高考第一轮复习知识点(数学)
高考第一轮复习知识点(数学)
高考一轮复习知识点
数学
第一章-集合
考试要求：
（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号， 并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．
考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．
§01. 集合与简易逻辑 知识要点
一、知识结构:
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：
二、知识回顾：
（一） 集合
1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集， 记为A A ?； ②空集是任何集合的子集， 记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集；
如果B A ?， 同时A B ?， 那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，.
[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合S 中A 的补集是一个有限集， 则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ， 则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.
④若集合A =集合B ， 则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ， y ）|xy =0， x ∈R ， y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ， y ）|xy ＜0， x ∈R ， y ∈R
}二、四象限的点集.
③{（x ， y ）|xy ＞0， x ∈R ， y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ?
?
?=-=+1323
y x y x 解的集合{(2， 1)}.
②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ， y )| y =x +1} B={y |y =x 2
+1} 则A ∩B =?） 4. ①n 个元素的子集有2n
个. ②n 个元素的真子集有2n
－1个. ③n 个元素的非空真子集有2n
－2个.
5. ⑴①一个命题的否命题为真， 它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真， 则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.
解：逆否：a = 2且 b = 3， 则a+b = 5， 成立， 所以此命题为真. ②
，且21≠≠y x 3≠+y x . 解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.
2
1≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分， 又不是必要条件.
⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若255πφφx x x 或，?. 4. 集合运算：交、并、补.
{|,}{|}{,}
A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交：且并：或补：且C 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：
,,,,
,;,;,.
U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ?Φ???????????I I U U C
（2） 等价关系：U A B A B A A B B A B U ??=?=?=I U U C （3） 集合的运算律：
交换律：.;A B B A A B B A Y Y I I ==
结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U 等幂律：.,A A A A A A ==Y I
求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U
反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )
6. 有限集的元素个数
定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数， 记为card( A)规定 card(φ) =0.
基本公式：
(1)()()()()(2)()()()()
()()()()
card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+U I U U I I I I I
(3) card ( U A )= card(U)- card(A)
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法）
①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式， 并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便)
②求根， 并在数轴上表示出来；
③由右上方穿线， 经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.
x
（自右向左正负相间） 则不等式)0)(0(00221
10><>++++--a a x a x
a x a n n n n
Λ的解可以根据各区间的符号
确定.
特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论；
2
原命题若p 则q 逆命题
若q 则p
互为
逆否
互
逆否互
为逆
否否
互
二次函数
c bx ax y ++=2
（0>a ）的图象
一元二次方程
()的根
00
2
>=++a c bx ax
有两相异实根 )(,2121x x x x <
有两相等实根
a
b x x 221-==
无实根
的解集)0(02>>++a c bx ax
{}2
1
x x x x x ><或
????
??-≠a b x x 2
R 的解集
)0(02><++a c bx ax
{}21x x x
x <<
?
?
2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为
)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)
()
(x g x f ≤0)的形式， （2）转化为整式不等式（组）???≠≥?≥>?>0
)(0)()(0)
()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f
3.含绝对值不等式的解法
（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.
（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.
（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax 2
+bx+c=0(a ≠0)
（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.
（2）根的“非零分布”：作二次函数图象， 用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。
3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断
（1）“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反；
（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；
（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．
4、四种命题的形式：
原命题：若P则q；逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
5、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题?逆否命题)
①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。
②、原命题为真，它的否命题不一定为真。
③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
6、如果已知p?q那么我们说， p是q的充分条件， q是p的必要条件。
若p?q且q?p,则称p是q的充要条件，记为p?q.
7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
高中数学第二章-函数
考试要求：
（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．
（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．
（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．考试内容：
映射、函数、函数的单调性、奇偶性．
反函数．互为反函数的函数图像间的关系．
指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．
对数．对数的运算性质．对数函数．
函数的应用．
§02. 函数知识要点
一、本章知识网络结构：
F:A →B
对数函数
指数函数二次函数
二、知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域， 对应法则和值域， 而定义域和对应法则是起决定作用的要素， 因为这二者确定后， 值域也就相应得到确定， 因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数
反函数的定义
设函数
))((A x x f y ∈=的值域是C ， 根据这个函数中x,y 的关系， 用y 把x
表示出， 得到x=?(y). 若对于y 在C 中的任何一个值， 通过x=?(y)， x 在A 中都有唯一的值和它对应， 那么， x=?(y)就表示y 是自变量， x 是自变量y 的函数， 这样的函数x=?(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数， 记作)(1y f x -=,
习惯上改写成
)(1x f y -=
（二）函数的性质 ⒈函数的单调性
定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数， 则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性， 这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
2.函数的奇偶性
正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数)(x f 为奇函数或偶函数的必要不充分条件；（2）)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-是定义域上的恒等式。
2．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反. 4．如果)(x f 是偶函数，则|)(|)(x f x f =，反之亦成立。若奇函数在0=x 时有意义，则0)0(=f 。
7. 奇函数， 偶函数： ⑴偶函数：)()(x f x f =-
设（b a ,）为偶函数上一点， 则（b a ,-）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于y 轴对称， 例如：12+=x y 在)1,1[-上不是偶函数. ②满足)()(x f x f =-， 或0)()(=--x f x f ， 若0)(≠x f 时， 1)
()
(=-x f x f . ⑵奇函数：)()(x f x f -=-
设（b a ,）为奇函数上一点， 则（b a --,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称， 例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数. ②满足)()(x f x f -=-， 或0)()(=+-x f x f ， 若0)(≠x f 时，
1)
()
(-=-x f x f . 8. 对称变换：①y = f （x ））（轴对称x f y y -=???→?
