表（阅卷教师填写） 题 号 一 二 二 三 总成绩 满 分 36 52 12 得 分 一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1.=-→x x x sin 1 ) 1(lim ______________________ 2.函数2 1 sin )2sin(1 21211--++-= x x y x x 的跳跃间断点为_______________ 3.设参数方程???==t y t x 3 3cos sin 确定了函数)(x f y =，则=x y d d __________________ 4.设函数)(x f y =由方程y x x y =所确定，则=x y d d ____________________ 5. 曲线(23)ln(12) (3) x x y x x ++= -的水平渐近线为______________________ 6.设函数)(x f y =由方程y xe y +=1所确定，则==0 d x y ______________________ 得 分

高等数学下册期末考试试题及答案

考试日期：2012年 院（系）别 班级 学号 姓名 成绩 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222 x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分）

抛物面22 z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． 四、 （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 五、（本题满分10分） 求幂级数13n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数． 六、（本题满分10分） 计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑ = ++-??， 其中∑为曲面2 2 1(0)z x y z =--≥的上侧． 七、（本题满分6分） 设()f x 为连续函数，(0)f a =，2 22()[()]t F t z f x y z dv Ω= +++???，其中t Ω 是由曲面z = 与z = 3 () lim t F t t + →． ------------------------------------- 备注：①考试时间为2小时； ②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。 高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】

高等数学a)下期末试卷及答案

南京邮电大学2010/2011学年第二学期 《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ??1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(1 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面 x y x 22 2≤+内的那部分面积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ?- θπ π ρ ρθcos 20 22 2 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2 d d (D ) ??- θ π πρρθcos 202 2 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数

∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+121n n n (C ) ∑∞ =+111sin n n (D ) ∑∞ =13! n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2

2015年北京工业大学数学建模复赛试题

A题：寻找丢失的飞机 马航MH370失联事件已过去一年多了，但到目前为止，失事飞机仍然没有找到，这给飞行安全带来巨大的阴影。寻找丢失飞机，确定失事原因是确保飞行安全的重要工作。 假设某架飞机正从A点飞往B点，可能坠落在某个开阔水域（如大西洋、太平洋、印度洋等），并假设坠落飞机不发出任何信号。请你建立一般的数学建模，帮助搜救飞机尽快地找到失事飞机。 在建立模型过程中，你需要定义模型所需的某些概念：如飞机的所在位置、飞行航线、坠落之前收到的雷达信号和相应的时间等。你应该认识到：需要搜救的飞机会有不同类型，也会有不同类型的搜索飞机，或者使用不同的电磁波或传感器等。你还需要指定有可能发现失事飞机的搜索模式，请注意：100%或接近100%发现失事飞机的搜索模式是不切合实际的。 在模型建立之后，请用仿真（或模拟）的方法评价你模型搜索成功的概率，这个概率不应只是一个简单的数值，可能是一个区间，还要有说明该成功率的理由。你还应该完成模型检验和敏感性分析等工作，也就是在不同的初始条件，你提出的搜索模型对搜索结果的影响。 完成上述工作之后，根据你们的计算结果，写一份简短非技术报告，向公众说明你们的搜救方案。

B题：乘用车物流运输计划问题 整车物流指的是按照客户订单对整车快速配送的全过程。随着我国汽车工业的高速发展，整车物流量，特别是乘用车的整车物流量迅速增长。图B.1、图B.2和图B.3就是乘用车整车物流实施过程中的画面。 乘用车生产厂家根据全国客户的购车订单，向物流公司下达运输乘用车到全国各地的任务，物流公司则根据下达的任务制定运输计划并配送这批乘用车。为此，物流公司首先要从他们当时可以调用的“轿运车”中选择出若干辆轿运车，进而给出其中每一辆轿运车上乘用车的装载方案和目的地，以保证运输任务的完成。“轿运车”是通过公路来运输乘用车整车的专用运输车，根据型号的不同有单层和双层两种类型，由于单层的轿运车在实际运输中很少使用，本题仅考虑双层轿运车。双层轿运车又分为三种子型：上下层各装载1列乘用车，故记为1-1型（见图B.1）；下、上层分别装载1、2列，记为1-2型（见图B.2）；上、下层各装载2列，记为2-2型（见图B.3），每辆轿运车可以装载乘用车的最大数量在6到27辆之间。 在确保完成运输任务的前提下，物流公司追求降低运输成本。但由于轿运车、乘用车有多种规格等原因，当前很多物流公司在制定运输计划时主要依赖调度人员的经验，在面对复杂的运输任务时，往往效率低下，而且运输成本不尽理想。请你们为物流公司建立数学模型，给出通用算法。 装载具体要求如下：每种轿运车的上、下层装载区域均可等价看成长方形，各列乘用车均纵向摆放，相邻乘用车之间纵向及横向的安全车距均至少为0.1米，下层力争装满，上层两列力求对称，以保证轿运车行驶平稳。受层高限制，高度超过1.7米的乘用车只能装在1-1、1-2型下层。轿运车、乘用车规格（第3问见附件1和附件2）如表B.1和表B.2所示。 表B.1 轿运车规格 轿运车的类型上下层长度(米) 上层宽度(米) 下层宽度(米) 1-1 19 2.7 2.7 1-2 24.3 3.5 2.7