②y =f （x ））（轴对称x f y x -=???→?
③y =f （x ））（原点对称x f y --=???→?
9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化， 例如：
21212
2222121)()()(x x x x b x b x x f x f +-=+-+=-）（
在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数f （x ）= 1+
x
x
-1的定义域为A ， 函数f [f （x ）]的定义域是B ， 则集合A 与集合B 之间的关系是 .
解：)(x f 的值域是))((x f f 的定义域B ， )(x f 的值域R ∈， 故R B ∈， 而A {}1|≠=x x ， 故
A B ?.
11. 常用变换：
①)
()
()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-?=+. 证：)()(])[()()
()
()(y f y x f y y x f x f x f y f y x f -=+-=?=
- ②)()()()()()(y f x f y x f y f x f y x
f +=??-=
证：)()()()(y f y
x
f y y x f x f +=?=
12. ⑴熟悉常用函数图象：
例：|
|2x y =→||x 关于y 轴对称. |
2|21+?
?
?
??=x y →||21x y ??? ??=→|
2|21+?
?
? ??=x y
|122|2
-+=x x y →||y 关于x 轴对称.
⑵熟悉分式图象： 例：3
7
2312-+
=-+=
x x x y ?定义域,3|{x x ≠值域},2|{R y y y ∈≠→值域≠x 前的系数之比. （三）指数函数与对数函数
指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质
A B
?
对数函数y =log a x 的图象和性质: 对数运算：
()n
a n a a a c
b a b b a N
a n a a n a a a a a a a a a a a a c
b a N
N N
a M n
M M n M N
M N M N M N M n a
1121log log ...log log 1
log log log log log log log 1
log log log log log log log log )(log 32log )12)1(=????=??=
==±=-=+=?-推论：换底公式：
（以上10且...a a ,a 1,c 0,c 1,b 0,b 1,a 0,a 0,N 0,M n 21≠≠≠≠φφφφφφ）
注⑴：当0,πb a 时， )log()log()log(b a b a -+-=?.
⑵：当0φM 时， 取“+”， 当n 是偶数时且0πM 时， 0φn M ， 而0πM ， 故取“—”.
例如：x x x a a a log 2(log 2log 2Θ≠中x ＞0而2log x a 中x ∈R ）.
⑵x a y =（1,0≠a a φ）与x y a log =互为反函数.
当1φa 时， x y a log =的a 值越大， 越靠近x 轴；当10ππa 时， 则相反.
（四）方法总结
⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.
⑴对数运算：
()n
a n a a a c
b a b b a N a n a a n a a a a a a a a a a a a
c b a N
N N
a M n
M M n M N M N
M N M N M n a 1121log log ...log log 1
log log log log log log log 1log log log log log log log log )(log 32log )12)
1(=????=??=
==±=-=+=?-推论：换底公式： （以上10且...a a ,a 1,c 0,c 1,b 0,b 1,a 0,a 0,N 0,M n 21≠≠≠≠φφφφφφ）
注⑴：当0,πb a 时， )log()log()log(b a b a -+-=?.
⑵：当0φM 时， 取“+”， 当n 是偶数时且0πM 时， 0φn M ， 而0πM ， 故取“—”. 例如：x x x a a a log 2(log 2log 2Θ≠中x ＞0而2log x a 中x ∈R ）.
⑵x a y =（1,0≠a a φ）与x y a log =互为反函数.
当1φa 时， x y a log =的a 值越大， 越靠近x 轴；当10ππa 时， 则相反.
⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.
⑶.反函数的求法：先解x,互换x 、y ， 注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式， 求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0， 底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.
⑹.单调性的判定法：①设x 1,x 2是所研究区间内任两个自变量， 且x 1＜x 2；②判定f(x 1)与f(x 2)的大小；③作差比较或作商比较.
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称， 再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式， 列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.
高中数学 第三章 数列
考试内容： 数列．
等差数列及其通项公式．等差数列前n 项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前n 项和公式． 考试要求： （1）理解数列的概念， 了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法， 并能根据递推公式写出数列的前几项．
（2）理解等差数列的概念， 掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式， 并能解决简单的实际问题．
（3）理解等比数列的概念， 掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式， 井能解决简单的实际问题．
§03. 数 列 知识要点
⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n
②112
-+?=n n n
a a a (2≥n ， 011≠-+n n n a a a )①
注①：i. ac b =， 是a 、b 、c 成等比的双非条件， 即ac b
=、b 、c 等比数列.
ii. ac b =（ac ＞0）→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要. iii. ac b ±=→为a 、b 、c 等比数列的必要不充分. iv. ac b ±=且0φac →为a 、b 、c 等比数列的充要.
注意：任意两数a 、c 不一定有等比中项， 除非有ac ＞0， 则等比中项一定有两个. ③n n cq a =(q c ,为非零常数).
④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }（1φx ）成等比数列.
⑷数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：???≥-===-)
2()
1(111n s s n a s a n n n
[注]： ①()()d a nd d n a a n -+=-+=111（d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d 不为0， 则是等差数列充分条件）.
②等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ??? ??
-+??? ??=+=22122 →2d 可以为零也可不为零→为等差
的充要条件→若d 为零， 则是等差数列的充分条件；若d 不为零， 则是等差数列的充分条
件. ③非零．．常数列既可为等比数列， 也可为等差数列.（不是非零， 即不可能有等比数列） 2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列， 其公差为原公差的k 2
倍...,,232k k k k k S S S S S --； ②若等差数列的项数为2(
)+
∈N
n n ， 则，奇偶nd S S =-1
+=
n n a a S S 偶
奇
；
③若等差数列的项数为(
)
+∈-N n n 12， 则()n n a n S 1212-=-， 且n a S S =-偶奇， 1
-=n n S S 偶
奇 得到所求项数到代入12-?n n . 3. 常用公式：①1+2+3 …+n =
()2
1+n n
②()()6
1213212222++=
+++n n n n Λ
③()2
213213333??
?
???+=++n n n Λ
[注]：熟悉常用通项：9， 99， 999， …110-=?n n a ； 5， 55， 555， …()
1109
5-=
?n
n a . 4. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如， 第一年产量为a ， 年增长率为r ， 则每年的产量成等比数列， 公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ， 且过n 年后总产量为：
.)
1(1])1([)
1(...)1()1(1
2
r r a a r a r a r a a n n +-+-=+++++++-
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元， 利息为r ， 每月利息按复利计算， 则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此， 第二年年初可存款：
)1(...)
1()1()1(10
11
12
r a r a r a r a ++++++++=)
1(1]
)1(1)[1(12r r r a +-+-+.
⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率.
()()
()
()()
()()()1
111111 (1112)
1
-++=?-+=+?++++++=+--m m m m
m m m
r r ar x r r x r a x r x r x r x r a 5. 数列常见的几种形式：
⑴n n n qa pa a +=++12（p 、q 为二阶常数）→用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程q Px x +=2（2x 对应2+n a ， x 对应1+n a ）， 并设二根21,x x ②
若21x x ≠可设n
n n x c x c a 2211.+=，
若21x x =可设n n x n c c a 121)(+=；③由初始值21,a a 确定21,c c . ⑵r Pa a n n +=-1（P 、r 为常数）→用①转化等差， 等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为n n n qa Pa a +=++12的形式， 再用特征根方法求n a ；④121-+=n n P c c a （公式法）， 21,c c 由21,a a 确定.
①转化等差， 等比：1
)(11-=?-+=?+=+++P r
x x Px Pa a x a P x a n n n n . ②选代法：=++=+=--r r Pa P r Pa a n n n )(21x P x a P r P P r a a n n n -+=---+=?--1111)(1
)1(Λ r r P a P n n +++?+=--Pr 211Λ.
③用特征方程求解：
??
??
+=+=-+相减，
r Pa a r Pa a n n n n 111+n a 1111-+--+=?-=-n n n n n n Pa a P a Pa Pa a ）（.
④由选代法推导结果：P
r P P r a c P c a P r a c P r c n n n -+-+=+=-+=-=
--111111112121）（，，. 6. 几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前n 项和为n S ， 在0πd 时， 有最大值. 如何确定使n S 取最大值时的n 值， 有两种方法：
一是求使0,01π+≥n n a a ， 成立的n 值；二是由n d
a n d S n )2
(212-+=
利用二次函数的性质求n 的值.
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积， 求此数列前n 项和可
依照等比数列前n 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：, (21)
)12,...(413,211n n -?
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列， 此等差数列的首项就是原两个数列的
第一个相同项， 公差是两个数列公差21d d ，的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证)(
1
1---n n
n n a a a a 为同一常数。 (2)通项公式法。 (3)中项公式法:验证212-++=n n n a a a N n a a a n n n ∈=++)(22
1都成立。
3. 在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时， 满足??
?≤≥+0
1m m a a 的项数
m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时， 满足???≥≤+00
1
m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。 在
解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于?
??
??
?
+1n n a a c 其中{ n a }是各项不为0的等差数列， c 为常数；
部分无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:适用于{}n n b a 其中{ n a }是等差数列， {}n b 是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n =
2
)
1(+n n 2） 1+3+5+...+(2n-1) =2
n