北京工业大学-工程数学-薛毅-作业6

多元分析实验 1.回归分析 为估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立一个观测站，测量最大积雪深度X（米）与当年灌溉面积Y（公倾），测得连续10年的数据如表6.1所示。 （1）建立一元线性回归模型，求解，并验证系数、方程或相关系数是否通过检验； （2）现测得今年的数据是X=7米，给出今年灌溉面积的预测值、预测区间和置信区间（a=0.05）; （3）将数据散点、回归预测值、回归的预测区间和置信区间均画在一张图上，分析线性回归的拟合情况。 解答: (1)根据题意有R程序如下： X<-c(5.1,3.5,7.1,6.2,8.8,7.8,4.5,5.6,8.0,6.4); Y<-c(1907,1287,2700,2373,3260,3000,1947,2273,3113,2493); lm.sol<-lm(Y~1+X) summary(lm.sol) 运行结果如下： Call: lm(formula = Y ~ 1 + X)

Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -128.591 -70.978 -3.727 49.263 167.228 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 140.95 125.11 1.127 0.293 X 364.18 19.26 18.908 6.33e-08 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 96.42 on 8 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9781, Adjusted R-squared: 0.9754 F-statistic: 357.5 on 1 and 8 DF, p-value: 6.33e-08 > summary(lm.sol,correlation = T,symbolic.cor = F) 运行结果如下： Call: lm(formula = Y ~ 1 + X) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -128.591 -70.978 -3.727 49.263 167.228 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 140.95 125.11 1.127 0.293 X 364.18 19.26 18.908 6.33e-08 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 96.42 on 8 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9781, Adjusted R-squared: 0.9754 F-statistic: 357.5 on 1 and 8 DF, p-value: 6.33e-08 Correlation of Coefficients:

高等数学B：高数下册期末试卷答案(00-13)

2000级(一)(BA) LB20010627 A D B D C 一、 1.(15)二、，； 2.18a ； 3.dx dy -； 4.5a =-；10 6.3 ；1 7.(,)dx f x y dy ?； 8.20x y +=；22 9.d ,:01,0.62L x y A y s L z y ==+=≥?平面上的曲线；10.1. 2232 2222225 20 ()(2)2()d sin d d . 5 a xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy z x y dxdydz r r r a ∑ ππ Ω ∑Ωπ?θθ+-++=++=?=?? ?????? 三、设围成空间闭区域, 121222222311cos(),cos()sin().x xy x x z y xy z xy xy xy y y y y ?????'''''''=++=-- --四、2 100111()(2)()222221212 2.2 n n n n n n x x nx f x x x x x x x x x ∞∞-+==' ??' ???'=-==?== ? ?-?? ?-??

高等数学同济下册期末考试题及答案套精选

大学高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、z = )0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )122（。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ）y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(22→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2 222y u y x u x ??+??等于（） （A ）y x + ；（B ）x ；(C)y ；(D)0。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω =zdV I 等于（） （A ）4 ? ??2 20 1 3 cos sin π π ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2sin π π??θdr r d d ；

高等数学同济版下册期末考四套试题及答案

高等数学同济版（下册）期末考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2 >+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??2 20 1 3 cos sin ππ ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ；

北京工业大学工程数学-实验1-数学建模入门

1 数学建模入门 学号： 姓名： 邮箱： 手机： 1.1实验目的与要求 数学建模入门，体会数学建模的意义，学会换角度思考问题。 1.2 基本实验 1. 椅子放平问题 依照1.2.1节中的“椅子问题”的方法，将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”，改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”，其余假设不变，问椅子还能放平吗？如果能，请证明；如果不能，请举出相应的例子。解答: 一、模型假设 对椅子和地面在符合日常生活的前提下，做出如下假设： （1）椅子：四条腿长相同，并且四脚的连线呈长方形。 （2）地面：略微起伏不平的连续变化的曲面。 （3）着地：点接触，椅子在地面任意位置至少有三只脚同时着地。 上述假定表明长方形椅子是正常的，排除了地面有坎以及有剧烈升降等异常情况。 二、模型建立 在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同

时着地表示出来。 首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动,通常有拖动或转动椅子两种办法把椅子放稳，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。 注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。 如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置。 用θ表示椅子旋转后的位置 其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是θ的连续函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是

高等数学下册期末考试试题及答案

高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】 考试日期：2009年 1、求曲线222222239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1) ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4．设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5. 计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2 222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 6. 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． 7. 计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑ =++-??，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧 8. 设 () f x 为连续函数， (0)f a =， 222()[()]t F t z f x y z dv Ω=+++???，其中 t Ω是由曲 面 z = 与 z =所围成的闭区域，求 3 () lim t F t t + →． 高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】 参考解答与评分标准 2009年6月 1、解：方程两边对x 求导，得323dy dz y z x dx dx dy dz y z x dx dx ?+=-????-=-??， 从而54dy x dx y =- ， 74dz x dx z = …………..【4】 该曲线在 ()1,1,2-处的切向量为571 (1, ,)(8,10,7).488 T ==…………..【5】 故所求的切线方程为 112 8107 x y z -+-== ………………..【6】 法平面方程为 ()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++= (7)